专题04 解直角三角形的实际应用5大题型（大题专练）（天津专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04解直角三角形的实际应用 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 ☑PART 01 命题解码•定方向 2024年，以测量天津海河桥塔高度为背景，考查的是两个分离的直角三角形模型。两个直角三角形分 立两侧，需要通过公共边BC建立方程。2025年，以测量天津站世纪钟高度为背景，考查的是两个直 角三角形重叠（母子型）模型。两个直角三角形有重叠部分，通常需要通过设未知数、利用公共边列方 程求解。 命题趋势：1.题型结构：持续稳定第22题作为天津中考的固定题型，预计2026年将继续保持10分 分值，考查形式依然是以实建筑测量为背景的解直角三角形问题。2.背景素材：延续天津特色近两 年第22题均取材于天津本土地标。3.难度与计算量：保持平稳。 2026年预测：·难度总体平稳，遵循"两考合一"的考试性质，计算量适中，题目提供的参考数据（如 ta值)能使计算简化。设问方式：可能保持2问结构（先求某段距离，再求高度），也可能整合为 1问 ☑PART 02 解题建模•通技法 >题型01俯角和仰角相关实际问题<〈 析典例侧.建模型✉ 1.(2026·天津滨海新区.一调)综合与实践活动中，要用测角仪测量校园附近一座信号塔的高度. 某校研究性学习小组设计了一个方案：如图，该信号塔AB垂直于水平地面，其前方有一段台阶，台阶顶端 1/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D距离地面的高度DE=2m,点E,C,A在同一条水平直线上，且∠DCE=22°.在点C处测得塔顶B的 仰角为45°，又在台阶顶端D处测得塔顶B的仰角为35°， B 信 号 条 D359 台阶出 145o E (1)求线段CE的长： (2)求信号塔AB的高度（结果取整数），参考数据：tan22°≈0.4，tan35°≈0.7. 砑考点通技法 区分仰角和俯角：仰角算上面段高度，俯角算下面那段，两者相加才是总高度。看清参考数据：题目 给的tan值已经近似，直接代入，结果按要求取整数。不要用错三角函数：已知水平距离和角度求高度， 用正切；已知斜边和角度求高度，用正弦。第22题通常给的是水平距离，默认用正切。 破类题提能力 2.(2026·天津河北区·质量检测（一）)分别从两建筑物AB,CD的顶端A,C观察地面上一点E,点B, E,D在一条直线上，从点A观察点E的俯角为38.6°，从点C观察点E的俯角为63.4°，若建筑物CD比 AB高12.6m,点B,D之间的距离为70.0m.求建筑物AB,CD的高（结果取整数），（参考数据： tan38.6°取0.8，tan63.4°取2.0.) 63. A38.65 B D 3.(2025·天津南开.一模)综合与实践活动中，要用测角仪测量小山上方某信号塔4B的高度（如图①）.某 小组设计了一个方案：如图②，点E,C,D依次在一条水平线上，ED=182m,ED⊥AB,垂足为点C.在 2/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D处测得信号塔顶端A的仰角∠ADC为66°，在E处测得信号塔顶端A的仰角∠AEC)为45°，测得信号 塔底端B的仰角∠BEC)为31°.参考数据：tan66°取2.25，tan31°取0.60. 图① 图② (1)求线段AC的长： (2)求信号塔AB的高度（结果取整数）· 4.(2024天津河北区二模)某校综合与实践活动中，要利用测角仪测量郊外一小山的高度.如图，两山 脚距离AD=400m,在山脚A测得山腰B处的仰角为30°，山脚A和山腰B相距60m,在山腰B处测得山 顶C的仰角为48°，在山脚D测得山顶C的仰角为62°，点A,B，C,D在同一平面内. C 62° 48530° D H (1)求山腰B到AD的距离BE的长； (2)设山高CH为h(单位：m): ①用含有h的式子表示线段DH的长（结果保留三角函数形式）： ②求山高CH(tan62°取1.9，tan48°取1.1，√5取1.7，结果取整数). 5.(2025·天津.中考)综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，某中学九年级数学活动小 组选定测量学校前面小河对岸大树BC的高度，已知AD=6m，∠DAE=30°，他们在斜坡上D处测得大树 顶端B的仰角是30°，在A处测得大树顶端B的仰角是48°. B F 130° 1480 E A用 (1)求D到地面距离DN的长； 3/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)求大树BC的高度.（结果保留一位小数）参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，√5 取1.73. >题型02坡度相关实际问题<〈 析典侧：建摸型 6.(2025·天津滨海新区.一模)如图，某处有一座塔AB,塔的正前方有一平台DE,平台的高DG=5米， 斜坡CD的坡度i=5:2,点A,C,G,F在同一条水平直线上.某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在 斜坡C处测得塔顶部B的仰角为54.5°，在斜坡D处测得塔顶部B的仰角为26.7°，求塔高AB.(精确到01 米)（参考数据：tan54.5°≈1.40，sin54.5°≈0.81，cos54.5°≈0.58，tan26.7°≈0.50，sin26.7°≈0.45， c0s26.7°≈0.89) B ED26.7° 54.5° 研考点通技法 1.沿着坡面作垂直高度和水平距离，构造含坡度的直角三角形。2.在观测点处作水平线，构造含仰角/俯 角的直角三角形。3.两个三角形通过公共边或公共点建立联系。 破送题提能力 7.(2025·天津北辰.一模)本溪市青云山景区为给游客游览提供便利，计划在青云山的点D处修一条到山 顶A的索道.如图，AB⊥BC,规划小组在山底的点C处测得山顶A的仰角为54°，从点C处沿坡度为 i=1:2.4的斜坡前进13米至点D处，在点D处测得山J顶A的仰角为60°.求索道D4的长度， (结果精确到1米.参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6，tan54°≈1.4，√5≈1.7) 4/17 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8.(2025天津河北区二模)如图，某社区一建筑物上，悬挂“创文明小区，建和谐社会"的宣传条幅AB, 小明站在位于建筑物正前方的台阶D点处测得条幅顶端A的仰角为36.5°，朝着条幅的方向走到台阶下的E 点处，测得条幅顶端A的仰角为64°，己知台阶DE的坡度为1：2，DC=2米，则条幅AB的长度为多少米， (结果精确到0.1米，参考数据sin36.5°≈0.6，tan36.5°≈0.75，sin64°≈0.9，tan64°≈2.1) D236.50 64° E B 9.如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚 B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i(即tan∠ABC)为1：√5，点P、H、B、C、A在同一个平面上，点 H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC. (1)山坡坡角（即∠ABC)的度数等于度； (2)求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：√5≈1.732)· 10.(2025·天津河西·模拟)城市规划期间，欲拆除一电线杆AB,如图，已知距电线杆AB的水平距离14m 的D处有一大坝，背水坡CD的坡度i=1:0.5,坝高C℉为2m,在坝顶点C处测得电线杆顶点A的仰角为 30°，DE之间是宽为2m的行人道，试问在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？ 5/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (提示：在地面上，以点B为圆心，以AB为半径的圆形区域为危险区域)（参考数据：√5≈1.73） A 30 B 道 >题型03方位角相关实际问题<《 析典例：.建模型 11.(2025·天津河东·二模)“桥园公园”简称桥园，是天津市最大的人造生态湿地公园，也是中国城市公园 在世界建筑节上第一次获“全球最佳景观奖”的生态创意型公园.为了生态可持续发展，某园林设计公司为桥 园一处湿地提供了一份景观提升设计.如图，距A地东北方向60√2m处是亲水平台(B地)，距亲水平台 (B地)北偏东60°方向150m处是观景台(C地)，从观景台(C地)沿长廊向正南方向走可以到达凉亭(E 地)，从亲水平台(B地)向正东方向走可以到达长廊(F地)· (1)请求出CE的长度； (2)从A地出发后，先沿正东方向走可到达凉亭(E地)，再沿北偏东15°方向走可到达小广场(D地)，小 广场(D地)在观景台(C地)的南偏东30°方向.请求出CD的长度.（结果取整数，参考数据√≈1.7） 考点：通技法 6/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 」1.画图：标出”十”字方位，标出所有点、方位角和已知距离。2.转化：将方位角转化为直角三角形中 的内角（通常用余角关系）。3.设未知数：设要求的距离为×。4.列方程：在不同三角形中用正切表示 公共边。5.求解作答：结果按要求取整数。 破送题提能力小 12.(2025·天津河北区.一模)景点A的南偏东76°方向有景点B,景点A的正南方向9km有景点C,景点 A和景点C有一条笔直的公路相连，景点B在景点C北偏东38°方向，即线段 AC=9km,∠BAC=76°，∠ACB=38°， A IB 45 D 38° (1)求景点B到公路AC的最短距离（结果取整数）； (2)景点B的东南方向4.23km有景点D,求景点D到公路AC的最短距离（结果取整数）. 参考数据：tan76°取4.0，tan38°取0.8，√2取1.41. 13.(2024天津七中.三模)如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C,货轮航行到A处时，测 得码头C在北偏东60°的方向上.为了躲避A,C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°的方 向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°的方向航行40海里到达码头C(参考数据： sin50°≈0.766，c0s50°≈0.643，tan50°≈1.192) 北 B 709 北 60 30 (1)求∠ACB的度数： 7/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)求货轮从A处到B处航行的距离（结果精确到0.1海里.） 14.(2024天津武清·三模)如图，乡镇A在乡镇B的正北方向，桥CD最北端桥墩C在乡镇A的西南方向， 最南端桥墩D在乡镇B的北偏西37°方向11k处.原来从乡镇A到乡镇B需要经过桥CD,沿折线 A→C→D→B到达，现在新建了桥EF,可直接沿直线AB从乡镇A到达乡镇B,己知桥CD和AB平行， EF=CD. →东 45 3> (1)求点C到直线AB的距离； (2)求现在从乡镇A到乡镇B比原来少走的路程.参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，√2≈1.4，结果保 留整数. 15.(2024天津和平区三模)如图，小岛A,B,C在同一条南北方向的直线上.一艘轮船位于灯塔M的 正西方向，距离灯塔B0海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔M的西北方向上的B 处，轮船沿北偏东30°方向航行到达小岛D,这时测得灯塔M位于D的南偏东14°方向上，C在D处的正 西方向. 309 B 459 M (1)求小岛A,B之间的距离AB的长； 8/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)设小岛C,D之间的距离CD为h(单位：海里)； ①用含有h的式子表示线段AC的长（结果保留根号）； ②求小岛C,D之间的距离.(sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tanl4°≈0.25，√5取1.73，结果精确到0.1) >题型04建筑相关实际问题<了 析典侧：建模罢 16.(25-26九下，天津和平.第一次质量调查)综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的拱 顶距离水面的竖直高度EF(如图①)·某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A,B是水平地面上 两点，且与点E,F均在同一竖直平面内，AC⊥AB,BD⊥AB,且测角仪AC=BD=1.7m,己知水平地 面离水面的高度为2m.在测角仪顶端D处测得拱顶E的仰角为22°，在测角仪顶端C处测得拱顶E的仰角 为31°，AB=29m,根据该学习小组测得的数据，计算拱顶距离水面的竖直高度EF(结果取整数)，参考 数据：tan22°≈0.4，tan31°≈0.6. F水面M B水平地面 图① 图② 砑考点通技法 1.画图标注：在图上标出所有已知角度和距离。2.判断模型：确定是用一个三角形殖接算，还是两个三 角形列方程。3.列式求解。注意区分：测量一个建筑物的高度时，若从某点测得”仰角”和”俯角”， 分别对应顶部和底部，那么建物高度=仰角对应高度+俯角对应高度。4.检验作答：结果通常要求 取整数（精确到1米）。 破类题提能力 17.(2026·天津北辰.一模)综合与实践活动中，要用测角仪测量北辰公园内北极星雕塑AB的高度（如图 ①)，某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A,E,C依次在同一条水平直线上，CD1AC, EF⊥AC,且CD=EF=1.7m,在D处测得北极星雕塑顶部B的仰角为27°，在F处测得北极星雕塑顶部 B的仰角为31°，CE=9.4m,根据该学习小组测得的数据，计算北极星雕塑AB的高度（结果取整数）.参 9/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考数据：tan27°≈0.5，tan31°≈0.6. B .31228D 图① 图② 18.(25-26九下，天津河东·质量检测（一）)天津海河桥梁被誉为“桥梁露天博物馆”，每座桥都有不同的 风格与样式，有”一桥一景”的美誉.某数学兴趣小组在实践活动中，欲测量其中一座跨海河桥的桥塔的塔顶 到水面的距离.如图，桥塔塔顶到水面的距离为EF,点A,B是水平地面上两点，地面高出水面2米，且 与点E,F均在同一竖直平面内.他们在地面A处用高1.5米的测角仪测得桥塔顶端E的仰角（∠EDH)为 35°，然后向桥塔方向前进39米到达B处，用高1.5米的测角仪又测得仰角(LECH)为55°.根据该兴趣小 组测得的数据，求桥塔塔顶到水面的距离EF(结果取整数)，参考数据：tan35°≈0.7，tan55°≈1.4. E D C H 地面 B 水面 19.(2025天津南开三模)如图，一架无人机在一条笔直的公路上方飞行，A处为一辆行驶中的小汽车， BC为公路上的一座桥梁，当无人机飞行到D处时，测得A处的俯角（∠PDA)为，C处的俯角 (∠QDC)为B,其中P,D,Q在一条直线上，且PQ∥AC,此时，小明在桥梁的入口B处测得无人机 D的仰角为45°.已知桥梁BC的总长度为321m. D 45 B 10/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求此时无人机所在位置D离地面AC的距离； (2)A处的小汽车到桥梁入口B的距离AB的长（结果取整数），参考数据：tana= 3’an6s2 Γ5 20.(2025·天津部分区.二模)综合与实践活动中，要用测角仪测量某学校凉亭CD的高度（如图①）· 某小组设计了一个方案：图②是凉亭侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是凉亭的高CD所在的直线， 在地面上F点测得凉亭顶部C的仰角（∠CFD)为38°，此时地面上F点，凉亭外檐上A点，顶部C点三 点共线，继续向凉亭方向走2m到达G点处，又测得A点的仰角（∠AGD)为60°，凉亭的顶层横梁 AB=3m,AB∥FD,AB交CD于点E(点F,G,D在同一水平线上). A E 138° 1609 G D 图① 图② (1)求凉亭顶部到横梁的距离CE(结果取整数)· (2)求凉亭的高CD(结果取整数)，（参考数据：tan38°≈0.8，√3≈1.7） >题型05生活物品相关实际问题<〈 析典例：.建摸里 21.(25-26九下·天津四十三中学情自测)某校数学兴趣小组通过对如图所示靠墙的遮阳篷进行实际测量， 得到以下数据：遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD 与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.（参考数据：sinl6°≈0.28，cosl6°≈0.96，tanl6°≈0.29）. B 167 45 11/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 研考点：通技法 1.抽象图形：将实物（如路灯、滑梯）抽象成几何图形（线段、点、角）。画出草图，标出已知数据。2 识别模型：判断是单一直角三角形，还是双直角三角形（母子型、背靠背型）。3.设列求解：设关键未知 数×（通常为所求高度或距离），利用正切表示相关线段，根据线段和差关系列方程求解。题目给的参考数！ 据（如tan31°≈0.6）会简化计算。4.检验作答：答案需符合实际意义（如高度不能为负），并按题目要 求取整数或精确值。 破类题提能力 22.(2025·天津西青.二模)如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节BA与CB的 仰角a与B的大小来达成个人舒适的高度，已知调节杆CB=11cm,AB=20cm,AB的最大仰角a为53°. (1)当点B离桌面高度大约5℃m时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？ (2)在(1)的条件下，求点A到桌面的最大高度.（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33， sin27°≈0.45，cos27°≈0.89) 23.(2025·天津二十一中学.一模)如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成.图2是其 侧面结构示意图，量得托板长AB=17cm,支撑板长CD=16cm,底座长DE=14cm,托板AB连接在支撑 板顶端点C处，且CB=7cm,托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕D点转动.如图2，若 ∠DCB=70°，∠CDE=60°.（参考数值sin40°≈0.64，c0s40°≈0.77，tan40°≈0.84，√3≈1.73） A D 图1 图2 (1)求点C到直线DE的距离（精确到0.1cm): (2)求点A到直线DE的距离（精确到0.1cm). 12/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 24.(2024,天津南开区.二模)图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕0点旋转一定角度，研 究表明：如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向 屏幕中心P的视线EP与水平线EA的夹角)时，对保护眼晴比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线 AC与水平线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD=30°，∠APE=90°，液晶显示屏的宽AB为 34cm. 图1 图2 (1)求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE;(结果精确到1cm) (2)求显示屏顶端A与底座C的距离AC.(结果精确到1cm)(参考数据： sin18°≈0.3，c0s18°≈0.95，√2≈1.4，√5≈1.7) 25.(2024天津和平.三模)某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示.已知真空集热管DE 与支架CB所在直线相交于点O,且OB=0E;支架BC与水平线AD垂直.AC=40cm,∠ADE=30°， DE=190cm,另一支架AB与水平线夹角∠BAD=65°，求OB的长度（结果精确到1cm;温馨提示： sin65°≈0.91，c0s65°≈0.42，tan65°≈2.14) 图PART03 实战刷题·冲高分 (建议用时：45分钟) 刷模拟 1.(2026·天津东丽.一模)某校组织学生到京杭大运河天津段流域开展研学活动.数学兴趣小组想测量两 13/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 岸平行的大运河某处的宽度，设计了一个方案，如图，在该河段对岸岸边取一点A为参照点，于所在的河 岸边任取两点B,C（点A,B,C在同一平面内)，测得∠ABC=53°，∠ACB=60°，BC=50m,求这段 大运河的宽度（结果取整数）· 参考数据：tan53°≈1.3，√5≈1.7. 人53° 60% B C 2.(2026天津红桥.一模)在综合与实践活动中，要用测角仪测量公园里一个池塘两端的距离AB(如图)· 某学习小组设计了一个方案：在池塘的一端A处测得B处在A处的北偏西53°方向，再沿正西方向前行220m 到达C处，测得B处在C处的北偏东48°方向.根据该学习小组测得的数据，计算池塘两端的距离AB(结 果保留整数)·参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，tan42°≈0.90. 北 B 489 3.(25-26九下·天津红桥·结课考试)综合与实践活动中，要用测角仪测量一台风力发电机的风电塔筒AB高 度（如图①）. 某学习小组设计了一个方案：如图②，点M,N,B依次在同一条水平直线上，AB⊥MB,在M处测得风 电塔筒顶部A的仰角为54°，在N处测得风电塔筒顶部A的仰角为73°，MN=40m·根据该学习小组测得 的数据，计算这台风力发电机的风电塔筒AB的高度（结果保留整数），（参考数据：tan54°≈1.4， tan73°≈3.3). M5439B 图① 图② 4.(2025·天津滨海·二模)脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋， 如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线.为了测量房屋的高 14/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继 续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为55°，房屋的顶层横梁EF=12m,EF|CB, AB交EF于点G(点C,D,B在同一水平线上).（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8， tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4) E C435°55 D 图① 图② (1)求屋顶到横梁的距离AG (2)求房屋的高AB 5.(2024天津河北区.一模)某数学研学小组想测量南龛坡飞霞阁上悬挂的匾额高度，如图①是悬挂巨大 匾额的飞霞阁，图②中的线段BC是悬挂在墙壁AM上匾额的截面示意图.已知BC=1.5米，∠MBC=37°， 从水平地面点D处看点C,仰角∠ADC=45°，继续向前行走5.2米达到点E,从点E处看点B,仰角 LAEB=53°. D E ① ② (1)求点C到墙面AM的距离； (2)求匾额悬挂的高度AB. (参考数据：sin37°≈0.6，c0s37°≈0.8，tan37°≈0.75) 6.(2024天津滨海新区.一模)综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用所学的知识测量矩形广告牌的高 度.如图，在地面A处测得广告牌顶端顶点C的仰角为45°，走向广告牌6m到达B处，在B处测得广告牌 低端顶点D的仰角为66°，己知CD=2m,立柱GH垂直于AB,且点A,B,H在同一条水平直线上.（矩 形广告牌与立柱GH垂直)过点D作DE⊥AB,垂足为E.设DE=h(单位：m)· 15/17 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G 45 人66°1 B (1)用含有h和tan66°的式子表示线段BE的长； (2)求广告牌低端顶点D到地面的距离DE的长.(tan66°取2.25，结果取整数) 7.(2025·天津.一模)综合与实践活动中，要用测角仪测量小山上方某信号塔AB的高度（如图①）·某小 组设计了一个方案：如图②，点E,C,D依次在一条水平线上，ED=I82m,ED⊥AB,垂足为点C.在 D处测得信号塔顶端A的仰角（∠ADC)为66°，在E处测得信号塔顶端A的仰角（∠AEC)为45°，测 得信号塔底端B的仰角（∠BEC)为31°.参考数据：tan66°取2.25，tan31°取0.60， E 图① 图② (1)求线段AC的长； (2)求信号塔AB的高度（结果取整数）· 8.(2024天津河西·模拟)按照中央、省市关于城市燃气管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行 城镇燃气管网老化更新改造工程.图1是改造现场一辆伸缩臂高空作业车的实物图，图2是其工作示意图 (点A,B,C,D,E,F,G,H都在同一平面内)· B C E HD G 图1 图2 如图2，伸缩臂高空作业车CD固定不动，转轴BC固定不动，转动点B离地面EG的高度BH为3.4m,起 16/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 重臂AB长为6.1m,∠ABH=125°，楼高FG为14.4m,操作平台A在FG上. (结果精确到0.1m,参考数据：sin35≈0.57，cos35≈0.82，tan35°≈0.70) (1)求此时操作平台A离地面的高度AG； (2)若起重臂AB可以绕点B上下转动，且长度可伸缩，最长可伸长为13m,则操作平台A能到达楼顶F吗？ 为什么？ 17/17 专题04 解直角三角形的实际应用 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 2024年，以测量天津海河桥塔高度为背景，考查的是两个分离的直角三角形模型。两个直角三角形分立两侧，需要通过公共边BC建立方程。2025年，以测量天津站世纪钟高度为背景，考查的是两个直角三角形重叠（母子型）模型。两个直角三角形有重叠部分，通常需要通过设未知数、利用公共边列方程求解。 命题趋势：1. 题型结构：持续稳定 第22题作为天津中考的固定题型，预计2026年将继续保持10分分值，考查形式依然是以实际建筑测量为背景的解直角三角形问题。 2. 背景素材：延续天津特色 近两年第22题均取材于天津本土地标。 3. 难度与计算量：保持平稳。 2026年预测：· 难度总体平稳，遵循"两考合一"的考试性质， 计算量适中，题目提供的参考数据（如tan值）能使计算简化 。 设问方式：可能保持2问结构（先求某段距离，再求高度），也可能整合为1问 题型01 俯角和仰角相关实际问题 析典例·建模型 1．（2026·天津滨海新区·一调）综合与实践活动中，要用测角仪测量校园附近一座信号塔的高度． 某校研究性学习小组设计了一个方案：如图，该信号塔垂直于水平地面，其前方有一段台阶，台阶顶端D距离地面的高度，点E，C，A在同一条水平直线上，且．在点C处测得塔顶B的仰角为，又在台阶顶端D处测得塔顶B的仰角为． (1)求线段的长； (2)求信号塔的高度（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】(1)线段的长为 (2)信号塔的高度约为 【来源】2026年天津市滨海新区九年级学业质量调查试卷（一）数学 【分析】（1）根据计算即可； （2）过点D作交于点F，在中，设，推出，，在中，结合计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴线段的长为． （2）解：如图，过点D作交于点F， 在中，设， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 即， 解得， 即， ∴信号塔的高度约为． 研考点·通技法 ·区分仰角和俯角：仰角算上面那段高度，俯角算下面那段，两者相加才是总高度。 看清参考数据：题目给的tan 值已经近似，直接代入，结果按要求取整数。 不要用错三角函数：已知水平距离和角度求高度，用 正切；已知斜边和角度求高度，用正弦。第22题通常给的是水平距离，默认用正切。 破类题·提能力 2．（2026·天津河北区·质量检测（一））分别从两建筑物，的顶端A，C观察地面上一点E，点B，E，D在一条直线上，从点A观察点E的俯角为，从点C观察点E的俯角为，若建筑物比高，点B，D之间的距离为．求建筑物，的高（结果取整数）．（参考数据：取，取．） 【答案】建筑物的高约为，的高约为 【来源】天津市河北区2025-2026学年九年级总复习数学质量检测（一） 【分析】在中，有；在中，；结合，，得到关于的方程，解出，即可解答． 【详解】解：根据题意，，，，，， 在中，，，， ∴， 在中，，，， ， 又，， 即，， ， 解得， ∴． 答：建筑物的高约为，的高约为． 3．（2025·天津南开·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量小山上方某信号塔的高度（如图①）．某小组设计了一个方案：如图②，点依次在一条水平线上，，，垂足为点．在处测得信号塔顶端的仰角为，在处测得信号塔顶端的仰角为，测得信号塔底端的仰角为．参考数据：取，取． (1)求线段的长； (2)求信号塔的高度（结果取整数）． 【答案】(1)线段的长为 (2)信号塔的高度为 【来源】2025年天津市南开区九年级中考一模数学试卷 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用： （1）设，分别解，表示出的长，根据，列出方程进行求解即可； （2）解，求出的长，再利用求出的长即可． 【详解】（1）解：设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 答：线段的长为； （2）解：由（1）知：， 在中，， ∴； ∴； 答：信号塔的高度为． 4．（2024·天津河北区·二模）某校综合与实践活动中，要利用测角仪测量郊外一小山的高度．如图，两山脚距离，在山脚测得山腰处的仰角为 ，山脚和山腰相距， 在山腰处测得山顶的仰角为 ，在山脚测得山顶的仰角为 ，点，， ，在同一平面内． (1)求山腰到的距离的长； (2)设山高为 (单位：)． ①用含有的式子表示线段的长结果保留三角函数形式)； ②求山高 (取， 取， 取，结果取整数)． 【答案】(1) (2)①；② 【来源】2024年天津市河北区九年级中考二模数学试题 【详解】（1）解：在中，， ， 山腰到的距离的长为； （2）①在中，， 即的长为 ②如图，, 过点作，垂足为 根据题意，， ∴四边形 是矩形， ∴ 在中， ∴ 即 ∴ 答:山高 约为. 5．（2025·天津·中考）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，某中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树的高度，已知，，他们在斜坡上处测得大树顶端的仰角是，在处测得大树顶端的仰角是． (1)求到地面距离的长； (2)求大树的高度．（结果保留一位小数）参考数据：，，，取． 【答案】(1)到地面距离的长为； (2)大树的高度约为． 【来源】2025年天津市初中学业水平考试数学试卷（核心卷一） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确作辅助线构造直角三角形，并且会用三角函数解直角三角形． （1）用锐角三角函数解三角形即可； （2）解，可得，构造直角三角形，求出的长度，解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，， 在中，， ∴， 答：到地面距离的长为． （2）解：如图，作于点，则， 在中，，，， ， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：大树的高度约为． 题型02 坡度相关实际问题 析典例·建模型 6．（2025·天津滨海新区·一模）如图，某处有一座塔，塔的正前方有一平台，平台的高米，斜坡的坡度，点，，，在同一条水平直线上．某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，求塔高．（精确到0.1米）（参考数据：，，，，，） 【答案】塔高AB约为17.1米 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：米，，， 斜坡的坡度，米， ， 米， 设米， 米， 在中，， （米， 在中，， 米， ， ， 解得：， （米， 塔高约为17.1米． 研考点·通技法 1. 沿着坡面作垂直高度和水平距离，构造含坡度的直角三角形。 2. 在观测点处作水平线，构造含仰角/俯角的直角三角形 。3. 两个三角形通过公共边或公共点建立联系。 破类题·提能力 7．（2025·天津北辰·一模）本溪市青云山景区为给游客游览提供便利，计划在青云山的点D处修一条到山顶A的索道．如图，，规划小组在山底的点C处测得山顶A的仰角为，从点C处沿坡度为的斜坡前进13米至点D处，在点D处测得山顶A的仰角为．求索道的长度． （结果精确到1米．参考数据：，）    【答案】79米 【详解】解：如图，过点D作于点F，于点E，    ，，， 四边形是矩形， ，， 设米， 斜坡的坡度为， ， 由勾股定理得：， 即， 解得， （米），（米）， 设米， 在中，， （米），（米）， （米）， 在中，， （米）， ， 解得， （米）， 即索道的长度为79米． 8．（2025·天津河北区·二模）如图，某社区一建筑物上，悬挂“创文明小区，建和谐社会”的宣传条幅，小明站在位于建筑物正前方的台阶点处测得条幅顶端的仰角为，朝着条幅的方向走到台阶下的点处，测得条幅顶端的仰角为，已知台阶的坡度为，米，则条幅的长度为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据，，，） 【答案】米 【详解】解：过点D作于点F，如图， 由题意得， ∵台阶的坡度为，米， ∴米， ∵米，， ∴， 即， 又∵米，， ∴， 即， ∴， 解得米， ∴条幅的长度为米． 9．如图，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC． （1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于 度； （2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）． 【答案】（1）30．（2）34.6米． 【详解】（1）∵山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：． ∴tan∠ABC=， ∴∠ABC=30°； 故答案为：30； （2）设过点P的水平线为PQ，则由题意得： 45° 在Rt△PBH中， 在Rt△PBA中， 答：A、B两点间的距离约34.6米． 10．（2025·天津河西·模拟）城市规划期间，欲拆除一电线杆，如图，已知距电线杆的水平距离的D处有一大坝，背水坡的坡度，坝高为，在坝顶点C处测得电线杆顶点A的仰角为，之间是宽为的行人道，试问在拆除电线杆时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？（提示：在地面上，以点B为圆心，以为半径的圆形区域为危险区域）（参考数据：） 【答案】不需封闭人行道，理由见解析 【详解】解：如图，作于点M， 由题易知为矩形． ，， 背水坡的坡度， ， ． （）． 在中， ， （）． （）． 而（）． ．故不需封闭人行道． 题型03 方位角相关实际问题 析典例·建模型 11．（2025·天津河东·二模）“桥园公园”简称桥园，是天津市最大的人造生态湿地公园，也是中国城市公园在世界建筑节上第一次获“全球最佳景观奖”的生态创意型公园．为了生态可持续发展，某园林设计公司为桥园一处湿地提供了一份景观提升设计．如图，距A地东北方向处是亲水平台（B地），距亲水平台（B地）北偏东方向处是观景台（C地），从观景台（C地）沿长廊向正南方向走可以到达凉亭（E地），从亲水平台（B地）向正东方向走可以到达长廊（F地）． (1)请求出的长度； (2)从A地出发后，先沿正东方向走可到达凉亭（E地），再沿北偏东方向走可到达小广场（D地），小广场（D地）在观景台（C地）的南偏东方向．请求出的长度．（结果取整数，参考数据） 【答案】(1) (2)50米 【来源】2025年天津市河东区九年级二模数学试题 【详解】（1）解：由题意得，，，， 过点B作于H，由题意，可得：，， 在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 又， ∴的长为； （2）过点D作于G，在上取点，使得，连接， 由题意得，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， 答：的长约为50米． 研考点·通技法 1. 画图：标出“十”字方位，标出所有点、方位角和已知距离。 2. 转化：将方位角转化为直角三角形中的内角（通常用余角关系）。 3. 设未知数：设要求的距离为 x。 4. 列方程：在不同三角形中用正切表示公共边。 5. 求解作答：结果按要求取整数。 破类题·提能力 12．（2025·天津河北区·一模）景点A的南偏东方向有景点B，景点A的正南方向有景点C，景点A和景点C有一条笔直的公路相连，景点B在景点C北偏东方向，即线段， (1)求景点B到公路的最短距离（结果取整数）； (2)景点B的东南方向有景点D，求景点D到公路的最短距离（结果取整数）． 参考数据：取，取，取． 【答案】(1) (2) 【来源】天津市河北区2024—2025学年下学期九年级第一次模拟考试数学试题（1） 【详解】（1）解；如图所示，过点B作于E，设， 在中，， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：景点B到公路的最短距离为； （2）解：如图所示，过点B作，过点D作于D，交于H，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：景点D到公路的最短距离为． 13．（2024·天津七中·三模）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A 处时，测得码头 C 在北偏东的方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向， 沿着北偏东的方向继续航行，当它航行到B 处后，又沿着南偏东的方向航行40海里到达码头C（参考数据：，， (1)求的度数： (2)求货轮从A 处到B处航行的距离（结果精确到0.1海里．） 【答案】(1) (2)61.3海里 【来源】2024年天津市第七中学中考三模数学试题 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点， 则， ， ， ； （2）解：如图，过点作于， 在中，海里，， ， （海里）， 在中，， 则（海里）， 答：货轮从到航行的距离约为61.3海里． 14．（2024·天津武清·三模）如图，乡镇在乡镇的正北方向，桥最北端桥墩在乡镇的西南方向，最南端桥墩在乡镇的北偏西方向处．原来从乡镇到乡镇需要经过桥，沿折线到达，现在新建了桥，可直接沿直线从乡镇到达乡镇，已知桥和平行，．    (1)求点到直线的距离； (2)求现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程．参考数据：，，，结果保留整数． 【答案】(1)点到直线的距离为 (2)现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程为 【详解】（1）解：如图：作于，于，   ， 则， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，，， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为； （2）解：在中，，，， ∴， 由（1）得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程为： ． 15．（2024·天津和平区·三模）如图，小岛A，B，C在同一条南北方向的直线上．一艘轮船位于灯塔M的正西方向，距离灯塔M30海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔M的西北方向上的B处，轮船沿北偏东方向航行到达小岛D，这时测得灯塔M位于D的南偏东 方向上，C在D处的正西方向． (1)求小岛A，B之间的距离的长； (2)设小岛C，D之间的距离为h（单位：海里）； ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求小岛C，D之间的距离．（，，，取1.73，结果精确到0.1） 【答案】(1)30海里 (2)①海里；②15.7海里 【来源】2024年天津市和平区中考三模数学试题 【详解】（1）解：由题意得：，，， 在中， ∴， 即的长为30海里； （2）解：①在中， ， ， ， 即的长为 海里； ②如图，过点D作，垂足为N， 根据题意，， ∴四边形是矩形， ， 可得， 在中，， ∴， 即， （海里） 答：小岛C，D之间的距离约为15.7海里． 题型04 建筑相关实际问题 析典例·建模型 16．（25-26九下·天津和平·第一次质量调查）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的拱顶距离水面的竖直高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内，，，且测角仪，已知水平地面离水面的高度为．在测角仪顶端D处测得拱顶E的仰角为，在测角仪顶端C处测得拱顶E的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算拱顶距离水面的竖直高度（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】 【来源】天津市和平区2025-2026学年度第二学期九年级第一次质量调查数学学科试卷 【分析】延长交于点，延长交于点，在和中，可构造和，进而计算可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， 则根据题意可知，，，，，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， 解得：， ∴． 答：拱顶距离水面的竖直高度为． 研考点·通技法 1. 画图标注：在图上标出所有已知角度和距离。 2. 判断模型：确定是用一个三角形直接算，还是两个三角形列方程。 3. 列式求解。 注意区分：测量一个建筑物的高度时，若从某点测得“仰角”和“俯角”，分别对应顶部和底部，那么建筑物高度 = 仰角对应高度 + 俯角对应高度。 4. 检验作答：结果通常要求取整数（精确到1米）。 破类题·提能力 17．（2026·天津北辰·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量北辰公园内北极星雕塑的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，E，C依次在同一条水平直线上，，，且．在D处测得北极星雕塑顶部B的仰角为，在F处测得北极星雕塑顶部B的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算北极星雕塑的高度（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】北极星雕塑的高度约为 【来源】天津市北辰区2025-2026学年度 第二学期 九年级 第一次模拟考试 数学试卷 【分析】延长交于点，根据题意可得，，，，，设，分别表示出，，由即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 如图，延长交于点，则， 由题意得，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ， 设， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴北极星雕塑的高度约为． 18．（25-26九下·天津河东·质量检测（一））天津海河桥梁被誉为“桥梁露天博物馆”，每座桥都有不同的风格与样式，有“一桥一景”的美誉．某数学兴趣小组在实践活动中，欲测量其中一座跨海河桥的桥塔的塔顶到水面的距离．如图，桥塔塔顶到水面的距离为，点，是水平地面上两点，地面高出水面2米，且与点，均在同一竖直平面内．他们在地面处用高1.5米的测角仪测得桥塔顶端的仰角为，然后向桥塔方向前进39米到达处，用高1.5米的测角仪又测得仰角为．根据该兴趣小组测得的数据，求桥塔塔顶到水面的距离（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】58米 【来源】天津市河东区2025--2026学年第二学期九年级数学质量检测试卷（一） 【分析】设，得到，，故，求出，即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，，， 设， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， 又， 解得； ； 答：桥塔塔顶到水面的距离约为58米． 19．（2025·天津南开·三模）如图，一架无人机在一条笔直的公路上方飞行，处为一辆行驶中的小汽车，为公路上的一座桥梁，当无人机飞行到处时，测得处的俯角（）为，处的俯角（）为，其中，，在一条直线上，且，此时，小明在桥梁的入口处测得无人机的仰角为．已知桥梁的总长度为． (1)求此时无人机所在位置离地面的距离； (2)处的小汽车到桥梁入口的距离的长（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】(1) (2) 【来源】2025年天津市南开区九年级中考三模数学试卷 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，由题意可知， ，，，设，     在中，， ，              ∵， ，       在中，，，， 即，            ，            ， 答：此时无人机所在位置离地面的距离为； （2）解：∵， 在中，，， ，             ， 小汽车到桥梁入口的距离的长约为． 20．（2025·天津部分区·二模）综合与实践活动中，要用测角仪测量某学校凉亭的高度（如图①）． 某小组设计了一个方案：图②是凉亭侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是凉亭的高所在的直线，在地面上F点测得凉亭顶部C的仰角（）为，此时地面上F点，凉亭外檐上A点，顶部C点三点共线，继续向凉亭方向走到达G点处，又测得A点的仰角（）为，凉亭的顶层横梁，，交于点E（点F，G，D在同一水平线上）．    (1)求凉亭顶部到横梁的距离（结果取整数）． (2)求凉亭的高（结果取整数）．（参考数据：，） 【答案】(1)凉亭顶部到横梁的距离约为 (2)凉亭的高约为 【来源】2025年天津市部分区九年级中考二模数学试题 【详解】（1）解：由题意可知，直线为的对称轴，． ，． ，，点C，A，F三点共线， ． 在中，． ． 答：凉亭顶部到横梁的距离约为； （2）解：如图，过A作于点H，则四边形AHDE为矩形， ∴ 根据题意可知，，． 设． 在中，． ． ． 在中，． ． 解得（已检验）． ， ． 答：凉亭的高约为．    题型05 生活物品相关实际问题 析典例·建模型 21．（25-26九下·天津四十三中·学情自测）某校数学兴趣小组通过对如图所示靠墙的遮阳篷进行实际测量，得到以下数据：遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（参考数据：，，）． 【答案】 【详解】解：过点A作于点G，作于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴． 答：阴影的长为． 研考点·通技法 1. 抽象图形：将实物（如路灯、滑梯）抽象成几何图形（线段、点、角）。画出草图，标出已知数据。 2. 识别模型：判断是单一直角三角形，还是双直角三角形（母子型、背靠背型）。 3. 设列求解：设关键未知数x（通常为所求高度或距离），利用正切表示相关线段，根据线段和差关系列方程求解。题目给的参考数据（如tan31°≈0.6）会简化计算。 4. 检验作答：答案需符合实际意义（如高度不能为负），并按题目要求取整数或精确值。 破类题·提能力 22．（2025·天津西青·二模）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节与的仰角与的大小来达成个人舒适的高度，已知调节杆，，的最大仰角为．    (1)当点离桌面高度大约时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？ (2)在（1）的条件下，求点到桌面的最大高度．（参考数据：） 【答案】(1)调整，使得 (2) 【详解】（1）解：过点B作于点F，如图所示：    则， ∵，， ∴， ∵， ∴应该调整，使得． （2）解：如图，过点A作于点G，则， ∵，的最大仰角为 ∴的最大值为：， ∴点到桌面的最大高度为． 23．（2025·天津二十一中学·一模）如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)    (1)求点C到直线的距离(精确到0.1cm)； (2)求点A到直线的距离(精确到0.1cm)． 【答案】(1)点C到直线的距离约为13.8cm (2)点A到直线的距离约为21.5cm 【详解】（1）解：如图2，过点C作，垂足为N    由题意可知，， 在中， ， ∴． 答：点C到直线的距离约为． （2）解：如图3，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，    ∴ 在中，，， ∴， ∴． 答：点A到直线的距离约为21.5cm． 24．（2024·天津南开区·二模）图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，研究表明：如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个俯角（即望向屏幕中心P的视线EP与水平线EA的夹角）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得，液晶显示屏的宽AB为． （1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到） （2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到）（参考数据：） 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）由已知得：，                      在中， ， （cm）， 答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为；                      （2）如图， 过点B作于点F， ． ， 在中， ， ，                ， ， ，                （cm）． 答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义． 25．（2024·天津和平·三模）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且；支架BC与水平线AD垂直．，，，另一支架AB与水平线夹角，求OB的长度（结果精确到1cm；温馨提示：，，） 【答案】. 【详解】设， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， 解得：， ∴.8≈19 cm 【点睛】本题考查解直角三角形，熟练运用锐角三角函数的定义是解题关键. （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2026·天津东丽·一模）某校组织学生到京杭大运河天津段流域开展研学活动．数学兴趣小组想测量两岸平行的大运河某处的宽度，设计了一个方案，如图，在该河段对岸岸边取一点A为参照点，于所在的河岸边任取两点B，C（点A，B，C在同一平面内），测得，，，求这段大运河的宽度（结果取整数）． 参考数据：，． 【答案】 【来源】2026年天津市东丽区九年级一模数学试题 【分析】过点A作于D，由正切的定义表示出和，再根据为等量关系列出等式即可求出． 【详解】解：如图，过点A作于D， 根据题意得：，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． 答：所测量的这段大运河的宽度约为． 2．（2026·天津红桥·一模）在综合与实践活动中，要用测角仪测量公园里一个池塘两端的距离（如图）．某学习小组设计了一个方案：在池塘的一端A处测得B处在A处的北偏西方向，再沿正西方向前行220m到达C处，测得B处在C处的北偏东方向．根据该学习小组测得的数据，计算池塘两端的距离（结果保留整数）．参考数据：，，，． 【答案】 【来源】2026年天津市红桥区九年级数学中考一模试卷 【详解】解：如图，过B作，垂足为H． 根据题意，，，， 在中，， ， 在中，，， ， ， ， ， ． 答：池塘两端的距离约为． 3．（25-26九下·天津红桥·结课考试）综合与实践活动中，要用测角仪测量一台风力发电机的风电塔筒高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②，点M，N，B依次在同一条水平直线上，．在M处测得风电塔筒顶部A的仰角为，在N处测得风电塔筒顶部A的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算这台风力发电机的风电塔筒的高度（结果保留整数）．（参考数据：，）． 【答案】约为97米 【来源】天津市红桥区2025-2026学年下学期九年级数学结课考试卷 【分析】利用，，列式，求出，即可计算． 【详解】解：由题可知，，，， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴， 解得， ∴， 答：这台风力发电机的风电塔筒的高度约为97米． 4．（2025·天津滨海·二模）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，，， (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求房屋的高． 【答案】(1)屋顶到横梁的距离为 (2)房屋的高为 【详解】（1）解：， ， 该房屋的侧面示意图是一个轴对称图形， ，， ， 答：屋顶到横梁的距离为． （2）解：过点作于点， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ，， 解得：， ， 答：房屋的高为． 5．（2024·天津河北区·一模）某数学研学小组想测量南龛坡飞霞阁上悬挂的匾额高度，如图①是悬挂巨大匾额的飞霞阁，图②中的线段是悬挂在墙壁上匾额的截面示意图．已知米，，从水平地面点D处看点C，仰角，继续向前行走米达到点E，从点E处看点B，仰角． (1)求点C到墙面的距离； (2)求匾额悬挂的高度． （参考数据：，，） 【答案】(1)点C到墙面的距离为米 (2)匾额悬挂的高度为米 【详解】（1）解：过点C作于点H， 在中，米，， ∴（米）， 答：点C到墙面的距离为米． （2）延长交于点G． ， ，， 在Rt中，， 中，米， ∴米， 设，在Rt中，， ， ∴， ， ∴， 解得： 答：匾额悬挂的高度为米． 6．（2024·天津滨海新区·一模）综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用所学的知识测量矩形广告牌的高度．如图，在地面A处测得广告牌顶端顶点C的仰角为，走向广告牌到达B处，在B处测得广告牌低端顶点D的仰角为，已知，立柱垂直于，且点A，B，H在同一条水平直线上．（矩形广告牌与立柱垂直）过点D作，垂足为E．设（单位：m）． (1)用含有h和的式子表示线段的长； (2)求广告牌低端顶点D到地面的距离的长．（取2.25，结果取整数） 【答案】(1)线段的长为 (2)的长约为 【来源】2024年天津市天津市滨海新区中考一模数学试题 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）设，则，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，根据，从而列出关于x的方程进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴线段的长为； （2）解：设， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴广告牌低端顶点D到地面的距离的长约为． 7．（2025·天津·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量小山上方某信号塔的高度（如图①）．某小组设计了一个方案：如图②，点E，C，D依次在一条水平线上，，，垂足为点C．在D处测得信号塔顶端A的仰角（）为，在E处测得信号塔顶端A的仰角（）为，测得信号塔底端B的仰角（）为．参考数据：取，取0.60． (1)求线段的长； (2)求信号塔的高度（结果取整数）． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：设， 在中，∵ ， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， 即， ∴， 解得， ∴； 答：线段的长为； （2）解：在中，∵， ∴， ∴． 答：信号塔的高度为． 8．（2024·天津河西·模拟）按照中央、省市关于城市燃气管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇燃气管网老化更新改造工程．图1是改造现场一辆伸缩臂高空作业车的实物图，图2是其工作示意图（点A，B，C，D，E，F，G，H都在同一平面内）． 如图2，伸缩臂高空作业车固定不动，转轴固定不动，转动点B离地面的高度为，起重臂长为，，楼高为，操作平台A在上． （结果精确到，参考数据：，，） (1)求此时操作平台A离地面的高度； (2)若起重臂可以绕点B上下转动，且长度可伸缩，最长可伸长为，则操作平台A能到达楼顶F吗？为什么？ 【答案】(1)操作平台离地面的高度约为 (2)能，理由见解析 【详解】（1）解：如图：过点作，垂足为点，则四边形为矩形，，，， ，，， ， 在中，， ， ． 答：操作平台A离地面的高度约为． （2）解：能，理由如下： 如图：连接，由题意可知，，最长为， 在中，， ， ， 在中，根据勾股定理得：，   ， ，   操作平台能到达楼顶． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $