21.3.3 正方形 第1课时 正方形的性质课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章 四边形 21.3 特殊的平行四边形 21.3.3 正方形 第1课时 正方形的性质 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 正方形的定义 7. 课堂小结 3. 新课导入 8. 当堂小练 CONTENTS 9. 对接中考 10. 拓展与延伸 2. 知识回顾 5. 知识点2 正方形的性质 6. 知识点3 特殊四边形之间的关系 1. 理解正方形的概念. 2. 探索并证明正方形的性质定理，理解平行四边形、矩形、菱形之间的包含关系，体会平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系与区别. 3. 会运用正方形的性质定理进行证明和计算，提升推理能力. 学习目标 知识回顾 四条边都相等 两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 轴对称图形，有两条对称轴. 菱形的特殊性质有哪些？ 新课导入 矩形是由平行四边形怎样变化得到？ 菱形是由平行四边形怎样变化得到？ 边的变化： 平行四边形 菱形 一组邻边相等 角的变化： 平行四边形 矩形 有一个角 是直角 正方形怎么得到呢？ 新课讲解 知识点1 正方形的定义 有一组邻边相等，而且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 正方形的定义： 1. 正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形、特殊的菱形. 2. 正方形的定义具有双重性，既是正方形的性质，又是正方形的基本判定方法. 注意 平行四边形 正方形 有一组邻边相等 有一个角是直角 新课讲解 矩形怎样变化后成了正方形呢? 菱形怎样变化后成了正方形呢? 一组邻边相等 矩形 菱形 有一个角 是直角 正方形 正方形 新课讲解 符号语言： ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，AB=BC，∠A=90〫， ∴ ▱ABCD 是正方形 正方形必须具备三个条件： ①四边形是平行四边形； ②有一个角是直角； ③有一组邻边相等. 三者缺一不可. A B D C 新课讲解 例 1. 如图，已知在矩形ABCD中，∠BAD和∠ADC的平分线交于BC边上一点E．点F为矩形外一点，四边形AEDF 为平行四边形. 求证：四边形AEDF 是正方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠CDA＝90°. ∵ AE，DE分别平分∠BAD与∠CDA， ∴∠EAD＝∠BAD＝45°，∠EDA＝∠CDA＝45°. ∴∠EAD＝∠EDA. ∴AE＝DE. ∵∠EAD＋∠EDA＋∠AED＝180°， ∴∠AED＝180°－∠EAD－∠EDA＝90°. 又∵四边形AEDF 是平行四边形，∴四边形AEDF是正方形. 新课讲解 练一练 1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC 的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F. 求证：四边形CEDF 是正方形． 证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠DFC＝∠DEC＝90°. 又∠ACB＝90°， ∴DF∥BC，DE∥AC. ∴四边形CEDF是平行四边形． ∴▱CEDF是正方形． 新课讲解 知识点2 正方形的性质 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 从正方形的边、角、对角线和它的轴对称性出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论. 边：对边__________，四条边__________. 角：四个角都是__________. 对角线：对角线_____________________，每条对角线平分一组对角. 对称性：正方形是轴对称图形，有___条对称轴. 平行 相等 直角 互相垂直平分且相等 四 探究 新课讲解 已知：四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四条边相等，四个角都是直角. 证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°, AB=AD （正方形的定义）. 又∵正方形是平行四边形， ∴正方形是矩形（矩形的定义）, 正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°，AB= BC=CD=AD. A B C D 新课讲解 已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O. 求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD. 证明：∵正方形ABCD是矩形， ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD. A B C D O 新课讲解 正方形的性质： 分类 性质 符号语言 边 对边平行， 四条边都相等. ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AD∥BC，AB∥CD，AB = AD = CD = BC. 角 四个角都是直角. ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ ∠ABC = ∠BCD = ∠ADC = ∠BAD = 90° 对 角 线 对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC⊥BD，OA = OC = OB = OD， ∠BAC = ∠DAC = ∠ABD = ∠CBD = ∠BCA = ∠ACD = ∠CDB = ∠ADB = 45°. 对 称 性 正方形是轴对称图形，有四条对称轴. 直线AC，BD，m，n均是正方形的对称轴. 新课讲解 例 2. 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O. 求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形. A B C D O 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD，AC⊥BD， ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°，AO=BO=CO=DO. ∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角正形， 并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 新课讲解 例 3. 如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC 延长线上一点，连接BE，EF，DF，CE＝CF. (1) 求证：△BCE ≌△DCF； (2) 若∠BEC＝60°，求∠EFD 的度数. (1) 证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴ BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°. 又∵ CE＝CF，∴△BCE ≌△DCF(SAS). (2) 解：∵△BCE ≌△DCF，∠BEC＝60°，∴∠DFC＝60°. ∵ CE＝CF，∠ECF＝90°，∴∠CFE＝45°. ∴∠EFD＝∠DFC－∠CFE＝60°－45°＝15°. 新课讲解 练一练 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=∠B=∠D=90°. 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴∠BAE=∠DAF. ∵∠EAF=30°，∠BAD=90°，∴∠BAE=30°，∠AEB=60°. 过点E作EG⊥AF于点G. ∵∠EAF=30°，∴EG = AE. ∵△AEF的面积等于1，AE=AF，∴AF·EG = AE2 =1，∴AE=2. ∵∠B=90°，∠BAE=30°,∴BE= AE=1，∴AB==. 2. 如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE=AF，∠EAF=30°，则∠AEB=_____°；若△AEF的面积等于1，则AB的长是______. 60 G 已知面积，找底和高 新课讲解 练一练 3. 如图，在正方形ABCD 中，点M，N 分别在AB，BC上，且BM＝CN，AN 与DM 相交于点P． (1)求证：△ABN ≌△DAM； (2)求∠APM 的大小． (1) 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC，∠DAM＝∠ABN＝90°. ∵BM＝CN， ∴BC－CN＝AB－BM，即BN＝AM. ∴△ABN≌△DAM(SAS)． (2) 解：由(1)知△ABN≌△DAM， ∴∠MAP＝∠ADM. ∴∠MAP＋∠AMP＝∠ADM＋∠AMP＝90°. ∴∠APM＝180°－(∠MAP＋∠AMP)＝90°. 正方形的特殊性质： 1. 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形. 2. 正方形的面积＝边长的平方＝对角线长乘积的一半. 3. 周长相等的四边形中，正方形的面积最大. 新课讲解 归纳 新课讲解 知识点3 特殊四边形之间的关系 思考 正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系. 平行四边形 矩形 菱形 正方形 有一组邻边相等 (或对角线互相垂直) 有一个角是直角 (或对角线相等) 有一个角是直角 (或对角线相等) 有一组邻边相等 (或对角线互相垂直) 有一组邻边相等，有一个角是直角（定义） 新课讲解 四边形的包含关系： 平行四边形、梯形是特殊的四边形， 矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形， 其中正方形是特殊的矩形、菱形. 正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系. 思考 新课讲解 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比 类型 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角 对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直 对称性 共性 轴对称图形 特性 2条对称轴 2条对称轴 4条对称轴 新课讲解 例 4. 如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，BD 与CE 相交于点F，连接AF. 求∠AFD 的度数. 解：∵四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形， ∴∠ABC＝90°，∠CBF＝∠ABF＝45°， ∠ABE＝60°，BC＝AB＝BE. ∴∠CBE＝150°，∠BCE＝∠BEC. ∴∠BCE＝∠BEC＝15°. ∵在△BCF和△BAF中， ∴△BCF≌△BAF. ∴∠BAF＝∠BCE＝15°. ∴∠AFD＝∠BAF＋∠ABF＝60°. 新课讲解 练一练 4. 如图，正方形ABCD 的边长为1 cm，AC 为对角线，AE 平分∠BAC，EF⊥AC. 求BE 的长. 解：∵四边形ABCD为正方形， ∴ ∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 . ∵ EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°. 又∵∠ECF＝45°，∴∠FEC＝45°. ∴∠ECF＝∠FEC. ∴ EF＝FC. ∵ AE 平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE. 又∵∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE， ∴△ABE ≌△AFE(AAS). ∴ AB＝AF＝1，BE＝EF. ∴ FC＝BE. 在Rt△ABC 中， AC＝＝＝ ， ∴ FC＝AC－AF＝－1. ∴ BE＝(－1)cm. 课堂小结 性质 边：对边平行，四条边都相等 对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴 角：四个角都是直角 对角线：对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 正方形 定义 有一组邻边相等，而且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 当堂小练 1. 在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是_______. 22.5° A D B C O E 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC=45°. ∵E是对角线AC上一点，且AE=AB ， ∴∠ABE=∠AEB=67.5°. ∵∠ABE+∠EBC=90°， ∴∠EBC=22.5°. 当堂小练 2. 如图，一个正方形草坪的四个顶点分别是A，B， C，D.要修建BE和AF两条路，使点E，F分别在边AD，CD上，且DE=CF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ A D B C E F 解：这两条路等长，即AF=BE，且AF⊥BE.理由如下： 设AF与BE交于点P， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=DC，∠BAD=∠ADF=90°. 又DE=CF，∴AE=DF， ∴△ABE≌△DAF(SAS)， ∴BE=AF，∠AEB=∠DFA， ∴∠DAF+∠AEB=∠DAF+∠DFA=90°， ∴∠APE=90°，即AF⊥BE. P 3. 如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个便得到正方形． a．两组对边分别相等； b．一组对边平行且相等； c．一组邻边相等； d．一个角是直角． 顺次添加的条件：①a→c→d；②a→b→c；③b→d→c． 则正确的添加顺序是(　　) A．仅① B．①② C．①③ D．②③ 当堂小练 C 4. 如图，正方形ABCD的边长为4，点B的坐标是(3，1)，AB平行于x轴，则点C 的坐标是(　　)  A．(－1，5) B．(3，3) C．(5，3) D．(3，5) 当堂小练 D 当堂小练 5. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别在边AD，CD 上，若∠EBF＝45，则△EDF 的周长等于________. 解：如图，延长FC到G，使CG＝AE，连接BG. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴ AB＝CB，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°. ∴∠BCG＝90°＝∠A. ∴△ABE ≌△CBG. ∴∠ABE＝∠CBG，BE＝BG. ∴∠CBG＋ ∠EBC＝∠ABE＋∠EBC. ∴∠EBG＝∠ABC＝90°. ∵∠EBF＝45，∴∠GBF＝45＝∠EBF. 又 BF＝BF，∴△BEF ≌△BGF. ∴ EF＝FG＝FC＋CG＝FC＋AE. ∴△EDF的周长为DE＋DF＋EF ＝DE＋DF＋FC＋AE＝ AD＋CD＝4. 4 对接中考 1. 如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F．若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积为________． 对接中考 (1) 证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝BC，∠ADE＝∠CBF＝45°. 又∵BF＝DE，∴△ADE≌△CBF(SAS)． 2. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD＝10，DE＝BF，连接AE，AF，CE，CF． (1)求证：△ADE≌△CBF； (2)若四边形AECF的周长为 ，求EF的长． (2) 解：连接AC交BD于点O.∵四边形ABCD为正方形，BD＝10， ∴BD垂直平分AC，OA＝OC＝OB＝ BD＝5，∴AF＝CF，AE＝CE. 由(1)知△ADE≌△CBF，∴AE＝CF，∴AF＝CF＝AE＝CE. ∵四边形AECF的周长为 ，∴AF＝×4 ＝. 在Rt△AOF中，OF＝＝3，∴DE＝BF＝OB－OF＝5－3＝2， ∴EF＝BD－BF－DE＝6. 拓展与延伸 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为(1，0)．点E在边CD上．将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为(0，3)．则点E的坐标为________． 解：如图，设CD与y轴交于点G，AB＝x，易知DG＝OA，AD＝AB＝OG＝x. ∵点B的坐标为(1，0)，∴OA＝x－1.由折叠知AF＝AD＝x，DE＝EF. ∵点F的坐标为(0，3)，∴OF＝3. 在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2＝OA2＋OF2， ∴x2＝32＋(x－1)2，解得x＝5.∴DG＝OA＝x－1＝4. 设EG＝a，则DE＝EF＝4－a，FG＝OG－OF＝5－3＝2. 在Rt△EFG中，由勾股定理得EF2＝EG2＋GF2， ∴(4－a)2＝a2＋22，解得a＝.∴点E的坐标为. G $