21.3.2 菱形的判定 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十一章 四边形 21.3 特殊的平行四边形 21.3.2 菱形 第2课时 菱形的判定 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6. 课堂小结 3. 新课导入 7. 当堂小练 CONTENTS 8. 对接中考 9. 拓展与延伸 2. 知识回顾 5. 知识点2 四条边相等的四边形是菱形 1. 经历菱形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握菱形的判定定理. 2. 能应用菱形的判定解决简单的证明题和计算题,发展推理能力和运算能力. 学习目标 知识回顾 菱形的定义是什么？ 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 菱形有哪些性质？ 边：两组对边平行，四条边都相等； 角：两组对角分别相等，邻角互补； 对角线：两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角. 对称性：菱形是轴对称图形，它的每条对角线所在的直线就是它的对称轴. 新课导入 定义法: 符号语言： 在平行四边形ABCD中， ∵ AB=BC, ∴平行四边形ABCD是菱形. A B D C 菱形的定义既是菱形的性质，又是菱形的判定方法. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 除了此方法，还有没有其他判定方法呢？ 新课讲解 知识点1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 前面我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形.那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 你能证明这一猜想吗？ 猜想 新课讲解 已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ，AC⊥BD. 求证： ▱ABCD是菱形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O ， ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD， ∴BD是线段AC的垂直平分线. ∴BA=BC. ∴ ▱ABCD是菱形（菱形的定义）. A B C O D 新课讲解 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 菱形的判定1： 对角线互相垂直的四边形是菱形吗？ 关键：对角线互相垂直且互相平分！ 符号语言： 在▱ABCD中， ∵ AB=BC, ∴ ▱ABCD是菱形. 新课讲解 例 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE//CF，∴∠1=∠2. ∵EF垂直平分AC ，∴AO=CO， 又∠AOE=∠COF， ∴△AOE≌△COF，∴EO=FO. ∴四边形AFCE是平行四边形. 又AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形. A B D C F E O 1 2 1. 如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形． 1. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为(　　) A．6 B．9 C．12 D．18 新课讲解 练一练 C 新课讲解 练一练 2. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC, BD相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3. 求证：平行四边形ABCD是菱形. D A C B O 证明：∵ AB=5，AO=4，BO=3， ∴+， ∴△AOB是直角三角形， ∴AC⊥BD， ∴ 平行四边形ABCD是菱形. 勾股定理的逆定理 新课讲解 知识点2 四条边相等的四边形是菱形 小刚：分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两条 弧分别相交于点B，D，依次连接A、B、C、D四点. 已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？ C A B D 根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？ 四条边相等的四边形是菱形. 想一想 猜想 新课讲解 证明：∵AB=BC=CD=AD； ∴AB=CD，BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形. A B C D 已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD. 求证：四边形ABCD是菱形. 新课讲解 四条边相等的四边形是菱形. 菱形的判定2： 符号语言： 如图，在四边形 ABCD 中， ∵ AB = BC = CD = AD， ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 新课讲解 例 2. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，点E，F，G，H 分别是AD，BD，BC，AC 的中点. 求证：四边形EFGH 是菱形. 证明：∵点E，H 分别为AD，AC 的中点， ∴ EH 为△ACD 的中位线. ∴ EH＝CD. 同理可得EF＝AB，FG＝CD，HG＝AB. ∵ AB＝CD， ∴ EH＝EF＝FG＝HG. ∴四边形EFGH 是菱形. 新课讲解 例 3. 如图，给出下列各组条件： ① AC⊥BD，OC＝OA； ②∠1＝∠2＝∠3＝∠4； ③ OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD； ④ AB＝BC＝CD，AC⊥BD. 其中一定能判定四边形ABCD 为菱形的有( ) A. 1 组 B. 2 组 C. 3 组 D. 4 组 C 解：①当AC⊥BD，OC＝OA时，不能确定BO是否等于DO，故不能判定四边形ABCD为菱形. ②③④都能判定 四边形ABCD为菱形. 新课讲解 练一练 证明： ∵ ∠1= ∠2， 又∵AE=AC，AD=AD， ∴ △ACD≌ △AED (SAS). 同理△ACF≌△AEF(SAS) . ∴CD=ED，CF=EF. 又∵EF=ED， ∴CD=ED=CF=EF， ∴四边形ABCD是菱形. 3. 如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E、F分别在AB、 AD上，且AE=AC，EF = ED.求证：四边形CDEF是菱形. 2 A C B E D F 1 新课讲解 练一练 C A B D E F G H 4. 如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？ 解：四边形EFGH是菱形，理由如下： 连接AC、BD. ∵点E、F、G、H为各边中点， ∴，， 又∵AC=BD， ∴EF=FG=GH=HE， ∴四边形EFGH是菱形. 归纳 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到四边形是菱形. 新课讲解 四边形 四条边相等 平行四边形 菱形 菱形 对角线互相垂直 一组邻边相等 判定一个四边形是菱形的思路： 菱形 新课讲解 归纳 判定方法 数学语言 图形 边 对角线 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义） 四条边相等的四边形是菱形 ∵平行四边形ABCD中，AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形. ∵四边形ABCD中， AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ∵平行四边形ABCD中，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形 A B D C O ┐ 课堂小结 菱形的判定 有一组邻边相等的平行四边形 对角线互相垂直的平行四边形 四条边相等的四边形 当堂小练 1. 矩形具有而菱形不具有的性质是 ( ) A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等 A 2. 如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是(　　) A．AD＝CD B．AB＝AD C．AC＝BD D．∠BAC＝∠BCA 当堂小练 C 3. 如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，添加下列条件，可以判定四边形EHFG为菱形的是(　　) A．AC＝BD B．AB∥CD C．AD＝BC D．AC⊥BD 当堂小练 C 当堂小练 4. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD垂直平分AC，点E是OB上的一点，且∠AEO＝∠CDO. 求证：四边形AECD是菱形． 当堂小练 5. 按如下步骤作四边形ABCD： ①画∠EAF； ②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D； ③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C； ④连接BC，DC，BD，如图所示. 若∠A＝40°，则∠BDC的度数是( ) A. 64° B. 66° C. 68° D. 70° D 解：根据作图可得AB＝AD＝BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形. ∴AB∥CD，∠BDC＝∠BDA＝∠ADC. ∵∠A＝40°， ∴∠BDC＝∠BDA＝∠ADC＝(180°－∠A)＝70°. 当堂小练 6. 如图，O是▱ABCD对角线的交点，过点O 的直线分别交AD，BC 于点E，F． (1)求证：△ODE ≌△OBF； (2)当EF⊥BD 时，DE＝15 cm，分别连接BE，DF. 求此时四边形BEDF的周长． (1) 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB. ∴∠OED＝∠OFB. ∵O是▱ABCD对角线的交点， ∴OD＝OB. 又∠DOE＝∠BOF， ∴△ODE≌△OBF(AAS)． (2) 解：由(1)得△ODE≌△OBF， ∴DE＝BF. 又DE∥BF， ∴四边形BEDF是平行四边形． 又EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形． ∴DF＝BF＝BE＝DE＝15. ∴DF＋BF＋BE＋DE＝60. ∴四边形BEDF的周长为60 cm. 当堂小练 菱形 对接中考 1. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是BC 边上的中线，点E 在DA 的延长线上，连接BE，过点C作CF∥BE 交AD 的延长线于点F，连接BF，CE. 求证：四边形BECF 是菱形． 证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD垂直平分BC. 又点E，F在直线AD上，∴EB＝EC，FB＝FC. ∵CF∥BE，∴∠BED＝∠CFD，∠EBD＝∠FCD. ∵DB＝DC，∴△EBD≌△FCD(AAS)．∴BE＝FC. ∴EB＝BF＝FC＝EC. ∴四边形BECF是菱形． 对接中考 2. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为( ) A．2 B．6－3 C．2 D.6－6 D 拓展与延伸 1. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，且AF⊥AB，CE⊥CD. (1)求证：△ABF≌△CDE； (2)连接AE，CF，若∠ABD＝30°，请判断四边形AECF的形状，并说明理由． (1) 证明：∵AF⊥AB，CE⊥CD，∴∠BAF＝∠DCE＝90°. ∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDE. ∵BE＝EF＝FD，∴BF＝DE.∴△ABF≌△CDE(AAS)． (2) 解：四边形AECF是菱形．理由如下： 如图．∵△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED. ∴AF∥CE. ∴四边形AECF是平行四边形． ∵∠ABD＝30°，∠BAF＝90°，∴AF＝BF. ∵EF＝DF，∠DCE＝90°，∴CF＝ DE. ∵BF＝DE，∴AF＝CF.∴四边形AECF是菱形． 2. 如图①，△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝a，P点是底边BC上的一个动点，PD∥AC，PE∥AB． (1)用a表示四边形ADPE的周长为________． (2)当点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形？请说明理由． 拓展与延伸 2a 解：当点P运动到BC的中点时，四边形ADPE是菱形．理由如下： 连接AP. ∵PD∥AC，PE∥AB，∴四边形ADPE为平行四边形． ∵AB＝AC，P为BC的中点，∴∠PAD＝∠PAE. ∵PE∥AB，∴∠PAD＝∠APE. ∴∠PAE＝∠APE.∴EA＝EP. ∴四边形ADPE是菱形． 解：当点P运动到∠BAC的平分线上时，四边形ADPE是菱形． (3)如果△ABC不是等腰三角形(如图②)，其他条件不变，当点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形(不必说明理由)？ 证明：∵BD垂直平分AC， ∴OA＝OC，∠DOC＝∠DOA＝∠AOE＝90°. 在△CDO和△AEO中， ∴△CDO≌△AEO(AAS)．∴CD＝AE. ∵∠AEO＝∠CDO，∴CD∥AE. ∴四边形AECD是平行四边形． ∵AC⊥DE，∴▱AECD是菱形． 7. 将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图①；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE，DF，如图②． (1)四边形AEDF的形状是________； (2)当∠BAC＝60°时，＝________． 解：设EF与AD交于点O. ∵∠BAC＝60°，四边形AEDF是菱形， ∴∠EAD＝30°，EF⊥AD，AD＝2OA. ∴OE＝AE，∴OA＝＝＝AE， ∴AD＝AE×2＝AE，∴＝＝. $