专题10 三角形综合：全等、相似与解直角三角形（4大题型，压轴题专项训练）2026年中考数学(全国通用)

专题10 三角形综合：全等、相似与解直角三角形 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 全等三角形的构造与证明（倍长中线、截长补短、垂线模型） 题型02 相似三角形的构造与证明（一线三等角、三垂直模型、手拉手模型） 题型03 解直角三角形的实际应用 题型04 三角形中的线段最值问题（将军饮马、隐形圆、费马点） 模块三、综合实战演练 一、全等三角形倍长中线、截长补短、垂线模型的解题技巧： 一、倍长中线模型 适用场景：题干含中线/中点，需证线段相等、和差或角相等，直接证全等缺条件时使用。 核心思路：延长中线至两倍，构造对顶角+中点SAS全等，实现线段转移、角的转化。 解题技巧 1. 定中线：识别三角形的中线（顶点到对边中点的线段），记中点为，中线为； 2. 倍长操作：延长至点，使，连接另一端点（如）； 3. 证全等：由、、，得（SAS）； 4. 用结论：全等得、，将转移至，把分散的边/角集中到中，结合题干条件推导。 二、截长补短模型 适用场景：题干需证线段和差关系（如、），或线段成倍数、角平分线背景下的等量证明。 核心思路：“截长”或“补短”，将多段折线转化为单段线段，构造全等实现线段等量代换。 两类操作技巧 1. 截长法（长线段截出短线段） - 操作：在长线段上截取（为其中一条短线段），证剩余线段即可； - 全等依据：结合角平分线、公共边等条件，证（SAS/ASA），再推剩余线段相等。 2. 补短法（短线段延长拼长线段） - 操作：延长短线段至点，使，证即可； - 全等依据：证为特殊三角形（等腰/等边），再结合题干条件证全等或等腰，推线段相等。 三、垂线模型 适用场景：直角背景（含90°角、垂直、高），或需证线段垂直、角为直角、HL全等，题干缺直角/垂线段条件时使用。 核心思路：作垂线构造直角三角形，利用AAS/HL证全等，或结合勾股定理、余角相等推条件。 三类高频操作技巧 1. 过定点作定直线的垂线（最通用） - 操作：遇角平分线（如平分），过角平分线上一点作两边的垂线（、），得（角平分线性质）； - 全等依据：+公共边，得（HL）。 2. 双垂线构造三垂直全等（坐标系/矩形背景高频） - 操作：在直角顶点外作双垂线（如，作、），得； - 全等依据：利用“同角的余角相等”得，结合，证（AAS）。 3. 作高构造直角三角形（非直角三角形背景） - 操作：对锐角/钝角三角形，作一边的高（如），将其拆分为两个直角三角形，结合HL/AAS证全等，或用勾股定理推线段长。 二、将军饮马、隐形圆、费马点的解题技巧： 核心逻辑：动中定轨迹，化折为直/圈定范围，将线段最值转化为直线段或圆上距离计算。 1. 将军饮马 适用：单/多动点在定直线，求线段和/差最值。 技巧：找对称轴（动点所在定直线），作定点对称点，连线与对称轴交点为最值点，利用“两点之间线段最短/垂线段最短”求解。 2. 隐形圆 适用：动点对定线段定角、到定点定长，求线段最值。 技巧：由定弦定角/定点定长定圆心、半径，画出隐形圆/弧，将最值转化为“圆心距±半径”（圆上点到定点/定直线的距离最值）。 3. 费马点 适用：三角形内求一点到三顶点距离和最小。 技巧：三角各角＜120°时，选边旋转60°构造等边三角形，化三段折线为单一直线段，线段交点为费马点，线段长为最小值；若有角≥120°，该角顶点即为费马点。 题型01 全等三角形的构造与证明（倍长中线、截长补短、垂线模型） 1．综合与探究 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形． 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接，M是射线上的一点，连接，过点A作的垂线交于点G，若G是的三等分点，请直接写出的值． 【答案】(1)矩形，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)或2 【分析】（1）由旋转证明 是等边三角形，再证明，进而得到，证明，则四边形是平行四边形．证明 ，则问题可证； （2）延长至点 ，使 ，连接，证明，从而证明，C、B、F共线，再证明，得到，再由角度的互余关系证明，则问题可证； （3）延长交延长线于点F，证明，得到，再有，和证明，再证明，由，故得到，最后分别利用G是BE的三等分点，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：，，， ，， 点 落在 边上， 中，，， 是等边三角形， ，， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ∴E 是 中点，， 在 和 中： ，， （SAS）， ，， ∴， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． （2），且 ， 理由：延长至点 ，使 ， 连接， 是的中点， ， 在 和 中： ， ， ， （SAS）， ，， ， 是绕点 逆时针旋转 得到， ，， ， ∴C、B、F共线， ， 在 和 中： ， ， ， ， ，， ， ，即 ， ， ． （3）解：延长交延长线于点F， 是绕点 逆时针旋转 得到， ，， ， ， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ， ， ∵ ， ， ∵G是的三等分点 ∴当 时，， 当 时，， 或 ． 2．在等腰中，，点D是上一动点（不含端点），点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，若，，求证：． (3)若，，点G为上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．将在同一平面内沿直线翻折，使得点A落在点处，连接．若，，当的值最小时，过点C作，垂线交于点K．请直接写出的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质： （1）由等腰三角形的性质得，再证，得，即可得出结论； （2）取的一点使，连接，由已知求出，进而可求，由此证明，进而可得，即可利用等角对等边可以证明，从而得出结论； （3）当的值最小时，点在上，过点作的垂线，交于点. 根据题意可知，， ，，可求得，得到，进而求得． 【详解】（1）证明：平分， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ； （2）证明：如图2，取的一点使，连接， ∵，， ∴．， 又∵， ∴，， 由（1）可知：，，， ∴，， 在和中， ， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 解： 如图所示，当的值最小时，点在上，过点作的垂线，交于点. 根据题意可知，， ，． 根据图形翻折的性质可知． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 3．综合探究与应用 (1)如图1，在和中，，，，点B在上，连接．则与的关系为_____________． 【类比应用】 (2)如图2，在中，，，将线段绕点A按逆时针方向旋转一个角度（）得到线段，连接，过点A作的垂线，分别交与射线于点D，F，连接． ①线段绕点A旋转的过程中，的度数是否发生变化？若不变，请求出的度数；若变化，请说明理由； ②直接写出、、这条线段的数量关系为________________； ③若，，请直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)①，理由见解析；②；③ 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理求直角三角形的边长，等腰三角形的性质等知识，综合性强． （1）与的关系为：，．通过证明，由全等三角形对应边相等，对应角相等可得，，再证，从而证得； （2）①，证明思路：先证明，是等腰三角形，通过已知条件，，结合三角形内角和定理，推导出， ，从而证得； ②，证明思路：过点A作交延长线于点H，先证 ，从而证明是等腰直角三角形，再证，由全等三角形的性质可得，结合等腰直角三角形性质，证得； ③先证，结合②的结论以及，得到，再求得，在中，由勾股定理可知，， 运用完全平方公式，变形得到，从而求得的值，最后求得的面积． 【详解】（1）解：与的关系为：，，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故，； （2）解：①，理由如下： ∵将线段绕点A按逆时针方向旋转一个角度得到线段， ∴，， 又∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 同理，在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； ②，证明如下： 如图，过点A作交延长线于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 由①可知，， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 由①可知，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ③由②可知，，， ∴， 即． 由②可知，， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点．求证：； (3)当点在直线上时，连接交直线于，若，则= ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或. 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质， 对于（1），根据“角角边”证明，可得，则此题可解； 对于（2），过点E作，交延长于点N，再根据“角角边”证明，可得，由“角角边”可证，可得； 对于（3），，分三种情况：当点D在线段上，当点D在线段的延长线上，当点D在线段的延长线上，根据全等三角形的性质求出相应线段的长，再根据三角形面积公式可得解. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点E作，交延长于点N， ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∵ ∴. ∵， ∴， ∴； （3）解：当点D在线段上， ∵， 设， 由（1）得，则. ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴； 当点D在线段的延长线上，过点E作，交的延长线于点N， ∵， 设， ∵， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点D在线段的延长线上， 由图2得， ∴不可能，舍去. 综上所述，的值为或. 故答案为：或. 5．【阅读理解】小明利用三角形全等知识解决有关三角形三边关系问题时遇到了如下练习题：在中，，，点是的中点，连接，求的取值范围．小明进行了如下操作：在中，是边上的中线，若延长至，使，连接，可证明，进而可以得出． (1)【实践应用】如图②，在中，，，点是的中点，连接，则的取值范围是 ． (2)【类比探究】如图③，在正方形中，是边上一点，是的中点，且平分．求证：． (3)【能力提升】如图④，在矩形中，，．点在上，点在矩形的边上，且平分．当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）先延长至点，使，连接，再证明，得出，最后根据三角形的三边关系即可解答； （2）先延长与的延长线交于点，根据正方形的性质和角平分线的定义，进一步得出，再证明，得出，最后根据线段的和差关系即可解答； （3）需分情况讨论：当点在上时，延长与的延长线交于点，连接，根据矩形的性质和勾股定理，得出，再利用角平分线的定义，得出，根据平行得出，进一步得出，进一步得出，，的长，最后代入计算即可；当点在上时，过点作于点，延长与的延长线交于点，先证明四边形为矩形，四边形为矩形，同理可得出，最后利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图②，延长至点，使，连接， ． 点是的中点， ． ，， ， ． 在中，， 即， ， ． （2）证明：如图③，延长与的延长线交于点， 四边形是正方形， ，，， ，． 平分， ， ， ． 是的中点， ． ，， ， ， ． ， ． （3）解：如图④，当点在上时，延长与的延长线交于点，连接， 四边形为矩形， ，，，， ． ，， ． 在中，． 平分， ， ， ， ． ， ， ， ， 解得，（经检验，符合题意）， ． 在中，， ； 如图⑤，当点在上时，过点作于点，延长与的延长线交于点， 四边形为矩形，， ， 四边形为矩形，四边形为矩形， ，，， ，． 在中，． 平分， ， ， ． ， ， ， ， 综上，的值为或． 核心：找/造三组等量条件（SSS/SAS/ASA/AAS/HL），缺条件时通过作辅助线构造，优先凑夹角/公共边/对顶角。 1. 基础证法：标已知等量（边/角），锁定判定定理，补全缺的1组条件（如公共边、对顶角直接用）； 2. 辅助线构造：① 倍长中线造SAS全等；② 截长补短造SSS/SAS全等（证线段和差）；③ 作垂线造AAS/HL全等（直角背景）；④ 连公共边，整合分散条件； 3. 关键：无等角时，利用平行线、角平分线、垂直性质造等角，为全等铺垫。 题型02 相似三角形的构造与证明（一线三等角、三垂直模型、手拉手模型） 1．【问题情景】 图①                       图②                              图③ （1）如图①，小红把三角板放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为____________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 【答案】（1），详见解析；（2）；（3） 【分析】（1）先利用直角三角形的性质得到，再通过证明得到，即可得出结论； （2）过点作于，通过证明得到，求出的长，进而得到，即可求出的长； （3）利用平行四边形和等腰三角形的性质推出，，得到，利用比例的性质即可求出的值． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ∴， ， ， 四边形是矩形， ， ， （3）解：在平行四边形中，，， ，， 又， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴． 2．在中，，，点在边上运动（不与、点重合），点在边边上，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图1，当时，求的长； (3)过点作交射线于点，连接，当时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后根据平行线所截线段成比例可进行求解； （3）由题意可分①当点F在的延长线上，②当点F在线段上，然后进行分类求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ， ∵，， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ； （3）解：①当点F在的延长线上，作于，于，于，则，    ∴四边形为矩形， ，， ∵，，， ， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∵，， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， ， ， ； ②当点F在线段上，如图所示：    同理①可得：， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， ， ， ； 综上所述：当时，． 3．如图，四边形是矩形，，，点在边上，连接，当点不与点、重合时，作线段的垂直平分线，点在边上，点在边上，连接，过点作，交边于点，连接． (1)求证：； (2)当时，的面积为 ； (3)当为等腰直角三角形时，求线段的长； (4)作点关于的对称点，连接．当时，直接写出的值． 【答案】(1)见详解 (2) (3) (4) 【分析】（1）由同角的余角相等可以证明，再根据有两个角分别对应相等的两个三角形相似得出， （2）先求出，，再由，可得，列比例方程求出，由此即可求出的面积， （3）当为等腰直角三角形时，即，由得出，设，则，，，在中，列方程即可求解， （4）解：延长、交于点，延长、交于点，、是关于对称，由此得出点在上，进而可得，再利用当时，四边形是矩形，得出，由此可知，设，，利用列比例式即可求出，于是可得． 【详解】（1）证明：∵，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴的面积． （3）解：当为等腰直角三角形时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴ ∵在中，， ∴， 解得：，（不合题意舍去）， 即． （4）解：延长、交于点，延长、交于点， ∵线段的垂直平分线， ∴、是关于对称， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴点、相互重合， ∴、是关于对称， ∵作点关于的对称点， ∴点在上，如图所示， ∴， 当时，，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 设，， 则， ∴，， 由（3）得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）；；（2）①见解析；② 【分析】本题考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、直角三角形的性质，勾股定理，以及旋转的性质等知识点． （1）证明，根据相似三角形的性质可得，； （2）同理（1）可得可求，，由此求出； （3）分当在内时，当在外时， 两种情况，结合（1）的结论，利用直角三角形性质和勾股定理解三角形即可求解． 【详解】解：（1）；； ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：；； （2）①如图②，过点作，垂足为， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由旋转可知：是等腰直角三角形， 同理（1）可得：；； 设，， 则，，， ∴， ∴， ②当在内时，如图③-1，过点作，垂足为， 同理可得：，；； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 当在内时，如图③-2， 同理可求：，， ∴ 综上所述：长为 5．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则 【拓展提升】 （3）如图3，，，连接，，若． ①求的值； ②延长交于点，则 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①，②． 【分析】（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）①利用勾股定理求得，利用相似三角形的性质和相似三角形的判定解答即可； ②利用相似三角形的性质，对顶角相等的性质和三角形的内角和定理得到，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）①∵，， ∴设，则， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． ②设，交于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 核心：优先用AA判定（最通用），抓模型特征造等角，缺条件时作平行线/垂线构造相似模型。 1. 模型识别与应用： 一线三等角：同一直线有3个相等角，直接得AA相似（锐角/直角/钝角均适用，直角即三垂直）； 三垂直模型：直角背景下，双垂直造直角相等+余角相等，快速证相似（坐标系/矩形背景高频）； 手拉手模型：共顶点旋转，造公共角+两组等角，得旋转型相似（常与全等结合）； 2. 辅助线构造：作平行线造同位角/内错角相等，或作垂线造直角，凑AA相似； 3. 关键：标图锁定公共角、对顶角、同角的余角/补角，结合模型快速找等角，相似后利用比例推线段关系。 题型03 解直角三角形的实际应用 1．在国家“双碳”目标与可再生能源发展规划的指引下，山西省大力推进风电等清洁能源项目建设，助力能源结构转型．图1是小陈在家乡看到的风力发电设备，他想利用所学知识估算风电架的高度，以加深对清洁能源基础设施的了解． 测量方案及数据：如图2，线段表示风电架，小陈在点（在同一直线上）处测得风电架顶部点的仰角为．他从点沿着小山坡走到点，此时测得风电架顶部点的仰角为，山坡的坡度，点到的距离为． 任务：若在观测过程中所有点都在同一竖直平面内，请根据小陈的测量数据计算风电架的高度（结果精确到，参考数据：）． 【答案】风电架的高度约为 【分析】延长与交于点，则，过点作交的延长线于点，根据坡度得出，设，则，利用正切分别得出，，然后根据线段的数量关系列出方程求解． 【详解】解：如答图，延长与交于点，则，过点作交的延长线于点． ∴四边形为矩形，， ， ， ， ， 设，则． 在中，， ， ． 在中，， ， ， ． ． ． 解得， 答：风电架的高度约为． 2．为了满足市民需求，某市在一公园开辟了两条跑步路线：①，②，如图，点C位于点A正东方向2000米处，点D在点A的东北方向，点B在点A的南偏东方向，点C在点B北偏西方向，点C在点D的东南方向．（参考数据：，） (1)求B，C两点之间的距离（结果保留根号）； (2)若甲沿路线①跑步锻炼身体，平均速度为80米分钟，乙沿路线②跑步锻炼身体，平均速度为95米分钟，（经过A，C两点时不停留），谁先到达B点？请通过计算说明理由．（结果精确到1分钟） 【答案】(1)B，C两点之间的距离为米 (2)甲先到达B点，理由见解析 【分析】（1）过点作于，在中，由米、，可得米；结合方位角推得，故为等腰直角三角形，进而即可求解； （2）过点作于点，甲的路程为米，用时约43分钟；乙的路程为，由为等腰直角三角形得米，结合米，计算得乙用时约44分钟，故甲先到达点． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，米，， （米）， 在中，∵点B在点A的南偏东方向，点C在点B北偏西方向， ∴， ∴是等腰直角三角形， （米）． 答：，两点之间的距离为米． （2）解：甲先到达点，理由如下： 由（1）知，甲跑步的路程为米， 甲到达点所用时间为（分钟）， 如图，过点作于点． 由图可得，，， 为等腰直角三角形， ∵， （米）， （米）， 米，（米）， 米． 乙跑步的路程为米， 乙到达点所用时间为（分钟）． ， 甲先到达点． 3．为推进“数字乡村”建设，某村计划在山坡上修建灌溉水库，需测算山坡高度以确定水库容量．在技术人员指导下，利用无人机、测角仪等设备开展测量活动． 活动主题 测算山坡的高度（助力灌溉水库建设） 测量工具 无人机、秒表、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 是山脚的水平线，山的高垂直于水平线于点，其示意图如下：    测绘过程与数据信息 ①在山脚A处测出山顶B的仰角，山坡的坡角；②用无人机测得从点沿着山坡前进到达处；③在处测出山顶的仰角．注：图中所有点均在同一平面内．（参考数据：， ） 请根据上面提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： (1)求坡面的水平距离和垂直距离； (2)求山的高． 【答案】(1)坡面的水平距离约为，垂直距离约为 (2)山的高为 【分析】（1）如图，在中，先根据余弦的定义可求出，然后根据正弦的定义可求出； （2）交于点，如图，先由四边形为矩形得到，，再根据正切的定义，在中表示出，则；在中表示出，所以，然后求出，从而得到的长． 【详解】（1）解：在中，， ， ， ， 答：坡面的水平距离约为，垂直距离约为； （2）解：如图，交于点， 可得四边形为矩形， ，， 在中，， ， ， ， ， 即， ， 解得， ． 答：山的高为． 4．为了提高海上航行能力，军舰甲、乙在如图所示的海域进行航行训练．，，，为同一平面内的四座小岛．岛位于岛的正东方向，岛位于岛的北偏西方向海里处，岛位于岛的东南方向，岛位于岛的正北方向，大于海里．（参考数据：，，） (1)求小岛、间的距离；（结果保留根号） (2)甲、乙两军舰同时从岛出发前往岛进行航行训练，甲军舰沿航行，乙军舰沿航行，甲军舰的速度与乙军舰的速度之比为．两军舰同时到达岛处，求小岛、间的距离（结果精确到海里）． 【答案】(1)海里 (2)海里 【分析】（1）过点作，交延长线于，根据得出，利用的三角函数可求出，，利用线段的和差关系求出的长即可； （2）过点作于，可得四边形是矩形，，，根据两船速度的比得出两船航行路程之比为，设，则，利用勾股定理列方程求出的值，再取符合条件的值即可得答案． 【详解】（1）解：如图，过点作，交延长线于， 由题意可知，，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴小岛、间的距离海里． （2）解：如（1）中图，过点作于， ∴四边形是矩形，，， ∵甲军舰的速度与乙军舰的速度之比为，两军舰同时到达岛处， ∴与的航行路程之比为，即， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵大于海里， ∴． ∴小岛、间的距离为海里． 5．淋浴房喷头位置的数学建模探究 题目背景：为优化淋浴体验，某品牌淋浴房设计了可调节喷头系统．请结合几何原理与实际测量数据，解决以下问题： 已知条件 喷头结构 手柄，与墙面的夹角（称为“调整角”）．水流射线，落点需满足竖直站立者的“舒适喷淋点”要求．    淋浴房参数 矩形是淋浴房的截面图，．固定站立点满足．    人体工程学定义 “舒适喷淋点”（高度=身高）．已知父亲身高，小明身高． 参考数据 问题解决 (1)当父亲使用喷头时，调整角，水流恰好落于其“舒适喷淋点”处．求：点到地面的距离． (2)父亲使用后，固定器位置不变（长度固定），调整角改为．判断：小明站立于处时，水流是否能喷到他的“舒适喷淋点”？通过计算说明理由．（计算结果精确到个位） 【答案】(1)； (2)水流无法喷在小明的“舒适喷淋点”处．理由见解析 【分析】（1）作于点N，延长交于点M，利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为的长度减去的长度； （2）利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为的长度减去的长度，再比较即可． 【详解】（1）解：作于点N，延长交于点M，则， ∵爸爸身高是，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：点A到地面的距离约为； （2）解：当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵小明的身高是， ∴小明的舒适距离， ∵， ∴水流无法喷在小明的“舒适喷淋点”处． 核心：化实际图形为直角三角形，缺直角时作高拆分，利用三角函数（sin/cos/tan）、勾股定理、边角互化求解。 1. 解题步骤：① 审题建几何模型，标注已知量（边长/角度/仰角/俯角/坡角/方位角）；② 作垂线将非直角三角形/多边形拆分为一个或多个直角三角形（含公共边优先设为未知量）；③ 选合适的三角函数（有斜边用sin/cos，无斜边用tan），列等式求解； 2. 关键：遇特殊角（30°/45°/60°）直接用三角函数值，多直角三角形共享边时，设参列方程联立求解；方位角/坡角需准确转化为三角形内角。 题型04 三角形中的线段最值问题（将军饮马、隐形圆、费马点） 1．数学中的轴对称就像镜子一样，可以展现出图形对称的美，初中常见的轴对称图形有：等腰三角形、菱形、圆等．如图，在等腰中，． (1)尺规作图：作关于直线对称的（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，交于点，若，四边形周长为，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，若点、点分别在和上运动，当取最小值时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) 【分析】（1）分别以点、为圆心，、为半径画弧，在右侧相交于点，连接、，则图形即为所求； （2）由（1）得四边形是菱形，根据菱形的性质和勾股定理可得的长度，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解； （3）作点关于的对称点，连接、，则，，此时，故当时，取最小值，通过三角形的面积可求出的长度，再运用勾股定理即可求出的长度，进而可得的长度． 【详解】（1）解：分别以点、为圆心，、为半径画弧，在右侧相交于点，连接、，如图： 由作图知，， ， ， 四边形是菱形，与关于直线对称． （2）解：由（1）知四边形是菱形， 又四边形周长为， ，，，， ， ， 菱形的面积． （3）解：作点关于的对称点，连接、，则，， 此时， ， 当时，取最小值， 由（2）得，，， ， ， 解得， ， ． 2．如图，在中，，，D为线段上一点，连接，将射线绕点D顺时针旋转交直线于点E，连接． (1)如图1，若，，求线段的长． (2)如图2，若，过点B作，交射线于点F，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． (3)如图3，若，，过点A作的垂线，垂足为点M，当取得最小值时，直线上方有一点Q，使得，当取得最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）过点D作于点F，过点D作于点G，证明四边形是矩形，先由，，，求得，从而得到，最后在中，由求得； （2）过点A作交延长线于点G，连接，过点G作交于点H，先证，再证，从而得到； （3）先由瓜豆原理得到点M的轨迹为线段，当垂直于该线段时，取得最小值，此时点M为线段的中点，点D为线段的中点，再根据定角定弦，得到点Q在以线段的中点O为圆心，为半径的圆上，当C，O，Q三点共线且点Q在C，O之间时，取得最小值，连接，过点M作于点R，通过，求得的长度，再根据，求得的长度，最后根据三角形面积公式求出． 【详解】（1）解：如图1，过点D作于点F，过点D作于点G， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图2，过点A作交延长线于点G，连接，过点G作交于点H， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，过点A作的垂线，垂足为点M， ∴，， 如图3，取的中点，连接，当点D与重合时，设此时的对应点为 连接，由瓜豆原理，点M的运动轨迹即为直线的一部分． ∵在中，，， ∴， 即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当时，取得最小值， 此时点M与点重合，点D与点重合，即点M为线段的中点，点D为线段的中点． 如图4，当点M为线段的中点，点D为线段的中点时， ∵， ∴点Q在以线段的中点O为圆心，为半径的圆上， 连接，交于点Q，且点Q位于点C与点O之间，此时取得最小值， 连接，过点M作于点R， ∵，O为线段的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∵M为线段的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．已知等腰，，点为三角形内一点，连，，． (1)如图，若为等边三角形，且，，求的度数以及边长； (2)如图，若，，求的最小值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将绕点逆时针旋转，点的对应点为，点的对应点于点重合，连接，过点作交的延长线于点，如图所示，可得是等边三角形，，，在中，，，，可得，则是直角三角形，所以，在中，，，则，，在中，由勾股定理得：，即可求解； （2）将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，连接，，过点作于点，连接，如图所示，可证和均为等边三角形，则，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，根据“两点之间线段最短”得：，即，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ， 将绕点逆时针旋转，点的对应点为，点的对应点于点重合，连接，过点作交的延长线于点，如图所示： 由旋转的性质得：，，， 是等边三角形， ，， 在中，，，， ， ， 是直角三角形，即， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 的度数是，边的长为； （2）解：将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，连接，，过点作于点，连接，如图所示： 由旋转的性质得：，，，， 和均为等边三角形， ，， ， 在中，，，于点， ，， 在中，由勾股定理得：， 是等边三角形，， ， ， ， 点，，在同一条直线上， ， 在中，由勾股定理得：， ， 根据“两点之间线段最短”得：， ， 即， 的最小值为． 4．如图一，等边△ABC中，AB=6，P为AB上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，求DE的最小值． 【答案】 【分析】由题意易得∠PEC=∠PDC=90°，所以P、D、C、E四点共圆，又因为∠EOD=120°，所以当直径最小时，弦DE的值最小． 【详解】解：∵PD⊥BC，PE⊥AC， ∴∠PEC=∠PDC=90°， ∴四边形PDCE对角互补， ∴P、D、C、E四点共圆，如图2． ∴∠EOD=2∠ECD=120°， 要使得DE最小，则要使圆的半径最小，故直径PC最小，则当CP⊥AB时，PC最短， ∵△ABC是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．问题背景如图（1），△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，直线l绕着点A顺时针旋转，过B，C两点分别向直线l作垂线BD，CE，垂足为D，E，此时△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小（取最小旋转角度）． 尝试应用如图（2），△ABC为等边三角形，直线l绕着点A顺时针旋转，D、E为直线l上两点，∠BDA＝∠AEC＝60°．△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到吗？若可以，请指出旋转中心O的位置并说明理由； 拓展创新如图（3）在问题背景的条件下，若AB＝2，连接DC，直接写出CD的长的取值范围． 【答案】（1）旋转中心为BC边的中点O，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°；（2）可以，旋转中心为为等边△ABC三边垂直平分线的交点O，理由见解析；（3） 【分析】问题背景（1）根据等腰直角三角形的性质，以及旋转的性质确定即可； 尝试应用（2）首先通过证明△ABD和△CAE全等说明点A和点B对应，点C和点A对应，从而作AB和AC的垂直平分线，其交点即为旋转中点； 拓展创新（3）首先确定出D点的运动轨迹，然后结合点与圆的位置关系，分别讨论出CD最长和最短时的情况，并结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：问题背景（1）如图所示，作AO⊥BC，交BC于点O， 由等腰直角三角形的性质可知：∠AOC=90°，OA=OC， ∴点A是由点C绕点O逆时针旋转90°得到， 同理可得，点B是由点A绕点O逆时针旋转90°得到， 点D是由点E绕点O逆时针旋转90°得到， ∴△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，旋转中心为BC边的中点O，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°； 尝试应用（2）∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=∠AEC+∠EAC，∠BAC=∠AEC=60°， ∴∠DAB=∠ECA， 在△ABD和△CAE中， ∴△ABD≌△CAE(AAS)， ∴△ABD的A、B、D三点的对应点分别为△CAE的C、A、E三点， 则AC、AB分别视作两组对应点的连线， 此时，如图所示，作AC和AB的垂直平分线交于点O， ∵△ABC为等边三角形， ∴由等边三角形的性质可知，OC=OA=OB，∠AOC=120°， ∴△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，旋转中心为为等边△ABC三边垂直平分线的交点O； 拓展创新（3）由（1）知，在直线l旋转的过程中，总有∠ADB=90°， ∴点D的运动轨迹为以AB为直径的圆， 如图，取AB的中点P，连接CP，交⊙P于点Q， 则当点D在CP的延长线时，CD的长度最大， 当点D与Q点重合时，CD的长度最小，即CQ的长度， ∵AB=AC，AB=2， ∴AP=1，AC=2， 在Rt△APC中，， 由圆的性质，PD=AP=1， ∴PD=PQ=1， ∴，， ∴CD的长的取值范围为：． 核心：动中找静，将最值转化为线段公理或圆上点的距离最值，常用将军饮马、隐形圆、垂线段最短模型。 1. 高频模型应用： 单动点+两定点：用将军饮马（轴对称）化折线为直线，结合“两点之间线段最短”求和最小； 定角对定边：用隐形圆（定弦定角）定动点轨迹，转化为“圆上点到定点的距离最值（圆心距±半径）”； 点到直线：直接用垂线段最短求单线段最小值（如三角形高的最小值）； 费马点：三角形内到三顶点距离和最小，旋转60°化折为直（三角各角<120°）； 2. 关键：先判断动点轨迹（直线/圆），再选对应模型，无轨迹时通过构造辅助线转化为已知最值模型，所有最值均需结合三角形三边关系验证。 1．如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】结合题意推导得，取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP；根据直角三角形斜边中线的性质，得；根据圆的对称性，得点P在以AB为直径的上，根据两点之间直线段最短的性质，得当点O、点P、点C三点共线时，PC最小；根据勾股定理的性质计算得，通过线段和差计算即可得到答案． 【详解】， ， ， ， ， 取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP， 点P在以AB为直径的上，连接OC交于点P， 当点O、点P、点C三点共线时，PC最小 在中， ，，， ， 最小值为 故选：D． 2．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM−ME′． 【详解】如图， 由题意知，， 在以为直径的的上（不含点、可含点， 最短时，即为连接与的交点（图中点点）， 在中，，，则． ， 长度的最小值， 故选：． 3．如图，在中，，P是内一点，求的最小值为______． 【答案】 【分析】将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，可得PC=PF，DF=AP，将转化为，此时当B、P、F、D四点共线时，的值最小，最小值为BD的长；根据勾股定理求解即可． 【详解】解：将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，连接PF、AD、DB，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E； ∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=，PC=FC，AC=CD， ∴△PCF、△ACD是等边三角形， ∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC= ∴， ∴当B、P、F、D四点共线时，的值最小，最小值为BD的长； ∵，∠CAD=， ∴∠EAD=， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值最小值为． 故答案为：． 4．如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点，分别是，上的动点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，过点作，根据轴对称的性质可知，根据三角形三边关系可知，根据垂线段最短可知的最小值是垂线段的最小值，利用三角形的面积公式求出的值即可． 【详解】解：如下图所示，作点关于的对称点，连接，过点作， 则有， ， 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为， 垂线段最短， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 的最小值是． 5．已知在中，，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】延长至，使,则可得点和B点关于对称．过点作交于E点，交于F点，连接．由“垂线段最短”可知，此时的值最小，最小值为的长．根据面积法求出的长，即可得的最小值． 本题考查了轴对称的性质，勾股定理，“垂线段最短”，利用“垂线段最短”求线段之和最小．熟练掌握以上知识，正确地作出图形是解题的关键． 【详解】解：延长至，使， ∵， ∴， ∴点和B点关于对称， 过点作交于E点，交于F点，连接． 此时，且，E，F三点共线， 根据“垂线段最短”可知，此时的值最小，最小值为的长， ∵中，，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴的最小值是． 故答案为：． 6．已知中，，，经过A点做一条直线l．作，，垂足分别为E，F (1)如图1，求证：． (2)如图2，找出，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正确找出图中的全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，推出，，再利用线段的和差以及等量代换即可证明； （2）利用证明，推出，，再利用线段的和差以及等量代换即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （2）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 7．（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题：如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，直线PQ经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若、，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时．求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理． （1）利用平角的定义即可求解； （2）先证明出，得出，，即可得出结果； （3）由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分类讨论，分别画出图形，结合图形列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： ∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （3）当点移动到点时，，移动到点时，； 当点移动到点时，，移动到点时，； 分以下三种情况： ①当E在上，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当E在上，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当E在上，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴， 不在范围内，不符合题意； ④当E到达A后，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 8．综合与探究 问题情境：在中，，，点是直线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． 观察发现： (1)如图1，当点是的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 独立思考： (2)如图2，当点在线段上时，连接，过点作于点，过点作于点，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)连接，过点作于点，连接．若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)正方形，见解析 (2)，见解析 (3)或 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一，得，，根据旋转得，证得四边形为平行四边形，再根据一组临边相等且一个内角为，即可求证． （2）连接，可知和为等腰直角三角形，根据手拉手的全等三角形模型，可证，得到，再根据三角形的中位线，即可求解． （3）根据题意，可分为点F在左侧和右侧两种情况，连接，作，可知和为等腰直角三角形，根据手拉手的全等三角形模型，可证，得到，根据和利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，即可证为等边三角形，根据角度变换得到，解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：四边形为正方形，理由如下， ，，点是的中点， ，， 根据旋转可知， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为正方形． （2）解：关系为，理由如下， 如图，连接， 根据旋转可知， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 又， 点F为的中点， 是的中位线， ， ． （3）解：当点F在右侧时，如图，连接，作， 根据旋转可知， ， ， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 又， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ； 当点F在左侧时，如图，连接，作， 根据旋转可知， ， ， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 又， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，的长度为或． 9．【问题引入】 （1）在中，点在上，连接，以点为旋转中心，将线段顺时针旋转一定的角度得到线段，交于点，． ①如图1，直接写出与之间的数量关系 ； ②如图2，若，求证： 【变式研探】 （2）在中，，为延长线上一动点，以点为旋转中心，将线段顺时针旋转一定的角度得到线段，，连接，取中点，连接， ①如图3，若，探究线段与之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，若请直接写出线段的长度 ． 【答案】（1）①；②证明见详解； （2）①，理由见详解；② 【分析】（1）①利用三角形外角的性质，将拆分为和，结合已知的等量关系，直接推导出； ②由得到等腰三角形底角相等，结合已知代换得到，再结合公共角，利用两角分别相等的三角形相似完成证明． （2）①先由和判定为等边三角形，结合求出的度数，利用旋转构造全等三角形，推导出为等边三角形并证得、、三点共线，结合是中点，利用三角形中位线定理推导出； ②则用倍长中线法构造全等三角形，结合旋转性质代换得到，通过角的和差计算证得，进而证出，得到与相关角的度数，延长交于，推得为等腰直角三角形，得出，作构造特殊直角三角形，设，用表示和，结合的等量关系建立方程，求解即可得到的长度． 【详解】（1）①解：∵，， ∴， 故答案为：； ②解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）①解：，理由如下： ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 由旋转的性质得，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，如图， ， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 、、三点共线，即是的中点， 又是的中点， 是的中位线， ， ， ，即； ②解：延长至点，使，连接， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， 由旋转的性质得，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 延长交于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点作于点，则是等腰直角三角形，， 设，则， ∵， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴，解得， 即． 10．【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，易证，于是我们把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】（1）如图1，与的位置关系是_____；的取值范围是_____． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长． 【答案】 （1）平行； （2） （3） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质、三角形三边关系、以及等腰三角形的判定，核心方法是“倍长中线法”和构造全等三角形，同时结合平行线与角的转化解决问题． （1）考查倍长中线法构造全等三角形，利用全等得到平行关系，再结合三角形三边关系求中线范围； （2）考查倍长中线法构造全等三角形，结合角平分线性质与全等三角形的判定，推导线段的倍数关系； （3）考查平行线的性质、等腰三角形的判定与全等三角形的构造，通过角的转化和线段的等量代换求解长度． 【详解】解：（1）由，得，故． 在中，，，由三边关系，即，化简得． 故答案为：平行；． （2）如图，延长到，使，连接． ∵，，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）如图，过作，交的延长线于，则． ∵是中点， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵，平分， ∴， ∴，， ∴， 设，则，，故． 由，解得， ∴． 11．实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析，（2），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质，三角形内角和定理．构造全等三角形，转化线段和角的关系是解题的关键． （1）把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点D、E，由翻折可得：， （2）在上取，使，连接，可得，进而可得，由此证明， ，进而得出结论． 【详解】（1）证明：把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点、 由翻折的性质可知，， ， ，即 ［方法运用］ （2）解：，理由如下： 如图（3），在上取，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ，即 12．同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题． (1)（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程： 方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题． (2)如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________． (3)如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、解分式方程、等腰三角形的判定和性质等知识，准确添加辅助线构造全等三角形和熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）选择方法一：证明．则，证明，则，即可得到结论；选择方法二：证明．则，即可得到结论； （2）在上取点G，使，证明，，则，即可得到； （3）根据角平分线的性质定理可知点D到的距离等于点D到的距离，得到，又由，得到，同理，，设，列出方程组并解方程组即可得到答案． 【详解】（1）若选择方法一． 证明：如图①，在上截取，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 若选择方法二． 证明：如图②，延长到点F，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵ ∴． ∴， ∴， ∴． （2）解：在上取点G，使， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分， ∴点D到的距离等于点D到的距离， ∴， ∵， ∴， 同理， 设，则 ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）根据平角的概念和三角形内角和定理证明，然后根据相似三角形的判定定理得出结论； （2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，有三种情况：①，②，③；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质及，求出即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ， ； （2）解：，， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得：， ①当时， ， ， ， ， ， 点D在上运动时（点D不与重合）,点E在上， 此情况不符合题意． ②当时，如图，   ， 由（1）可知：，， ∴， ， ； ③当时，，    ∵ 是等腰三角形，，即， ． 综上，或． 14．某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）根据已知条件利用边角边证明，再利用全等三角形的性质即可得到和的数量关系； （2）根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证明，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到和的数量关系； （3）连接，先由正方形的性质判断出和都是等腰直角三角形，再利用与第二问同样的方法证出，由对应边成比例，依据相似比求出线段的长，接着设正方形的边长为x，运用勾股定理列出方程即可求得答案． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， 在中，，， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：结论：， 理由如下：∵是等腰直角三角形，中，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，如图所示， ∵四边形与四边形是正方形，与交于点， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，设，则， 又∵正方形的边长为， ∴， ∴， 解得（舍去），． ∴正方形的边长为6． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 三角形综合：全等、相似与解直角三角形 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 全等三角形的构造与证明（倍长中线、截长补短、垂线模型） 题型02 相似三角形的构造与证明（一线三等角、三垂直模型、手拉手模型） 题型03 解直角三角形的实际应用 题型04 三角形中的线段最值问题（将军饮马、隐形圆、费马点） 模块三、综合实战演练 一、全等三角形倍长中线、截长补短、垂线模型的解题技巧： 一、倍长中线模型 适用场景：题干含中线/中点，需证线段相等、和差或角相等，直接证全等缺条件时使用。 核心思路：延长中线至两倍，构造对顶角+中点SAS全等，实现线段转移、角的转化。 解题技巧 1. 定中线：识别三角形的中线（顶点到对边中点的线段），记中点为，中线为； 2. 倍长操作：延长至点，使，连接另一端点（如）； 3. 证全等：由、、，得（SAS）； 4. 用结论：全等得、，将转移至，把分散的边/角集中到中，结合题干条件推导。 二、截长补短模型 适用场景：题干需证线段和差关系（如、），或线段成倍数、角平分线背景下的等量证明。 核心思路：“截长”或“补短”，将多段折线转化为单段线段，构造全等实现线段等量代换。 两类操作技巧 1. 截长法（长线段截出短线段） - 操作：在长线段上截取（为其中一条短线段），证剩余线段即可； - 全等依据：结合角平分线、公共边等条件，证（SAS/ASA），再推剩余线段相等。 2. 补短法（短线段延长拼长线段） - 操作：延长短线段至点，使，证即可； - 全等依据：证为特殊三角形（等腰/等边），再结合题干条件证全等或等腰，推线段相等。 三、垂线模型 适用场景：直角背景（含90°角、垂直、高），或需证线段垂直、角为直角、HL全等，题干缺直角/垂线段条件时使用。 核心思路：作垂线构造直角三角形，利用AAS/HL证全等，或结合勾股定理、余角相等推条件。 三类高频操作技巧 1. 过定点作定直线的垂线（最通用） - 操作：遇角平分线（如平分），过角平分线上一点作两边的垂线（、），得（角平分线性质）； - 全等依据：+公共边，得（HL）。 2. 双垂线构造三垂直全等（坐标系/矩形背景高频） - 操作：在直角顶点外作双垂线（如，作、），得； - 全等依据：利用“同角的余角相等”得，结合，证（AAS）。 3. 作高构造直角三角形（非直角三角形背景） - 操作：对锐角/钝角三角形，作一边的高（如），将其拆分为两个直角三角形，结合HL/AAS证全等，或用勾股定理推线段长。 二、将军饮马、隐形圆、费马点的解题技巧： 核心逻辑：动中定轨迹，化折为直/圈定范围，将线段最值转化为直线段或圆上距离计算。 1. 将军饮马 适用：单/多动点在定直线，求线段和/差最值。 技巧：找对称轴（动点所在定直线），作定点对称点，连线与对称轴交点为最值点，利用“两点之间线段最短/垂线段最短”求解。 2. 隐形圆 适用：动点对定线段定角、到定点定长，求线段最值。 技巧：由定弦定角/定点定长定圆心、半径，画出隐形圆/弧，将最值转化为“圆心距±半径”（圆上点到定点/定直线的距离最值）。 3. 费马点 适用：三角形内求一点到三顶点距离和最小。 技巧：三角各角＜120°时，选边旋转60°构造等边三角形，化三段折线为单一直线段，线段交点为费马点，线段长为最小值；若有角≥120°，该角顶点即为费马点。 题型01 全等三角形的构造与证明（倍长中线、截长补短、垂线模型） 1．综合与探究 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形． 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接，M是射线上的一点，连接，过点A作的垂线交于点G，若G是的三等分点，请直接写出的值． 2．在等腰中，，点D是上一动点（不含端点），点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，若，，求证：． (3)若，，点G为上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．将在同一平面内沿直线翻折，使得点A落在点处，连接．若，，当的值最小时，过点C作，垂线交于点K．请直接写出的面积． 3．综合探究与应用 (1)如图1，在和中，，，，点B在上，连接．则与的关系为_____________． 【类比应用】 (2)如图2，在中，，，将线段绕点A按逆时针方向旋转一个角度（）得到线段，连接，过点A作的垂线，分别交与射线于点D，F，连接． ①线段绕点A旋转的过程中，的度数是否发生变化？若不变，请求出的度数；若变化，请说明理由； ②直接写出、、这条线段的数量关系为________________； ③若，，请直接写出的面积． 4．已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点．求证：； (3)当点在直线上时，连接交直线于，若，则= ． 5．【阅读理解】小明利用三角形全等知识解决有关三角形三边关系问题时遇到了如下练习题：在中，，，点是的中点，连接，求的取值范围．小明进行了如下操作：在中，是边上的中线，若延长至，使，连接，可证明，进而可以得出． (1)【实践应用】如图②，在中，，，点是的中点，连接，则的取值范围是 ． (2)【类比探究】如图③，在正方形中，是边上一点，是的中点，且平分．求证：． (3)【能力提升】如图④，在矩形中，，．点在上，点在矩形的边上，且平分．当时，直接写出的值． 核心：找/造三组等量条件（SSS/SAS/ASA/AAS/HL），缺条件时通过作辅助线构造，优先凑夹角/公共边/对顶角。 1. 基础证法：标已知等量（边/角），锁定判定定理，补全缺的1组条件（如公共边、对顶角直接用）； 2. 辅助线构造：① 倍长中线造SAS全等；② 截长补短造SSS/SAS全等（证线段和差）；③ 作垂线造AAS/HL全等（直角背景）；④ 连公共边，整合分散条件； 3. 关键：无等角时，利用平行线、角平分线、垂直性质造等角，为全等铺垫。 题型02 相似三角形的构造与证明（一线三等角、三垂直模型、手拉手模型） 1．【问题情景】 图①                       图②                              图③ （1）如图①，小红把三角板放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为____________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 2．在中，，，点在边上运动（不与、点重合），点在边边上，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图1，当时，求的长； (3)过点作交射线于点，连接，当时，求的长． 3．如图，四边形是矩形，，，点在边上，连接，当点不与点、重合时，作线段的垂直平分线，点在边上，点在边上，连接，过点作，交边于点，连接． (1)求证：； (2)当时，的面积为 ； (3)当为等腰直角三角形时，求线段的长； (4)作点关于的对称点，连接．当时，直接写出的值． 4．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 5．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则 【拓展提升】 （3）如图3，，，连接，，若． ①求的值； ②延长交于点，则 ． 核心：优先用AA判定（最通用），抓模型特征造等角，缺条件时作平行线/垂线构造相似模型。 1. 模型识别与应用： 一线三等角：同一直线有3个相等角，直接得AA相似（锐角/直角/钝角均适用，直角即三垂直）； 三垂直模型：直角背景下，双垂直造直角相等+余角相等，快速证相似（坐标系/矩形背景高频）； 手拉手模型：共顶点旋转，造公共角+两组等角，得旋转型相似（常与全等结合）； 2. 辅助线构造：作平行线造同位角/内错角相等，或作垂线造直角，凑AA相似； 3. 关键：标图锁定公共角、对顶角、同角的余角/补角，结合模型快速找等角，相似后利用比例推线段关系。 题型03 解直角三角形的实际应用 1．在国家“双碳”目标与可再生能源发展规划的指引下，山西省大力推进风电等清洁能源项目建设，助力能源结构转型．图1是小陈在家乡看到的风力发电设备，他想利用所学知识估算风电架的高度，以加深对清洁能源基础设施的了解． 测量方案及数据：如图2，线段表示风电架，小陈在点（在同一直线上）处测得风电架顶部点的仰角为．他从点沿着小山坡走到点，此时测得风电架顶部点的仰角为，山坡的坡度，点到的距离为． 任务：若在观测过程中所有点都在同一竖直平面内，请根据小陈的测量数据计算风电架的高度（结果精确到，参考数据：）． 2．为了满足市民需求，某市在一公园开辟了两条跑步路线：①，②，如图，点C位于点A正东方向2000米处，点D在点A的东北方向，点B在点A的南偏东方向，点C在点B北偏西方向，点C在点D的东南方向．（参考数据：，） (1)求B，C两点之间的距离（结果保留根号）； (2)若甲沿路线①跑步锻炼身体，平均速度为80米分钟，乙沿路线②跑步锻炼身体，平均速度为95米分钟，（经过A，C两点时不停留），谁先到达B点？请通过计算说明理由．（结果精确到1分钟） 3．为推进“数字乡村”建设，某村计划在山坡上修建灌溉水库，需测算山坡高度以确定水库容量．在技术人员指导下，利用无人机、测角仪等设备开展测量活动． 活动主题 测算山坡的高度（助力灌溉水库建设） 测量工具 无人机、秒表、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 是山脚的水平线，山的高垂直于水平线于点，其示意图如下：    测绘过程与数据信息 ①在山脚A处测出山顶B的仰角，山坡的坡角；②用无人机测得从点沿着山坡前进到达处；③在处测出山顶的仰角．注：图中所有点均在同一平面内．（参考数据：， ） 请根据上面提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： (1)求坡面的水平距离和垂直距离； (2)求山的高． 4．为了提高海上航行能力，军舰甲、乙在如图所示的海域进行航行训练．，，，为同一平面内的四座小岛．岛位于岛的正东方向，岛位于岛的北偏西方向海里处，岛位于岛的东南方向，岛位于岛的正北方向，大于海里．（参考数据：，，） (1)求小岛、间的距离；（结果保留根号） (2)甲、乙两军舰同时从岛出发前往岛进行航行训练，甲军舰沿航行，乙军舰沿航行，甲军舰的速度与乙军舰的速度之比为．两军舰同时到达岛处，求小岛、间的距离（结果精确到海里）． 5．淋浴房喷头位置的数学建模探究 题目背景：为优化淋浴体验，某品牌淋浴房设计了可调节喷头系统．请结合几何原理与实际测量数据，解决以下问题： 已知条件 喷头结构 手柄，与墙面的夹角（称为“调整角”）．水流射线，落点需满足竖直站立者的“舒适喷淋点”要求．    淋浴房参数 矩形是淋浴房的截面图，．固定站立点满足．    人体工程学定义 “舒适喷淋点”（高度=身高）．已知父亲身高，小明身高． 参考数据 问题解决 (1)当父亲使用喷头时，调整角，水流恰好落于其“舒适喷淋点”处．求：点到地面的距离． (2)父亲使用后，固定器位置不变（长度固定），调整角改为．判断：小明站立于处时，水流是否能喷到他的“舒适喷淋点”？通过计算说明理由．（计算结果精确到个位） 核心：化实际图形为直角三角形，缺直角时作高拆分，利用三角函数（sin/cos/tan）、勾股定理、边角互化求解。 1. 解题步骤：① 审题建几何模型，标注已知量（边长/角度/仰角/俯角/坡角/方位角）；② 作垂线将非直角三角形/多边形拆分为一个或多个直角三角形（含公共边优先设为未知量）；③ 选合适的三角函数（有斜边用sin/cos，无斜边用tan），列等式求解； 2. 关键：遇特殊角（30°/45°/60°）直接用三角函数值，多直角三角形共享边时，设参列方程联立求解；方位角/坡角需准确转化为三角形内角。 题型04 三角形中的线段最值问题（将军饮马、隐形圆、费马点） 1．数学中的轴对称就像镜子一样，可以展现出图形对称的美，初中常见的轴对称图形有：等腰三角形、菱形、圆等．如图，在等腰中，． (1)尺规作图：作关于直线对称的（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，交于点，若，四边形周长为，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，若点、点分别在和上运动，当取最小值时，求的长． 2．如图，在中，，，D为线段上一点，连接，将射线绕点D顺时针旋转交直线于点E，连接． (1)如图1，若，，求线段的长． (2)如图2，若，过点B作，交射线于点F，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． (3)如图3，若，，过点A作的垂线，垂足为点M，当取得最小值时，直线上方有一点Q，使得，当取得最小值时，直接写出的值． 3．已知等腰，，点为三角形内一点，连，，． (1)如图，若为等边三角形，且，，求的度数以及边长； (2)如图，若，，求的最小值． 4．如图一，等边△ABC中，AB=6，P为AB上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，求DE的最小值． 5．问题背景如图（1），△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，直线l绕着点A顺时针旋转，过B，C两点分别向直线l作垂线BD，CE，垂足为D，E，此时△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小（取最小旋转角度）． 尝试应用如图（2），△ABC为等边三角形，直线l绕着点A顺时针旋转，D、E为直线l上两点，∠BDA＝∠AEC＝60°．△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到吗？若可以，请指出旋转中心O的位置并说明理由； 拓展创新如图（3）在问题背景的条件下，若AB＝2，连接DC，直接写出CD的长的取值范围． 核心：动中找静，将最值转化为线段公理或圆上点的距离最值，常用将军饮马、隐形圆、垂线段最短模型。 1. 高频模型应用： 单动点+两定点：用将军饮马（轴对称）化折线为直线，结合“两点之间线段最短”求和最小； 定角对定边：用隐形圆（定弦定角）定动点轨迹，转化为“圆上点到定点的距离最值（圆心距±半径）”； 点到直线：直接用垂线段最短求单线段最小值（如三角形高的最小值）； 费马点：三角形内到三顶点距离和最小，旋转60°化折为直（三角各角<120°）； 2. 关键：先判断动点轨迹（直线/圆），再选对应模型，无轨迹时通过构造辅助线转化为已知最值模型，所有最值均需结合三角形三边关系验证。 1．如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 2．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 3．如图，在中，，P是内一点，求的最小值为______． 4．如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点，分别是，上的动点，则的最小值为____________． 5．已知在中，，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是__________． 6．已知中，，，经过A点做一条直线l．作，，垂足分别为E，F (1)如图1，求证：． (2)如图2，找出，，之间的数量关系，并证明． 7．（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题：如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，直线PQ经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若、，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时．求此时的值．（直接写出结果） 8．综合与探究 问题情境：在中，，，点是直线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． 观察发现： (1)如图1，当点是的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 独立思考： (2)如图2，当点在线段上时，连接，过点作于点，过点作于点，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)连接，过点作于点，连接．若，，请直接写出线段的长． 9．【问题引入】 （1）在中，点在上，连接，以点为旋转中心，将线段顺时针旋转一定的角度得到线段，交于点，． ①如图1，直接写出与之间的数量关系 ； ②如图2，若，求证： 【变式研探】 （2）在中，，为延长线上一动点，以点为旋转中心，将线段顺时针旋转一定的角度得到线段，，连接，取中点，连接， ①如图3，若，探究线段与之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，若请直接写出线段的长度 ． 10．【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，易证，于是我们把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】（1）如图1，与的位置关系是_____；的取值范围是_____． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长． 11．实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 12．同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题． (1)（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程： 方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题． (2)如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________． (3)如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________． 13．如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 14．某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $