福建福州市连江县2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷（B卷）

**基本信息** 融合《群鸦栖树》古诗、A系列纸张裁切等情境，通过基础概念到动态几何探究的梯度设计，考查七年级下册核心知识，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|平移、无理数、方程组应用（如古诗问题）|结合传统文化与生活实际（如A系列纸计算）| |填空题|6/24|点到y轴距离、假命题反例、纸带折叠角度|设置开放性问题（如反例列举）| |解答题|9/86|坐标平移作图、动态几何探究（如平行线间角关系）、新定义（马步移动）|材料阅读题（剪拼正方形探究无理数）、跨学科情境（折射现象）|

福建省福州市连江县2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷（B卷） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（4分）某同学读到“子非鱼，安知鱼之乐”后，利用电脑画出了几幅鱼的图案．问：由图中所示的图案通过平移后得到的图案是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）下列各数为无理数的是（　　） A．0 B．﹣2 C． D．3.1415926 3．（4分）点（﹣3，﹣5）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（4分）的平方根是（　　） A． B．± C． D．± 5．（4分）如图是一把剪刀示意图，当剪刀口∠AOB减少30°时，∠COD的值（　　） A．减少60° B．不变 C．减少30° D．增加30° 6．（4分）如图，直线AB与CD被直线AC所截形成的内错角为（　　） A．∠3与∠8 B．∠1与∠5 C．∠3与∠7 D．∠4与∠8 7．（4分）如图1，三根木条a，b，c相交成∠1＝80°，∠2＝110°，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（　　） A．30° B．40° C．60° D．80° 8．（4分）满足二元一次方程ax+by＝0和cx+dy＝4的部分x，y值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（　　） 表1 x ﹣1 0 1 2 y 2 0 ﹣2 ﹣4 表2 x ﹣1 0 1 2 y ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 A． B． C． D． 9．（4分）我国古诗中常包含有趣的数学知识，比如《群鸦栖树》：“栖树一群鸦，鸦树不知数．三只栖一树，五只没去处；五只栖一树，闲了一棵树．请你仔细数，鸦树各几何？”若设诗句中乌鸦的数量为x只，树为y棵，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 10．（4分）如图，按照国际标准，A系列纸的长与宽的比例均符合；其中，A0纸的面积为1m2；将A0纸沿两条长边中点的连线裁切，就得两张A1纸；再将A1纸沿两条长边中点的连线裁切得两张A2纸…依此类推，得A3，A4，A5等等的纸张．若设A4纸张的宽为xm，则下列列式正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）比较实数大小：　 　 4（填“＞”或“＜”或“＝”）． 12．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）到y轴的距离为　 　 ． 13．（4分）已知命题：“对于任何实数|a|＝a”是假命题，请举一个反例，a的值可以是　 　 ． 14．（4分）折射现象指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，MN表示水面，它与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生折射，变成光线BC射到水底C处，射线BD是光线AB的延长线．若∠1＝70°，∠2＝42°，则∠DBC的度数为　 　 ． 15．（4分）已知关于m，n的二元一次方程组，则m+n的值　 　 ． 16．（4分）如图，将一条对边互相平行的纸带ABCD进行两次折叠．折痕分别为EF，GH，若BF∥GH，设∠AEF为α，∠CHF为β，则α和β之间的数量关系是　 　 ． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17．（8分）计算： （1）； （2）． 18．（8分）解方程组：． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点A，B的坐标分别为A（2，3），B（4，1），把三角形ABC平移得到三角形CDE，使点A平移到点C处，点B，C的对应点分别是点D，E．图中正方形网格的每一个小正方形的边长均为1个单位长度． （1）在图中画出平面直角坐标系xOy，并写出点C的坐标； （2）写出点D，E的坐标，并在图中画出平移后的三角形CDE． 20．（8分）中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，2026年是农历丙午马年，“马”字的书法形态飘逸灵动．如图1是一幅“马”字书法作品，图2是其抽象的几何图形，其中AC∥BD，AB∥FG．若∠B＝∠C，试判断∠E和∠G的数量关系，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整． 解：∠E+∠G＝180°，理由如下： ∵AC∥BD，（已知） ∴∠C＝①　 　 ，（依据：②　 　 ） ∵∠B＝∠C，（已知） ∴∠B＝③　 　 ，（等式的基本事实） ∴AB∥④　 　 ，（依据：⑤　 　 ） ∵AB∥FG，（已知） ∴CE∥⑥　 　 ，（依据：⑦　 　 ） ∴∠E+∠G＝180°．（依据：⑧　 　 ） 21．（8分）直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC． （1）如图1，若∠AOD＝130°，求∠DOE的度数； （2）如图2，OF⊥AB，且∠COF：∠BOE＝4：5；求∠BOD的度数． 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点O为原点，线段AB平移得到线段CD，点A的对应点为点C．已知A（1，3），B（3，3），C（﹣4，n﹣1），D（m﹣3，2n﹣3）． （1）根据平移的性质，求m，n的值； （2）若点P在y轴上，且三角形ABP的面积等于三角形AOD的面积，求点P的坐标． 23．（10分）阅读下列材料，回答问题． 材料1 数形结合是重要的数学思想．将边长为1的两个小正方形按如图1所示的方法进行剪拼成一个大的正方形，小正方形的对角线的长a就是大正方形的边长．（选自课本P42页） 材料2 实数与数轴上的点一一对应．如图2，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧，与数轴分别交于点A，A′，则点A对应的数为a，点A′对应的数为﹣a．（选自课本P54页） 类比探究 问题1：由以上材料，小连同学受到启发，若把长为2、宽为1的两个长方形沿对角线剪开（对角线的长记为x），得到四个形状大小一样的直角三角形，然后将它们拼成如图3所示的大正方形，中间恰好形类比探究成一个边长为x的小正方形，求出x的值； 问题2：若要得到无理数，可选择长与宽均为正整数的两个适当的长方形，参照图3的剪拼方法得到一个中间小正方形边长为的大正方形．请在图4的正方形网格图中用实线画出这个拼接成的大正方形和小正方形，且该大正方形一条边与数轴重合，小正方形的一个顶点与原点O重合，并用圆规在数轴上画出表示的点C．（保留作图痕迹，并标注点C） （1）材料中，数a是　 　 ；点A与A′之间的距离为　 　 ； （2）解答问题1； （3）解答问题2． 24．（13分）已知：直线AB∥CD，点E，F分别是直线AB，CD上一点，点O是直线AB，CD之间一动点，连接OE，OF，且∠EOF＝120°，EG平分∠AEO，FH∥EG． （1）如图1，若点O在直线EF的左侧时， ①若∠AEG＝25°，则∠BEO的度数为　 　 ； ②求证：∠OEG＝∠DFH； （2）当点O在运动过程中，试探究∠AEG与∠OFH之间的数量关系，并说明理由． 25．（13分）我们知道象棋棋子“马”每步走“日”字形．在平面直角坐标系网格中，规定整点的“马步移动”是指：从一点出发，沿“日”字形对角线移动，即这点只能沿坐标系网格上“”或“”的对角线移动，若规定：每一次移动后的点的纵坐标必须增大、（即只向y轴正方向移动）．例如，如图，从点A做一次“马步移动”，可以到达点B，C，D，E．我们将这四种移动分别记为：①型移动：对应到达点B的方向，②型移动：对应到达点C的方向，③型移动：对应到达点D的方向，④型移动：对应到达点E的方向． 设P0（0，﹣2），从P0开始，第一次移动后到达点P1，第二次移动后到达点P2，第三次移动到点P3，⋯，如此继续下去，每次移动均为上述四种之一． （1）若P1在x轴上，则点P1的坐标为　 　 ． （2）在每次移动纵坐标增大的基础上，若附加限制：P0的“马步移动”也只能向x轴的正方向移动（即每次移动只能①型移动或③型移动），P0能否通过若干次这样的移动到达点（37，36）？若能，则需要走几步；若不能，请说明理由． （3）若P0经过21次跳跃后得到P21（16，33），其中①型移动的次数记为k，③型移动的次数记为t，求k与t之间的数量关系，并求点P1，P2⋯P21中的横坐标最大值． 福建省福州市连江县2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷（B卷） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C B C D A C A D 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（4分）某同学读到“子非鱼，安知鱼之乐”后，利用电脑画出了几幅鱼的图案．问：由图中所示的图案通过平移后得到的图案是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移变换的定义判断即可． 【解答】解：根据平移变换的定义，选项D中的图案由图中所示的图案通过平移后得到． 故选：D． 【点评】本题考查利用平移设计图案，解题的关键是掌握平移变换的定义． 2．（4分）下列各数为无理数的是（　　） A．0 B．﹣2 C． D．3.1415926 【答案】C 【分析】根据有理数、无理数的定义判断即可． 【解答】解：A、0是有理数，故此选项不符合题意； B、﹣2是有理数，故此选项不符合题意； C、是无理数，故此选项符合题意； D、3.1415926是有理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 3．（4分）点（﹣3，﹣5）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【解答】解：点（﹣3，﹣5）所在的象限是第三象限． 故选：C． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 4．（4分）的平方根是（　　） A． B．± C． D．± 【答案】B 【分析】直接利用平方根的意义进行解答即可． 【解答】解：∵（±）2＝， ∴的平方根是±． 故选：B． 【点评】本题考查了平方根的意义，如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，记作． 5．（4分）如图是一把剪刀示意图，当剪刀口∠AOB减少30°时，∠COD的值（　　） A．减少60° B．不变 C．减少30° D．增加30° 【答案】C 【分析】根据对顶角相等即可求解． 【解答】解：由对顶角的性质得到：∠COD＝∠AOB， ∴∠AOB减少30°时，那么∠COD减少30°， 故选：C． 【点评】本题考查对顶角、邻补角，关键是掌握对顶角相等． 6．（4分）如图，直线AB与CD被直线AC所截形成的内错角为（　　） A．∠3与∠8 B．∠1与∠5 C．∠3与∠7 D．∠4与∠8 【答案】D 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：A．∠3和∠8是直线AB，直线BC被直线AC所截得的同旁内角，因此选项A不符合题意； B．∠1和∠5是直线AB，直线CD被直线BD所截得的内错角，因此选项B不符合题意； C．∠3和∠7是直线AD，直线BC被直线AC所截得的内错角，因此选项C不符合题意； D．∠4和∠8是直线AB，直线CD被直线AC所截得的内错角，因此选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是正确解答的关键． 7．（4分）如图1，三根木条a，b，c相交成∠1＝80°，∠2＝110°，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（　　） A．30° B．40° C．60° D．80° 【答案】A 【分析】根据两直线平行同位角相等，求出旋转后∠2的度数，然后用旋转前∠2的度数减去旋转后∠2的度数即可得到木条a旋转的度数． 【解答】解：如图2所示， ∵a∥b， ∴旋转后∠2＝∠1＝80°， ∴要使木条a与b平行，木条a绕点A顺时针旋转的度数是110°﹣80°＝30°． 故选：A． 【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，根据平行线的性质求出旋转后∠2的度数是解题的关键． 8．（4分）满足二元一次方程ax+by＝0和cx+dy＝4的部分x，y值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（　　） 表1 x ﹣1 0 1 2 y 2 0 ﹣2 ﹣4 表2 x ﹣1 0 1 2 y ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意及表格，找出两个方程公共解即可． 【解答】解：由表格数据可得二元一次方程ax+by＝0和cx+dy＝4相同的一组解是x＝1，y＝﹣2， 那么方程组的解是， 故选：C． 【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握其解的意义是解题的关键． 9．（4分）我国古诗中常包含有趣的数学知识，比如《群鸦栖树》：“栖树一群鸦，鸦树不知数．三只栖一树，五只没去处；五只栖一树，闲了一棵树．请你仔细数，鸦树各几何？”若设诗句中乌鸦的数量为x只，树为y棵，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三只栖一树，五只没去处，列得3y+5＝x；由五只栖一树，闲了一棵树，列得5（y﹣1）＝x，由此得到方程组． 【解答】解：设鸦为x只，树为y棵， 根据题意，得 ， 故选：A． 【点评】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找出等量关系是解答本题的关键． 10．（4分）如图，按照国际标准，A系列纸的长与宽的比例均符合；其中，A0纸的面积为1m2；将A0纸沿两条长边中点的连线裁切，就得两张A1纸；再将A1纸沿两条长边中点的连线裁切得两张A2纸…依此类推，得A3，A4，A5等等的纸张．若设A4纸张的宽为xm，则下列列式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由A4纸张的宽为x m，表示出A0纸的宽和长，根据A0纸面积为1m2求出x的值即可． 【解答】解：由图得，当A4纸张的宽为x m时，A0纸的宽为4x m， ∵纸张长与宽的比为：1， ∴A0纸的长为4x m， ∵A0纸面积为1m2， ∴4x•4x＝1， ∴x2＝． 故选：D． 【点评】本题主要考查了算术平方根的应用，掌握其性质是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）比较实数大小：　＜　 4（填“＞”或“＜”或“＝”）． 【答案】＜． 【分析】利用平方法判断大小即可． 【解答】解：利用平方法判断，∵15＜16， ∴； 故答案为：＜． 【点评】本题考查实数大小比较，算术平方根，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）到y轴的距离为　1　 ． 【答案】1． 【分析】根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【解答】解：点P（﹣1，2）到y轴的距离是1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 13．（4分）已知命题：“对于任何实数|a|＝a”是假命题，请举一个反例，a的值可以是　﹣1（答案不唯一）　 ． 【答案】﹣1（答案不唯一）． 【分析】根据绝对值的性质、假命题的概念解答． 【解答】解：当a＝﹣1时，|a|＝﹣a， 说明命题：“对于任何实数|a|＝a”是假命题， 故答案为：﹣1（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 14．（4分）折射现象指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，MN表示水面，它与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生折射，变成光线BC射到水底C处，射线BD是光线AB的延长线．若∠1＝70°，∠2＝42°，则∠DBC的度数为　28°　 ． 【答案】28°． 【分析】由MN∥EF，利用“两直线平行，内错角相等”，可得出∠MBC的度数，由对顶角相等，可得出∠MBD的度数，再结合∠DBC＝∠MBC﹣∠MBD，即可求出结论． 【解答】解：∵MN∥EF， ∴∠MBC＝∠1＝70°， ∵∠2＝42°， ∴∠MBD＝42°， ∴∠DBC＝∠MBC﹣∠MBD＝70°﹣42°＝28°． 故答案为：28°． 【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 15．（4分）已知关于m，n的二元一次方程组，则m+n的值　4　 ． 【答案】4． 【分析】根据题意，将两点方程相加，得2m﹣2n+m+5n＝﹣1+a+13﹣a，整理，得3m+3n＝12，等式两边同时除以3，即可得出答案． 【解答】解：， ①+②，得2m﹣2n+m+5n＝﹣1+a+13﹣a， ∴3m+3n＝12， ∴m+n＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 16．（4分）如图，将一条对边互相平行的纸带ABCD进行两次折叠．折痕分别为EF，GH，若BF∥GH，设∠AEF为α，∠CHF为β，则α和β之间的数量关系是　β+4α＝540°　 ． 【答案】β+4α＝540°． 【分析】利用折叠前后的角度不变和平行线的性质进行求解． 【解答】解：∵AD∥BC，BF∥GH，设∠AEF为α，∠CHF为β， 如图，作FH的延长线HN，BF与EG交点为M， ∵将一条对边互相平行的纸带ABCD进行两次折叠．折痕分别为EF，GH， ∴∠AEM＝2α﹣180°， ∵EG∥FH，BF∥GH∥AE， ∴∠AEM＝∠BMG＝∠BFH＝∠GHN＝2α﹣180°， 由折叠得出，∠CHG＝∠GHN＝2α﹣180°， ∴β+2（2α﹣180°）＝180°， ∴β+4α＝180°+360°， 故答案为：β+4α＝540°． 【点评】本题考查平行线的性质、翻折变换的性质、正确地添加辅助线是解题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17．（8分）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）先根据算术平方根、绝对值、立方根的定义计算，再合并即可； （2）先根据二次根式的性质、二次根式的乘法法则计算，再合并即可． 【解答】解：（1） ＝2+ ＝； （2） ＝5﹣ ＝． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18．（8分）解方程组：． 【答案】． 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：， ①+②，得3x＝15， 解得：x＝5， 把x＝5代入①，得5﹣y＝13， 解得：y＝﹣8， ∴方程组的解为． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点A，B的坐标分别为A（2，3），B（4，1），把三角形ABC平移得到三角形CDE，使点A平移到点C处，点B，C的对应点分别是点D，E．图中正方形网格的每一个小正方形的边长均为1个单位长度． （1）在图中画出平面直角坐标系xOy，并写出点C的坐标； （2）写出点D，E的坐标，并在图中画出平移后的三角形CDE． 【答案】（1），C（0，2）． （2）D（2，0），E（﹣2，1）； 【分析】（1）根据点A，B的坐标建立平面直角坐标系，进而可得答案． （2）结合平移的性质可得点D，E的坐标，再描点连线即可． 【解答】解：（1）画出平面直角坐标系xOy如图所示． 由图可得，C（0，2）． （2）由题意得，D（2，0），E（﹣2，1）． 如图，三角形CDE即为所求． 【点评】本题考查作图﹣平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． 20．（8分）中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，2026年是农历丙午马年，“马”字的书法形态飘逸灵动．如图1是一幅“马”字书法作品，图2是其抽象的几何图形，其中AC∥BD，AB∥FG．若∠B＝∠C，试判断∠E和∠G的数量关系，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整． 解：∠E+∠G＝180°，理由如下： ∵AC∥BD，（已知） ∴∠C＝①　∠BDE ，（依据：②　两直线平行，同位角相等　 ） ∵∠B＝∠C，（已知） ∴∠B＝③　∠BDE ，（等式的基本事实） ∴AB∥④CE ，（依据：⑤　内错角相等，两直线平行　 ） ∵AB∥FG，（已知） ∴CE∥⑥FG ，（依据：⑦　平行于同一直线的两直线互相平行　 ） ∴∠E+∠G＝180°．（依据：⑧　两直线平行，同旁内角互补　 ） 【答案】①∠BDE；②两直线平行，同位角相等；③∠BDE；④CE；⑤内错角相等，两直线平行；⑥FG；⑦平行于同一直线的两直线互相平行；⑧两直线平行，同旁内角互补． 【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【解答】解：∠E+∠G＝180°，理由如下： ∵AC∥BD，（已知） ∴∠C＝①∠BDE，（依据：②两直线平行，同位角相等） ∵∠B＝∠C，（已知） ∴∠B＝③∠BDE，（等式的基本事实） ∴AB∥④CE，（依据：⑤内错角相等，两直线平行） ∵AB∥FG，（已知） ∴CE∥⑥FG，（依据：⑦平行于同一直线的两直线互相平行） ∴∠E+∠G＝180°．（依据：⑧两直线平行，同旁内角互补） 故答案为：①∠BDE；②两直线平行，同位角相等；③∠BDE；④CE；⑤内错角相等，两直线平行；⑥FG；⑦平行于同一直线的两直线互相平行；⑧两直线平行，同旁内角互补． 【点评】本题考查平行线的性质与判定，解题的关键是熟悉逻辑推理的形式． 21．（8分）直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC． （1）如图1，若∠AOD＝130°，求∠DOE的度数； （2）如图2，OF⊥AB，且∠COF：∠BOE＝4：5；求∠BOD的度数． 【答案】（1）∠DOE＝115°； （2）∠BOD＝30°． 【分析】（1）根据对顶角可得：∠BOC＝130°，然后利用角平分线的定义和平角定义进行计算，即可解答； （2）根据已知可设∠COF＝4x，∠BOE＝5x，再利用角平分线的定义可得∠COE＝∠BOE＝5x，从而可得∠EOF＝x，然后根据垂直定义可得∠AOF＝∠BOF＝90°，从而可得∠BOE+∠EOF＝90°，进而可得∠COF＝60°，再利用角的和差关系可得∠AOC＝30°，从而可得∠AOC＝∠BOD＝30°． 【解答】解：（1）∵∠AOD和∠BOC是对顶角， ∴∠AOD和∠BOC＝130°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE＝∠BOC＝65°， ∴∠DOE＝180°﹣∠COE＝180°﹣65°＝115°； （2）∵∠COF：∠BOE＝4：5， ∴设∠COF＝4x，∠BOE＝5x， ∵OE平分∠COB， ∴∠COE＝∠BOE＝5x， ∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝x， ∵OF⊥AB， ∴∠AOF＝∠BOF＝90°， ∴∠BOE+∠EOF＝90°， ∴x+5x＝90， 解得：x＝15， ∴∠COF＝60°， ∴∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝30°， ∴∠BOD＝∠AOC＝30°． 【点评】本题考查了垂线，角平分线的定义，角的计算，对顶角，邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点O为原点，线段AB平移得到线段CD，点A的对应点为点C．已知A（1，3），B（3，3），C（﹣4，n﹣1），D（m﹣3，2n﹣3）． （1）根据平移的性质，求m，n的值； （2）若点P在y轴上，且三角形ABP的面积等于三角形AOD的面积，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）P（0，6，5）或（0，﹣0.5）． 【分析】（1）利用平移变换的性质构建方程组求解； （2）设P（0，a），构建方程求解． 【解答】解：（1）由平移变换的性质可知：，解得； （2）设P（0，a）．则有×2×|a﹣3|＝3×3﹣×2×3﹣×1×2﹣×1×3， 解得a＝6.5或﹣0.5， ∴P（0，6，5）或（0，﹣0.5）． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23．（10分）阅读下列材料，回答问题． 材料1 数形结合是重要的数学思想．将边长为1的两个小正方形按如图1所示的方法进行剪拼成一个大的正方形，小正方形的对角线的长a就是大正方形的边长．（选自课本P42页） 材料2 实数与数轴上的点一一对应．如图2，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧，与数轴分别交于点A，A′，则点A对应的数为a，点A′对应的数为﹣a．（选自课本P54页） 类比探究 问题1：由以上材料，小连同学受到启发，若把长为2、宽为1的两个长方形沿对角线剪开（对角线的长记为x），得到四个形状大小一样的直角三角形，然后将它们拼成如图3所示的大正方形，中间恰好形类比探究成一个边长为x的小正方形，求出x的值； 问题2：若要得到无理数，可选择长与宽均为正整数的两个适当的长方形，参照图3的剪拼方法得到一个中间小正方形边长为的大正方形．请在图4的正方形网格图中用实线画出这个拼接成的大正方形和小正方形，且该大正方形一条边与数轴重合，小正方形的一个顶点与原点O重合，并用圆规在数轴上画出表示的点C．（保留作图痕迹，并标注点C） （1）材料中，数a是　　 ；点A与A′之间的距离为　2　 ； （2）解答问题1； （3）解答问题2． 【答案】（1）；2； （2）x＝； （3）． 【分析】（1）依据题意，由正方形的边长为1，从而a＝对角线长＝，故点A与A′之间的距离为2，进而得解； （2）依据题意，根据所给图形可得，（1+2）2＝x2+4××1×2，可得x2＝5，进而计算可以得解； （3）依据题意，由17＝12+42，则＝，从而可以作图得解． 【解答】解：（1）由题意，∵正方形的边长为1． ∴a＝对角线长＝， ∴点A与A′之间的距离为2． 故答案为：；2； （2）由题意，根据所给图形可得，（1+2）2＝x2+4××1×2， ∴x2＝5． ∴x＝（负值舍去）； （3）由题意，∵17＝12+42， ∴＝． ∴可以作图如下： ． 【点评】本题主要考查了勾股定理、无理数、实数与数轴、实数大小比较、规律型：图形的变化类，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 24．（13分）已知：直线AB∥CD，点E，F分别是直线AB，CD上一点，点O是直线AB，CD之间一动点，连接OE，OF，且∠EOF＝120°，EG平分∠AEO，FH∥EG． （1）如图1，若点O在直线EF的左侧时， ①若∠AEG＝25°，则∠BEO的度数为　130°　 ； ②求证：∠OEG＝∠DFH； （2）当点O在运动过程中，试探究∠AEG与∠OFH之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①130°； ②延长EG交CD于点M， ∵AB∥CD， ∴∠AEM＝∠EMF． ∵EG平分∠AEO， ∴∠AEM＝∠OEG， ∴∠EMF＝∠OEG． ∵FH∥EG， ∴∠EMF＝∠DFH， ∴∠OEG＝∠DFH； （2）当点O在EN左侧时，如图所示， 令∠AEG＝m， 则∠AEQ＝2∠AEG＝2m． ∵AB∥CD， ∴∠EQF＝∠AEQ＝2m． ∵∠EOF＝120°， ∴∠OFQ＝120°﹣2m． ∵AB∥CD， ∴∠EPQ＝∠AEG＝m． ∵FH∥EG， ∴∠DFH＝∠EPQ＝m， ∴∠OFH＝180°﹣（120°﹣2m）﹣m， 即∠OFH＝60°+m， ∴∠OFH＝∠AEG+60°； 当点O在EF右侧时，如图所示， 令∠AEG＝n， ∵FH∥EG， ∴∠EMF＝∠AEG＝n． ∵EG平分∠AEO， ∴∠AEO＝2∠AEG＝2n， ∴∠QEO＝180°﹣2n． ∵∠EOF＝120°， ∴∠EQO＝120°﹣（180°﹣2n）＝2n﹣60°． ∵AB∥CD， ∴∠MFD＝∠EMF＝n，∠QFD＝∠EQO＝2n﹣60°， ∴∠OFH＝∠QFD﹣∠MFD＝2n﹣60°﹣n＝n﹣60°， ∴∠OFH＝∠AEG﹣60°， 综上所述，∠OFH＝∠AEG+60°或∠OFH＝∠AEG﹣60°． 【分析】（1）①根据角平分线的定义进行计算即可；②根据平行线的性质进行证明即可； （2）根据平行线的性质得出AEG与∠OFH之间的数量关系，并进行证明即可． 【解答】解：（1）①∵EG平分∠AEO，∠AEG＝25°， ∴∠AEO＝2∠AEG＝50°， ∴∠BEO＝180°﹣∠AEO＝180°﹣50°＝130°． 故答案为：130°； ②延长EG交CD于点M， ∵AB∥CD， ∴∠AEM＝∠EMF． ∵EG平分∠AEO， ∴∠AEM＝∠OEG， ∴∠EMF＝∠OEG． ∵FH∥EG， ∴∠EMF＝∠DFH， ∴∠OEG＝∠DFH； （2）当点O在EN左侧时，如图所示， 令∠AEG＝m， 则∠AEQ＝2∠AEG＝2m． ∵AB∥CD， ∴∠EQF＝∠AEQ＝2m． ∵∠EOF＝120°， ∴∠OFQ＝120°﹣2m． ∵AB∥CD， ∴∠EPQ＝∠AEG＝m． ∵FH∥EG， ∴∠DFH＝∠EPQ＝m， ∴∠OFH＝180°﹣（120°﹣2m）﹣m， 即∠OFH＝60°+m， ∴∠OFH＝∠AEG+60°； 当点O在EF右侧时，如图所示， 令∠AEG＝n， ∵FH∥EG， ∴∠EMF＝∠AEG＝n． ∵EG平分∠AEO， ∴∠AEO＝2∠AEG＝2n， ∴∠QEO＝180°﹣2n． ∵∠EOF＝120°， ∴∠EQO＝120°﹣（180°﹣2n）＝2n﹣60°． ∵AB∥CD， ∴∠MFD＝∠EMF＝n，∠QFD＝∠EQO＝2n﹣60°， ∴∠OFH＝∠QFD﹣∠MFD＝2n﹣60°﹣n＝n﹣60°， ∴∠OFH＝∠AEG﹣60°， 综上所述，∠OFH＝∠AEG+60°或∠OFH＝∠AEG﹣60°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 25．（13分）我们知道象棋棋子“马”每步走“日”字形．在平面直角坐标系网格中，规定整点的“马步移动”是指：从一点出发，沿“日”字形对角线移动，即这点只能沿坐标系网格上“”或“”的对角线移动，若规定：每一次移动后的点的纵坐标必须增大、（即只向y轴正方向移动）．例如，如图，从点A做一次“马步移动”，可以到达点B，C，D，E．我们将这四种移动分别记为：①型移动：对应到达点B的方向，②型移动：对应到达点C的方向，③型移动：对应到达点D的方向，④型移动：对应到达点E的方向． 设P0（0，﹣2），从P0开始，第一次移动后到达点P1，第二次移动后到达点P2，第三次移动到点P3，⋯，如此继续下去，每次移动均为上述四种之一． （1）若P1在x轴上，则点P1的坐标为　（1，0）或 （﹣1，0）　 ． （2）在每次移动纵坐标增大的基础上，若附加限制：P0的“马步移动”也只能向x轴的正方向移动（即每次移动只能①型移动或③型移动），P0能否通过若干次这样的移动到达点（37，36）？若能，则需要走几步；若不能，请说明理由． （3）若P0经过21次跳跃后得到P21（16，33），其中①型移动的次数记为k，③型移动的次数记为t，求k与t之间的数量关系，并求点P1，P2⋯P21中的横坐标最大值． 【答案】（1）（1，0）或 （﹣1，0）； （2）P0不能通过若干次这样的移动到达点（37，36）； （3）k与t之间的数量关系为 t＝2k﹣8，点P2⋯P21中的横坐标最大值为：22． 【分析】（1）根据“马步移动”规则，从点P0（0，﹣2）出 发，纵坐标增大2个单位，横坐标±1个单 位，直接得到第一次移动后的点为（1，0）或（﹣1，0）； （2）设①型、③型移动次数，根据坐标变化列 方程组求解，因次数非整数，故无法到达 （37，36）； （3）设四种移动次数，列方程组消元得 t＝2k﹣8，再根据横坐标变化规 律，求得最大横坐标为22． 【解答】解：（1）根据题意，点P0的坐标为（0，﹣2）． 题目要求P1在x轴上，即P1的纵坐标为0． 从P0到P1的纵坐标变化量为：0﹣（﹣2）＝2． 观察四种移动方式中纵坐标的变化： ①型移动：纵坐标增加1． ②型移动：纵坐标增加2． ③型移动：纵坐标增加 2． ④型移动：纵坐标增加1． 因为纵坐标需要增加2，所以只能是②型移动或③型移动． 若为②型移动：横坐标增加1，纵坐标增加2． P1的横坐标为0+1＝1，纵坐标为﹣2+2＝0．即P1（1，0）； 若为③型移动：横坐标减少1，纵坐标增加2． P1的横坐标为 0﹣1＝﹣1，纵坐标为﹣2+2＝0．即P1（﹣1，0）． 综上所述，点P1的坐标为（1，0）或 （﹣1，0）； （2）设从P0到点（37，36）共移动了n次，其中①型移动x次，③型移动y次． 根据题意得：， 即：，解得：， 因为移动次数x，y必须为整数， 所以方程组无整数解． 答：P0不能通过若干次这样的移动到达点（37，36）； （3）设②型移动次数为m，④型移动次数为n． 由题意得：， 由①得m+n＝21﹣k﹣t， 由③得k+2t+（m+n）+m＝35， 代入m+n得：k+2t+21﹣k﹣t+m＝35，解得m＝14﹣t， 将m＝14﹣t代入m+n＝21﹣k﹣t得：14﹣t+n＝21﹣k﹣t，解得n＝7﹣k． 将m，n代入②得：2k﹣t+（14﹣t）﹣2（7﹣k）＝16，即＝2k﹣8． 要使横坐标最大，需尽可能先进行增加横坐标的移动（①型和②型）． 增加横坐标的总次数为k+m＝k+14﹣t． 将t＝2k﹣8代入得：k+14﹣（2k﹣8）＝22﹣k． 最大横坐标为：xmax＝2k+1×（14﹣t）， 即xmax＝22， 答：k与t之间的数量关系为 t＝2k﹣8，点P2⋯P21中的横坐标最大值为：22． 【点评】本题考查新定义问题，三角形综合运用，属于难题． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $