专题18 平行四边形中折叠、旋转、线段最值问题的三类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

专题18 平行四边形中折叠、旋转、线段最值问题的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、平行四边形中折叠问题 类型二、平行四边形中旋转问题 类型三、平行四边形中最值问题 压轴专练 类型一、平行四边形中折叠问题 方法总结 1. 折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 2. 平行四边形性质：利用对边平行且相等、对角相等的性质，结合折叠产生的等量关系求解。 解题技巧 1. 标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，以及由平行四边形本身决定的等量关系。 2. 设元列方程：常在折叠后形成的直角三角形或全等三角形中，设未知线段为x，利用勾股定理或全等列方程求解。 例1．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，将沿对角线AC折叠，使点B落在点处，若，则______． 【答案】/123度 【分析】本题主要考查的是平行四边形的性质和折叠的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键． 根据平行四边形的对边平行可知，利用平行线的性质还可求出；结合折叠的性质求出的度数，再在中利用三角形的内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 根据折叠的性质可知， ∵， ∴． ∵在中，，， ∴． 故答案为：． 【变式1-1】（25-26八年级下·全国·期末）如图，将折叠后，点与点重合，点的对应点为，折痕为．若，，，则点到的距离为____________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，设，则，通过平行四边形的性质证明是等腰直角三角形，先根据勾股定理列方程可得的长，最后由三角形面积可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点． 设，则． 由折叠的性质，得． ∵四边形是平行四边形， ， ， 是等腰直角三角形． ， ∴由勾股定理，得． ， ， 解得， ． 的面积， ， ， 即点到的距离为． 【变式1-2】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，点E为边的中点，将沿折叠，边交的延长线于点F，连结，若，，则的长为_________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形性质和翻折问题，全等三角形判定与性质，理勾股定理，解题的关键是掌握翻折的性质和全等三角形判定定理和性质定理．延长交于点G，过点E作于点M，证明，可得，由折叠可得，即可求出，而，知，设，由，列方程可解得，设，则，根据，求出，再根据勾股定理得，从而． 【详解】解：如图，延长交于点G，过点E作于点M， 在中，， ∴， ∵点E是中点， ∴， ∴， ∴， ∵将沿折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由， 设，则， 在 中，， ∴， 解得，即， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25八年级下·广东佛山·期末）综合探究 综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动． 问题初探： （1）如1图，点O是平行四边形纸片对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段折叠，使点C的对应点为，点B与点D重合，猜想和的数量关系，并说明理由； 迁移探究 （2）如2图，连接，与交于点P，猜想和的位置关系，并说明理由； 拓展探索 （3）如3图，若纸片沿过点O的线段折叠，点B不与重合，连接，猜想和的位置关系，并说明理由 【答案】（1），见解析 （2），见解析 （3），见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质： （1）由平行四边形的性质可得，，，推出，，证得，由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差关系，即可得出结论； （2）由折叠的性质可得，，，，结合平行四边形的性质，证得，可得，，进而推出，即可得出结论； （3）分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J，由（1）（2）可得，，，设，可得，证得，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 理由：是对角线的交点， ，，， ，， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：， 理由：纸片沿过点O的线段折叠，点B与点D重合， ，，，， 在中，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 即， ， ， ， ； （3）解：， 分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J， 由（2）得， 在中，， ， 纸片沿过点O的线段折叠， ， ， ， 由（1）得， ， ，， 设， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 类型二、平行四边形中旋转问题 方法总结 1. 旋转性质：旋转前后图形全等，对应点与旋转中心连线所成角为旋转角，对应边相等。 2. 平行四边形性质：利用对边平行且相等、对角线互相平分的性质，结合旋转产生的全等三角形或平行关系求解。 解题技巧 1. 找旋转中心：确定旋转中心后，利用旋转角相等列方程求角度或线段。 2. 构造全等：旋转后常产生全等三角形，利用对应边、角相等转化已知条件。 例2．（24-25八年级下·广东河源·期末）如图1，四边形的对角线，相交于点．直线经过点并绕点旋转，分别与，交于点，．其中，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； (3)如图2，若是老林家的一块平行四边形田地，为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井相邻．请你帮老林家设计一下，画出图形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键是根据平行四边形是中心对称图形的特点，得出过点O的直线平分四边形的面积． （1）证明，即得，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证得结论； （2）先证明，得到，再根据，即可证明结论； （3）由（1）（2）可知，对角线的交点与水井点P的连线所在直线即是满足要求的面积平分线． 【详解】（1）在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， ， ， 即； （3）设计图形如图： 理由：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，只要满足两块地面积相等，且都与水井相邻就可以．由（1）（2）可知，对角线的交点与水井点P的连线所在直线即是满足要求的面积平分线． 【变式2-1】（2026·河南安阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点的坐标分别为，将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则经过第2026次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，平行四边形、矩形的判定和性质，图形规律等知识，根据题意得到，结合图形找出旋转规律即可求解． 【详解】解：∵风车图案的中心为正方形， ∴， 如图所示，作于点， ∴， ∵风车图案的四片叶片为全等的平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，则， ∴， ∵每次旋转， ∴旋转第一次时，点对应点为，点对应点为，则， 旋转第二次时，点对应点为，点对应点为，则， 旋转第三次时，点对应点为，点对应点为，则， 旋转第四次时，点对应点为，点对应点为，则， ∵， ∴经过第2026次旋转后，点的坐标为 ． 【变式2-2】（24-25九年级下·江苏苏州·月考）如图，把平行四边形绕着点A按逆时针方向旋转得到平行四边形，取的中点M、Q，连接．若，，，则线段长度的最大值为______． 【答案】 【分析】取的中点K，过D作于H，连接 ，由，，可得，又，可得，由三角形中位线定理可得，，而中，，故当共线时，最大，最大为． 【详解】解：取的中点K，过D作于H，连接 ，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平行四边形绕着点A按逆时针方向旋转得到平行四边形， ∴， ∵Q为中点，K为中点， ∴， ∵M为中点，K为中点， ∴， 在中，， ∴当共线时，最大，如图： 此时， ∴最大为， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）综合与实践 【问题情境】 如图1，在中，对角线与交于点O，，，，点E为的中点，连接并延长，交于点， （1）判断线段与的数量关系，并说明理由； （2）在图1的基础上，若点G是的中点，连接并延长，交于点H，顺次连接E，G，F，H，得到图2，则四边形的形状是______．并说明理由； 【图形变式】 （3）在图2中，隐去线段与，将四边形绕点O顺时针方向旋转，如图3，当点G，H首次分别落在边上时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），见解析；（2） 平行四边形，见解析；（3） 【分析】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到； （2）根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，由知，根据平行四边形的判定定理得到四边形的形状是平行四边形； （3）如图，连接，过点O作于点，则，根据勾股定理得到，根据平行四边形的性质得到，在中，，，根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理得到，如图3，在中，，于是得到． 【详解】（1）， 证明：在中，，， ，， ， ； （2）四边形的形状是平行四边形， 理由：在中，，， ，， ， ， 由知， 四边形的形状是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （3）如图，连接，过点O作于点，则， 在中，，，， ， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 在图2中，点O，G分别是的中点， 是的中位线． ， 如图3，在中，， ， ． 类型三、平行四边形中最值问题 方法总结 1. 几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及平行四边形对边平行相等的性质求最值。 2. 代数方法：设未知数，将所求量表示为函数（常为一次或二次函数），在自变量取值范围内求最值。 解题技巧 1. 轴对称转化：利用平行四边形对边平行，作对称点将折线转化为直线求最短路径。 2. 勾股定理列式：在平行四边形中构造直角三角形，用勾股定理表示线段长，再求最值。 例3．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，，，，点为边上的一个动点，以、为邻边构造，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】设与交于点，过点作于点，由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，由平行四边形的性质可得，当时，取得最小值，最小值为，即可得出结果． 【详解】解：如图，设与交于点，过点作于点， ， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 当时，取得最小值，最小值为， ∴的最小值为． 【变式3-1】（25-26九年级上·四川巴中·期末）如图，在中，．点H，G分别是边，上的动点，连接，，点E，F分别是，的中点，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，含角的直角三角形，勾股定理； 连接，根据三角形中位线定理可得，可得时，和取最小值，然后求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵点E，F分别是，的中点， ∴， ∴当取最小值时，可取得最小值， ∴当时，和取最小值， ∵在中，， ∴， ∴当时，， 此时， ∴， ∴， 即的最小值是， 故答案为：． 【变式3-2】（25-26九年级下·湖南长沙·月考）如图，在中，，，点为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，，设交于点，则即为的最小值，由轴对称的性质可得：，，在中，根据勾股定理可得，即，所以，则，然后通过勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，设交于点， 则即为的最小值， 由轴对称的性质可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理可得：，即， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， ∴的最小值为． 【变式3-3】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，点，分别是线段，上的动点（点不与点重合），且，连接，，则的最小值为___． 【答案】 【分析】先运用勾股逆定理得出，再证明，故，当点与点重合时，则的值最小，且为，根据平行线之间距离处处相等则，，结合等面积法进行计算，根据勾股定理得，，即可作答． 【详解】解：在的下方，作，且，连接交于点，如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 则， ∴， 当点与点重合时，则的值最小，且为， 过点C作直线交于点H，再过点F作直线于点N，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴（平行线之间距离处处相等）， 同理得， 依题意，， 则， ∴， 在中，， ∴， 即， 在中，， 即的值最小值为， 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在中，，将沿对角线折叠得到，与交于点F，当F恰好为的中点时，的面积为（    ） A．30 B．60 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，由平行四边形的性质得到，由折叠得，证明，推出，进而得出，求得的长，根据平行四边形的面积公式求面积即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠得， ， ， ∵F为的中点， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴平行四边形的面积为． 故选：D． 2．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，，．点在边上，点在的延长线上，连接，，且．则下列结论错误的是（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．周长的最小值为 【答案】C 【分析】根据含角直角三角形的性质结合勾股定理先求出、的长，由等量代换可求得的长，最后根据垂线段最短结合三角形的面积公式确定最小值，即可判断A选项；当取最大值时，则取最大值，当与重合时，取最大值，解直角三角形即可判断B选项；以为一边作，过作交于，当，，三点共线，且时，取最小值，解直角三角形即可判断C选项；过作，过作，与相交于，作关于的对称点，分别连接，，，与交于，当，，三点共线时，最小值，解直角三角形即可判断D选项． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， 当取最小值时，则取最小值，当时，取最小值， 此时， ，解得， 的最小值为， 的最小值为，故A结论正确，不符合题意； 当取最大值时，则取最大值，当与重合时，取最大值． 如图，作于， ， ，解得， ， ， 在中，， 的最大值为， 的最大值为，故B结论正确，不符合题意； 如图，以为一边作，过作交于， ，， ， 当，，三点共线，且时，取最小值， ， ， ， 的最小值为，故C结论错误，符合题意； 如图，过作，过作，与相交于， 作关于的对称点，分别连接，，，与交于， 则，，，四边形是平行四边形， ，， ， ， 当，，三点共线时，最小值，最小值为， 的周长的最小值为，故D结论正确，不符合题意． 二、填空题 3．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，平行四边形中，，，，E，F分别是边，上的动点，且，则的最小值为_______． 【答案】7 【分析】延长，截取，连接，，过点A作于点H，证明，得出，说明当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，求出结果即可． 【详解】解：延长，截取，连接，，过点A作于点H，如图所示： ∵四边形为平行四边形，，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 即的最小值为7． 4．（25-26八年级下·辽宁鞍山·月考）同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为．改变E点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，则的长是______． 【答案】或或 【分析】分和两种情况，分别作出相应图形，进行讨论求解即可． 【详解】解：①当时，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴； 如图，当重合时，记，的交点为， ∵当时，， ∴，而， ∴， ∴当重合时，， 由折叠可得：； ②当时，如图，设与交于点，作， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：的长是或或． 三、解答题 5．（2026·河北秦皇岛·一模）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，与交于点． (1)求证：； (2)若平行四边形的对角线与的交点为点，连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由折叠得，，由四边形是平行四边形得，，即可得，，结合对顶角即可证明； （2）由得，由平行四边形的对角线与的交点为点得为中点，由等腰三角形三线合一可得为中边上的高，即可证明． 【详解】（1）证明：由折叠得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵平行四边形的对角线与的交点为点， ∴为中点， ∴为中边上的高， ∴． 6．（24-25八年级下·江西抚州·期末）如图，在中，，对角线相交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于点． （1）当旋转角为时，如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）在旋转过程中，线段与是否总保持相等，并说明理由； （3）在旋转过程中，当时，如图2 ①求出此时绕点顺时针旋转的锐角度数； ②直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）线段与总保持相等，理由见解析；（3）①；②． 【分析】(1)证ABEF，又AE BF，可证四边形ABFE是平行四边形； (2)根据ASA证△AOE△COF，即可得证OE = OF； (3)①根据AB = 1，BC =，可得AO= AB，即∠ABO =∠AOB = 45°，又∠BOE = 90°，可得旋转角为45°； ②过点A作AMBO，交BO于点M，交BC于点N，取OF的中点H，连接MH，证四边形AMHE是平行四边形，得EH=AM=BO=，又OE = OF= 2OH，可得． 【详解】解：证明：由题可知，， 又四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形；    （2）线段与总保持相等，理由如下： 四边形是平行四边形， 又 ， ；                   （3）①在中，， ， ， ， 即旋转的度数为，       ②．          如图，过点作交于点， 交于点，取的中点，连接． 由（3）①可知， 又点为中点， 为中位线， ， 四边形是平行四边形， ∴， 又 ∴． 7．（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）（1）如图1，平行四边形，，，，、分别为、上的点，且，四边形的面积与有关，当有最 值(填“大”、“小”)时，四边形的面积有最 值(填“大”、“小”)． （2）如图2，，且，连接，则的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 问题解决 （3）如图3，在四边形中，，对角线交于，已知，且，则与的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值． 【答案】（1）小，大；（2）存在，；（3）不是，周长之和的最小值为15 【分析】（1）先求出平行四边形的面积，利用面积和差关系可得四边形的面积，则当有最小值时，四边形的面积有最大值，即可求解； （2）在中，由勾股定理可求的长，由线段的和差关系可求解； （3）如图3，过点作，交的延长线于，过点作于，可证四边形是平行四边形，可，，则与的周长之和为，由直角三角形的性质可求的长，即可求解． 【详解】解：（1）过点作，交延长线于，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形， ，，，， ，， ， ，， ，， 四边形的面积， ， ， ∴ 四边形的面积 ， 四边形的面积， 则当有最小值时，四边形的面积有最大值， 故答案为：小，大； （2）存在， 设， ， ， ， 的周长， 当时，的周长的最小值为； （3）与的周长之和不是定值， 理由如下：如图3，过点作，交的延长线于，过点作于， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 与的周长之和不是定值， 当时，与的周长之和的最小值为15． 8．（2026·江苏无锡·一模）问题情景：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在中，，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明； (1)独立思考：请解答老师提出的问题； (2)实践探究：梦之队小组受此问题的启发，将沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明； (3)问题解决：智慧小组突发奇想，将沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点A′，使于点H，连接，交CD于点N，若此的面积为20，边长AB=5，BC=，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积． 【答案】(1)，见解析； (2)，证明见解析； (3)图中阴影部分的面积为． 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，翻折变换，平行线分线段成比例定理，解直角三角形．解题核心是利用平行四边形对边平行且相等的特性，结合折叠的“全等性”转化线段与角度关系，再通过勾股定理、三角函数等工具计算线段长度与面积． （1） 要确定 与 的数量关系，可通过构造辅助线，结合平行四边形对边平行且相等、直角三角形斜边中线性质来推导； （2） 判断 与 的数量关系，需利用折叠性质（对应边、角相等），结合平行四边形对边平行且相等，证明相关四边形为平行四边形或三角形为等腰三角形； （3） 求阴影部分面积，先由平行四边形面积公式求高，再通过勾股定理、三角函数、折叠性质确定各线段长度，进而计算三角形面积差得到阴影面积． 【详解】（1）（1）解：． 证明：如图中，过点作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）（2）解：． 证明：如图中，连接， ∵是由翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）（3）如图中，过点作于，过点作于． ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， 设则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题18平行四边形中折叠、旋转、线段最值问题 的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、平行四边形中折叠问题 类型二、平行四边形中旋转问题 类型三、平行四边形中最值问题 压轴专练 典例详解 类型一、平行四边形中折叠问题 方法总结 1. 折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 2.平行四边形性质：利用对边平行且相等、对角相等的性质，结合折叠产生的等量关系求解。 解题技巧 1.标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，以及由平行四边形本身决定的等量关系。 2.设元列方程：常在折叠后形成的直角三角形或全等三角形中，设未知线段为x,利用勾股定理或全等 列方程求解。 例1.(24-25八年级下湖南邵阳期末)如图，将▣ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B处，若 ∠1=∠2=38°，则∠B= B 【变式1-1】(25-26八年级下·全国期末)如图，将口ABCD折叠后，点B与点D重合，点A的对应点为A, 折痕为EF.若LB=45°，AB=42,AD=8,则点C到DF的距离为 1/9 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B 【变式1-2】(24-25八年级下·浙江宁波期末)如图，在口ABCD中，点E为边CD的中点，将ADE沿AE 折叠，边AD交BC的延长线于点F,连结EF,若AD=5,CF=1,AE=√5EF,则AB的长为 D B 【变式1-3】(24-25八年级下广东佛山期末)综合探究 综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动. 问题初探： (1)如1图，点O是平行四边形纸片ABCD对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段EF折叠，使点C的 对应点为C,点B与点D重合，猜想AE和CF的数量关系，并说明理由： A C 1图 迁移探究 (2)如2图，连接AC',与BD交于点P,猜想AC'和EF的位置关系，并说明理由： D B C 2图 拓展探索 (3)如3图，若纸片沿过点O的线段EF折叠，点B不与D重合，连接AC',猜想AC'和EF的位置关系， 并说明理由 2/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 3图 类型二、平行四边形中旋转问题 方法总结 1.旋转性质：旋转前后图形全等，对应点与旋转中心连线所成角为旋转角，对应边相等。 2.平行四边形性质：利用对边平行且相等、对角线互相平分的性质，结合旋转产生的全等三角形或平行 关系求解。 解题技巧 1.找旋转中心：确定旋转中心后，利用旋转角相等列方程求角度或线段。 2.构造全等：旋转后常产生全等三角形，利用对应边、角相等转化已知条件。 例2.(24-25八年级下·广东河源期末)如图1，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点0.直线1经过 点O并绕点O旋转，分别与AD,BC交于点E,F.其中∠BAC=LDCA,OA=OC. D F 图1 图2 (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； (2)求证：S西边形AEFB=S四边形DEFC; (3)如图2，若▣ABCD是老林家的一块平行四边形田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为 了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻.请你帮老林家设计一下，画出图形，并说明理由. 【变式2-1】(2026河南安阳一模)如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为 全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A,C的坐标分别为1,0)，0,4)，将风车绕点0顺时针旋转，每次 旋转90°，则经过第2026次旋转后，点D的坐标为() 3/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.（-3,1 B.（-1,-3 C.(-3,-1 D.1,3 【变式2-2】(24-25九年级下·江苏苏州月考)如图，把平行四边形ABCD绕着点A按逆时针方向旋转得到 平行四边形AEFG,取BE、AG的中点M、Q,连接MQ.若AD=8,AB=10√2，∠BAD=45°，则线段 MQ长度的最大值为 D M B 【变式2-3】(24-25八年级下·辽宁沈阳期末)综合与实践 【问题情境】 如图1，在口ABCD中，对角线AC与BD交于点O,∠BAC=90°，∠ABC=60°，AB=2,点E为AB的中 点，连接EO并延长，交CD于点F, (1)判断线段OE与OF的数量关系，并说明理由； (2)在图1的基础上，若点G是BC的中点，连接GO并延长，交AD于点H,顺次连接E,G,F,H,得 到图2，则四边形EGFH的形状是·并说明理由； 【图形变式】 (3)在图2中，隐去线段EF与GH,将四边形EGFH绕点O顺时针方向旋转，如图3，当点G,H首次 分别落在边AD,BC上时，请直接写出线段AG的长. 4/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G 图1 图2 图3 类型三、平行四边形中最值问题 方法总结 1.几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及平行四边形对边平行相等的性质求最值。 2.代数方法：设未知数，将所求量表示为函数（常为一次或二次函数），在自变量取值范围内求最值。 解题技巧 1.轴对称转化：利用平行四边形对边平行，作对称点将折线转化为直线求最短路径。 2.勾股定理列式：在平行四边形中构造直角三角形，用勾股定理表示线段长，再求最值。 例3.(25-26八年级下·江苏徐州期中)如图，在口ABCD中，∠B=60°，AB=3,BC=2,点E为边AB上 的一个动点，以EC、ED为邻边构造CEDF,连接EF,则EF的最小值为一· D C 【变式3-1】(25-26九年级上四川巴中期末)如图，在口ABCD中，∠B=120°，CD=4.点H,G分别是 边AB,BC上的动点，连接DH,HG,点E,F分别是DH,HG的中点，连接EF,则EF的最小值为 B G 【变式3-2】(25-26九年级下·湖南长沙月考)如图，在口ABCD中，AB=5,BC=7,点E为直线BC上 一动点，连接AE,DE,若∠ABC=45°，则AE+DE的最小值为· 5/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B E 【变式3-3】25-26八年级上福建泉州期未)如图，在ABC中，∠4CB=90,4B=25，,BC= 16 6点 D,E分别是线段BC,AB上的动点（点D不与点C重合），且CD=AE,连接AD,CE,则AD+CE的 最小值为· B 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级下·全国·期末)如图，在口ABCD中，AB=6,AD=8,将△ACD沿对角线AC折叠得到 △ACE,AE与BC交于点F,当F恰好为BC的中点时，口ABCD的面积为() A D A.30 B.60 c.67 D.127 2.(2026安微阜阳·一模)如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1.点D在AB边上，点E在 AB的延长线上，连接CD,CE,且AD=BE.则下列结论错误的是() D B A.CD+DE的最小值为)+2 B.CE-DE的最大值为√7-2 6/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .CD+AD的最小值为3 D.△CDE周长的最小值为V7+2 2 二、填空题 3.(25-26八年级下·江苏泰州月考)如图，平行四边形ABCD中，∠B=60°，AB=3,AD=5,E,F分别 是边CD,AD上的动点，且CE=DF,则AE+CF的最小值为 D 4.(25-26八年级下·辽宁鞍山月考)同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动.在平行四边 形纸片ABCD中，已知AB=10,AD=4√0，口ABCD的面积为120.点E为BC边上任意一点，将△ABE 沿AE折叠，点B的对应点为B,改变E点的位置，将△ABE沿AE折叠，连接B'C,当BCB'为直角三角 形时，则B'C的长是 A 三、解答题 5.(2026河北秦皇岛一模)如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的点F处， BF与CD交于点G, D G B (I)求证：△BCG≌aDFG; (2)若平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点为点E,连接EG,求证：EG⊥BD. 6.(24-25八年级下·江西抚州期末)如图，在口ABCD中，AB=1,BC=V5,∠BAC=90°，对角线AC,BD相 交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交AD,BC于点E,F. 7/9 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E/ /F 图1 (1)当旋转角为90°时，如图1，求证：四边形ABFE是平行四边形； (2)在旋转过程中，线段OE与OF是否总保持相等，并说明理由； (3)在旋转过程中，当EB=ED时，如图2 A E B 图2 ①求出此时AC绕点O顺时针旋转的锐角度数； ②直接写出OE的值. 7.(24-25八年级下.宁夏中卫期末)(1)如图1，平行四边形ABCD,∠ABC=60°，AB=3,BC=5,M、 N分别为AD、DC上的点，且DM+DN=4,四边形BMDN的面积与DM有关，当DM有最_值（填“大”、 “小)时，四边形BMDN的面积有最_值（填“大”、“小）. (2)如图2，∠ACB=90°，且AC+BC=4,连接AB,则ABC的周长是否存在最小值？若存在，求出最 小值；若不存在，说明理由 问题解决 (3)如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC,对角线AC交BD于O,已知∠AOB=120°，且AC+BD=10, 则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值. D A M B 图1 图2 图3 8/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8.(2026江苏无锡一模)问题情景：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在。ABCD中， BE⊥AD,垂足为E,F为CD的中点，连接EF,BF,试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明； D D M E B G 图① 图② 图③ (1)独立思考：请解答老师提出的问题： (②)实践探究：梦之队小组受此问题的启发，将。ABCD沿着BF(F为CD的中点)所在直线折叠，如图②， 点C的对应点为C,连接DC并延长交AB于点G,请判断AG与BG的数量关系，并加以证明； (3)问题解决：智慧小组突发奇想，将口ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点A',使 AB⊥CD于点H,连接AM,交CD于点N,若此aABCD的面积为20，边长AB=5,BC8W5,求图中 3 阴影部分（四边形BHM)的面积. 9/9