专题07 几何动态与函数综合5大题型（大题专练）（天津专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题07 几何动态与函数综合 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 2024年：考查折叠背景下平行四边形纸片的重叠面积问题。以含60°角的平行四边形为背景，通过沿x轴垂线折叠，分析重叠部分（特别是五边形时）的面积S与折痕位置t的函数关系。侧重几何直观、推理与代数运算能力。2025年：考查平移背景下等边三角形的重叠面积问题。将两个等边三角形平移，探究图形从“嵌入”到“分离”过程中重叠面积为四边形时的函数表达式及取值范围。侧重分类讨论和动静转换的逻辑严密性。 命题趋势：题型载体稳定，但“图形变换”轮动：第24题固定在“图形与几何”领域，以平面直角坐标系为背景。近年来图形变换方式呈现规律性轮动，近六年覆盖了平移、旋转、折叠三大类型。背景图形轮换，聚焦特殊图形动态分析：题干会在平行四边形、三角形、矩形等特殊图形之间切换。核心素养导向深化，从“解题”转向“解决问题”。 2026年预测：大概率是含特殊角（30°、60°）的三角形或四边形。这类图形旋转后能产生丰富的全等或相似关系，方便结合勾股定理建方程。分类讨论仍是核心。需要分析旋转过程中图形的不同临界位置（如从相切到分离），分类求函数解析式或线段最值。可能融入隐圆（辅助圆）和最值问题。特别是旋转动点求路径长或多条线段和的最小值（将军饮马）。 题型01 三角形与函数综合 析典例·建模型 1．（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，点，， ，C，D分别为，的中点．以点O为中心，逆时针旋转，得，点C，D的对应点分别为点，． (1)填空：如图①，当点落在y轴上时，点的坐标为_____，点的坐标为 ； (2)如图②，当点落在上时， 求点的坐标和 的长； (3)若M为的中点，求的最大值和最小值（直接写出结果即可）． 研考点·通技法 1仔细作图：每分析一段，就在草稿纸上画出该阶段的示意图，并标记临界位置。 2检查范围：确定每段函数对应的自变量取值范围是否包含端点。 3 抓“三要素”：拿到题先明确背景图形、变换方式（旋转）和所求量（如面积函数）。 破类题·提能力 2．（2026·天津西青·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，等边的顶点，点A在第一象限，的顶点，点C在第二象限，，． (1)填空：如图①，点A的坐标为______，点C的坐标为______； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点C，O，D的对应点分别为，，．设． ①如图②，若边与边，分别相交于点M，N，边与边相交于点P，当与等边重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设平移后两三角形重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 3．（25-26九下·天津和平·第一次质量调查）在平面直角坐标系中，O为原点，直角的顶点，，等边的顶点，，顶点D在第二象限． (1)填空：如图①，的度数为 °，点D的坐标为 ； (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点D，E，F的对应点分别为，，．设，等边与直角三角形的重叠部分的面积为S． ①如图②，若边与边相交于点G，当与重叠部分为四边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 4．（2026·天津南开·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，等边的顶点，，点C在第一象限，边与x轴相交于点D．点P为x正半轴上一动点，将线段绕点P顺时针旋转和，分别得到线段和线段，连接，得到． (1)填空：如图1，点C的坐标为______，线段的长为______； (2)设，与重叠部分面积为S． ①如图2，若边与边和分别相交于点E和点F，边与边和分别相交于点H和点G．当与重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 5．（2025·天津河东·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，是等边三角形，点C在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为_________，点C的坐标为_________； (2)将沿x轴向右平移得到，点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 题型02 平行四边形与函数综合 析典例·建模型 6．（2026·天津部分区·一模）在平面直角坐标系中，为原点，的顶点，，，点在轴负半轴上，点在第一象限，边交轴于点．是等腰直角三角形，，点，点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，．设． ①如图②，若边与边交于点，与边交于点，与重合部分为四边形时，试用含的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（请直接写出结果即可）． 研考点·通技法 1. “中点坐标公式”是核心工具 已知两个顶点（如A,B）和另外两个动点（C,D分别在抛物线/直线上），设C坐标，利用公式直接解出D坐标，再代入D所在曲线方程。 2“三定一动”与“两定两动”分类法 三定一动：已知A,B,C三点固定，求抛物线上点D。技巧：分别以AB, AC, BC为对角线，分3种情况讨论。 两定两动：已知A,B固定，C在抛物线，D在直线/对称轴上。技巧：先设C坐标，视AB为边或对角线，分2大类（通常4种情况）。 3. 利用“平移”原理求顶点坐标 破类题·提能力 7．（25-26九下·天津河西·质量调查）在平面直角坐标系中，为原点，是一个平行四边形纸片，顶点，，点在第二象限． (1)如图，填空：的长是________，点的坐标是________，的长是________； (2)若为边上一动点，过点作直线平行于轴，交边于点，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为点．设． 如图，当点落在平行四边形纸片上时．试用含有的式子表示折叠后重叠部分的面积，并直接写出的取值范围； 当直线与轴重合时，求折叠后重叠部分的面积（直接写出结果即可）． 8．（2025·天津·一模）将平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图2，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 9．（2025·天津河北区·二模）在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形的顶点，平行四边形与平行四边形关于y轴对称． (1)填空：如图①，点B的坐标为_____，点P的坐标为_____； (2)如图②，平行四边形沿水平方向向右平移t个单位长度，得到平行四边形，点O，M，N，P的对应点分别为点，平行四边形与平行四边形重叠部分面积为S． ①若，且平行四边形与平行四边形重叠部分为四边形时，试用含有t的式子表示，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 10．（2025·天津南开·一模）将平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图2，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 题型03 矩形与函数综合 析典例·建模型 11．（2024·天津河北区·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点，，；等边的顶点，点E是的中点． (1)填空：如图①，点C的坐标为______，点Q的坐标为______； (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点E，P，Q的对应点分别为，设，等边与矩形重叠部分面积记为S． ①如图②，当边与相交于点M，边与相交于点N，点在点的左侧且矩形与重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 研考点·通技法 1用点的坐标表示矩形边长：矩形边常与坐标轴平行，直接利用横纵坐标差表示长和宽，快速建立面积、周长的二次函数模型。 2善用“斜率负倒数”处理直角：当矩形边不平行于坐标轴时（如旋转后），利用两直线垂直的条件（斜率乘积为 -1）或勾股定理，将几何垂直关系转化为代数方程。3矩形存在性用“对角线法”：已知两点，求矩形另两个顶点。先以线段为边或对角线分类，利用矩形对角线相等且互相平分（中点坐标公式）来列方程求解。 破类题·提能力 12．（2021·天津·中考）在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过点B． （Ⅰ）如图①，求点B的坐标； （Ⅱ）将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，，设，矩形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当点在x轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 13．（2026·天津北辰·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点A在x轴的正半轴上，顶点，D为边上一点，，过点D作交于E，且． (1)填空：如图①，点D的坐标为________，点E的坐标为________； (2)将沿x轴向右平移，得到，点C、O、D的对应点分别为、、．设，与四边形重叠部分的面积为S． ①如图②，若边与边相交于点M，边与相交于点N，且与四边形重叠部分为四边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 14．（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，为原点，四边形是平行四边形，，，点，矩形的顶点，点，点在第二象限． (1)如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)将矩形沿轴平移，得到矩形，点的对应点分别为．设，矩形与重叠部分面积为． ①如图②，当交于点，分别交于点，且重叠部分是五边形，试用含的式子表示，并直接写出的范围； ②当时，求的范围（直接写出结果即可）． 15．（2025·天津西青·二模）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为． (1)如图1，当经过点时，求直线的函数表达式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示　　；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有t的值 ． 题型04 菱形与函数综合 析典例·建模型 16．（2025·天津七中·模拟）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形的顶点A、D分别在坐标轴上，轴，点，，是直角三角形，，，将沿x轴向右平移，得到，点P、O、Q的对应点分别为． (1)填空：如图①，点B的坐标为 ，当经过点B时，与的交点E的坐标为 ； (2)设，与菱形ABCD重叠部分的面积为S． ①如图②，当边与相交于点F，分别与、相交于点G、H，且与菱形重叠部分为六边形时，试用含有t的式子表示线段，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围(直接写出结果即可)． 研考点·通技法 1. 菱形存在性问题等腰三角形法：已知三点求菱形顶点时，常转化为等腰三角形问题。因为菱形的邻边相等，可先确定一个等腰三角形，再通过平移得到第四个点。 对角线法：设未知点坐标，利用对角线互相平分（中点坐标公式）和邻边相等（距离公式）列方程组。注意分情况讨论哪条线段作为边或对角线。 几何特性：菱形对角线垂直。若已知一对顶点坐标，可以算出中点，利用垂直关系设出另一条对角线的直线方程，再与二次函数联立。 2. 动态菱形面积最值 · 底×高转化：若菱形有一边在坐标轴上，直接用坐标差计算底和高，表达为二次函数求最值。对角线乘积法：当已知两个动点分别在函数图像上，且满足菱形条件时，面积可用对角线(或相似比)的平方来表示，再转化求解。 破类题·提能力 17．（2024·天津河东·一模）在平面直角坐标系中，为原点，直角三角形的顶点，，菱形的顶点．    (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)将菱形沿水平方向向右平移，得到菱形，点的对应点分别为，设，菱形与直角三角形重叠部分的面积为． （ⅰ）如图②，当边分别与相交于点，边与相交于点，边与相交于点，且菱形与直角三角形重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； （ⅱ）当时，求的值（直接写出结果即可）． 18．（2025·天津河西·中考模拟）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H，连接BM. （1）菱形ABCO的边长 ； （2）求直线AC的解析式； （3）动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒， ①当0＜t＜时，求S与t之间的函数关系式； ②在点P运动过程中，当S=3，请直接写出t的值． 19．（2024·天津南开·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形是矩形，点A，C的坐标分别是，．点D是边上的动点（与端点B，C不重合），过点D作直线交边于点E． （1）如图①，直接写出D，E两点的坐标（用含b的式子表示）． （2）如图②，若矩形关于直线的对称图形为矩形，试探究矩形与矩形的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积：若改变，请说明理由； （3）矩形绕着它的对称中心旋转，如果旋转前后两矩形重叠部分的图形是菱形，请直接写出这个菱形面积的最大值和最小值． 20．（2026·天津滨海新区·一调）在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点，，菱形的顶点，，，连接． (1)填空：如图①，点B的坐标为________，点H的坐标为________； (2)将菱形沿水平方向向右平移，得到菱形，点E，F，G，H的对应点分别为，，，．设，菱形与矩形重叠部分的面积为S． ①如图②，当边，分别与相交于点M，点N，且菱形与矩形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 题型05 正方形与函数综合 析典例·建模型 21．（24-25九下·天津宝坻三中·检测）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形是正方形，顶点，点B在y轴正半轴上，点C在第二象限， 的顶点， 点． (1)如图①， 求点B， C的坐标； (2)将正方形沿x轴向右平移，得到正方形 ，点A，O，B，C的对应点分别为． 设，正方形与重合部分的面积为． ①如图②，当正方形与重合部分为五边形时，直线 分别与y轴，交于点E，F，与交于点H，试用含t的式子表示，并直接写出t的取值范围； ②若平移后重合部分的面积为 则t的值是 (请直接写出结果即可)． 研考点·通技法 一、存在性问题（分类讨论） 已知两点（A、B）和另外两点（P、Q）在二次函数图像上，求正方形存在性。 二、动态几何与最值 面积/周长最值： 正方形顶点在抛物线上移动时，设顶点横坐标为t，利用坐标差表示边长，建立二次函数。 技巧： 优先建系，让正方形两边与坐标轴平行，或边平行于坐标轴，直接由横纵坐标差求边长。 线段和最值： 遇动点问题，尝试转化：正方形对角线垂直平分，可作对称点转化路径 破类题·提能力 22．（2025·天津红桥·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，正方形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为______，点D的坐标为______； (2)将正方形沿x轴向右平移，得到正方形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，．设，正方形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当正方形与重叠部分为五边形时，与相交于点F，与相交于点G，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 23．（24-25九上·天津静海·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形的顶点的坐标为，点在第一象限，点在轴正半轴上． (1)如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)将正方形绕点逆时针旋转，得到正方形，，，的对应点分别为，，．旋转角为，的延长线交轴于点，与轴交于点． ①如图②，当时，点的坐标为________，点的坐标为________； ②如图③，在旋转过程中，连接，设，的面积为S，求S关于的函数表达式，并直接写出的取值范围． 24．（2023·天津部分区·一模）在平面直角坐标系中，为原点，四边形是正方形，顶点，点在轴正半轴上，点在第二象限，的顶点，点． (1)如图①，求点的坐标； (2)将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点A，O，B，C的对应点分别为．设，正方形与重合部分的面积为． ①如图②，当时，正方形与重合部分为五边形，直线分别与轴，交于点，与交于点，试用含的式子表示； ②若平移后重合部分的面积为，则的值是_______（请直接写出结果即可）． 25．（2023·天津河西·一模）在平面直角坐标系中，有，，点Q在边上，过点Q作于Q，且，以PQ为边向右侧作正方形，设． (1)如图①，当点E与点A重合时，求t的值； (2)如图②，当点E在点A右侧，且正方形与重叠部分为五边形时，边与边相交于点M，试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； (3)设正方形与重叠部分图形的面积为S．当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． （建议用时：50分钟） 刷模拟 1．（25-26九下·天津河东·质量检测（一））在平面直角坐标系中，为原点，等腰的顶点，．四边形是正方形，点是的中点，点在轴上． (1)填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)将四边形沿轴向右平移得到四边形，点，，，的对应点分别为，，，，设． （i）如图②，当四边形与重叠部分为五边形时，，，分别与，相交于点，，，，试用含有的式子表示线段，并直接写出的取值范围； （ii）设平移后四边形与重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 2．（2025·天津·一模）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，，点是边的中点． (1)填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)连接，将直角三角形纸片沿剪开，把水平向右平移得到，点，，的对应点分别是，，，设． ①如图②，当与重叠部分为五边形时，分别与，相交于点，，与相交于点，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； ②当时，求与重叠部分的面积的取值范围．（直接写出结果即可） 3．（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，为原点，四边形中，且，，点，点在轴正半轴上，且． (1)填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)将沿轴水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，，设，与四边形重叠部分的面积为． ①如图②，当边与交于点，边与交于点，且与四边形重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 4．（2025·天津红桥·三模）将一个梯形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在轴的正半轴上，点在第一象限，且． (1)填空：如图①，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)若为边上一动点（点不与点，重合），过点作直线，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为．设，折叠后重叠部分的面积为． ①如图②，若直线与边相交于点，点的对应点为，当折叠后点落在梯形的内部，且重叠部分为四边形时，与边相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 5．（2025·天津和平·三模）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，，点在轴正半轴上，点在边上，且，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为，设．    (1)填空：如图①，当时，点的坐标为          ，点的坐标为          ； (2)如图②，若折叠该纸片后与重叠部分为四边形，点的对应点为，与边相交于点，与边相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； (3)若折叠该纸片后与重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 6．（2025·天津塘沽一中·三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，等边的顶点，的顶点，其中． (1)填空：如图1，点A的坐标为______，点F的坐标为______； (2)现将沿x轴向右平移得，设．和重叠部分的面积为S． ①如图2，当点在x轴的正半轴上，且和重叠部分为五边形时，，与交于M，N，与交于点P，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求t的取值范围（直接写出结果即可）． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 几何动态与函数综合 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 2024年：考查折叠背景下平行四边形纸片的重叠面积问题。以含60°角的平行四边形为背景，通过沿x轴垂线折叠，分析重叠部分（特别是五边形时）的面积S与折痕位置t的函数关系。侧重几何直观、推理与代数运算能力。2025年：考查平移背景下等边三角形的重叠面积问题。将两个等边三角形平移，探究图形从“嵌入”到“分离”过程中重叠面积为四边形时的函数表达式及取值范围。侧重分类讨论和动静转换的逻辑严密性。 命题趋势：题型载体稳定，但“图形变换”轮动：第24题固定在“图形与几何”领域，以平面直角坐标系为背景。近年来图形变换方式呈现规律性轮动，近六年覆盖了平移、旋转、折叠三大类型。背景图形轮换，聚焦特殊图形动态分析：题干会在平行四边形、三角形、矩形等特殊图形之间切换。核心素养导向深化，从“解题”转向“解决问题”。 2026年预测：大概率是含特殊角（30°、60°）的三角形或四边形。这类图形旋转后能产生丰富的全等或相似关系，方便结合勾股定理建方程。分类讨论仍是核心。需要分析旋转过程中图形的不同临界位置（如从相切到分离），分类求函数解析式或线段最值。可能融入隐圆（辅助圆）和最值问题。特别是旋转动点求路径长或多条线段和的最小值（将军饮马）。 题型01 三角形与函数综合 析典例·建模型 1．（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，点，， ，C，D分别为，的中点．以点O为中心，逆时针旋转，得，点C，D的对应点分别为点，． (1)填空：如图①，当点落在y轴上时，点的坐标为_____，点的坐标为 ； (2)如图②，当点落在上时， 求点的坐标和 的长； (3)若M为的中点，求的最大值和最小值（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的长为 (3)最大值为，最小值为 【来源】专题07 二次函数图象及其性质与函数和几何图形的综合（3题型 提升题）（天津专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编 【分析】（1）过作轴于H，由，D为中点，得，即得，根据以点O为中心，逆时针旋转，得，知，故；由，，可得轴，，从而，可得，，故； （2）当点落在上时，过作轴于M，求出，即可得，，故；； （3）由C，D分别为，的中点，可得，，从而，根据以点O为中心，逆时针旋转，得，可得，，即得，，知M在以O为圆心，为半径的圆上运动；当最大时，M在的延长线上，求出，即最大值为；当最小时，M在线段上，，即最小值为． 【详解】（1）解：过作轴于H，如图： ，D为中点， ， ， ∵以点O为中心，逆时针旋转，得， ， ∵点落在y轴上， ； ，C为中点， ， ， 轴，， ， ， ，， ； 故答案为：； （2）解：当点落在上时，过作轴于M，如图： 由（1）知，，， ， ， ，， ， ， ； ∴点的坐标为，的长为； （3）解：如图： ∵C，D分别为，的中点， 是的中位线， ，， ， ∵以点O为中心，逆时针旋转，得， ，， 是的中点， ， ， 在以O为圆心，为半径的圆上运动； 当最大时，如图： 此时M在的延长线上， ， ， ； 即最大值为； 当最小时，如图： 此时M在线段上，， 最小值为； 综上所述，最大值为，最小值为． 研考点·通技法 1仔细作图：每分析一段，就在草稿纸上画出该阶段的示意图，并标记临界位置。 2检查范围：确定每段函数对应的自变量取值范围是否包含端点。 3 抓“三要素”：拿到题先明确背景图形、变换方式（旋转）和所求量（如面积函数）。 破类题·提能力 2．（2026·天津西青·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，等边的顶点，点A在第一象限，的顶点，点C在第二象限，，． (1)填空：如图①，点A的坐标为______，点C的坐标为______； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点C，O，D的对应点分别为，，．设． ①如图②，若边与边，分别相交于点M，N，边与边相交于点P，当与等边重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设平移后两三角形重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，；② 【来源】2026年天津市西青区九年级一模数学试题 【详解】（1）解：过A作于H， ∵等边的顶点， ∴，， ∴，， 又∵点A在第一象限， ∴， ∵的顶点， ∴， ∵，， ∴， 又点C在第二象限， ∴； （2）解：①∵平移， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，； 当和O重合时，如图， 当在上时，如图， ， ∴， ∴当时，如图， 此时重叠部分为五边形， ②当在上时，如图， ， ∴， ∴当时，重叠部分为五边形，， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，S有最大值为， 当时，，当时，， ∴S的最小值为 ∴； 当时，如图，过P作于Q， 此时重叠部分为四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，S随t的增大而减小， ∴当时，S有上限为，当时，S有最小值为， ∴， 又， ∴． 3．（25-26九下·天津和平·第一次质量调查）在平面直角坐标系中，O为原点，直角的顶点，，等边的顶点，，顶点D在第二象限． (1)填空：如图①，的度数为 °，点D的坐标为 ； (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点D，E，F的对应点分别为，，．设，等边与直角三角形的重叠部分的面积为S． ①如图②，若边与边相交于点G，当与重叠部分为四边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)； (2)①（​）； ② 【来源】天津市和平区2025-2026学年度第二学期九年级第一次质量调查数学学科试卷 【详解】（1）解：∵，， 在中，，​，， ∴， ， 且是等边三角形，轴， ∴， 又∵D在第二象限， ∴D的横坐标为​，纵坐标与E相同为，即； （2）解：①等边的面积为​， 平移后，， 当重叠部分为四边形时，满足在y轴右侧、在y轴左侧， 即，解得​； ∵ 交y轴于，为直角三角形，，，， ∴​​， ∴重叠面积（​）； ②当时，重叠部分面积随的变化分为四个阶段： 当时，如图所示，重叠部分为， 面积，随的增大而增大。 ，， ∴； 当时，重叠部分为四边形， 面积，随的增大而增大。 ，， ∴； 当时，重叠部分为四边形， 面积，随的增大而减小。 ， ， ∴； 当时，重叠部分由腰线和斜边围成， 面积，随的增大而减小。 ，， ∴； ∴的取值范围为． 4．（2026·天津南开·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，等边的顶点，，点C在第一象限，边与x轴相交于点D．点P为x正半轴上一动点，将线段绕点P顺时针旋转和，分别得到线段和线段，连接，得到． (1)填空：如图1，点C的坐标为______，线段的长为______； (2)设，与重叠部分面积为S． ①如图2，若边与边和分别相交于点E和点F，边与边和分别相交于点H和点G．当与重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，；② 【来源】2026年天津市南开区九年级一模数学试题 【详解】（1）解：作轴于点， ∵等边的顶点，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为； （2）解：①由（1）得，， 又∵， ∴， ∵线段由绕点P顺时针旋转得到， ∴， ∴，即为直角三角形， 在中，，且， ∴，即， ∵线段由绕点P顺时针旋转得到， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∴， 由（1）可知， ∴； 当点与重合时，与重叠部分不是五边形，此时； 当点恰好在上时，与重叠部分不是五边形，如图， ，， ∴， ∴t的取值范围为； ②当时，如图， 过作于， 同理可得：,轴，， ∴，， ∴， ∴， 当时，重叠部分为五边形，如图， 由①得，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，中，， ∴， 由题意得是等边三角形，且边长为， ∴底边上的高为， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 当时，如图，记与的交点为， ， ∴， ∴当时，S的取值范围为． 5．（2025·天津河东·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，是等边三角形，点C在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为_________，点C的坐标为_________； (2)将沿x轴向右平移得到，点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，其中t的取值范围是；② 【来源】2025年天津市河东区九年级中考一模数学试题 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为等边三角形，作轴于点D，如图①所示， 则， ∴， ∴点B的坐标为的坐标为， 故答案为：； （2）解：①由平移的性质可得，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 在中，，则， ∴， 在中，， ∵， ∴， 所以 ， 当点重合时，，此时与重叠部分不是五边形，当点重合时，，此时与重叠部分不是五边形， ∴t的取值范围是：； ②如图所示，连接和， 以和为邻边构造平行四边形，设， ∴， 解得，， ∴， 由（1）得，点O关于直线的对称点为点， 故，当三点共线时，值最小，连接即为的最小值， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴的坐标为． 题型02 平行四边形与函数综合 析典例·建模型 6．（2026·天津部分区·一模）在平面直角坐标系中，为原点，的顶点，，，点在轴负半轴上，点在第一象限，边交轴于点．是等腰直角三角形，，点，点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，．设． ①如图②，若边与边交于点，与边交于点，与重合部分为四边形时，试用含的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（请直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，；② 【来源】2026年天津市部分区初中毕业年级第一次模拟考试 数学试题 【详解】（1）解：延长交轴于，过作轴于， ∵的顶点，，， ∴轴，，，，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴，， ∴； ∵是等腰直角三角形，，点， ∴， ∴； （2）解：①∵将沿水平方向向右平移，得到， ∴，， ∵边与边交于点， ∴， ∴， 当过点时，， 由（1）可得，， ∴， ∴，，， ∴边与边交于点时， ∴， ∴； ②当时，如图所示， 此时， ∴ ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， 当时，最小值为，当时，最大值为； 当时，如图所示，与轴、分别交于点、， 此时，，， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 当时，最小值为，当时，最大值为； 当时，如图所示，、与分别交于点、，过作于， 此时，，四边形是矩形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 当时，最小值为，当时，最大值为； 综上所述，当时，最小值为，最大值为，即的取值范围为． 研考点·通技法 1. “中点坐标公式”是核心工具 已知两个顶点（如A,B）和另外两个动点（C,D分别在抛物线/直线上），设C坐标，利用公式直接解出D坐标，再代入D所在曲线方程。 2“三定一动”与“两定两动”分类法 三定一动：已知A,B,C三点固定，求抛物线上点D。技巧：分别以AB, AC, BC为对角线，分3种情况讨论。 两定两动：已知A,B固定，C在抛物线，D在直线/对称轴上。技巧：先设C坐标，视AB为边或对角线，分2大类（通常4种情况）。 3. 利用“平移”原理求顶点坐标 破类题·提能力 7．（25-26九下·天津河西·质量调查）在平面直角坐标系中，为原点，是一个平行四边形纸片，顶点，，点在第二象限． (1)如图，填空：的长是________，点的坐标是________，的长是________； (2)若为边上一动点，过点作直线平行于轴，交边于点，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为点．设． 如图，当点落在平行四边形纸片上时．试用含有的式子表示折叠后重叠部分的面积，并直接写出的取值范围； 当直线与轴重合时，求折叠后重叠部分的面积（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，， (2)； ． 【来源】天津市河西区2025—2026学年 下学期九年级质量调查数学试卷 【详解】（1）解：作于点，作于点，则， ∵， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，． （2）解：由折叠可得，， ∵，， ∴， ∵轴，在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴折叠后重叠部分的面积， 当点在线段上时，连接，交于点， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴点在线段上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点落在平行四边形纸片上， ∴， ∴； 当直线与轴重合时，点与点重合，点与点重合， 与的交点记为点，作于点， 由折叠可得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴折叠后重叠部分的面积． 8．（2025·天津·一模）将平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图2，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，；② 【来源】专题07 二次函数图象及其性质与函数和几何图形的综合（3题型 提升题）（天津专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编 【详解】（1）解：如图：过点C作， ∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在y轴的正半轴上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， 过点D作， ∴， ∴， 当与点重合时， 此时与的交点与A重合，， 如图：当与点B重合时， 此时与的交点与B重合，， ∴的取值范围为； ②当时， 如图，重叠部分的面积为， 由（1）得出， ∴， ∴， ， ∵，开口向上，对称轴直线， ∴在时，随着的增大而增大， ∴； 当时，如图，重叠部分的面积为， ， ， ∵，随着的增大而增大 ∴在时； ∴当时，； 当时，如图，重叠部分的面积为， 由①得出是等腰三角形，，，， ∴， ∵ ∴开口向下，在时，有最大值， ∴在时； ∴在时，； 当时，如图，重叠部分的面积为， ， ∵，随着的增大而减小， ∴在时，把代入得，把代入得， ∴在时，， 综上：的取值范围为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9．（2025·天津河北区·二模）在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形的顶点，平行四边形与平行四边形关于y轴对称． (1)填空：如图①，点B的坐标为_____，点P的坐标为_____； (2)如图②，平行四边形沿水平方向向右平移t个单位长度，得到平行四边形，点O，M，N，P的对应点分别为点，平行四边形与平行四边形重叠部分面积为S． ①若，且平行四边形与平行四边形重叠部分为四边形时，试用含有t的式子表示，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)； (2)①，且；②． 【来源】2025年天津市河北区九年级二模数学试题　 【分析】（1）根据平行四边形性质得，根据关于y轴对称的点性质得； （2）①根据，两平行四边形重叠部分为四边形时，得，；②根据，得，当时，；当时，；当时，，；当时，，；当时，，；故当时，． 【详解】（1）解：∵平行四边形中，，且， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形与平行四边形关于y轴对称， ∴点P与点C关于y轴对称， ∴， 故答案为：；； （2）解：①如图，当时， ∵平行四边形与平行四边形重叠部分为四边形， ∴点在边上，点在边上， ∵，， ∴，； ②∵， ∴， ∴， 由轴对称与平移知，， 当时，重叠部分是等边三角形， ∵， ∴， ∴当时，； 当时，重叠部分是梯形， ∵，， ∴, ∴； 当时，重叠部分是六边形形， ∵，，， ∴， ∴； 当时，重叠部分是梯形， ∵，， ∴， ∴； 综上，． 故． 10．（2025·天津南开·一模）将平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图2，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，；② 【来源】2025年天津市南开区九年级中考一模数学试卷 【分析】（1）过点C作，根据平行四边形的性质，得出结合勾股定理，即可作答． （2）①过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在y轴的正半轴上，根据题意及等腰三角形的判定和性质得出是等腰三角形，然后确定相应图形，找出临界点即可；②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出，再分别以时，时，时，分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图：过点C作， ∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在y轴的正半轴上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， 过点D作， ∴， ∴， 当与点重合时， 此时与的交点与A重合，， 如图：当与点B重合时， 此时与的交点与B重合，， ∴的取值范围为； ②由（1）得出， ∴， ∴， 当时， 如图，重叠部分的面积为， ， ∵，开口向上，对称轴直线， ∴在时，随着的增大而增大， ∴； 当时，如图，重叠部分的面积为， ， ， ∵，随着的增大而增大 ∴在时； ∴当时，； 当时， 如图，重叠部分的面积为， 由①得出是等腰三角形，，，， ∴， ∵ ∴开口向下，在时，有最大值， ∴在时； ∴在时，； 当时，如图，重叠部分的面积为， ， ∵，随着的增大而减小， ∴在时，把代入得，把代入得， ∴在时，， 综上：的取值范围为． 题型03 矩形与函数综合 析典例·建模型 11．（2024·天津河北区·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点，，；等边的顶点，点E是的中点． (1)填空：如图①，点C的坐标为______，点Q的坐标为______； (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点E，P，Q的对应点分别为，设，等边与矩形重叠部分面积记为S． ①如图②，当边与相交于点M，边与相交于点N，点在点的左侧且矩形与重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①；② 【来源】2024年天津市河北区中考一模数学试题 【分析】（1）由，点E是的中点，可得，由等边的顶点，可求； （2）①如图1，连接交轴于，则四边形是矩形， 则，由题意知，，，当重合时，是等边三角形，，，则，当矩形与重叠部分为五边形时，，由平移的性质可知，，根据计算求解即可；②如图2，当时，重合部分为等边，，，则，由平移可知，此时重合部分面积最小，；由平移可知，如图3，当重合部分为五边形时，面积最大，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，点E是的中点， ∴， ∵等边的顶点， ∴； 故答案为：； （2）①解：如图1，连接交轴于，则四边形是矩形， ∴， 由题意知，，， 当重合时，是等边三角形，，， ∴， ∴当矩形与重叠部分为五边形时，，即， 由平移的性质可知，， ∴； ∴； ②解：如图2， 当时，重合部分为等边，，， ∴， 由平移可知，此时重合部分面积最小，； 由平移可知，如图3，当重合部分为五边形时，面积最大， ∵，， ∴， 由①可知，， ∴， ∴， ∴． 研考点·通技法 1用点的坐标表示矩形边长：矩形边常与坐标轴平行，直接利用横纵坐标差表示长和宽，快速建立面积、周长的二次函数模型。 2善用“斜率负倒数”处理直角：当矩形边不平行于坐标轴时（如旋转后），利用两直线垂直的条件（斜率乘积为 -1）或勾股定理，将几何垂直关系转化为代数方程。3矩形存在性用“对角线法”：已知两点，求矩形另两个顶点。先以线段为边或对角线分类，利用矩形对角线相等且互相平分（中点坐标公式）来列方程求解。 破类题·提能力 12．（2021·天津·中考）在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过点B． （Ⅰ）如图①，求点B的坐标； （Ⅱ）将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，，设，矩形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当点在x轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（Ⅰ）点B的坐标为；（Ⅱ）①， t的取值范围是；②． 【来源】天津市2021年中考数学真题 【详解】解：(I)如图，过点B作，垂足为H． 由点，得． ∵， ∴． 又∠BOH=45°， ∴△OBH为等腰直角三角形， ∴． ∴点B的坐标为． (II)①由点，得．由平移知，四边形是矩形，得． ∴，． ∵，， ∴． ∴ ∴． ∴． ∴． ∴． 整理后得到：． 当与A重合时，矩形与重叠部分刚开始为四边形，如下图(1)所示：此时， 当与B重合时，矩形与重叠部分为三角形，接下来往右平移时重叠部分一直为三角形直到与A点重合，如下图(2)所示： 此时， ∴t的取值范围是， 故答案为：，其中：； ②当时，矩形与重叠部分的面积如下图3所示： 此时，∠BAO=45°，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴重叠部分面积， ∴是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下， 故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小， 故将代入， 得到最大值， 将代入， 得到最小值， 当时，矩形与重叠部分的面积如下图4所示： 此时， 和均为等腰直角三角形， ∴， ， ∴重叠部分面积， ∴是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下， 故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将代入，得到最大值， 将代入， 得到最小值， ∴的最小值为，最大值为， 故答案为：． 当时，由①知 ∴当时，S有最大值为，当时，S有最小值为 ∴的最小值为，最大值为， 综上，S的取值范围为， ∴S的取值范围为． 13．（2026·天津北辰·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点A在x轴的正半轴上，顶点，D为边上一点，，过点D作交于E，且． (1)填空：如图①，点D的坐标为________，点E的坐标为________； (2)将沿x轴向右平移，得到，点C、O、D的对应点分别为、、．设，与四边形重叠部分的面积为S． ①如图②，若边与边相交于点M，边与相交于点N，且与四边形重叠部分为四边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【来源】天津市北辰区2025-2026学年度 第二学期 九年级 第一次模拟考试 数学试卷 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图， 由平移可得，，轴， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴， ∴； ②当时，， ∵，对称轴为直线， ∴当时，； 当时，此时，重叠部分为，如图： 由平移可得，，， 由①可得，， ∴ ∴， ∴， 整理得，， ∵，，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小， ∴时，， 综上：当时，求S的取值范围为． 14．（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，为原点，四边形是平行四边形，，，点，矩形的顶点，点，点在第二象限． (1)如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)将矩形沿轴平移，得到矩形，点的对应点分别为．设，矩形与重叠部分面积为． ①如图②，当交于点，分别交于点，且重叠部分是五边形，试用含的式子表示，并直接写出的范围； ②当时，求的范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【来源】专题07 二次函数图象及其性质与函数和几何图形的综合（3题型 提升题）（天津专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编 【详解】（1）解：如图①，过点作轴于，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵，点， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①过点作，垂足为， ∵，， ∴， 由平移可知四边形是矩形， 又∵四边形 是平行四边形， 则四边形为矩形，， ∵点，点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴当时，， ∵， ∴当时，的值最大，， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，的值最小，， ∴的范围为． 15．（2025·天津西青·二模）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为． (1)如图1，当经过点时，求直线的函数表达式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示　　；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有t的值 ． 【答案】(1) (2)①，；②或5 【详解】（1）解：如图①，当经过点时， 矩形的顶点， ， 由平移的性质可得：为等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时， 矩形中，， 四边形是矩形， 设，则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ②当时，与矩形重叠部分为三角形，如图， 重叠部分的面积为：， ， ，解得：， ， 不符合题意，此时重叠部分面积不可能为； 当时，与矩形重叠部分为四边形（梯形），如图④， 则， ， ， 解得：， ， 符合题意； 当时，重叠部分为梯形，为定值，不能等于； 当时，与矩形重叠部分为五边形， 由①知：， ， 解得：（舍去），； 当时，重叠部分为矩形，如图⑤， ， ， 当时，，不符合题意； 综上所述，满足的所有的值为或5． 题型04 菱形与函数综合 析典例·建模型 16．（2025·天津七中·模拟）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形的顶点A、D分别在坐标轴上，轴，点，，是直角三角形，，，将沿x轴向右平移，得到，点P、O、Q的对应点分别为． (1)填空：如图①，点B的坐标为 ，当经过点B时，与的交点E的坐标为 ； (2)设，与菱形ABCD重叠部分的面积为S． ①如图②，当边与相交于点F，分别与、相交于点G、H，且与菱形重叠部分为六边形时，试用含有t的式子表示线段，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围(直接写出结果即可)． 【答案】(1)； (2)①；② 【来源】2025年天津市天津市河东区天津市第七中学模拟预测数学试题 【详解】（1）解：如图，连接交于点， ∵， ∴， ∵菱形，， ∴，，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴，， ∴点B的坐标为，点A的坐标为， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵当经过点B时，与重合， ∴沿x轴向右平移3个单位长度， ∴，， 设直线的解析式为， 代入和得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得：直线的解析式为， 联立，解得， ∴； ∴综上所述，点B的坐标为，点E的坐标为 故答案为：；． （2）解：①如图，连接交于点，交于点， 由题意得，沿x轴向右平移个单位长度得到， ∴，，， 由（1）得，，，四边形是矩形，， ∴， ∵菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵在中，， ∴， 当点与点重合时，； 当经过点B时， ∵，， ∴同理（1）的方法可得，直线的解析式为， 代入得，，解得； 由图象得，当时，与菱形重叠部分为六边形， ∴综上所述，； ②当时，与菱形重叠部分为，连接交于点， 由①得，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，与菱形重叠部分为四边形，设与轴交于点， 由①得，直线的解析式为， 令，则， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴； 当时，与菱形重叠部分为六边形， 同理可得，， ∵， ∴ ， 当时，有最大值， ∵， ∴； 当时，与菱形重叠部分为五边形，设与延长线交于点， 同理可得，，， ∵，， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴； 当时，与菱形重叠部分为，设与交于点， 直线的解析式为， 令，则，解得， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴综上所述，S的取值范围为． 研考点·通技法 1. 菱形存在性问题等腰三角形法：已知三点求菱形顶点时，常转化为等腰三角形问题。因为菱形的邻边相等，可先确定一个等腰三角形，再通过平移得到第四个点。 对角线法：设未知点坐标，利用对角线互相平分（中点坐标公式）和邻边相等（距离公式）列方程组。注意分情况讨论哪条线段作为边或对角线。 几何特性：菱形对角线垂直。若已知一对顶点坐标，可以算出中点，利用垂直关系设出另一条对角线的直线方程，再与二次函数联立。 2. 动态菱形面积最值 · 底×高转化：若菱形有一边在坐标轴上，直接用坐标差计算底和高，表达为二次函数求最值。对角线乘积法：当已知两个动点分别在函数图像上，且满足菱形条件时，面积可用对角线(或相似比)的平方来表示，再转化求解。 破类题·提能力 17．（2024·天津河东·一模）在平面直角坐标系中，为原点，直角三角形的顶点，，菱形的顶点．    (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)将菱形沿水平方向向右平移，得到菱形，点的对应点分别为，设，菱形与直角三角形重叠部分的面积为． （ⅰ）如图②，当边分别与相交于点，边与相交于点，边与相交于点，且菱形与直角三角形重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； （ⅱ）当时，求的值（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，； (2)（ⅰ）；；（ⅱ）； 【来源】2024年天津市河东区中考一模数学试题 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 设， ∵，四边形为菱形， ∴， 解得：， ∴． （2）解：（ⅰ）连接，    由点，点，得， ∵点，点，点， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴轴， ∴， 菱形中， ， ∴， ， 根据平移可知，，， ∴， ， ， 在中，由，得， ， 同理，得：，， ， ， 设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴当点恰好在上时，点的横坐标为， 根据平移可知：此时， 当点恰好在y轴上时，， ∴当重叠部分为五边形时，． 的取值范围是； （ⅱ）当时，重叠部分为三角形，如图所示：    过点作轴，则， 根据解析（ⅰ）可知，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， 解得：，负值舍去； 当时，重叠部分为五边形，且面积为： ， ∵， ∴当时，取最大值， 当时，， ∴当时，， ∴此时不可能等于； 当时，重叠部分为平行四边形，如图所示：    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 综上分析可知，当时，的值为；． 18．（2025·天津河西·中考模拟）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H，连接BM. （1）菱形ABCO的边长 ； （2）求直线AC的解析式； （3）动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒， ①当0＜t＜时，求S与t之间的函数关系式； ②在点P运动过程中，当S=3，请直接写出t的值． 【答案】（1）5；（2）直线AC的解析式y=﹣x+；（3）①；②t=或． 【详解】解：（1）Rt△AOH中， ， 所以菱形边长为5； 故答案为5； （2）∵四边形ABCO是菱形， ∴OC=OA=AB=5，即C（5，0）． 设直线AC的解析式y=kx+b，函数图象过点A、C，得 ，解得， 直线AC的解析式； （3）设M到直线BC的距离为h， 当x=0时，y=，即M（0，），， 由S△ABC=S△AMB+SBMC=AB•OH=AB•HM+BC•h， ×5×4=×5×+×5h，解得h=， ①当0＜t＜时，BP=BA﹣AP=5﹣2t，HM=OH﹣OM=， S=BP•HM=×（5﹣2t）=﹣t+； 当＜t≤5时，BP=2t﹣5，h=， S=BP•h=×（2t﹣5）=t﹣， ∴ ②把S=3代入①中的函数解析式得，3=﹣t+， 解得：t=， 把S=3代入①的解析式得，3=t﹣， 解得：t=． ∴t=或． 19．（2024·天津南开·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形是矩形，点A，C的坐标分别是，．点D是边上的动点（与端点B，C不重合），过点D作直线交边于点E． （1）如图①，直接写出D，E两点的坐标（用含b的式子表示）． （2）如图②，若矩形关于直线的对称图形为矩形，试探究矩形与矩形的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积：若改变，请说明理由； （3）矩形绕着它的对称中心旋转，如果旋转前后两矩形重叠部分的图形是菱形，请直接写出这个菱形面积的最大值和最小值． 【答案】（1）；；（2）面积不变，且面积为；（3）； 【详解】 解：（1）四边形是矩形， 轴， 由点，的坐标分别为，． 可得点的纵坐标为 1 ， 当时，， 解得：， 的坐标为 当时，， 解得：， 的坐标为 （2）与的交点为，与的交点为，如图： 四边形，四边形是矩形， ，， 四边形是平行四边形， 矩形关于直线的对称图形为矩形， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形， 过点作于点， 由，， 可知，，， ， 设菱形的边长为， 在中，，，， 由，得， 解得：， ， 所以重叠部分菱形的面积不变， 为； （3） 如下图所示， 当这个菱形是正方形时，即时，菱形的面积最小，最小值是1； 如下图所示， 当这个菱形与重合时，菱形的面积最大， 设，则, 中， 解之得：， ∴ ∴菱形面积的最大值是． 【点睛】 本题考查了一次函数的性质，矩形的性质，菱形的性质与判定，正方形的性质与判定，勾股定理，旋转等知识点，熟悉相关性质和知识点是解题的关键． 20．（2026·天津滨海新区·一调）在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点，，菱形的顶点，，，连接． (1)填空：如图①，点B的坐标为________，点H的坐标为________； (2)将菱形沿水平方向向右平移，得到菱形，点E，F，G，H的对应点分别为，，，．设，菱形与矩形重叠部分的面积为S． ①如图②，当边，分别与相交于点M，点N，且菱形与矩形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【来源】2026年天津市滨海新区九年级学业质量调查试卷（一）数学 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，且，， ∴，， ∴； 如图，连接，交于点K， ∵四边形是菱形，且，，， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴． （2）解：①∵，， ∴， 由（1）知，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ ； ②当时，， 由可知，当时，， 当时，如图，设，分别交于点T，S，交于点R， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，S有最小值， ∴S的取值范围是． 题型05 正方形与函数综合 析典例·建模型 21．（24-25九下·天津宝坻三中·检测）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形是正方形，顶点，点B在y轴正半轴上，点C在第二象限， 的顶点， 点． (1)如图①， 求点B， C的坐标； (2)将正方形沿x轴向右平移，得到正方形 ，点A，O，B，C的对应点分别为． 设，正方形与重合部分的面积为． ①如图②，当正方形与重合部分为五边形时，直线 分别与y轴，交于点E，F，与交于点H，试用含t的式子表示，并直接写出t的取值范围； ②若平移后重合部分的面积为 则t的值是 (请直接写出结果即可)． 【答案】(1)， (2)①；②或 【来源】天津市宝坻区第三中学2024-2025学年下学期九年级数学检测卷 【详解】（1）解：由，得， 四边形正方形， ． ，； （2）解：①，，， ，． 由平移知，四边形是正方形，得，,四边形是矩形． ，，． ， ，． ， ． ． （Ⅰ）当时，如图所示． , 即． （Ⅱ）当时，如图所示． , 即. 综上所述， ②当时， 由题意得， 解得或（舍去）； 当时，点与点N重合， 此时， ∴， ∴， 由题意得， 解得或（舍去）； 综上，的值是或． 故答案为：或． 研考点·通技法 一、存在性问题（分类讨论） 已知两点（A、B）和另外两点（P、Q）在二次函数图像上，求正方形存在性。 二、动态几何与最值 面积/周长最值： 正方形顶点在抛物线上移动时，设顶点横坐标为t，利用坐标差表示边长，建立二次函数。 技巧： 优先建系，让正方形两边与坐标轴平行，或边平行于坐标轴，直接由横纵坐标差求边长。 线段和最值： 遇动点问题，尝试转化：正方形对角线垂直平分，可作对称点转化路径 破类题·提能力 22．（2025·天津红桥·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，正方形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为______，点D的坐标为______； (2)将正方形沿x轴向右平移，得到正方形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，．设，正方形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当正方形与重叠部分为五边形时，与相交于点F，与相交于点G，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)； (2)①② 【来源】天津市红桥区2025年九年级结课考试（一模）数学试题 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点， 顶点， ， 是等腰直角三角形， ， ， 正方形的顶点， ， ， 故答案为：；； （2）解：如图②，当时，正方形与重叠部分为五边形， 此时， ， 为等腰直角三角形， ， 则， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ； ②当时，如图，，此时当时，取最小值为，当时，取最大值为，则； 当时，，当时，取最大值为，则； 当时，如图，，当时，取最大值为2，当时，取最小值为，此时； 综上，S的取值范围为． 23．（24-25九上·天津静海·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形的顶点的坐标为，点在第一象限，点在轴正半轴上． (1)如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)将正方形绕点逆时针旋转，得到正方形，，，的对应点分别为，，．旋转角为，的延长线交轴于点，与轴交于点． ①如图②，当时，点的坐标为________，点的坐标为________； ②如图③，在旋转过程中，连接，设，的面积为S，求S关于的函数表达式，并直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)①，；② 【来源】 天津市静海区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 【详解】（1）解：正方形的顶点的坐标为， ∴， ∵点在第一象限，点在轴正半轴上， ，， 故答案为：，； （2）解：①过点作轴于点， 由旋转可得：， ， ，即， ， ， 故答案为：，； ②根据题意，由旋转的性质得：， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ， 当点与重合时，， 又， ， 旋转角为， ， ． 24．（2023·天津部分区·一模）在平面直角坐标系中，为原点，四边形是正方形，顶点，点在轴正半轴上，点在第二象限，的顶点，点． (1)如图①，求点的坐标； (2)将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点A，O，B，C的对应点分别为．设，正方形与重合部分的面积为． ①如图②，当时，正方形与重合部分为五边形，直线分别与轴，交于点，与交于点，试用含的式子表示； ②若平移后重合部分的面积为，则的值是_______（请直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；②或 【来源】2023年天津市部分区中考一模数学试卷 【详解】（1）解：由，得， 四边形正方形， ． ，； （2）解：①，，， ，． 由平移知，四边形是正方形，得，． 四边形是矩形． ，，． ， ，． ， ． ． 当时， ． ②当时， 由题意得， 解得或（舍去）； 当时，点与点N重合， 此时， ∴， ∴， 由题意得， 解得或（舍去）； 综上，的值是或． 故答案为：或． 25．（2023·天津河西·一模）在平面直角坐标系中，有，，点Q在边上，过点Q作于Q，且，以PQ为边向右侧作正方形，设． (1)如图①，当点E与点A重合时，求t的值； (2)如图②，当点E在点A右侧，且正方形与重叠部分为五边形时，边与边相交于点M，试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； (3)设正方形与重叠部分图形的面积为S．当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】2023年天津市河西区中考一模数学试卷 【详解】（1）解∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∵于Q， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，解得：， ①当时， ， ∴当时，的最小值为，最大值为； ②当时， , 当时，的最小值为； 当时，的最大值为； ③当时， ∴当时， 当时，的最小值为； 当时，； 综上所述： （建议用时：50分钟） 刷模拟 1．（25-26九下·天津河东·质量检测（一））在平面直角坐标系中，为原点，等腰的顶点，．四边形是正方形，点是的中点，点在轴上． (1)填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)将四边形沿轴向右平移得到四边形，点，，，的对应点分别为，，，，设． （i）如图②，当四边形与重叠部分为五边形时，，，分别与，相交于点，，，，试用含有的式子表示线段，并直接写出的取值范围； （ii）设平移后四边形与重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)（i），；（ii） 【来源】天津市河东区2025--2026学年第二学期九年级数学质量检测试卷（一） 【分析】（1）连接交于点，根据等腰三角形的性质得到，求出，进而得到，再根据正方形的性质的长，即可求出； （2）（i）根据平移的性质证明四边形是矩形，进而得到和是等腰直角三角形，则，；当四边形与重叠部分为五边形时，点在的右侧，点在点的左侧，列出关于的不等式组，即可得出的取值范围； （ii）分3种情况讨论：①当时；②当时；③当时，先确定四边形与重叠部分的图形，再利用图形的面积公式表示出与的关系式，结合，列出关于的不等式，即可求解． 【详解】（1）解：连接交于点，   ∵等腰的顶点，， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：（i）由平移的性质得，，四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵等腰，， ∴， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵点是的中点，， ∴， 由（1）得，， 由平移的性质得，，， ∵当四边形与重叠部分为五边形时，点在的右侧，点在点的左侧， ∴， 解得， 综上，，； （ii）①当时，四边形与重叠部分为四边形， 由（i）得，四边形是矩形，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 令，则， 解得， ∴； ②当时，四边形与重叠部分为五边形， ∵， ∴， 由平移的性质得，，四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形，， 由（i）得，是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 同理①的方法可得，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值5；当和时，取得最小值4， 此时，满足题意； ∴； ③当时，四边形与重叠部分为， ∵， ∴， 由平移的性质得，，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 令，则， 解得或， ∴； 综上，的取值范围为． 2．（2025·天津·一模）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，，点是边的中点． (1)填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)连接，将直角三角形纸片沿剪开，把水平向右平移得到，点，，的对应点分别是，，，设． ①如图②，当与重叠部分为五边形时，分别与，相交于点，，与相交于点，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； ②当时，求与重叠部分的面积的取值范围．（直接写出结果即可） 【答案】(1)，； (2)①；②． 【来源】专题07 二次函数图象及其性质与函数和几何图形的综合（3题型 提升题）（天津专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编 【详解】（1）解：∵点， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴点， 如图，连接，过点作于点， ∵，， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， 故答案为：，； （2）解：①由（1）可知，为等边三角形， 由平移可知，，，有， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； ② 当时，重叠部分为五边形， ∴， 由平移可得，， ∴， ∴为等边三角形， 同理，， 在中， ， ， ∵， ∴时，时，， ， 当时，重叠部分为直角三角形， 在中， ∵， ∴， ， ∵， ∴时，时，， ∴综上所述，取值范围为：． 3．（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，为原点，四边形中，且，，点，点在轴正半轴上，且． (1)填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)将沿轴水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，，设，与四边形重叠部分的面积为． ①如图②，当边与交于点，边与交于点，且与四边形重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①  ② 【来源】专题07 二次函数图象及其性质与函数和几何图形的综合（3题型 提升题）（天津专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编 【详解】（1）解：，． 在中，， ． 如图，过作于点，于点， 则， ． 在中，， ． 故答案为： ，． （2）①如图，作于，于， ，． 又， 四边形为矩形， ． ． ， ． 在中，，， ． 则． ，． 四边形为平行四边形． ． 则． ， ． ， ． ，则． ． ． ②当时，如图，重叠部分为梯形， 由题可知， ． ， ． 当时，如图，重叠部分为梯形， ，， 点是中点． ． ． 当时，此时重叠部分为五边形，如①中情形， ． 此时在时，随增大而减小， 当时，，当时，， ． 当时，如图，此时重叠部分为， ， 为等边三角形． 此时， ． ． 当时，，当时，， ． 综上，． 4．（2025·天津红桥·三模）将一个梯形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在轴的正半轴上，点在第一象限，且． (1)填空：如图①，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)若为边上一动点（点不与点，重合），过点作直线，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为．设，折叠后重叠部分的面积为． ①如图②，若直线与边相交于点，点的对应点为，当折叠后点落在梯形的内部，且重叠部分为四边形时，与边相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①；② 【来源】2025年天津市红桥区中考三模数学试题 【详解】（1）解：过点B作轴于点D， ∵， ∴， ， ∵点， ∴， ∵梯形中， ，轴， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， 故答案为：； （2）①过点Q作于点E， ，， 四边形是平行四边形， ∴， ∵， ． ， ∵， ， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， ∴，， ∴， ， 由折叠可知：，， ， ，解得：， ， ， ， 由折叠可知：， ∵折叠后重叠部分的面积为， ， 又，解得：， ； ②当时，折叠后重叠部分为，如图所示： 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，折叠部分为四边形，如图所示： 根据解析①可知：此时， ∴； 当时，重叠部分为四边形，如图所示： 则， ∵， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∵， ∴为等边三角形，且边长为， ∴， ∴ ， ∴当时，； 综上分析可知：． 5．（2025·天津和平·三模）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，，点在轴正半轴上，点在边上，且，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为，设．    (1)填空：如图①，当时，点的坐标为          ，点的坐标为          ； (2)如图②，若折叠该纸片后与重叠部分为四边形，点的对应点为，与边相交于点，与边相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； (3)若折叠该纸片后与重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2) (3) 【来源】2025年天津市和平区九年级三模数学试题　 【分析】（1）延长交轴于，由正切函数得，可得， ，，即可求解； （2）由正切函数得，由直角三角形的特征得，即可求解； （3）①当时，此时折叠该纸片后与重叠部分为，由直角三角形的特征，由三角形的面积得； ②当时，由三角形面积得，，由二次函数的性质，即可求解；③当时，由等边三角形面积得，由二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：延长交轴于， ，， ，， ， ， ， ， 由翻折得：， ， ， ， ， ， ，， 故答案为：，； （2）解：由折叠得 ，， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， 故（）； （3）解：①当时，如图， 此时折叠该纸片后与重叠部分为， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图， ， ， ， ， ， ， ，， ， 当时，， ； ③当时，如图， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 综上所述：． 6．（2025·天津塘沽一中·三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，等边的顶点，的顶点，其中． (1)填空：如图1，点A的坐标为______，点F的坐标为______； (2)现将沿x轴向右平移得，设．和重叠部分的面积为S． ①如图2，当点在x轴的正半轴上，且和重叠部分为五边形时，，与交于M，N，与交于点P，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求t的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，的取值范围为； ② 【来源】天津市滨海新区塘沽第一中学2024-2025学年下学期数学第三次中考模拟试卷 【分析】（1）过点A作x轴的垂线，垂足为D，根据等边三角形的性质可得，解直角三角形求出，即可得到点A的坐标；同理解直角三角形求出，即可得到点F的坐标； （2）根据运动状态画出示意图，根据图形找到重叠部分的面积，利用解直角三角形求出所需边长，即可表示出在不同状态下的重叠部分的面积的表达式；①即可得解；②根据重叠部分的面积的表达式，分别根据二次函数的图象和性质，求解即可． 【详解】（1）解：过点A作x轴的垂线，垂足为D， ∵是等边三角形，，且， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵中，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 当点在上时，如图： ∵， ∴此时， ∴； 当点在上时，如图： 同理得：此时 ， ∴， ∴； 当点在x轴的负半轴上或与点重合时，即，如图：过点N作x轴的垂线，垂足为H， 由平移的性质得， ∵， ∴， 设， ∴， ∵，即， ∴， 此时，； 当点在x轴的正半轴上，且点在外部（左侧）时，即，如图：过点N作x轴的垂线，垂足为H，过点P作x轴的垂线，垂足为G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同上得， 此时，， ， ， ， ， ， 当点在x轴的正半轴上，且点在内部时，即，如图： 此时，， ， ； 当点在x轴的正半轴上，且点在外部（右侧）时，即，如图：设交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时，； 综上，， ①当点在x轴的正半轴上，且和重叠部分为五边形时， 此时，并且的取值范围为； ②∵， 当时，随的增大而增大， 当，则， 解得：或， 当，则， 解得：或， ∵， ∴； 当时， ∵的图象关于对称， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 当，有最大值为， 当时，， 解得：或， ∴当时，均满足； 当时， ∵的图象关于对称， ∴当时，随的增大而减小， 当，则， 解得：或， 当，则， ∵解得：或 ， ∴； 当时， ∵的图象关于对称， ∴当时，随的增大而减小， 当时，有最大值为， ∴此时，不满足， 综上，的取值范围为． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $