精品解析：山东省烟台市牟平区2024-2025学年下学期七年级期中数学试卷（五四学制）

2024-2025学年山东省烟台市牟平区七年级（下） 期中数学试卷（五四学制） 一、选择题：（共12个小题，每小题3分，满分36分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 以下四个命题中，真命题是（　　） A. “任意三角形内角和为 ”是随机事件 B. “烟台市后天会下雨”是确定事件 C. “估计本题的正确率是”表示40位考生中一定有36人做对 D. 从一副扑克牌随机抽一张，抽到花色是红桃的概率是 2. 关于x，y的方程组的解满足，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 一副三角板如图摆放，两块三角板的直角顶点重合，且，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 如图， 是直线上一点，平分，，，李军同学添加了一个条件后，仍不能判定 ，他添加的条件可能是（    ） A. B. C. D. 5. 在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（ ） A. 摸出“北斗”小球的可能性最大 B. 摸出“天眼”小球的可能性最大 C. 摸出“高铁”小球的可能性最大 D. 摸出三种小球的可能性相同 6. 已知方程组，则的值是（　　） A. 3 B. 2 C. D. 7. 如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 将含 角的直角三角板按如图方式摆放，已知，，则 （　　） A. B. C. D. 9. 现有标有数字0，4，5的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位正整数，摆出的三位数不是5的倍数的概率是（　　） A. B. C. D. 10. 《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容是单位）；大容器1个，小容器5个，总容暴为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为 斛，小容器的容量为 斛，则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 11. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 随 的增大而增大 B. C. 当 时， D. 关于 ， 的方程组的解为 12. 如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB＝∠CGE．其中正确的结论是( ) A. ②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二．填空题（每题3分，共18分） 13. 下列命题：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．③三角形三条中线的交点叫做三角形的内心．④角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．⑤同位角相等．其中正确的是 _______（填写序号）． 14. 市区某路口东西方向红绿灯的设置时间：红灯，绿灯，黄灯 ，我国交通法规定：车辆行驶到路口时，绿灯亮才能通行，遇到黄灯亮或红灯亮时必须在路口外停车等候，小李由东往西开车随机地行驶到该路口，按照交通信号灯指示停车等候的概率是 _______． 15. 某超市进货商品均加价 销售，每月月底最后三天打折促销．月日小明妈妈在该超市购买的 、 两种商品分别打八折和九折，共付款元，比标价省了元，则 、 两种商品的进价分别是 _______． 16. 点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为 的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点的坐标为___________． 17. 如图，点 、 、 、 、 、 在同一平面内，连接 、 、 、、、 ，若，，，则______． 18. 如图，一次函数 与的图象相交于点，若直线 与y轴的交点为，则一次函数y＝kx+b的表达式是 __________． 三．解答题（满分66分） 19. 解方程组： （1）； （2） 20. 如图，，平分 与相交于F， ．求证：． 21. 振华超市想通过促销来吸引顾客，设立了一个如图的翻奖牌（图1中的奖牌对应的奖品如图2所示，翻到“谢谢惠顾”不得奖，翻到金额数则获得相应的购物券），并规定：顾客一次购买不少于 元的商品，就能获得一次翻奖牌的机会． （1）某顾客购物消费了元，获得一次翻奖牌的机会．则该顾客获得 元购物券的概率是 ；获得元购物券的概率是 ；不获奖的概率是 ； （2）求顾客平均每次翻奖牌获奖金额（精确到 ）； （3）请根据本题题意写出一个事件，使这个事件发生的概率是． 22. 如图，直线与直线相交于点． （1）求b的值； （2）①解关于x、y的方程组，请你直接写出它的解； ②不受原题意条件限制，若，则当 时，方程组无解； （3）直线是否也经过点P？请说明理由． 23. 为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 200 300 （1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ （2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 24. 如图，若点D为y轴正半轴上一点，点C为x轴负半轴上一点，点A为x轴正半轴上一点，当 时，与的平分线交于点M，求的度数． 25. （1）如图1，一边长为 的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）如图2，是由边长分别为 和的两个正方形组成的图案，若在图案内随机取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率是 ． （3）若一个小玻璃球在如图3所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌，甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上，乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 26. 如图①，在 中， 平分 ，且与 的外角的平分线交于点D． 【问题解决】 （1）若，求的度数； （2）若，则 ． 【猜想证明】 （3）当 和在变化，而始终保持不变，则是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有的式子表示） 【拓展提高】 （4）若把截去，得到四边形，如图②，猜想的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省烟台市牟平区七年级（下） 期中数学试卷（五四学制） 一、选择题：（共12个小题，每小题3分，满分36分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 以下四个命题中，真命题是（　　） A. “任意三角形内角和为 ”是随机事件 B. “烟台市后天会下雨”是确定事件 C. “估计本题的正确率是”表示40位考生中一定有36人做对 D. 从一副扑克牌随机抽一张，抽到花色是红桃的概率是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，概率的意义和简单的概率计算，事件的分类，根据概率的意义和概率计算公式可判断C、D；必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此可判断A、B． 【详解】解：A、“任意三角形内角和为 ”是必然事件，原命题是假命题，不符合题意； B、“烟台市后天会下雨”是随机事件，原命题是假命题，不符合题意； C、“估计本题的正确率是”不能表示40位考生中一定有36人做对，原命题是假命题，不符合题意； D、从一副扑克牌随机抽一张，抽到花色是红桃的概率是，原命题是真命题，符合题意； 故选；D． 2. 关于x，y的方程组的解满足，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】法一：利用加减法解方程组，用表示出，再将求得的代数式代入，得到 的关系，最后将变形，即可解答． 法二：中 得到，再根据求出代入代数式进行求解即可. 【详解】解：法一：， 得， 解得， 将代入，解得， ， ， 得到， ， 法二： 得：，即：， ∵， ∴， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练求出 的关系是解题的关键． 3. 一副三角板如图摆放，两块三角板的直角顶点重合，且，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键． 由两直线平行，内错角相等得到，再由三角形的外角性质得到，，据此求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4. 如图， 是直线上一点，平分，，，李军同学添加了一个条件后，仍不能判定 ，他添加的条件可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解答本题的关键． 根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：、平分，， ，故不符合题意； B、， 不能判断，故B符合题意， C、， 平分 ，故C不符合题意； D、， ，故D不符合题意； 故选：B． 5. 在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（ ） A. 摸出“北斗”小球的可能性最大 B. 摸出“天眼”小球的可能性最大 C. 摸出“高铁”小球的可能性最大 D. 摸出三种小球的可能性相同 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率公式计算摸出三种小球的概率，即可得出答案． 【详解】解：盒中小球总量为：（个）， 摸出“北斗”小球的概率为：， 摸出“天眼”小球的概率为：， 摸出“高铁”小球的概率为：， 因此摸出“高铁”小球的可能性最大． 故选C． 【点睛】本题考查判断事件发生可能性的大小，掌握概率公式是解题的关键． 6. 已知方程组，则的值是（　　） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解三元一次方程该组，负整数指数幂，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 将三个方程相加并整理后求得的值，再利用负整数指数幂即可求得答案． 【详解】解：将方程组中的三个方程相加可得， ∴， ∴， 故选：A． 7. 如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据灰色区域与整个面积的比即可求解． 【详解】解：∵转盘中四个扇形的面积都相等，设整个圆的面积为1， ∴灰色区域的面积为, ∴当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是， 故选：C． 【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 8. 将含 角的直角三角板按如图方式摆放，已知，，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点H作，推出，得到，求出，利用对顶角相等求出答案． 【详解】解：过点H作， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线的性质求角第度，对顶角相等的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 9. 现有标有数字0，4，5的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位正整数，摆出的三位数不是5的倍数的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列举法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 根据题意列出所有可能，根据概率公式即可求解． 【详解】∵有数字0，4，5的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位正整数， ∴摆出的三位数有405，450，504，540， ∴共4种可能，其中不是5的倍数是504，有1个， ∴摆出的三位数不是5的倍数的概率是． 故选：C． 10. 《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容是单位）；大容器1个，小容器5个，总容暴为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为 斛，小容器的容量为 斛，则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组． 【详解】解：设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛， 根据题意得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键． 11. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 随 的增大而增大 B. C. 当 时， D. 关于 ， 的方程组的解为 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、随 的增大而增大，故选项A正确； B、由图象可知，一次函数的图象与 轴的交点在的图象与 轴的交点的下方，即，故选项B正确； C、由图象可知：当 时，，故选项C错误； D、由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于 ， 的方程组的解为； 故选项D正确； 故选C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． 12. 如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB＝∠CGE．其中正确的结论是( ) A. ②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案． 【详解】①∵EG∥BC， ∴∠CEG=∠ACB， 又∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确； ②∵∠A=90°， ∴∠ADC+∠ACD=90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD， ∴∠ADC+∠BCD=90°． ∵EG∥BC，且CG⊥EG， ∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°， ∴∠ADC=∠GCD，故正确； ③条件不足，无法证明CA平分∠BCG，故错误； ④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC， ∴∠AEB+∠ADC=90°+（∠ABC+∠ACB）=135°， ∴∠DFE=360°-135°-90°=135°， ∴∠DFB=45°=∠CGE，故正确． 故选B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三角形外角的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键． 二．填空题（每题3分，共18分） 13. 下列命题：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．③三角形三条中线的交点叫做三角形的内心．④角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．⑤同位角相等．其中正确的是 _______（填写序号）． 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，根据平行线的判定、点到直线的距离的定义、三角形的内心的概念、角平分线的判定、同位角的概念判断即可． 【详解】解：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题； ②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故本选项命题是假命题； ③三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，故本选项命题是假命题； ④角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，是真命题； ⑤两直线平行，同位角相等，故本选项命题是假命题； 故答案为：①④． 14. 市区某路口东西方向红绿灯的设置时间：红灯，绿灯，黄灯 ，我国交通法规定：车辆行驶到路口时，绿灯亮才能通行，遇到黄灯亮或红灯亮时必须在路口外停车等候，小李由东往西开车随机地行驶到该路口，按照交通信号灯指示停车等候的概率是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，用等候时间除以总时间即可． 【详解】解：小李由东往西开车随机地行驶到该路口，按照交通信号灯指示停车等候的概率是， 故答案为：． 15. 某超市进货商品均加价 销售，每月月底最后三天打折促销．月日小明妈妈在该超市购买的 、 两种商品分别打八折和九折，共付款元，比标价省了元，则 、 两种商品的进价分别是 _______． 【答案】70元、160元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设 种商品的进价为 元， 种商品的进价为 元，根据打折后的价格之和及标价之和，可列出关于 ， 的二元一次方程组，解方程组即可求出两种商品的进价． 【详解】解：设 种商品的进价为 元， 种商品的进价为 元， 根据题意得：， 解得：， 、 两种商品的进价分别是 元、元． 故答案为： 元、元． 16. 点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为 的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别解一元一次方程和二元一次方程组，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解． 【详解】解：， 移项合并同类项得，， 系数化为1得， ， ∴点Q的横坐标为5， ∵， 由得，，解得：， 把代入①得，，解得：， ∴， ∴点Q的纵坐标为， ∴点Q的坐标为， ∴点Q关于y轴对称点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q的坐标是解题的关键． 17. 如图，点 、 、 、 、 、 在同一平面内，连接 、 、 、、、 ，若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角、三角形内角和，解题关键是添加辅助线，构造四边形．连接 ，，把凹多边形转变成四边形，然后根据三角形内角和公式和已知条件求出，，最后根据四边形的内角和为求出答案即可． 【详解】解：如图所示：连接 ，， ，， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 18. 如图，一次函数 与的图象相交于点，若直线 与y轴的交点为，则一次函数y＝kx+b的表达式是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了两条直线相交问题、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式等知识点，掌握交点满足两个函数的解析式是解题的关键． 先利用确定P点坐标，再根据待定系数法求解即可． 【详解】解：把代入得，解得： ， ∴P点坐标为， 把点，代入 得: ，解得:， ∴一次函数 的表达式是． 故答案为：． 三．解答题（满分66分） 19. 解方程组： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解三元一次方程组，解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可； （2）将得，与③组成方程组，再运用加减消元法求出，最后把的值代入①，求出，故可得方程组的解． 【小问1详解】 解：原方程组整理得， 得：， 解得： ， 将 代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 得：， 与③组成方程组， 得：， 将代入③得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为． 20. 如图，，平分 与相交于F， ．求证：． 【答案】 证明：∵平分 ∴ ， ∵， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义以及平行线的性质定理和判定定理．关键是根据平行线的性质以及角平分线的定义解答．根据平分 得 ，根据， ，推出 ，即可求证； 【详解】略 21. 振华超市想通过促销来吸引顾客，设立了一个如图的翻奖牌（图1中的奖牌对应的奖品如图2所示，翻到“谢谢惠顾”不得奖，翻到金额数则获得相应的购物券），并规定：顾客一次购买不少于 元的商品，就能获得一次翻奖牌的机会． （1）某顾客购物消费了元，获得一次翻奖牌的机会．则该顾客获得元购物券的概率是 ；获得元购物券的概率是 ；不获奖的概率是 ； （2）求顾客平均每次翻奖牌获奖金额（精确到 ）； （3）请根据本题题意写出一个事件，使这个事件发生的概率是． 【答案】（1）、、 （2）顾客平均每次翻奖牌获奖金额约为元 （3）顾客翻奖牌一次，获得了购物券，但不是元（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握概率公式． （1）根据图2中各购物券和“谢谢惠顾”的数量，直接根据概率公式求解即可； （2）用奖金分别乘以对应概率，再求和即可； （3）答案不唯一． 【小问1详解】 解：该顾客获得元购物券的概率是； 获得元购物券的概率是； 不获奖的概率是， 故答案为：、、； 【小问2详解】 解：∵顾客获得元购物券的概率是，顾客获得 元购物券的概率是， ∴顾客平均每次翻奖牌获奖金额为 （元）， 所以顾客平均每次翻奖牌获奖金额约为元． 【小问3详解】 解：顾客翻奖牌一次，获得了购物券，但不是元（答案不唯一）． 22. 如图，直线与直线相交于点． （1）求b的值； （2）①解关于x、y的方程组，请你直接写出它的解； ②不受原题意条件限制，若，则当 时，方程组无解； （3）直线是否也经过点P？请说明理由． 【答案】（1）2 （2）①；②1 （3）经过点P，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的函数值，一次函数与二元一次方程组之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）把点P坐标代入中计算求解即可； （2）①两直线的交点的横纵坐标即为两直线解析式联立得到的二元一次方程组的解，据此可得答案；②根据题意可得直线和直线 没有交点，即两直线平行，则 ； （3）把点P坐标代入 中可得；再求出当 时，的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵直线与直线相交于点， ∴； 【小问2详解】 解：①由（1）得点P的坐标为， ∵直线与直线相交于点， ∴关于x、y的方程组的解为； ②∵方程组方程组无解， ∴直线和直线 没有交点，即两直线平行， ∴ ； 【小问3详解】 解；经过点P，理由如下： ∵直线与直线相交于点， ∴； 在中，当 时，， ∴直线经过点P． 23. 为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 200 300 （1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ （2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 【答案】（1）参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆 （2）租14辆45座客车较合算 【解析】 【分析】（1）设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）由（1）结论求出所需费用比较即可． 【小问1详解】 解：设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆 依题意得 解得：， 答：参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆； 【小问2详解】 ∵要使每位师生都有座位， ∴租45座客车14辆，则租60座客车10辆， ，， ∵ ∴租14辆45座客车较合算． 【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用及有理数乘法的应用，理解题意是解题关键． 24. 如图，若点D为y轴正半轴上一点，点C为x轴负半轴上一点，点A为x轴正半轴上一点，当 时，与的平分线交于点M，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质，角平分线的运算，熟知平行线的性质及巧用整体思想是解题的关键． 连接，先根据平行线的性质得出，进一步得出，再结合及三角形的内角和定理即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵ ， ∴． ∵ ， ∴， ∴． 又∵ ， 分别平分，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 25. （1）如图1，一边长为 的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）如图2，是由边长分别为 和的两个正方形组成的图案，若在图案内随机取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率是 ． （3）若一个小玻璃球在如图3所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌，甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上，乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 【答案】（1） （2） （3）乙获胜的概率大，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查几何概率的求法，掌握正方形面积和阴影部分面积的计算方法是解题关键． （1）用阴影部分的面积除以总面积即可； （2）用阴影部分的面积除以总面积即可； （3）分别求出两人获胜的概率即可解答． 【详解】解：（1）根据题意，图中正方形的面积为， 图中阴影部分的面积为：， 则它击中阴影部分的概率：； （2）∵图形的总面积为，阴影部分面积为， ∴点P恰好在阴影部分的概率是：； （3）乙获胜的概率大，理由如下： 由图可知：甲获胜的概率为：，乙获胜的概率为：， ∴， 故乙获胜的概率大． 26. 如图①，在 中， 平分 ，且与 的外角的平分线交于点D． 【问题解决】 （1）若，求的度数； （2）若，则 ． 【猜想证明】 （3）当 和在变化，而始终保持不变，则是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有的式子表示） 【拓展提高】 （4）若把截去，得到四边形，如图②，猜想的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不变化，理由见解析，结论 （4），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角与外角，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，掌握三角形内角和是 以及三角形外角的性质是正确解答的关键． （1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义进行计算即可； （2）由三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可； （3）由三角形内角和定理，角平分线的定义得到； （4）延长交于点A，将问题转化为（3）即可． 【详解】解：（1）∵， 平分 ， ∴， 又∵， ∴， ∵ 平分， ∴， ∴， （2）∵ 平分 ， ∴ ， ∵ 平分， ∴， ∴ ， （3）不变化，理由如下： ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ 平分， ∴， ∴ 即 （4），理由如下： 如图，延长交于点A， 则 ∴， 由（3）可得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $