精品解析：山东威海乳山市（五四制）2025-2026学年七年级下学期期中数学试题

初二数学 亲爱的同学： 你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟． 2．不允许使用计算器． 希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 下列方程中是二元一次方程组的有（ ） ①，②，③，④， A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 一次函数 与 的图象位置关系是（ ） A. 重合 B. 平行 C. 相交 D. 无法判断 3. 如图，将一直角三角尺与纸条叠放一起，下列条件不能说明纸条上下两边平行的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，于点，若 ，则的度数是( ) A. B. C. D. 5. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在和，则口袋中白色球很可能有的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 如图，两平面镜，的夹角，光线射在镜面上，反射光线经镜面反射后得到光线，此时，，则光线与的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，平分，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中，假命题的个数是（ ） 对顶角相等；内错角相等；邻补角的角平分线互相垂直；若，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 一个口袋里有除颜色外其他都相同的个红球和个白球，先从袋子里取出个白球，再放入个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，则，可能的组合种类数为( ) A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 10. 若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填出最后结果） 11. 将命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写为“如果…那么…”的形式，可写为___________________________． 12. 已知关于x，y的方程组与方程x+y=3k的解相同，则k的值为_____________． 13. 七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．小虹同学利用七巧板拼成的正方形做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，如图所示，那么小球最终停留在阴影区域上的概率是__________． 14. 如图，由10块相同的长方形瓷砖和2块相同的正方形瓷砖，铺成了一个大长方形．已知这个大长方形的一边长为，则这个大长方形的面积为______． 15. 如图，已知，，的平分线交于点E，在直线上取点F，使，则的度数是_____． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，写出必要的运算、推理过程） 16. 计算 （1）已知一次函数图像经过，求a的值． （2）解方程组 17. 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的个小球，其中红球个，黑球个． （1）先从袋子中取出个红球后，再从袋子中随机摸出个球，将“摸出黑球”，记为事件．请完成下列表格． 事件 必然事件 随机事件 的值 （2）先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出个球是黑球的概率是，求的值． 18. 如图，已知：点A在射线上，，，． （1）求证：； （2）猜测和的位置关系，说明理由． 19. 某服装店用6200元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3300元．这两种服装的进价、标价见下表． 价格 类型 A B 进价（元/件） 200 320 标价（元/件） 300 500 （1）这两种服装各购进多少件？ （2）如果A种服装按标价的8折售出、B种服装按标价的7.5折售出，那么这批服装全售完后，服装店比按标价售出收入减少多少元？ 20. A，B两地相距360千米，甲、乙两车先后从A地出发到B地．如图，线段表示甲车离A地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线表示乙车离A地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系．根据图象回答下列问题． （1）求线段所在直线的函数解析式； （2）乙车到达B地后，甲车距B地多少千米？ （3）求点P的坐标，并说明点P坐标的实际意义． 21. 我们规定，关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“友好”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“友好”方程，把两个“友好”方程合在一起叫“友好”方程组．根据上述规定，回答下列问题： （1）判断方程__________“友好”方程（填“是”或“不是”）； （2）若关于x，y的二元一次方程是“友好”方程，求k的值； （3）若是关于x，y的“友好”方程组的解，求的值． 22. 如图，在长方形中，顶点，直线分别交于点D，E，且点D为的中点． （1）求k的值及此时的面积； （2）现向长方形内随机投掷一枚飞镖，求飞镖落在内的概率．（若投在边框上则重投） 23. 已知：如图1，直线与直线分别相交于点，且，将含的直角三角板的直角顶点放置在直线上的点处，一边在直线上，另一边在直线的下方． （1）观察．思考 直接写出图1中__________，线段与直线的位置关系是 ； （2）操作・思考 将图1中的三角板绕点B逆时针旋转到如图2所示的位置，使三角板的一边恰好平分，求证：平分； （3）联系・拓展 将图1中的三角板按每秒的速度绕点逆时针旋转一周，在旋转过程中，第秒时，该三角板的一边恰好与直线平行，求此时t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学 亲爱的同学： 你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟． 2．不允许使用计算器． 希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 下列方程中是二元一次方程组的有（ ） ①，②，③，④， A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组，逐项进行分析即可判断求解，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 【详解】解：方程组中是二元二次方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组是二元一次方程组，故符合题意； 方程组中不是整式方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组中含有个未知数，故不是二元一次方程组，不合题意； ∴是二元一次方程组的有个， 故选：A． 2. 一次函数 与 的图象位置关系是（ ） A. 重合 B. 平行 C. 相交 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【详解】解：两个函数的一次项系数均为，即相等，常数项分别为和，常数项不相等， 两图象位置关系为平行． 3. 如图，将一直角三角尺与纸条叠放一起，下列条件不能说明纸条上下两边平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，同角的余角相等，对顶角相等，根据平行线的判定方法逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 、∵， ∴，原选项不符合题意； 、∵，， ∴， ∴，原选项不符合题意； 、由，不能判定，原选项符合题意； 、∵， ∴，原选项不符合题意； 故选：． 4. 如图，，于点，若 ，则的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，过点作，则， ，  ， ， ， ， ， ， ． 5. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在和，则口袋中白色球很可能有的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】利用频率估计概率，先求出摸到白色球的频率，再乘以总球数即可得到白色球的个数． 【详解】解：摸到红色、黑色球的频率稳定在和， 摸到白色球的频率为， 总共有个玻璃球， 口袋中白色球的个数为（个）， 即口袋中白色球很可能是个． 6. 如图，两平面镜，的夹角，光线射在镜面上，反射光线经镜面反射后得到光线，此时，，则光线与的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形内角和定理先得到的度数，根据邻补角互补得到，，两式相加即可求得的度数，最后再根据三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：， ， ，， ，即， ，， ，即， ，即， ， ． 7. 如图，，平分，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：平分，， ， ， ． 8. 下列命题中，假命题的个数是（ ） 对顶角相等；内错角相等；邻补角的角平分线互相垂直；若，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据对顶角性质、平行线性质、邻补角性质，逐项判断命题真假后统计假命题个数即可． 【详解】解：对顶角相等，符合对顶角的性质，故是真命题； 只有两直线平行时，内错角才相等，命题未给出两直线平行的前提，故是假命题； 邻补角的和为，邻补角的角平分线将两个邻补角各分为一半，两个半角的和为，因此两条角平分线互相垂直，故是真命题； 当时，举反例：若，满足，此时，故是假命题； 综上，是假命题，共个． 9. 一个口袋里有除颜色外其他都相同的个红球和个白球，先从袋子里取出个白球，再放入个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，则，可能的组合种类数为( ) A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 【答案】C 【解析】 【分析】先根据概率公式列出等式，整理得到关于的不定方程，根据为非负整数、不超过原有白球数，找出所有符合条件的组合，计算组合数即可． 【详解】解：∵ 原有红球个，白球个，取出个白球，放入个红球后， 红球数量为 ，总球数量为 ， 由题意得 ， 整理得 ， ∵ ，，且(原有白球仅个)，均为整数， ∴ ，得 ，且 为偶数，故必为偶数， ∴ 的可取值为 ，对应均为非负整数，共种组合． 10. 若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将待解方程组变形为和已知原方程组结构相同的形式，再对应已知解得到新的方程，即可求出结果． 【详解】解：将方程组整理变形：， 方程组的解是， ，解得． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填出最后结果） 11. 将命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写为“如果…那么…”的形式，可写为___________________________． 【答案】如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，命题由题设和结论两部分组成；准确找出题设和结论是解题关键．根据命题题设为：在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线；结论为这两条直线互相平行得出即可． 【详解】解：因为命题题设为：在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线；结论为：这两条直线互相平行； 所以“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：“如果，在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行”； 故答案为：如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． 12. 已知关于x，y的方程组与方程x+y=3k的解相同，则k的值为_____________． 【答案】k= -1 【解析】 【分析】先求出方程组的解，然后代入x+y=3k，解关于k的方程即可求出k的值． 【详解】解：， ①×2-②，得 x=k+5③， 把③代入①，得3(k+5)+2y=2k， ∴y=， 把x=k+5，y=代入程x+y=3k，得 k+5=3k， 解得 k=-1． 故答案为：k=-1． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的解，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键． 13. 七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．小虹同学利用七巧板拼成的正方形做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，如图所示，那么小球最终停留在阴影区域上的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设大正方形的边长为2，先求出阴影区域的面积，然后根据概率公式即可解题． 【详解】解：设大正方形的边长为2，则GE=1，E到DC的距离d= 阴影区域的面积为： 大正方形的面积是： 小球最终停留在阴影区域上的概率是：． 故答案为： 【点睛】 本题考查几何概率，掌握相关知识熟悉概率公式是解题关键． 14. 如图，由10块相同的长方形瓷砖和2块相同的正方形瓷砖，铺成了一个大长方形．已知这个大长方形的一边长为，则这个大长方形的面积为______． 【答案】4800 【解析】 【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意列出方程组，即可解答． 【详解】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意得： ， 解得： ， ∴这个大长方形的面积为 ． 故答案为：4800． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，观察图形，准确得到等量关系是解题的关键． 15. 如图，已知，，的平分线交于点E，在直线上取点F，使，则的度数是_____． 【答案】或##或 【解析】 【分析】先由、平分可推得，因，故可求得，然后分两种情况计算的度数即可． 【详解】∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴． 下面分二种情况讨论： 如图1，点F位于点A的右侧． ∵， ∴ 如图2，点F位于点A的左侧， ∵， ∴ 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理的应用等知识点，解题的关键是注意分两种情况讨论． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，写出必要的运算、推理过程） 16. 计算 （1）已知一次函数图像经过，求a的值． （2）解方程组 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式，再把所求点的坐标代入即可求出答案； （2）整理方程组后利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：设一次函数表达式为：， ∵图像经过点 ∴， 解得：， ∴一次函数表达式为：， ∵图像经过， ∴． 【小问2详解】 解：原方程组可化为， 得， 解得：， 将代入①得 ， 解得：， ∴原方程组的解为． 17. 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的个小球，其中红球个，黑球个． （1）先从袋子中取出个红球后，再从袋子中随机摸出个球，将“摸出黑球”，记为事件．请完成下列表格． 事件 必然事件 随机事件 的值 （2）先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出个球是黑球的概率是，求的值． 【答案】（1）；或 （2） 【解析】 【分析】（1）当袋子中全部为黑球时，摸出黑球才是必然事件，否则就是随机事件； （2）利用概率公式列出方程，求得的值即可． 【小问1详解】 解：当袋子中全为黑球，即摸出个红球时，摸到黑球是必然事件； ， 当摸出个或个红球时，摸到黑球为随机事件； 事件 必然事件 随机事件 的值 或 【小问2详解】 解：依题意，得， 解得． 18. 如图，已知：点A在射线上，，，． （1）求证：； （2）猜测和的位置关系，说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴； （2） 解：； 理由：∵， ∴； ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据，得出，得出结论即可； （2）先证明，再证明，由于，所以可得出和的位置关系. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，属于基础题，要灵活运用. 19. 某服装店用6200元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3300元．这两种服装的进价、标价见下表． 价格 类型 A B 进价（元/件） 200 320 标价（元/件） 300 500 （1）这两种服装各购进多少件？ （2）如果A种服装按标价的8折售出、B种服装按标价的7.5折售出，那么这批服装全售完后，服装店比按标价售出收入减少多少元？ 【答案】（1）A种15件，B种10件 （2）2150元 【解析】 【分析】（1）设A种服装购进x件，B种服装购进y件，由题意列方程组，计算求解即可； （2）由题意得：服装店比按标价售出减少的收入为，计算求解即可． 【小问1详解】 解：设A种服装购进x件，B种服装购进y件，由题意得：， 解得：， ∴A种服装购进15件，B种服装购进10件． 【小问2详解】 解：由题意得： ∴服装店比按标价售出少收入2150元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式．解题的关键在于正确的列方程组． 20. A，B两地相距360千米，甲、乙两车先后从A地出发到B地．如图，线段表示甲车离A地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线表示乙车离A地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系．根据图象回答下列问题． （1）求线段所在直线的函数解析式； （2）乙车到达B地后，甲车距B地多少千米？ （3）求点P的坐标，并说明点P坐标的实际意义． 【答案】（1） （2）60千米 （3），点P坐标的实际意义是：甲出发3.5小时，在距A地210千米处，乙追上甲 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法确定函数关系式以及一次函数的应用， 根据题意找到过线段的点，利用待定系数法求的解析式即可； 根据图象的到甲的速度和乙到达B地的时间，即可求得甲车距B地路程； 根据图象联立求得点P，结合实际说明点P的意义即可． 【小问1详解】 解：（1）设的解析式为，将，代入得： ， 解得， ∴的解析式为； 【小问2详解】 由图可得甲的速度为（千米/时）， 乙5小时到达B后，甲车距B地正好还有1小时路程，（千米）； 【小问3详解】 由甲的速度为60(千米/时)，可得解析式为， 由题意得方程组 解得， ∴， ∴点P坐标的实际意义是：甲出发3.5小时，在距A地210千米处，乙追上甲． 21. 我们规定，关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“友好”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“友好”方程，把两个“友好”方程合在一起叫“友好”方程组．根据上述规定，回答下列问题： （1）判断方程__________“友好”方程（填“是”或“不是”）； （2）若关于x，y的二元一次方程是“友好”方程，求k的值； （3）若是关于x，y的“友好”方程组的解，求的值． 【答案】（1）是 （2）3 （3）3 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，解二元一次方程组，掌握“友好方程”的定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义进行判断即可； （2）根据“友好方程”的定义，进行求解即可； （3）先根据“友好”方程组的定义求出的值，再根据方程组的解的定义，得到关于的方程组，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵中， ∴方程是友好方程； 故答案为：是； 【小问2详解】 因为关于x，y的二元一次方程是“友好”方程，所以， 解得，所以k的值是3； 【小问3详解】 因为方程组是“友好”方程组， 所以，， 所以，， 所以原方程组为， 因为是方程组的解， 所以，①+②得，； ∴的值为3． 22. 如图，在长方形中，顶点，直线分别交于点D，E，且点D为的中点． （1）求k的值及此时的面积； （2）现向长方形内随机投掷一枚飞镖，求飞镖落在内的概率．（若投在边框上则重投） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由长方形的性质和已知条件“D是的中点”易求点D的坐标，把点D的坐标代入直线方程可以求得k的值；然后把代入函数解析式易求点E的坐标．再由三角形的面积公式求的面积，即可解题； （2）根据飞镖落在内的概率，即可解题． 根据题意分析得出点D、E的坐标是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵长方形中，顶点， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， 把代入，得：， ∴ 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴飞镖落在内的概率． 23. 已知：如图1，直线与直线分别相交于点，且，将含的直角三角板的直角顶点放置在直线上的点处，一边在直线上，另一边在直线的下方． （1）观察．思考 直接写出图1中__________，线段与直线的位置关系是 ； （2）操作・思考 将图1中的三角板绕点B逆时针旋转到如图2所示的位置，使三角板的一边恰好平分，求证：平分； （3）联系・拓展 将图1中的三角板按每秒的速度绕点逆时针旋转一周，在旋转过程中，第秒时，该三角板的一边恰好与直线平行，求此时t的值． 【答案】（1）， （2） 证明：∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （3）或 【解析】 【分析】（1）平行线的性质，得到，平角的定义求出的度数，内错角相等，两直线平行，得到线段与直线的位置关系即可； （2）求出，的度数，即可得证； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当在上方时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴旋转角度为， ∴； 当在直线的下方时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角度为， ∴； 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $