21.3.3 正方形-第1课时 正方形的性质 课件 2025—2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章 四边形 21.3 特殊的平行四边形 21.3.3 正方形 第1课时 正方形的性质 数 学 八年级 下册 1 1.知道正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系. 2.能从边、内角、对角线三个方面掌握正方形的所有性质. 3.探究正方形的轴对称性及其与等腰直角三角形的关系. 2 应用正方形的性质解决几何问题. 3 正方形的性质在几何题中的正确运用. 4 “七巧板”是我国古代人民创造的益智游戏，被西方人称为“东方魔板”.七 巧板可以拼出许多有趣的图案.小华用如图1所示的七巧板拼成了鸽子 （图2），小桥（图3）的图案，你能设计出由七巧板拼出的其他图案吗？请 你画出一个. 5 如图，小华用四张全等的等腰直角三角形纸片拼成一个四边形 ，这个四 边形比矩形多了什么性质？这个四边形比菱形多了什么性质？请各写出一条. 解：比矩形多的性质：四条边都相等； 比菱形多的性质：对角线相等. 6 1.正方形具有而矩形不具有的性质是( ) D A. 对角相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 2.若正方形的边长为 ，则这个正方形的对角线长为___. 2 7 正方形的性质 阅读课本本课时“探究”之前的内容，解答下列问题. 1.旧知回顾：正方形的四个角都是____角，四条边都______. 直 相等 2.思考： 8 （1）正方形是不是矩形？为什么？ 【答案】是的.根据矩形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形. （2）正方形是不是菱形？为什么？ 【答案】是的.根据菱形的判定定理：四条边都相等的四边形是菱形. 3.讨论：既然正方形既是矩形，又是菱形.试从边、角、对角线三个方面写出 正方形的所有性质. 【答案】正方形的对边相等且平行，四条边都相等；对角相等，且四个角 都相等，都为直角； 对角线互相平分，垂直，相等且平分每一组对角. 9 归纳总结 正方形具有平行四边形的所有性质，又具有______和______的特殊性质. 矩形 菱形 10 1.如图，在正方形中，点，分别在， 上 （不与端点重合），且，连接，相交于点 ， 则下列结论不正确的是( ) B A. B. C. D. 11 2.如图，在正方形中，点，分别在，上，连接， ， ， .若 ，则 的度数为( ) A A. B. C. D. 12 正方形中的等腰直角三角形 阅读课本本课时“例5”的内容，解答下列问题. 1.操作：观察下面的正方形，根据正方形的所有性质，试画出正方形所有的 对称轴. 13 解：如图所示： 14 2.思考：正方形的对角线将正方形分成四个什么形状的小三角形？根据正方 形的什么性质得到的？ 解：四个等腰直角三角形.根据正方形的对角线的性质得到的. 归纳总结 正方形可以看作是由两个全等的__________三角形拼成的；正方形也可 以看作是由______全等的等腰直角三角形拼成的. 等腰直角 四个 15 如图，正方形的边长为5，是对角线的交点，点在边 上，连接 ，，过点作，交边于点.若，则 的长是___. 3 16 四边形与特殊四边形的关系 阅读课本本课时“思考”的内容，解答下列问题. 小颖同学用如图所示的方式表示了四边形与特殊四边形的关系，则图中 的“”和“ ”分别表示________和______. 正方形 菱形 17 正方形的折叠 例1 如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边 在轴上，点的坐标为，点在边 上.将 沿折叠，点落在点处.若点 的坐标为 ，则点 的坐标为________. 18 提示： 四边形是正方形，边在 轴上， ，轴， 轴. 由折叠得， . 如图，设交轴于点， ， 则 . ， ， ， ， 19 . ， 由勾股定理得 ， ， 解得 ， ， ， . ，由勾股定理得 ， ，解得 ， 点的坐标为，故答案为 . 正方形的性质与其他图形的综合 例2 如图，在正方形中，是对角线 上的一 点（不与点，重合），过点作， ， 分别交，于点， . 22 （1）求证：四边形 是矩形. 解：证明： 四边形 是正方形， . ， ， 四边形 是平行四边形. ， 四边形 是矩形. 23 （2）若，，求 的长. 解：如图，连接 . 四边形 是正方形， 24 ， . 在和 中， ， . 四边形是矩形， ， ， . ， 是等腰直角三角形， ， . 在中，由勾股定理得 ， . 1.有下列四边形：①正方形，②矩形，③菱形.其中对角线一定相等的是 ( ) B A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 27 2.如图，为正方形对角线的中点，为等边三角形.若 ， 则 的长为( ) B A. B. C. D. 28 3.如图，在正方形中，为边上一点，为 延长线上一点，且 ，连接,.求证： . 29 证明： 四边形 是正方形， ， ， . 在和 中， ， . 30 4.如图，正方形的对角线，交于点，为边 上一点，且 ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 31 5.如图，在正方形中，，是上的一点，且，连接 ， 动点从点以每秒2个单位长度的速度沿向终点 运 动，设点的运动时间为秒，当和全等时， 的值是( ) D A. 3.5 B. 5.5 C. 6.5 D. 3.5或6.5 32 6.如图，正方形的边长为8，是的中点，垂直平分 且分别交 ,于点,，则 的长为___. 1 33 提示： 如图，连接，是的中点，垂直平分 ， .设，则，在和 中，根据勾 股定理，得,垂直平分 , ,，解得 ， . 34 7.如图，在正方形中，点，分别在，上，且， 与 相交于点，是的中点，连接 . 35 （1）与 之间有怎样的关系？请判断并说明理由. 解：且 . 理由： 四边形 是正方形， ， . 在和 中， 36 ， ， . ， ， ，即 . （2）若，，求 的长. 解： 四边形是正方形， ， ， . ， ， ， . 在中， . 是斜边 的中点， . 38 8.已知正方形的两条对角线相交于点，是直线 上的一动点，过点 作交于点，交于点 . 39 （1）如图1，若动点在线段上（不含端点），求证： . 解：证明： 四边形 为正方形， ， . 于点 ， ， ， . 40 在和中， ， . （2）如图2，若动点在线段的延长线上，试猜想 的形状，并说明 理由. 42 解：是等腰直角三角形.理由：如图，连接 . 与（1）同理可证明 , . 又 ， 是等腰直角三角形. 43 9.如图，在边长为4的正方形中，，分别是边， 上的动点，且 ，连接，，则 的最小值为( ) C A. B. C. D. 44 10.如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，过点 作 ，交射线于点 . 45 解：证明：如图1，过点作于点，于点, 的延长线 交于点 . 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， 四边形和四边形是矩形，四边形 是正方形， ，， ， 图1 （1）求证： . . ， ， . ， ， 是等腰直角三角形， . ， ， . 在和 中， ， . （2）若，，求 的长. 解：如图2，过点作于点 . 四边形是正方形，且， ， 由（1）可知 是等腰直角三角形， 易求得 ， ， , . 图2 49 （3）当线段与正方形的某条边的夹角是 时，直接写出 的 度数. 解： 或 . 50 提示：为对角线 上一点， 线段与正方形的某条边的夹角是 时，有以下两种情况： ①如图3，当与的夹角是 时，即 ， . ， . 在四边形中， ， ， . 51 ②如图4，当与的夹角是 时，即 . 四边形 是正方形， . 在中， . ， ， . 52 是 的外角， ， ， . 综上所述，的度数是 或 . 图3 图4 $