山东烟台市牟平区2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷（五四制）

**基本信息** 七年级期中数学试卷立足基础，通过概率试验数据、几何折叠推理、古代算题与体育采购等情境，考查数据意识、推理能力及模型观念，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|概率、平行线判定、方程组|用试验数据估计概率（第3题），古代算题建模（第11题）| |填空题|6/18|命题改写、二元一次方程|角平分线命题改写（第13题），折叠性质计算（第18题）| |解答题|7/66|几何证明、函数综合|体育采购方案设计（第25题），一次函数与面积探究（第26题）|

山东省烟台市牟平区2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷（五四学制） 一、选择题：（共12个小题，每小题3分，满分36分。每小题都给出标号A、B、C、D的、四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑。） 1．（3分）在下列事件中，不可能事件是（　　） A．13名同学中一定有两人的出生月份相同 B．掷两枚相同正方体骰子，点数之和为14 C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中9环 2．（3分）下列命题： ①不相交的两条直线平行； ②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； ③垂直于同一条直线的两直线互相垂直； ④同旁内角互补． 其中真命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（3分）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（　　） A．0.52 B．0.55 C．0.58 D．0.63 4．（3分）直角三角形两锐角的差是20°，则较大的锐角度数是（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 5．（3分）如图，AB∥CD，EC平分∠AEF，若∠C＝60°，则∠EFD的度数为（　　） A．135° B．130° C．125° D．120° 6．（3分）如图，不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠B＝∠DCE B．∠A＝∠ACD C．∠B+∠BCD＝180° D．∠A＝∠DCE 7．（3分）一个不透明的袋子中，装有5个白球、1个黑球和若干个红球，这些球除颜色外都完全相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（3分）若方程组的解与方程x﹣y＝0的一组解相同，则k为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 9．（3分）如图，正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，米粒随机地落在如图所示的正方形地板上，那么米粒最终停留在黑色三角形区域的概率是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，直线CF∥DE，∠A＝30°，∠ACB＝90°．若∠2＝41°，则∠1等于（　　） A．19° B．18° C．16° D．20° 11．（3分）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个上，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 12．（3分）在3□2□的方格中填入适当的数字，使组成的四位数是同时能被3和5整除的数中最大的一个，则这个数是（　　） A．3325 B．3420 C．3825 D．3975 二.填空题（每题3分，共18分） 13．（3分）将命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”改写成“如果…那么…”的形式为　 　 ． 14．（3分）关于x，y的方程ax|b|﹣2+（b+3）ya+2＝3是二元一次方程，则ab＝　 　 ． 15．（3分）小明同学抛一枚质地均匀的硬币10次，其中6次正面朝上，4次反面朝上，则第11次抛该硬币反面朝上的概率为　 　 ． 16．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和y＝mx+n相交于点A（﹣2，c），若直线y＝﹣x也经过点A，则关于x，y的方程组的解是　 　 ． 17．（3分）如图，在下列五组条件中： ①∠5＝∠1， ②∠6＝∠2， ③∠EBA＝∠3+∠4， ④∠ABE+∠ABC＝180°， ⑤∠DAB+∠ABC＝180°． 能判断AB∥CD的有　 　 ．（填写序号） 18．（3分）如图，E、F分别是长方形纸片ABCD边AD、BC上的两点，沿EF折叠，点D恰好落在点B处，点C落在C′处，∠ABE＝22°，则∠EFC′＝　 　 ． 三.解答题（满分66分） 19．（6分）（1）若（3x+2y﹣19）2+|2x+y﹣11|＝0，求x+y的平方根； （2）解方程组：． 20．（6分）如图，AB∥GE，AG∥BC，∠1＝∠2． （1）DE与AC的位置关系如何？为什么？ （2）∠B与∠G相等吗？说明理由． 21．（8分）在数学实践活动课上，小明和小红玩转盘游戏，分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成3等份）． （1）转动转盘②时，求该转盘停止指针指向“4”或“5”的概率； （2）若同时转动两个转盘，规定：转盘停止指针指向的两个数字之和为奇数时小明获胜；两个数字之和为偶数时小红胜．你觉得此游戏对双方是否公平？请说明理由．若不公平，请你设计一个对双方都公平的游戏规则． 22．（8分）如图，已知AB∥CD，E，H分别是直线AB，CA上的一点，CE平分∠ACD，射线FC⊥CE，∠1＝29°． （1）求∠HAE的度数； （2）若∠2＝61°，请判断CF与AG是否互相平行，并说明理由． 23．（8分）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”． （1）任意掷这枚骰子，掷出“6”的概率是多少？ （2）任意掷这枚骰子，掷出“3的倍数”的概率是多少？ （3）任意掷这枚骰子，掷出“奇数”和掷出“偶数”的概率哪个大？ 24．（10分）如图，AB∥CD，直线EF分别与直线AB，CD相交于点E，F，M是AB和CD之间的一点，N在CD上，连接ME、MN，∠FEM＝∠EFD． （1）求证：EF平分∠AEM； （2）延长EM交CD于点G，当∠EGF＝50°时，求∠AEF的度数； （3）在（2）条件下，当MG＝　 　 时，MN∥EF． 25．（10分）“文明其精神，野蛮其体魄”，为进一步提升学生的健康水平，我市某校计划用760元购买14个体育用品，备选体育用品及单价如表： 备选体育用品 足球 篮球 排球 单价（元） 80 60 40 （1）若760元全部用来购买足球和排球，求足球和排球各购买的数量． （2）若该校先用一部分资金购买了a个排球，再用剩下的资金购买了足球和篮球，且篮球和足球的个数相同，此时正好剩余80元，求a的值． （3）由于篮球和排球都不够分配，该校再补充采购这两种球共花费了480元，其中这两种球都至少购进2个，则有几种补购方案？ 26．（10分）如图所示，直线l1：y＝2x+1与y轴交于点A，直线l2与y轴，x轴分别交于点B，点C，l1与l2交于点D（1，m），连接OD，已知OC的长为4． （1）求点D的坐标及直线l2的表达式． （2）在直线l2上是否有一点P，使得S△APB＝2S△AOD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 山东省烟台市牟平区2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷（五四学制） 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A B C D D C D B A C 题号 12 答案 C 一、选择题：（共12个小题，每小题3分，满分36分。每小题都给出标号A、B、C、D的、四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑。） 1．（3分）在下列事件中，不可能事件是（　　） A．13名同学中一定有两人的出生月份相同 B．掷两枚相同正方体骰子，点数之和为14 C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中9环 【答案】B 【分析】根据不可能事件的定义，对各选项逐一分析判断即可． 【解答】解：A、13名同学中一定有两人的出生月份相同，是必然事件，故本选项不符合题意； B、掷两枚相同正方体骰子，点数之和为14，是不可能事件，故本选项符合题意； C、任意画一个圆，它是轴对称图形，是必然事件，故本选项不符合题意； D、射击运动员射击一次，命中9环，是随机事件，故本选项不符合题意， 故选：B． 【点评】本题主要考查了随机事件，必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2．（3分）下列命题： ①不相交的两条直线平行； ②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； ③垂直于同一条直线的两直线互相垂直； ④同旁内角互补． 其中真命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】由平行线的概念，平行公理，同旁内角的概念，平行线的性质，即可判断． 【解答】解：①在同一平面内，不相交的两条直线平行，故①不符合题意； ②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确，故②符合题意； ③在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，而不是垂直，故③不符合题意； ④两直线平行，同旁内角互补，故④不符合题意． ∴其中真命题有1个． 故选：A． 【点评】本题考查命题与定理，垂线，同位角、内错角、同旁内角，平行公理及推论，平行线的性质，关键是掌握平行线的概念，平行公理，同旁内角的概念，平行线的性质． 3．（3分）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（　　） A．0.52 B．0.55 C．0.58 D．0.63 【答案】B 【分析】利用频率估计概率求解即可． 【解答】解：抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55， 故选：B． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 4．（3分）直角三角形两锐角的差是20°，则较大的锐角度数是（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【答案】C 【分析】根据直角三角形的两锐角互余列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：设较大的锐角度数x°，则较小的锐角度数为x°﹣20°， 由题意得：x+x﹣20＝90， 解得：x＝55， ∴较大的锐角度数为55°， 故选：C． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 5．（3分）如图，AB∥CD，EC平分∠AEF，若∠C＝60°，则∠EFD的度数为（　　） A．135° B．130° C．125° D．120° 【答案】D 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：由题知， ∵AB∥CD，∠C＝60°， ∴∠AEC＝∠C＝60°． ∵EC平分∠AEF， ∴∠AEF＝2∠AEC＝120°． ∵AB∥CD， ∴∠EFD＝∠AEF＝120°． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 6．（3分）如图，不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠B＝∠DCE B．∠A＝∠ACD C．∠B+∠BCD＝180° D．∠A＝∠DCE 【答案】D 【分析】利用平行线的判定方法一一判断即可． 【解答】解：由∠B＝∠DCE，根据同位角相等两直线平行，即可判断AB∥CD． 由∠A＝∠ACD，根据内错角相等两直线平行，即可判断AB∥CD． 由∠B+∠BCD＝180°，根据同旁内角互补两直线平行，即可判断AB∥CD． 故A，B，C不符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7．（3分）一个不透明的袋子中，装有5个白球、1个黑球和若干个红球，这些球除颜色外都完全相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】概率公式可得球的总数，进而得出红球的个数． 【解答】解：球的总数为：5÷＝10（个）， ∴红球的个数为：10﹣5﹣1＝4（个）， 故选：C． 【点评】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键． 8．（3分）若方程组的解与方程x﹣y＝0的一组解相同，则k为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】联立3x+2y＝10与x﹣y＝0，解得x＝2，y＝2．将x＝2，y＝2代入（k﹣1）x＝6﹣ky，解得k＝2． 【解答】解：方程组的解与方程x﹣y＝0的一组解相同， 可得新方程组：， ①+②×2：5x＝10，得：x＝2； 将x＝2代入②得：y＝2， 将x＝2、y＝2代入（k﹣1）x＝6﹣ky得： 2（k﹣1）＝6﹣2k， 解得：k＝2． 故选：D． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键求出先求出x、y． 9．（3分）如图，正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，米粒随机地落在如图所示的正方形地板上，那么米粒最终停留在黑色三角形区域的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出黑色三角形区域所占的面积的比值即可解决问题； 【解答】解：设小正方形的边长为1，则黑色三角形区域的面积为＝3，地板的总面积为9×1＝9， ∴米粒最终停留在黑色三角形区域的概率是＝． 故选：B． 【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 10．（3分）如图，直线CF∥DE，∠A＝30°，∠ACB＝90°．若∠2＝41°，则∠1等于（　　） A．19° B．18° C．16° D．20° 【答案】A 【分析】由三角形内角和定理得出∠ADE＝109°，根据平行线的性质得∠ADE＝∠ACF＝109°，由直角三角板的性质可知∠ACF＝90°+∠1，据此即可得出结论． 【解答】解：∵∠ADE+∠2+∠A＝180°，∠A＝30°，∠2＝41°， ∴∠ADE＝180°﹣30°﹣41°＝109°， ∵CF∥DE， ∴∠ADE＝∠ACF＝109°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACF＝90°+∠1， ∴∠1＝19°， 故选：A． 【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，关键是平行线性质定理的应用． 11．（3分）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个上，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，列出关于x、y的二元一次方程组即可． 【解答】解：由题意得：， 故选：C． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 12．（3分）在3□2□的方格中填入适当的数字，使组成的四位数是同时能被3和5整除的数中最大的一个，则这个数是（　　） A．3325 B．3420 C．3825 D．3975 【答案】C 【分析】能被5整除的数的个位数字是0或5，为使四位数最大，优先考虑个位填5（若填0，后续百位数字需更小才能满足被3整除，无法得到最大数），能被3整除的数的各位数字之和是3的倍数．已知个位是5，千位是3，十位是2，设百位数字为x，则各位数字之和为3+x+2+5＝10+x．要使10+x是3的倍数，且x为0到9的整数，当x＝8时，10+8＝18，18是3的倍数，此时这个数为3825． 【解答】解：能被5整除的数个位是0或5，要使数最大，优先选5， 各位数字和：3+2+5＝10， 要使百位数字是3的倍数，且百位数字最大．10+8＝18（18是3的倍数），所以百位填8． 组成的数：3825． 故选：C． 【点评】要使四位数3□2□同时能被3和5整除，需结合能被5整除的数的特征确定个位数字，再结合能被3整除的数的特征确定百位数字，从而找到最大的符合条件的数． 二.填空题（每题3分，共18分） 13．（3分）将命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”改写成“如果…那么…”的形式为　如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等　 ． 【答案】如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等． 【分析】首先要分清原命题的题设与结论，题设是角平分线上的点，可改为点在角平分线上，如此答案可得． 【解答】解：根据原命题的题设与结论可知： 如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等． 故答案为：如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等． 【点评】本题考查了角平分线的性质及命题的改写问题．找准原命题的题设与结论是正确解答本题的关键． 14．（3分）关于x，y的方程ax|b|﹣2+（b+3）ya+2＝3是二元一次方程，则ab＝　﹣1　 ． 【答案】﹣1 【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 【解答】解：根据题意得：， 解得：b＝3或﹣3（舍去），a＝﹣1， 则ab＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 15．（3分）小明同学抛一枚质地均匀的硬币10次，其中6次正面朝上，4次反面朝上，则第11次抛该硬币反面朝上的概率为　　 ． 【答案】． 【分析】根据抛硬币正面朝上与反面朝上出现的可能性即可求解． 【解答】解：抛一枚硬币，正面朝上与反面朝上出现的可能性相同， 所以抛正面朝上的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查了概率公式，正确理解概率的意义是解题的关键． 16．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和y＝mx+n相交于点A（﹣2，c），若直线y＝﹣x也经过点A，则关于x，y的方程组的解是　　 ． 【答案】． 【分析】方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【解答】解：∵直线y＝﹣x经过点A（﹣2，c）， ∴c＝2， ∵一次函数y＝kx+b和y＝mx+n相交于点（﹣2，2）， ∴关于x，y的方程组的解是． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 17．（3分）如图，在下列五组条件中： ①∠5＝∠1， ②∠6＝∠2， ③∠EBA＝∠3+∠4， ④∠ABE+∠ABC＝180°， ⑤∠DAB+∠ABC＝180°． 能判断AB∥CD的有　①③　 ．（填写序号） 【答案】①③． 【分析】利用平行线判定方法逐一进行判定即可． 【解答】解：①∵∠1＝∠5， ∴AB∥CD，正确，符合题意； ②∵∠2＝∠6， ∴AD∥BC，不能判定AB∥CD，不符合题意； ③∵∠ABE＝∠3+∠4， ∴AB∥CD，正确，符合题意； ④由∠ABE+∠ABC＝180°，∠ABE和∠ABC是邻补角，不是同旁内角，不能推出AB∥CD，不符合题意； ⑤∵∠DAB+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC，不能推出AB∥CD，不符合题意． 所以能判断AB∥CD的有①③， 故答案为：①③． 【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线判定的方法． 18．（3分）如图，E、F分别是长方形纸片ABCD边AD、BC上的两点，沿EF折叠，点D恰好落在点B处，点C落在C′处，∠ABE＝22°，则∠EFC′＝　124°　 ． 【答案】124°． 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：由题知， ∵四边形ABCD是长方形， ∴∠ABC＝90°． ∵∠ABE＝22°， ∴∠EBC＝90°﹣22°＝68°． ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC＝68°， ∴∠BED＝180°﹣68°＝112°． 由折叠可知，∠DEF＝∠BED＝56°． ∵AB∥CD， ∴∠DEF+∠EFC＝180°， ∴∠EFC＝180°﹣56°＝124°． 由折叠可知，∠EFC′＝∠EFC＝124°． 故答案为：124°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 三.解答题（满分66分） 19．（6分）（1）若（3x+2y﹣19）2+|2x+y﹣11|＝0，求x+y的平方根； （2）解方程组：． 【答案】（1）±2； （2）． 【分析】（1）根据绝对值及偶次幂的非负性易得3x+2y﹣19＝0，2x+y﹣11＝0，将它们作差后求得x+y的值，最后求得其结果的平方根即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：（1）若（3x+2y﹣19）2+|2x+y﹣11|＝0， ∵（3x+2y﹣19）2≥0，|2x+y﹣11|≥0， ∴3x+2y﹣19＝0，2x+y﹣11＝0， 即3x+2y＝19①，2x+y＝11②， ①﹣②得：x+y＝8， 那么x+y的平方根是±2； （2）， ①﹣②得：3z＝18， 解得：z＝6， ①+③得：2y＝20， 解得：y＝10， 将y＝10，z＝6代入①得：x+10+6＝13， 解得：x＝﹣3， 故原方程组的解为． 【点评】本题考查解三元一次方程组，绝对值及偶次幂的非负性，平方根，熟练掌握解方程组的方法及相关性质是解题的关键． 20．（6分）如图，AB∥GE，AG∥BC，∠1＝∠2． （1）DE与AC的位置关系如何？为什么？ （2）∠B与∠G相等吗？说明理由． 【答案】（1）DE∥AC，理由见解答； （2）∠B＝∠G，理由见解答． 【分析】（1）利用平行线的性质可得∠1＝∠DEG，然后利用等量代换可得∠DEG＝∠2，从而利用同位角相等，两直线平行可得DE∥AC，即可解答； （2）先利用平行线的性质可得∠B＝∠GEC，∠G＝∠GEC，然后利用等量代换可得∠B＝∠G，即可解答． 【解答】解：（1）DE∥AC， 理由：∵AB∥GE， ∴∠1＝∠DEG， ∵∠1＝∠2， ∴∠DEG＝∠2， ∴DE∥AC； （2）∠B＝∠G， 理由：∵AB∥GE（已知）， ∴∠B＝∠GEC（两直线平行，同位角相等）， ∵AG∥BC（已知）， ∴∠G＝∠GEC（两直线平行，同位角相等）， ∴∠B＝∠G（等量代换）． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 21．（8分）在数学实践活动课上，小明和小红玩转盘游戏，分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成3等份）． （1）转动转盘②时，求该转盘停止指针指向“4”或“5”的概率； （2）若同时转动两个转盘，规定：转盘停止指针指向的两个数字之和为奇数时小明获胜；两个数字之和为偶数时小红胜．你觉得此游戏对双方是否公平？请说明理由．若不公平，请你设计一个对双方都公平的游戏规则． 【答案】（1）； （2）此游戏对双方不公平，理由如下： 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两个数字之和为奇数的结果有5种，两个数字之和为偶数的结果有4种， ∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为， ∵≠， ∴小明获胜的概率≠小红获胜的概率， ∴此游戏对双方不公平； 设计公平的游戏规则如下（答案不唯一）： 规定：转盘停止指针指向的两个数字之和为6时小明获胜；两个数字之和为8时小红获胜；两个数字之和为奇数时平局； 理由：由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中两个数字之和为6的结果有2种，两个数字之和为8的结果有2种， ∴小明获胜的概率＝小红获胜的概率＝，此游戏对双方公平． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中两个数字之和为奇数的结果有5种，两个数字之和为偶数的结果有4种，再由概率公式求出小明获胜的概率≠小红获胜的概率，得出此游戏对双方不公平；设计公平的游戏规则只要小明获胜的概率＝小红获胜的概率即可． 【解答】解：（1）∵转盘②被分成3等份，分别标有数字4，5，6， ∴转动转盘②时，该转盘停止指针指向“4”或“5”的概率为； （2）此游戏对双方不公平，理由如下： 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两个数字之和为奇数的结果有5种，两个数字之和为偶数的结果有4种， ∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为， ∵≠， ∴小明获胜的概率≠小红获胜的概率， ∴此游戏对双方不公平； 设计公平的游戏规则如下（答案不唯一）： 规定：转盘停止指针指向的两个数字之和为6时小明获胜；两个数字之和为8时小红获胜；两个数字之和为奇数时平局； 理由：由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中两个数字之和为6的结果有2种，两个数字之和为8的结果有2种， ∴小明获胜的概率＝小红获胜的概率＝，此游戏对双方公平． 【点评】本题主要考查了游戏的公平性以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 22．（8分）如图，已知AB∥CD，E，H分别是直线AB，CA上的一点，CE平分∠ACD，射线FC⊥CE，∠1＝29°． （1）求∠HAE的度数； （2）若∠2＝61°，请判断CF与AG是否互相平行，并说明理由． 【答案】（1）58°； （2）CF∥AG，理由如下： 因为CE平分∠ACD， 所以∠ACE＝∠DCE＝29°， 因为CF⊥CE， 所以∠FCE＝90°， 所以∠FCH＝∠FCE﹣∠ACE＝90°﹣29°＝61°， 因为∠2＝61°， 所以∠FCH＝∠2， 所以CF∥AG． 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线定义即可得到结论； （2）根据平行线的判定定理即可得到结论． 【解答】解：（1）因为AB∥CD， 所以∠1＝∠DCE＝29°， 因为CE平分∠ACD， 所以∠ACD＝2∠DCE＝58°， 因为AB∥CD， 所以∠HAE＝∠ACD＝58°； （2）CF∥AG，理由如下： 因为CE平分∠ACD， 所以∠ACE＝∠DCE＝29°， 因为CF⊥CE， 所以∠FCE＝90°， 所以∠FCH＝∠FCE﹣∠ACE＝90°﹣29°＝61°， 因为∠2＝61°， 所以∠FCH＝∠2， 所以CF∥AG． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线定义，正确的识别图形是解题的关键． 23．（8分）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”． （1）任意掷这枚骰子，掷出“6”的概率是多少？ （2）任意掷这枚骰子，掷出“3的倍数”的概率是多少？ （3）任意掷这枚骰子，掷出“奇数”和掷出“偶数”的概率哪个大？ 【答案】（1）； （2）； （3）掷出“偶数”的概率较大． 【分析】（1）根据概率的计算公式，先求出标有“6”的面数，然后利用概率公式计算可得答案； （2）找到“3的倍数”的面数，然后利用概率公式计算可得答案； （3）根据标有“偶数”的面数之和与总面数的比即可求得掷出“偶数”的概率和掷出“奇数”的概率，再比较即可求解． 【解答】解：（1）由条件可知标有“6”的面数为5面， ∴掷出“6”的概率是＝； （2）∵标有“6”的面数为5面，标有“3”的面数为3面， ∴掷出“3的倍数”的概率是＝； （3）∵标有“6”的面数为5面，2个面标有“2”，4个而标有“4”， ∴掷出“偶数”的概率是＝； ∴掷出“奇数”的概率是＝； ∵， ∴掷出“偶数”的概率较大． 【点评】本题主要考查概率知识，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 24．（10分）如图，AB∥CD，直线EF分别与直线AB，CD相交于点E，F，M是AB和CD之间的一点，N在CD上，连接ME、MN，∠FEM＝∠EFD． （1）求证：EF平分∠AEM； （2）延长EM交CD于点G，当∠EGF＝50°时，求∠AEF的度数； （3）在（2）条件下，当MG＝NG 时，MN∥EF． 【答案】（1）∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠EFD． ∵∠FEM＝∠EFD， ∴∠AEF＝∠FEM， ∴EF平分∠AEM； （2）65°； （3）NG． 【分析】（1）根据平行线的性质进行证明即可； （2）根据平行线的性质进行计算即可； （3）根据平行线的判定即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠EFD． ∵∠FEM＝∠EFD， ∴∠AEF＝∠FEM， ∴EF平分∠AEM； （2）解：如图所示， ∵AB∥CD，∠EGF＝50°， ∴∠BEG＝∠EGF＝50°， ∴∠AEM＝180°﹣∠BEG＝130°． ∵EF平分∠AEM， ∴∠AEF＝∠AEM＝＝65°； （3）当MG＝NG时，MN∥EF， ∵MG＝NG， ∴∠MNG＝∠NMG， ∴∠NMG＝∠MGN）＝90°﹣∠MGN． ∵∠AEF＝∠MEF，∠FEM＝∠EFD， ∴∠FEM＝∠EFD， ∴∠FEM＝∠MGN）＝90°﹣∠MGN， ∴∠NMG＝∠FEM， ∴MN∥EF． 故答案为：NG． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定与性质是解题的关键． 25．（10分）“文明其精神，野蛮其体魄”，为进一步提升学生的健康水平，我市某校计划用760元购买14个体育用品，备选体育用品及单价如表： 备选体育用品 足球 篮球 排球 单价（元） 80 60 40 （1）若760元全部用来购买足球和排球，求足球和排球各购买的数量． （2）若该校先用一部分资金购买了a个排球，再用剩下的资金购买了足球和篮球，且篮球和足球的个数相同，此时正好剩余80元，求a的值． （3）由于篮球和排球都不够分配，该校再补充采购这两种球共花费了480元，其中这两种球都至少购进2个，则有几种补购方案？ 【答案】（1）购买足球5个，排球9个； （2）a＝10； （3）共有3种补购方案， 方案1：补购2个篮球，9个排球； 方案2：补购4个篮球，6个排球； 方案3：补购6个篮球，3个排球． 【分析】（1）设购买足球x个，排球y个，利用总价＝单价×数量，结合购买足球和排球14个共花费760元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买篮球b个，则购买足球b个，利用总价＝单价×数量，结合购买三种球共14个且共花费（760﹣80）元，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设再次购进篮球m个，则购进排球（12﹣m）个，根据这两种球都至少购进2个，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m，（12﹣m）均为正整数，即可得各补购方案． 【解答】解：（1）设购买足球x个，排球y个， 依题意得：， 解得：． 答：购买足球5个，排球9个． （2）设购买篮球b个，则购买足球b个， 依题意得：， 解得：． 答：a的值为10． （3）设再次购进篮球m个，则购进排球＝（12﹣m）个， 依题意得：， 解得：2≤m≤． 又∵m，（12﹣m）均为正整数， ∴m可以为2，4，6， ∴共有3种补购方案， 方案1：补购2个篮球，9个排球； 方案2：补购4个篮球，6个排球； 方案3：补购6个篮球，3个排球． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 26．（10分）如图所示，直线l1：y＝2x+1与y轴交于点A，直线l2与y轴，x轴分别交于点B，点C，l1与l2交于点D（1，m），连接OD，已知OC的长为4． （1）求点D的坐标及直线l2的表达式． （2）在直线l2上是否有一点P，使得S△APB＝2S△AOD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（1，3）；y＝﹣x+4； （2）存在；或． 【分析】（1）把点D（1，m）代入y＝2x+1即可求出m；再求出点C坐标，用待定系数法求出直线l2的解析式； （2）根据三角形的面积公式求出△AOD的面积；设点P坐标为（m，﹣m+4），分两种情况求出△ABP的面积，从而求出m的值． 【解答】解：（1）由条件可得m＝2×1+1＝3， ∴点D的坐标为（1，3）， ∵OC的长为4， ∴C（4，0）， 设直线l2的解析式为y＝kx+b， 把D，C坐标代入y＝kx+b得：， 解得， ∴直线l2的解析式为y＝﹣x+4； （2）由条件可知点A坐标为（0，1）， ∴； ∵直线l2的解析式为y＝﹣x+4， 当x＝0时，y＝4， ∴点B坐标为（0，4）， 如图所示：设点P坐标为（m，﹣m+4）， 当P在y轴右侧时， 当S△APB＝2S△AOD＝1时，则有：， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 当P在y轴左侧时， 同理可得，， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $