21.3.2 菱形的性质 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十一章 四边形 21.3 特殊的平行四边形 21.3.2 菱形 第1课时 菱形的性质 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 菱形的定义 7. 课堂小结 3. 新课导入 8. 当堂小练 CONTENTS 9. 对接中考 10. 拓展与延伸 2. 知识回顾 5. 知识点2 菱形的性质 6. 知识点3 菱形的面积 1. 理解菱形的概念，知道菱形与平行四边形的区别与联系. 2. 探索并证明菱形的性质定理. 3. 会运用菱形的性质定理进行证明和计算，提升推理能力. 学习目标 知识回顾 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线相等且互相平分 矩形的性质有哪些？ 轴对称图形，有两条对称轴 新课导入 欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？ 都具有 新课讲解 知识点1 菱形的定义 一个角是直角 思考 前面我们学习了矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时，就成为了矩形. 如果从边的角度将平行四边形特殊化，让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢? 新课讲解 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 菱形的定义： 1. 菱形是特殊的平行四边形，平行四边形不一定是菱形. 2. 菱形的定义具有双重性，既是菱形的性质，又是菱形的基本判定方法. 注意 平行四边形 菱形 一组邻边相等 新课讲解 符号语言： 如图，∵ 四边形ABCD 是平行四边形，且AB＝BC， ∴ ▱ABCD 是菱形 菱形必须具备两个条件： ①是平行四边形； ②有一组邻边相等. A B C D 新课讲解 例 1. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F.求证：四边形DECF是菱形. 证明：∵ DE∥FC，DF∥EC， ∴四边形DECF 为平行四边形. ∵ AC∥DE，∴∠2＝ ∠3. ∵ CD 平分∠ACB，∴∠1＝∠2. ∴∠1＝∠3. ∴ DE＝EC. ∴平行四边形DECF 为菱形. 新课讲解 练一练 1. 如图，在▱ABCD中，点E，F 分别在AD，BC 上，且BE 平分∠ABC，EF∥AB. 求证：四边形ABFE是菱形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC.∴∠AEB＝∠EBF. 又EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形． ∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE. ∴∠ABE＝∠AEB.∴AB＝AE. ∴平行四边形ABFE是菱形． 新课讲解 知识点2 菱形的性质 思考 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，但由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 仍可以从边，角，对角线等方面来考虑. 新课讲解 (1) 测量菱形的四条边长度，你有什么猜想？ 猜想1 菱形的四条边都相等. 利用折纸、剪切的方法，剪出一个菱形的纸片. 在剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手中的图形（如图），并回答以下问题： 活动 (2) 测量菱形的对角线所成的角及每个顶点处 被对角线所分成的两个角的度数，你有什么猜想？ 猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 每条对角线所在的直线 轴对称图形 对称性：_________________________ 对称轴：_________________________ (3) 菱形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴. 新课讲解 【证明猜想1】菱形的四条边都相等. 已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O. 求证：AB = BC = CD =AD. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = CD，AD = BC. (平行四边形的对边相等) 又∵AB=AD，(菱形的一组邻边相等) ∴AB = BC = CD =AD. ∴菱形的四条边都相等. A B C O D 新课讲解 【证明猜想2】菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O. 求证：BD⊥AC，∠DAC=∠BAC= ∠ACD=∠ACB. ∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB. 证明：∵AB = AD， ∴△ABD是等腰三角形. 在等腰三角形ABD中， ∵OB = OD， ∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC. 同理可证∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. ∴菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. A B C O D (平行四边形的对角线互相平分) (等腰三角形三线合一) 新课讲解 菱形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有： 1.边：菱形的四条边都相等. 2.对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.对称性：菱形是轴对称图形，它的每条对角线所在的直线就是它的对称轴. 符号语言： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD， ∴BD⊥AC，∠DAC=∠BAC= ∠ACD=∠ACB. ∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB， ∴直线AC，BD是菱形ABCD的两条对称轴. 菱形的性质： B A D O C 新课讲解 例 2. 如图，菱形ABCD的周长为20，对角线AC，BD相交于点 O，E是CD的中点，则OE的长是( ) A.2.5 B.3 C.4 D.5 解：方法一： 对角线 互相垂直 四条边相等 E是CD的中点 直角三角形斜边上的中线的性质 菱形的性质 CD = = 5 Rt△COD OE = CD = 2.5 A 方法二： 对角线 互相平分 四条边相等 E是CD的中点 三角形中位线定理 菱形的性质 AD = = 5 OA=OC OE = AD = 2.5 新课讲解 练一练 2. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， AO＝AC，BO＝BD. ∵AC＝6cm，BD＝12cm， ∴AO＝3cm，BO＝6cm. 在Rt△ABO中，由勾股定理得 ∴菱形的周长＝4AB＝4×3＝12 (cm)． 新课讲解 归纳 性质 数学语言 图形 边 对角线 对称性 菱形的四条边都相等 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. ∵四边形ABCD是菱形， ∴ AB=BC=CD=AD. ∴AC⊥BD， ∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB， ∠BAC=∠DAC， ∠BCA=∠DCA. ∵四边形ABCD是菱形， 菱形是轴对称图形，它有两条对称轴. A B D C O ┐ 新课讲解 知识点3 菱形的面积 比较 平行四边形的对角线可以把平行四边形分成什么？菱形的对角线可以把菱形分成什么？ B C D A O 平行四边形一般只被分成两对全等的三角形， 菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形. B A D O C 新课讲解 由菱形两条对角线的长，能求出它的面积吗？ 分析：已知菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形.因此只须求出一个直角三角形的面积就能求得菱形的面积. 推导：S菱形ABCD= 4×S△ABO= 4×AO·BO = ×2AO×2BO = AC·BD. B A D O C 思考 新课讲解 思考 方法一： ∵菱形是特殊的平行四边形， ∴过点A作AE⊥BC于点E，S菱形ABCD= 底×高= BC·AE. 方法二： ∵菱形由两个全等的等腰三角形构成，且AC⊥BD， ∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC = AC·BO+ AC·DO = AC(BO+DO)= AC·BD. 还有其它方法求菱形的面积吗？ B A D O C E 新课讲解 菱形的面积： 1. 菱形的面积=底高. S菱形ABCD=BC·AE. 2. 菱形的面积=对角线长的乘积的一半. S菱形ABCD = AC·BD. 新课讲解 例 3. 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD. 求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）. 解：设AC，BD相交于点O. ∵花坛ABCD的形状是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABO= ∠ABC= ×60°=30°. 在Rt△ABO中，AO= AB= ×20=10， BO===10. ∴花坛的两条小路长AC=2AO=20 m，BD=2BO=20≈34.64(m). 花坛的面积S菱形ABCD=4×S△ABO= 4×AO·BO=200≈346.4(m2). A C B D O 新课讲解 练一练 3. 已知菱形的周长为，两条对角线的长度之和为6，则菱形的面积为 ( ) A.2 B. C.3 D.4 解：如图 ，因为四边形 ABCD 是菱形， 所以 AB = = ，AC⊥BD，AO =AC，BO = BD. 因为 AC + BD = 6，所以 AO + BO = 3， 所以 (AO + BO)² = 9，即 AO² + 2AO·BO + BO² = 9. 又因为在 △AOB 中，AO² + BO² = AB²， 所以 AO² + BO² = 5， 所以 2AO·BO = 4， 所以菱形的面积为AC·BD = 2AO·BO = 4. D 新课讲解 练一练 4. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC 与∠BAD 的度数比为1∶2，菱形ABCD 的周长是48. 求： (1)菱形ABCD 的两条对角线的长度； (2)菱形ABCD 的面积. 解：(1) ∵四边形ABCD是菱形， ∴ AD∥BC，AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO. ∴∠BAD＋∠ABC＝180°. ∵∠ABC 与∠BAD的度数比为1∶2， ∴ ∠ABC＝60°，∠BAD＝120°. ∴∠ABO＝30°. ∵ 菱形ABCD的周长是48， ∴ AB＝BC＝DC＝AD＝12. (2) S菱形ABCD＝AC·BD＝×12×12＝72. ∵ 菱形ABCD的周长是48， ∴ AB＝BC＝DC＝AD＝12. ∴ AO＝6. ∴ AC＝12，BO＝＝＝6. ∴ BD＝12. 课堂小结 性质 四条边都相等 对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长的乘积的一半 是轴对称图形，有两条对称轴 菱形 定义 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 当堂小练 B 当堂小练 2. 如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上 ，且∠BAE＝∠DAF.求证：CE＝CF. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B＝∠D，AB＝AD，CB＝CD. 在△ABE和△ADF中， ∴△ABE≌△ADF(ASA). ∴EB＝FD. 又CB＝CD， ∴CB－EB＝CD－FD，即CE＝CF. 当堂小练 3. 如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长为________． 当堂小练 C 当堂小练 5. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AB，BC边的中点，连接EF. 若EF＝3，BD＝8，求菱形ABCD 的周长和面积. 当堂小练 7．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF． (1)求证：AE＝AF； (2)若∠B＝60°，求∠AEF的度数． (1) 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D. ∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°. ∴△ABE≌△ADF(AAS)．∴AE＝AF. (2) 解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＋∠BAD＝180°. 又∵∠B＝60°，∴∠BAD＝120°. ∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°. 由(1)知△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠DAF＝30°. ∴∠EAF＝120°－30°－30°＝60°. 又∵AE＝AF，∴△AEF是等边三角形．∴∠AEF＝60°. 对接中考 1. 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝CF．求证：AF＝CE. 对接中考 2. 如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F. 若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为____． 1 解：∵四边形ABCD是菱形，OA＝2，OD＝1， ∴AC＝4，BD＝2，OA＝OC，AB∥CD. ∴ S菱形ABCD＝AC·BD＝4，∠OAB＝∠OCD． 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF. ∴S△AOE＝S△COF. ∴S△AOE＋S△DOF＝S△COF＋S△DOF＝S菱形ABCD＝1. 拓展与延伸 A 拓展与延伸 2. 如图，在菱形ABCD中，AC＝4，BD＝2，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE＋BF的最小值为________． 1．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AB，BC边的中点，连接EF，若EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的周长为(　　) A．2 B．4 C．16 D．3 解：∵四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8， ∴OC＝AC，DO＝BD＝4，AC⊥BD，BC＝CD＝5. 在Rt△CDO中，CO＝＝3， ∴AC＝2OC＝6. ∵菱形ABCD的面积为AC·BD＝BC·AE， ∴×6×8＝5AE. ∴AE＝. 4．如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD的对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝8，∠A＝60°，点A的坐标是(　　) A．(－4，4) B．(4，－4) C．(－6，2) D．(6，－2) 解：设AD与y轴交于点E. ∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB. ∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形．∴BD＝AD＝8，∠ADB＝60°. ∵O是菱形ABCD的对角线BD的中点，∴OD＝BD＝4. ∵AD∥x轴，∴∠DEO＝90°.∴∠EOD＝30°.∴DE＝OD＝2. ∴AE＝AD－DE＝6，OE＝＝2.∴A(－6，2)． 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝AC，OB＝BD＝4. ∴∠AOB＝90°. ∵E，F分别是AB，BC边上的中点， ∴EF是△ABC的中位线． ∴AC＝2EF＝6.∴OA＝3. ∴AB＝＝＝5， ∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20； 菱形ABCD的面积＝BD·AC＝×8×6＝24. 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC. ∵AE＝CF， ∴AB－AE＝BC－CF，即BE＝BF. 在△ABF和△CBE中， ∴△ABF≌△CBE(SAS)． ∴AF＝CE. 1．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，E是OB的中点，P是CD的中点，连接PE，则线段PE的长为(　　) A．2 B． C．2 D． 解：如图，取OD的中点H，连接HP. ∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝12， ∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，OB＝OD＝6. ∴∠BOC＝90°. ∵H是OD的中点，E是OB的中点，P是CD的中点， ∴OH＝3，OE＝3，HP＝OC＝2，HP∥AC. ∴EH＝6，∠EHP＝∠BOC＝90°. ∴EP＝＝＝2. 解：如图，设AC与BD交于点O，延长E′E交FD的延长线于点G. ∵菱形ABCD中，AC＝4，BD＝2， ∴AO＝AC＝2，BO＝DO＝BD＝1，AC⊥BD. ∵AC∥MN，EH⊥HB，∴AC⊥GH. ∴易得四边形EOBH是矩形，∴E′H＝EH＝OB＝1. 易知∠EGF＝90°，四边形DOEG是矩形， ∴GD＝EO，GE＝DO＝1. ∴GF＝GD＋DF＝EO＋AE＝AO＝2，GE′＝GE＋EH＋E′H＝3. ∴E′F＝＝＝，即BE＋BF的最小值为. $