3.2.1双曲线及其标准方程教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2026年祁阳市优质教学资源评选活动 ——选择性必修一《双曲线及其标准方程》教学设计 课程基本信息 主备人 李冬 课型 新授课 学科 数学 年级 高二 学段 高中 版本章节 第三章第二节 教学目标 1、从几何情境中认识双曲线的几何特征，说出双曲线定义。能类比椭圆标准方程建立过程，推导双曲线的标准方程，并能用于解决简单实际问题。 2、经历双曲线定义探究过程，培养观察、分析、抽象、概括的能力。通过坐标法推导双曲线标准方程，提升代数运算的能力，进一步体会建立曲线方程的一般步骤。在类比椭圆的研究过程中，培养类比推理和归纳总结的能力。 3、直观想象、数学抽象、数学运算：双曲线的定义，方程推导。数学建模：运用双曲线解决实际问题。 教学重难点 1.双曲线的定义和标准方程。 2.双曲线的几何特征。 学情分析 1、学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。从高考大纲要求和课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点。而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。在学习过程中发展学生数学抽象、数学运算等核心素养，积累理性分析问题和解决问题的经验。 2、学习优势：学生已经学习直线、圆和椭圆，基本掌握了求曲线方程的一般方法，了解坐标法解决几何问题的思想步骤，基本掌握求轨迹方程一般方法。 3、学习困难：对椭圆和双曲线区别与联系认识不够，易混淆。对图形的几何特征缺乏分析能力，代数运算能力不够。 教学准备 1、情境教学法：从生活实例出发引出双曲线。 2、探究式教学：通过计算机软件作图发现定义。 3、类比迁移：类比椭圆方程的形成得出双曲线方程。 4、“1+3”学习模式：设计一系列问题启发学生，自主思考、合作探究、教师总结。 教学过程 教学过程 教师活动 学生活动 设计意图 创 设 情 境 ， 引 入 新 课 双曲线是圆锥曲线的一种，在生活中应用广泛，利用声音时差测定位就是一个例子。 【问题情境】A,B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点所在曲线的方程． 【追问1】你能找到题目中满足的等量关系吗？ 【追问2】满足这种关系的曲线是什么，如何求解方程？ 自主思考，发现爆炸点满足到A,B两地距离之差为680m。 问题的设置激发学生的探索欲，以实际生活为背景，拉进数学与学生的距离，体现数学在生活中发挥着重要作用。 实 验 探 究 ， 形 成 定 义 【问题1自助+互助】 我们知道，平面内到两定点距离之和等于常数（大于）的点的轨迹是椭圆。一个自然的问题：平面内与两定点距离的差等于常数的点轨迹是什么？类比椭圆，要对哪个量进行分类，会分哪些类型？ 学生独立思考，可同桌相互讨论，教师指定同学回答，其他同学补充。 【问题2互助+师助】 对于差为非零且不等于的点的轨迹，我们用信息技术辅助探究。对于差为非零且不等于的点的轨迹，我们用信息技术辅助探究。 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边各取一个点，分别固定在点上，笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，观察笔尖运动形成的图形。 教师指导学生进行拉链实验演示，其他学生带着问题观察，将自己的想法和小组成员交流，然后请小组代表回答。 【追问1】点M在运动过程中满足什么几何条件？ 【追问2】交换固定点位置，让点M在左侧运动情况如何？ 【追问3】点M的运动轨迹叫做双曲线，你能给出它的定义吗？ 教师总结学生答案，归纳双曲线的定义 【双曲线的定义】 一般地，我们把平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 【追问】 为什么强调是差的绝对值？ 【预设1】 当常数等于0时，满足条件的点的轨迹是线段的垂直平分线； 当常数等于时，满足条件的点的轨迹是以为端点，沿方向的射线； 当常数等于时，满足条件的点的轨迹是以为端点，沿方向的射线； 【预设2】 点M在运动过程中，到定点的距离之差始终保持不变，是个常数且 【预设3】 画出来的是与右边对称的曲线，此时保持不变，与右边曲线对应的常数相等。 【预设4】 平面内到两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于)的点的轨迹是双曲线。 【追问】 不加绝对值只是双曲线的一支。 【设计意图1】 复习椭圆概念，类比引出新问题，激发学生求知欲。从特殊情况出发，体现分类讨论的思想，帮助学生加深对双曲线轨迹方程的认识。 【设计意图2】 通过借助计算机画图软件，直观体现出点的运动轨迹，减轻学生理解的抽象性。一系列设问层层引导学生发现双曲线的几何特征，同时还回顾了椭圆的定义，培养学生的逻辑思维，发展数学抽象的素养。 代 数 运 算 ， 建 立 方 程 【问题3自助+师助】 类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？分为哪些步骤？ 【追问1】 分析的几何意义，你能在y轴上找一点B使得|OB|=b吗？ 【追问2】 你能写出焦点在y轴上双曲线的标准方程吗？ 【追问3】 如何通过双曲线的标准方程判断焦点位置？ 【预设1】 学生回忆，互相补充，在教师的引导下，类比求椭圆标准方程的步骤，求出双曲线的标准方程： ①建 系：以 所在直线为 轴,线段 的垂直平分线为 轴,建立平面直角坐标系。 ②设点：设双曲线上任意一点,双曲线的焦距为 (),则焦点坐标,,令 ③列 式：因为 即 ④化 简：移项两次平方后得 两边同除以得 因为所以.令代入得 【预设2】 学生自主完成，并通过对比双曲线中参数b和椭圆中参数b的差异，了解各自的几何意义。作图略 【预设3】 焦点在y轴上的双曲线焦点坐标为,,方程为 【预设4】 判断依据：哪个未知数前面的系数是正数，焦点就在哪个轴上。 用研究椭圆标准方程的方法研究双曲线是顺其自然的，让学生回顾研究曲线方程的基本步骤。几个追问同样类比椭圆，用来帮助学生明确确定双曲线标准方程的三个参数含义与联系，并与椭圆区分开来。 例 题 练 习 ， 巩 固 理 解 【例1】已知双曲线的两个交点分别为，，双曲线上一点P与的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. 教师引导学生思考解题思路，有两种做法：法一：利用双曲线定义；法二：设出双曲线标准方程，待定系数法求出参数。 【追问】 根据题目条件,你会选择用哪种方法求方程？ 【变式】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，； (2)焦点为，且经过点； (3)焦点在轴上，经过点. 【例2】 已知A,B两地相距800m，在A地听到爆炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 【追问1】你能从实际问题中找到相关的几何特征吗？对应的曲线是什么？ 【追问2】如何进一步确定点P的具体位置？ 学生自主选择解题方法，独立完成之后展示，教师点评。 学生自主完成，教师及时评价。 经过前面的铺垫，学生已经明确轨迹方程是双曲线并能通过建系求出方程。 【预设1】 满足 炮弹爆炸点轨迹是双曲线靠近点B的一支。 【预设2】 再找一个观测点C,爆炸点可由两条双曲线的交点确定。 【设计意图1】 加深对双曲线的定义和标准方程的理解，会利用定义和三个参数之间的关系采用待定系数法解决具体问题，完成对知识的迁移。 【设计意图2】 呼应导入环节的实例，体会双曲线在实际生活中的应用，感受解决实际问题的过程方法，发展数学建模的素养。 能区分椭圆和双曲线的性质是教学目标之一，表格的完善帮助学生在头脑中建构起框架，加深对知识的记忆。 板书设计/课堂小结 【问题4自助】回顾椭圆与本节课的内容，完成下列表格。 学生自主归纳总结，教师点评。 教学反思 1、“1+3”学习模式的有效运用：一系列问题的设置，使得课堂每个环节环环相扣，过渡自然且目标明确。学生主动思考、合作探究，经历从发现问题到解决问题的过程。 2、数学核心素养的始终贯穿：紧扣课程标准，立足“知识、能力、素养”三个维度展开设计，符合学生认知规律，培养良好的理性思维。 3、教学方法与工具的灵活运用：情境教学法拉进知识与学生的距离，合作探究法激发学生的学习热情，现代教学技术的使用让教学更有效率。 — - 1 - — 学科网（北京）股份有限公司 $