专题03 圆综合问题的相关求解5大题型（大题专练）（天津专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题03 圆综合问题的相关求解 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 天津中考数学第21题在2024年和2025年均固定为“圆与三角形综合题”，其中切线的性质、圆周角定理、垂径定理和勾股定理是每年必考的核心知识点。 具体题型对比如下： ·2024年：已知直线与圆相切，涉及平行线性质。 2025年：已知直线与圆相切，涉及线段平行。 命题趋势：综合来看，该题难度适中但综合性极强，呈现出“稳中有进”的特点： 核心模型高度固化：切线的性质（连半径得垂直）与直径对直角几乎是每年的必考点，且常结合垂径定理构造基本图形。 · 解法呈现“通法”特征：2024与2025年第（2）问均采用统一策略：作辅助线（构造矩形/Rt△）→ 设未知数（半径R）→ 勾股定理列方程。这种“方程思想”已成为破解长度计算的关键。 2026年预测：模型预测：大概率继续考察“圆与三角形综合”，但可能将“切线背景”切换为“圆内接四边形”或结合“锐角三角函数”求值。 ·考点预测： 必考：切线的判定/性质、圆周角定理、勾股定理。 高频：垂径定理、相似三角形的判定与性质。 ·难度预测：预计2026年难度与2025年持平或略有提升，可能会在线段关系证明或多解情况讨论上增加区分度。 题型01 求半径 析典例·建模型 1．（2025·天津南开·一模）已知分别与相切于点，为半径，连接． (1)如图①，延长与相交于点，若，垂足为点，，求的度数； (2)如图②，延长与相交于点，若，，，求的半径． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵分别与相切于点， ∴，， ∴， ∵ ∴； （2）解：如图，过点作于，连接， ∵分别与相切于点， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴的半径为． 研考点·通技法 1遇到弦心距：设弦心距为d，则R² = d² + (半弦长)²。 2 遇到切线：在Rt△中，R² + 切线长² = 圆心到切点的距离²。 3遇到相似比：用含R的式子表示对应边，通过相似比例相等列方程。 破类题·提能力 2．（2026·天津南开·一模）为的直径，为的切线，为切点，弦，垂足为点，，连接，． (1)如图，若，求和大小； (2)如图，若，，求的半径和的长． 【答案】(1)，； (2)；． 【来源】2026年天津市南开区九年级一模数学试题 【详解】（1）解：∵为的直径，为的切线， ∴，即， ∵弦，且为直径， ∴，且，， ∴； ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵由（1）得，四边形为平行四边形， ∴，， ∵由（1）得，， ∴， ∵在中，，， ∴由勾股定理可知， ∵设的半径为， ∴， 在中，，，， ∴由勾股定理可知，解得， ∴的半径为， ∴， ∵， ∴的长为． 3．（2025·天津·一模）是的外接圆，是的直径，点D为上一点，过点D作，与的延长线交于点E，连接与交于点F． (1)如图①，若，求和大小； (2)如图②，若恰好切于点D，且，，求的半径和的长． 【答案】(1)， (2)半径为； 【来源】专题08 圆的基本性质与切线（2题型 提升题）（天津专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接并延长交于H， 由（1）知， ∵恰好切于点D， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（2025年天津市河东区天津市第七中学模拟）如图，已知是的外接圆，于，且点是的中点． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若过点作的切线，与的延长线交于点，且，，求的半径． 【答案】(1)， (2) 【来源】2025年天津市河东区天津市第七中学模拟预测数学试题 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径是． 5．（2024·天津河北区·二模）如图1，是的直径，，是的切线，B，C是切点，连接，． (1)求证：； (2)如图2，过点 D 作，分别交，于E，F两点，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【详解】（1）证明：连接， ，都是的切线， ，，， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ，， 在中，， ，，即的半径为2． 题型02 求线段长 析典例·建模型 6．（2025·天津河西·二模）已知，为以为直径的半圆上一点，且半径于，是的中点． (1)如图①，过点作弦，连接，求和的大小； (2)如图②，连接并延长交半圆于点，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求线段的长． 【答案】(1) (2)6 【来源】2025年天津市河西区中考二模数学试题 【详解】（1）解：， ． ， ，即． 为中点，即垂直平分． ． ． ， ． 为等边三角形． ． ． （2）解：连接，如图所示： 为的切线， ， ， ， ． ． 又， ． ， ． ． 设，则，，， 在中，， ． 解得（舍），． ． 研考点·通技法 1. 标图：将已知长度、等角、垂直等条件标记在图上。 2. 找形：寻找图中的关键几何结构（如：有切线就连半径；有直径就找直角；有弦就考虑垂径）。 3. 转化：利用相似或勾股，将未知边与已知边建立等量关系。 4. 计算：列方程求解，并检验结果是否合理。 破类题·提能力 7．（2025·天津河北区·二模）在中，弦与半径互相垂直，垂足为点E，连接，点D在上，连接． (1)如图①，若是的直径，，弦交半径于点F，交弦于点G，求∠和的大小； (2)如图②，若直线与相切，切点为点D，且，求的长． 【答案】(1)，； (2)． 【来源】2025年天津市河北区九年级二模数学试题　 【详解】（1）解：在中，弦于点E， ， ∴， ， ， 是的直径， ∴， ； ， ， 又弦于点E，即， ． （2）解：连接， 直线切于点D， ，即， ， ， ， 同（1）得， 又， 为等边三角形， ， ， ， ， 在中，， ． 8．（2026·天津北辰·一模）已知中，，为的直径，，与分别相交于点D，E，弦，垂足为G，连接． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若经过点O，过点E作的切线，交于点H，的半径为3，求和的长． 【答案】(1)， (2)， 【来源】天津市北辰区2025-2026学年度 第二学期 九年级 第一次模拟考试 数学试卷 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵弦，垂足为G， ∴， ∴， 如图：连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接、、， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点E作的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（2025·天津·一模）已知为的直径，弦，连接． (1)如图①，求和的度数； (2)如图②，过点D作的切线，与的延长线交于点的半径为4，求线段的长． 【答案】(1)， (2)的长是 【来源】专题08 圆的基本性质与切线（2题型 提升题）（天津专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编 【详解】（1）解：∵为的直径，弦 ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴和的度数都是． （2）∵为的直径，的半径为4， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵与相切于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长是． 10．（2025·天津滨海新区·一模）已知，为的直径，弦，连接，，． (1)如图①，求和的度数； (2)如图②，过点D作的切线，与的延长线交于点G，的半径为4，求线段的长． 【答案】(1)， (2) 【来源】2025年天津市滨海新区中考一模数学试题 【详解】（1）解：在中，为直径，， ∴， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图②，连接， 由（1）得，， 为的切线， ， ， 为的直径， 在中，， ， 在中，， ， ． 题型03 切线的判定 析典例·建模型 11．（2025·天津河东·二模）如图，为上一点，点在直径的延长线上，且．    (1)求证：是的切线； (2)过点作的切线交的延长线于点，若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)5 【详解】（1）证明：如图，连接．   是的直径， ， ． ， ， ． 又，即， ，即， ． 又是的半径， 是的切线； （2）解：如图，连接．   、均为的切线， ， 又 垂直平分， ， ，， ， ，， ， ， ， 在中，设，则， ， ， 解得． 即的长为5． 研考点·通技法 1. 定关系：观察直线和圆，判断是已知交点还是未知交点，从而确定用“连半径”还是“作垂直”。 2. 找等角：在图中寻找等角来源，比如半径相等带来的等腰三角形、已知的平行线，或者同弧所对的圆周角。 3. 算直角：结合已知角度，算出目标角为90°。一个常用模型是：直径 → 90°圆周角 → 与切线产生的角互余。 4. 下结论：在答题卡上明确写出“∴ XX是⊙O的切线”。 破类题·提能力 12．（2026·天津北辰·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点，连接并延长，分别交于两点，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)求的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）证明：在中 是直角三角形 是的直径 是的切线； （2）证明：是直径， （公共角） 即； （3）由（2）得 即 解这个方程，得或（舍去） 连结 与都是的直径， 与互相平分 四边形为平行四边形， 在中 ． 13．（2025·天津和平区·三模）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC＝6，．求BE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【详解】(1)连接OD. ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠BDO. ∵∠CDA＝∠CBD， ∴∠CDA＝∠ODB. 又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°， ∴∠ADO＋∠ODB＝90°， ∴∠ADO＋∠CDA＝90°，即∠CDO＝90°， ∴OD⊥CD. ∵OD是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； (2)∵∠C＝∠C，∠CDA＝∠CBD，∴△CDA∽△CBD， BC＝6，∴CD＝4. ∵CE，BE是⊙O的切线， ∴BE＝DE，BE⊥BC， ∴BE2＋BC2＝EC2， 即BE2＋62＝(4＋BE)2， 解得BE＝ 14．（2024·天津武清·三模）如图，是的直径，点C在的延长线上，平分交于点D，且，垂足为点E． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求半径与线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)， 【详解】（1）连接， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直线是的切线． （2）连接，根据， ∴， ∴， 解得． ∵， ∴． ∴． 15（2024·天津七中·三模）．如图，是的直径，弦，垂足为，连接，过上一点作交的延长线于点，连接交于点，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）延长交的延长线于点，若，，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【详解】解：（1）如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴是圆的切线． （2）连接，设的半径为， ∵，， ∴，， 即，解得：． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 经检验：是原方程的根且符合题意. 题型04 圆与三角函数综合 析典例·建模型 16．（2025·天津河北区·一模）如图，在中，，AE是BC边上的高线，BM平分交AE于点M，经过B，M两点的交BC于点G，交AB于点F，FB为的直径． (1)求证：AM是的切线； (2)当，时，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【详解】（1）连接OM． ∵BM平分∠ABC， ∴∠1＝∠2 又∵， ∴∠1＝∠3 ∴∠2＝∠3， ∴ ∵AE是BC边上的高线， ∴， ∴ 又OM为半径， ∴AM是的切线 （2）∵，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ 在中 ∵，， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ 在中， ∴， 设，则 ∴， 解得 故的半径为 研考点·通技法 1. 明确Rt△：三角函数只能在Rt△中直接用，没有直角三角形要先构造。 2. 设k要统一：同题中若多次设比例，k的含义要一致，避免多个未知数。 3. 锐角三角形函数名称：sin、cos、tan必须放在Rt△中对应正确，不要弄混对边、邻边、斜边。 4. 最后化简：结果如果是分式或根式，要化简到最简形式（分母有理化）。 破类题·提能力 17．（2025·天津河西·模拟）如图，▱ABCD的边AB与经过A，C，D三点的⊙O相切． （1）求证：AC＝AD； （2）如图2，延长BC交⊙O于点E，连接DE，若sin∠ADE＝，求tan∠DCE的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】解：（1）证明：连接并延长交于，如图， 为切线， ， 四边形为平行四边形， ， ， ，即垂直平分， ； （2）过点作，如图， ，， ， ， 在中，， 设，， ， 四边形为平行四边形， ，， 而， ， ， 在中，， ， ， ． 18．（2024·天津·模拟）已知四边形内接于，过C、D分别作的切线，，若，为的一条直径，设与交于P点 (1)判断线段、、的数量关系，并证明 (2)若也是的一条直径，连接、，设，求的值 【答案】(1)线段、、的数量关系为，见解析 (2) 【来源】 2024年天津市中考数学模拟测试卷 如图1所示，过C点作且使，连接， ∵，为的切线切点为C、D， ∴，，， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵为的一条直径，O为圆心， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴在与中， ∴， ∴，，， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 即 ∴A、D、E三点共线， ∵， ∴， ， ∴， ∴是等腰直角三角形，D点为边上一点， ∴， 即 ∵， ∴. 故答案为：线段、、的数量关系为. （2）解：如图2所示，过P作交延长线于E，于F，于G， 若也是的一条直径，由（1）得四边形为正方形，四边形也为正方形，且，设，则， ∵四边形为正方形，四边形也为正方形， ∴四边形为矩形， ∴， 在中 ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中 ∴. 故答案为：. 19．（2026·天津东丽·一模）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E. (1)求证：DC＝DE； (2)若tan∠CAB＝，AB＝3，求BD的长. 【答案】(1)证明见解析;(2)1. 【详解】解：（1）连接OC， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠OCD=90°， ∴∠ACO+∠DCE=90°， 又∵ED⊥AD， ∴∠EDA=90°， ∴∠EAD+∠E=90°， ∵OC=OA， ∴∠ACO=∠EAD， 故∠DCE=∠E， ∴DC=DE； （2）设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x， 在Rt△EAD中，∵tan∠CAB=， ∴ED=AD=（3+x）， 由（1）知，DC=（3+x）， 在Rt△OCD中，， 则， 解得：（舍去），， 故BD=1． 【点睛】考点：1．切线的性质；2．勾股定理；3．解直角三角形；4．综合题． 20．（2025·天津·一模）如图，为的直径，点在直径上（点与A，两点不重合），，点在上满足，连接并延长到点，使． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2025年中考数学一模猜题卷（天津专用）—2025年全国各地市最新中考数学模拟考试 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：设， ∴， ∴，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 由（1）可得：， ∴． 题型05 圆与相似三角形综合 析典例·建模型 21．（2026·天津二十一中学·一模）如图，是的直径，，分别与相切于点B，D，连接，E是的延长线上一点，连接，并延长交于点F． (1)若，求的度数 (2)若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【来源】2026年天津市第二十一中学九年级数学中考一模试卷 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵所对圆周角为，所对圆心角为， ∴， ∵，分别与相切于点B，D， ∴，，即， 在四边形中，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵，分别与相切于点B，D，点是直径延长线上一点， ∴，，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，则，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 研考点·通技法 1. 同弧或等弧所对的圆周角相等 这是最常用的等角来源。注意，同一条弧既可以对着圆周角，也可以对着圆心角。 2. 直径所对的圆周角是90° 出现直径时，它所对的圆周角是90°。这经常与另一个90°角（如切线垂直于半径）结合，形成等角关系。 3. 弦切角定理（非常实用） 弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。当题目出现切线时，这是找等角最快的方法。 4. 半径相等 → 等腰三角形 → 底角相等 这个性质常用于等角转换，尤其是在涉及圆心角或复杂线段的图形中。 破类题·提能力 22．（2025·天津·一模）已知是的直径，点C，D在上，位于两侧，且，连接，，与交于点E． (1)如图①，若，连接，求和的大小； (2)如图②，过点C作的切线，与的延长线交于点F，若，，求的长． 【答案】(1)和的度数分别为和 (2)1 【来源】专题08 圆的基本性质与切线（2题型 提升题）（天津专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编 【详解】（1）如图①，连接，则， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵点D在上，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴和的度数分别为55°和35°． （2）如图②，连接，作于点L，设， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为1． 23．（2025年天津市东丽区天津市第二耀华中学九年级中考模拟）已知为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，交于点E． (1)如图①，求证：平分； (2)如图②，过B作交于点F，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2025年天津市东丽区天津市第二耀华中学九年级中考模拟预测数学试题 【详解】（1）证明：连接， ， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：连接，，， 在中，，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长交于G， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 24．（2025·天津和平·三模）已知：中，，以为直径的分别交，于点，．    (1)如图①，若点为的中点，连接，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线与相交于点，且，若，求半径的长． 【答案】(1) (2)2 【来源】2025年天津市和平区九年级三模数学试题　 【详解】（1）解：如图，连接， 点为的中点， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ； （2）解：如图，连接，过点作， ， 为的切线， ，即， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 解得，即半径的长为． 25．（2025·天津滨海·二模）在中，为直径，与相切于点，交延长线于点，连接，，且，点为中点． (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，过点作，垂足为点，延长交于点．若，求的长． 【答案】(1)， (2) 【来源】2025年天津市滨海新区中考二模考试数学试题（二） 【详解】（1）解：连接， ∵与相切于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵为直径， ∴， 又∵点为中点， ∴； （2）解：连接，，设直线交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 又∵是直径， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：． （建议用时：40分钟） 刷模拟 1．（2024·天津南开·一模）已知是的直径，，是的弦．      (1)如图①，若E为的中点，，求和的大小； (2)如图②，若是的直径，过点D作的切线交延长线于点C，连接．，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， 在中，， ∴， ∵与都是所对的圆周角， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是的切线，是直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∵，， 在中，． 2．（2026·天津部分区·一模）已知内接于，，，是的直径，连接． (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，过点作的切线，与交于点，若，求的长． 【答案】(1)，； (2)6． 【来源】2026年天津市部分区初中毕业年级第一次模拟考试 数学试题 【分析】（1）由三角形内角和定理得，由直径所对圆周角是直角得，可得，得出； （2）连接，证明．．．可得四边形是矩形．又，四边形是正方形．可得．求出，可得． 【详解】（1）（1），， ． ． 是的直径， ． ； （2）解：连接． 切于点， ，即． 同理． 又，则． 四边形是矩形． 又， 四边形是正方形． ，． 则． 由（1）知，， 则． 由，可知 ． 则． 又 ． 3．（2026·天津东丽·一模）已知在中，点C为的中点，连接交弦于点E，点D在上，连接，，，． (1)如图①，连接，若，求和的度数； (2)如图②，过点A作的切线交延长线于点F，若，，求和的长． 【答案】(1)． (2)， 【来源】2026年天津市东丽区九年级一模数学试题 【分析】（1）根据题意得，，再根据等腰三角形的定义可得． （2）由圆周角定理得，可求出，的长，进而可求出的长． 【详解】（1）解：∵C为的中点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）解：由（1）知 ，．                ∵，， ∴， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∵切于点A， ∴，即， 又， ∴． 4．（25-26九下·天津大港十中·结课评估）已知是的内接三角形，，连接并延长，交于点，交过点的切线于点． (1)如图①若，求和； (2)如图②，若，，求的长． 【答案】(1)，； (2)． 【来源】天津市滨海新区大港十中2025-2026学年下学期（2）九年级数学学科结课评估试卷 【分析】（1）根据圆周角定理求得，得到，根据切线的性质求得，据此求解即可； （2）连接，，求得，，再证明是等腰直角三角形，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：连接，， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； （2）解：连接，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 5．（2026·天津红桥·一模）已知锐角三角形内接于，，为的直径，连接． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，过点A作的切线，与的延长线相交于点P．若，，求线段的长． 【答案】(1)， (2) 【来源】2026年天津市红桥区九年级数学中考一模试卷 【分析】（1）因为为的直径，所以，结合已知，可先求出的度数；然后利用等腰三角形内角和定理可求出的度数；因为同弧所对的圆周角相等，则有，再结合与互余，可求出的度数． （2）因为是的切线，连接，，有；再根据条件和垂径定理可推出，进而得到相关角的关系，确定的形状；利用切线的性质、圆周角定理，得出是含角的直角三角形，再结合已知，求解出线段长度，进而得到的长． 【详解】（1）解：为的直径， ． ，， ． ． ． ． （2）解：如图，连接，． 与相切， ，即． 为的直径，， ，， ． 为等边三角形． ． ，． ， ． ． ． ， ． 在中，． 6．（2026·天津河北区·质量检测（一））已知是的切线，切点为C，连接，与有一个公共点E，为直径． (1)如图①，点D在上，，，，求的大小与线段的长； (2)如图②，点D在外，切于点E，G为上一点，连接，，，若，，求的大小． 【答案】(1)， (2) 【来源】天津市河北区2025-2026学年九年级总复习数学质量检测（一） 【分析】（1）根据切线的性质和四边形的内角和为，可求得，从而得到，然后根据直径所对的圆周角为直角，在中，利用，即可解答； （2）根据切线的性质易证，得到，然后根据直径所对的圆周角为直角，可求得，由根据两直线平行，内错角相等，可知 ，从而求得，即可解答． 【详解】（1）解：∵切于点C， 于点C，即， 又∵，， ∴， ∴， ∵为直径，， ∴， 在中，， ∴； （2）解：∵切于点E，切于点C， 于点E，于点C， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 7．（2026·天津西青·一模）已知是的直径，线段和是的弦． (1)如图①，，垂足是E，若的半径是5，，求弦，的长； (2)如图②，点C是的中点，过点A作的切线，与的延长线交于点M，连接，若，求和的大小． 【答案】(1)， (2)， 【来源】2026年天津市西青区九年级一模数学试题 【分析】（1）连接，由勾股定理求出，由垂径定理求出，再利用勾股定理求出即可． （2）连接，由直径所对的圆周角等于90度得出，进而求出，再根据等弧所对的圆周角相等得出，进而可求出，由切线的定义进一步得出，由圆内接四边形的性质得出， 最后再利用三角形外角的定义即可求出． 【详解】（1）解：连接． ， ． 在中，，． ． ，是的直径， ． 在中，，． ． （2）解：如图，连接． 是的直径， ． ． 点C是的中点， ． ． ． 切于点A，是的直径， ．即． ． ， ． ． 8．（25-26九下·天津河东·质量检测（一））已知，，过点，且与边切于点，点是上一点． (1)如图①，若，点在上，且与边交于点，连接和，求的大小； (2)如图②，点为中点，与边交于点，连接，当时，若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【来源】天津市河东区2025--2026学年第二学期九年级数学质量检测试卷（一） 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，切线的性质，圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）连接，，求出，即可得到，再根据圆周角定理即可求出答案． （2）连接，，，证明，，证明为等边三角形，在中，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，， 与切于点， ． ，， ， ，， ， ； （2）解：连接，，， 与切于点， ， ，点为中点， ， 点在上， ， ， ， ， ， 为等边三角形． 在中， ，， ． ． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆综合问题的相关求解 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 天津中考数学第21题在2024年和2025年均固定为“圆与三角形综合题”，其中切线的性质、圆周角定理、垂径定理和勾股定理是每年必考的核心知识点。 具体题型对比如下： ·2024年：已知直线与圆相切，涉及平行线性质。 2025年：已知直线与圆相切，涉及线段平行。 命题趋势：综合来看，该题难度适中但综合性极强，呈现出“稳中有进”的特点： 核心模型高度固化：切线的性质（连半径得垂直）与直径对直角几乎是每年的必考点，且常结合垂径定理构造基本图形。 · 解法呈现“通法”特征：2024与2025年第（2）问均采用统一策略：作辅助线（构造矩形/Rt△）→ 设未知数（半径R）→ 勾股定理列方程。这种“方程思想”已成为破解长度计算的关键。 2026年预测：模型预测：大概率继续考察“圆与三角形综合”，但可能将“切线背景”切换为“圆内接四边形”或结合“锐角三角函数”求值。 ·考点预测： 必考：切线的判定/性质、圆周角定理、勾股定理。 高频：垂径定理、相似三角形的判定与性质。 ·难度预测：预计2026年难度与2025年持平或略有提升，可能会在线段关系证明或多解情况讨论上增加区分度。 题型01 求半径 析典例·建模型 1．（2025·天津南开·一模）已知分别与相切于点，为半径，连接． (1)如图①，延长与相交于点，若，垂足为点，，求的度数； (2)如图②，延长与相交于点，若，，，求的半径． 研考点·通技法 1遇到弦心距：设弦心距为d，则R² = d² + (半弦长)²。 2 遇到切线：在Rt△中，R² + 切线长² = 圆心到切点的距离²。 3遇到相似比：用含R的式子表示对应边，通过相似比例相等列方程。 破类题·提能力 2．（2026·天津南开·一模）为的直径，为的切线，为切点，弦，垂足为点，，连接，． (1)如图，若，求和大小； (2)如图，若，，求的半径和的长． 3．（2025·天津·一模）是的外接圆，是的直径，点D为上一点，过点D作，与的延长线交于点E，连接与交于点F． (1)如图①，若，求和大小； (2)如图②，若恰好切于点D，且，，求的半径和的长． 4．（2025年天津市河东区天津市第七中学模拟）如图，已知是的外接圆，于，且点是的中点． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若过点作的切线，与的延长线交于点，且，，求的半径． 5．（2024·天津河北区·二模）如图1，是的直径，，是的切线，B，C是切点，连接，． (1)求证：； (2)如图2，过点 D 作，分别交，于E，F两点，若，，求的半径． 题型02 求线段长 析典例·建模型 6．（2025·天津河西·二模）已知，为以为直径的半圆上一点，且半径于，是的中点． (1)如图①，过点作弦，连接，求和的大小； (2)如图②，连接并延长交半圆于点，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求线段的长． 研考点·通技法 1. 标图：将已知长度、等角、垂直等条件标记在图上。 2. 找形：寻找图中的关键几何结构（如：有切线就连半径；有直径就找直角；有弦就考虑垂径）。 3. 转化：利用相似或勾股，将未知边与已知边建立等量关系。 4. 计算：列方程求解，并检验结果是否合理。 破类题·提能力 7．（2025·天津河北区·二模）在中，弦与半径互相垂直，垂足为点E，连接，点D在上，连接． (1)如图①，若是的直径，，弦交半径于点F，交弦于点G，求∠和的大小； (2)如图②，若直线与相切，切点为点D，且，求的长． 8．（2026·天津北辰·一模）已知中，，为的直径，，与分别相交于点D，E，弦，垂足为G，连接． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若经过点O，过点E作的切线，交于点H，的半径为3，求和的长． 9．（2025·天津·一模）已知为的直径，弦，连接． (1)如图①，求和的度数； (2)如图②，过点D作的切线，与的延长线交于点的半径为4，求线段的长． 10．（2025·天津滨海新区·一模）已知，为的直径，弦，连接，，． (1)如图①，求和的度数； (2)如图②，过点D作的切线，与的延长线交于点G，的半径为4，求线段的长． 题型03 切线的判定 析典例·建模型 11．（2025·天津河东·二模）如图，为上一点，点在直径的延长线上，且．    (1)求证：是的切线； (2)过点作的切线交的延长线于点，若，，求的长． 研考点·通技法 1. 定关系：观察直线和圆，判断是已知交点还是未知交点，从而确定用“连半径”还是“作垂直”。 2. 找等角：在图中寻找等角来源，比如半径相等带来的等腰三角形、已知的平行线，或者同弧所对的圆周角。 3. 算直角：结合已知角度，算出目标角为90°。一个常用模型是：直径 → 90°圆周角 → 与切线产生的角互余。 4. 下结论：在答题卡上明确写出“∴ XX是⊙O的切线”。 破类题·提能力 12．（2026·天津北辰·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点，连接并延长，分别交于两点，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)求的正切值． 13．（2025·天津和平区·三模）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC＝6，．求BE的长． 14．（2024·天津武清·三模）如图，是的直径，点C在的延长线上，平分交于点D，且，垂足为点E． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求半径与线段的长． 15（2024·天津七中·三模）．如图，是的直径，弦，垂足为，连接，过上一点作交的延长线于点，连接交于点，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）延长交的延长线于点，若，，求的值． 题型04 圆与三角函数综合 析典例·建模型 16．（2025·天津河北区·一模）如图，在中，，AE是BC边上的高线，BM平分交AE于点M，经过B，M两点的交BC于点G，交AB于点F，FB为的直径． (1)求证：AM是的切线； (2)当，时，求的半径． 研考点·通技法 1. 明确Rt△：三角函数只能在Rt△中直接用，没有直角三角形要先构造。 2. 设k要统一：同题中若多次设比例，k的含义要一致，避免多个未知数。 3. 锐角三角形函数名称：sin、cos、tan必须放在Rt△中对应正确，不要弄混对边、邻边、斜边。 4. 最后化简：结果如果是分式或根式，要化简到最简形式（分母有理化）。 破类题·提能力 17．（2025·天津河西·模拟）如图，▱ABCD的边AB与经过A，C，D三点的⊙O相切． （1）求证：AC＝AD； （2）如图2，延长BC交⊙O于点E，连接DE，若sin∠ADE＝，求tan∠DCE的值． 18．（2024·天津·模拟）已知四边形内接于，过C、D分别作的切线，，若，为的一条直径，设与交于P点 (1)判断线段、、的数量关系，并证明 (2)若也是的一条直径，连接、，设，求的值 19．（2026·天津东丽·一模）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E. (1)求证：DC＝DE； (2)若tan∠CAB＝，AB＝3，求BD的长. 20．（2025·天津·一模）如图，为的直径，点在直径上（点与A，两点不重合），，点在上满足，连接并延长到点，使． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 题型05 圆与相似三角形综合 析典例·建模型 21．（2026·天津二十一中学·一模）如图，是的直径，，分别与相切于点B，D，连接，E是的延长线上一点，连接，并延长交于点F． (1)若，求的度数 (2)若，，，求的长． 研考点·通技法 1. 同弧或等弧所对的圆周角相等 这是最常用的等角来源。注意，同一条弧既可以对着圆周角，也可以对着圆心角。 2. 直径所对的圆周角是90° 出现直径时，它所对的圆周角是90°。这经常与另一个90°角（如切线垂直于半径）结合，形成等角关系。 3. 弦切角定理（非常实用） 弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。当题目出现切线时，这是找等角最快的方法。 4. 半径相等 → 等腰三角形 → 底角相等 这个性质常用于等角转换，尤其是在涉及圆心角或复杂线段的图形中。 破类题·提能力 22．（2025·天津·一模）已知是的直径，点C，D在上，位于两侧，且，连接，，与交于点E． (1)如图①，若，连接，求和的大小； (2)如图②，过点C作的切线，与的延长线交于点F，若，，求的长． 23．（2025年天津市东丽区天津市第二耀华中学九年级中考模拟）已知为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，交于点E． (1)如图①，求证：平分； (2)如图②，过B作交于点F，连接，若，，求的长． 24．（2025·天津和平·三模）已知：中，，以为直径的分别交，于点，．    (1)如图①，若点为的中点，连接，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线与相交于点，且，若，求半径的长． 25．（2025·天津滨海·二模）在中，为直径，与相切于点，交延长线于点，连接，，且，点为中点． (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，过点作，垂足为点，延长交于点．若，求的长． （建议用时：40分钟） 刷模拟 1．（2024·天津南开·一模）已知是的直径，，是的弦．      (1)如图①，若E为的中点，，求和的大小； (2)如图②，若是的直径，过点D作的切线交延长线于点C，连接．，，求的长． 2．（2026·天津部分区·一模）已知内接于，，，是的直径，连接． (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，过点作的切线，与交于点，若，求的长． 3．（2026·天津东丽·一模）已知在中，点C为的中点，连接交弦于点E，点D在上，连接，，，． (1)如图①，连接，若，求和的度数； (2)如图②，过点A作的切线交延长线于点F，若，，求和的长． 4．（25-26九下·天津大港十中·结课评估）已知是的内接三角形，，连接并延长，交于点，交过点的切线于点． (1)如图①若，求和； (2)如图②，若，，求的长． 5．（2026·天津红桥·一模）已知锐角三角形内接于，，为的直径，连接． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，过点A作的切线，与的延长线相交于点P．若，，求线段的长． 6．（2026·天津河北区·质量检测（一））已知是的切线，切点为C，连接，与有一个公共点E，为直径． (1)如图①，点D在上，，，，求的大小与线段的长； (2)如图②，点D在外，切于点E，G为上一点，连接，，，若，，求的大小． 7．（2026·天津西青·一模）已知是的直径，线段和是的弦． (1)如图①，，垂足是E，若的半径是5，，求弦，的长； (2)如图②，点C是的中点，过点A作的切线，与的延长线交于点M，连接，若，求和的大小． 8．（25-26九下·天津河东·质量检测（一））已知，，过点，且与边切于点，点是上一点． (1)如图①，若，点在上，且与边交于点，连接和，求的大小； (2)如图②，点为中点，与边交于点，连接，当时，若，，，求的长． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $