3.2.1双曲线及其标准方程教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

课程基本信息

主备人

李冬

课型

新授课

学科

数学

年级

高二

学段

高中

版本章节

第三章第二节

教学目标

1、从几何情境中认识双曲线的几何特征，说出双曲线定义。能类比椭圆标准方程建立过程，推导双曲线的标准方程，并能用于解决简单实际问题。

2、经历双曲线定义探究过程，培养观察、分析、抽象、概括的能力。通过坐标法推导双曲线标准方程，提升代数运算的能力，进一步体会建立曲线方程的一般步骤。在类比椭圆的研究过程中，培养类比推理和归纳总结的能力。

3、直观想象、数学抽象、数学运算：双曲线的定义，方程推导。数学建模：运用双曲线解决实际问题。

教学重难点

1.双曲线的定义和标准方程。

2.双曲线的几何特征。

学情分析

1、学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。从高考大纲要求和课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点。而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生

充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。在学习过程中发展学生数学抽象、数学运算等核心素养，积累理性分析问题和解决问题的经验。

2、学习优势：学生已经学习直线、圆和椭圆，基本掌握了求曲线方程的一般方法，了解坐标法解决几何问题的思想步骤，基本掌握求轨迹方程一般方法。

3、学习困难：对椭圆和双曲线区别与联系认识不够，易混淆。对图形的几何特征缺乏分析能力，代数运算能力不够。

教学准备

1、情境教学法：从生活实例出发引出双曲线。

2、探究式教学：通过计算机软件作图发现定义。

3、类比迁移：类比椭圆方程的形成得出双曲线方程。

4、“1+3”学习模式：设计一系列问题启发学生，自主思考、合作探究、教师总结。

教学过程

教学过程

教师活动

学生活动

设计意图

创

设

情

境

，

引

入

新

课

双曲线是圆锥曲线的一种，在生活中应用广泛，利用声音时差测定位就是一个例子。

【问题情境】A,B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点所在曲线的方程．

【追问1】你能找到题目中满足的等量关系吗？

【追问2】满足这种关系的曲线是什么，如何求解方程？

自主思考，发现爆炸点满足到A,B两地距离之差为680m。

问题的设置激发学生的探索欲，以实际生活为背景，拉进数学与学生的距离，体现数学在生活中发挥着重要作用。

实

验

探

究

，

形

成

定

义

【问题1自助+互助】

我们知道，平面内到两定点距离之和等于常数（大于）的点的轨迹是椭圆。一个自然的问题：平面内与两定点距离的差等于常数的点轨迹是什么？类比椭圆，要对哪个量进行分类，会分哪些类型？

学生独立思考，可同桌相互讨论，教师指定同学回答，其他同学补充。

【问题2互助+师助】

对于差为非零且不等于的点的轨迹，我们用信息技术辅助探究。对于差为非零且不等于的点的轨迹，我们用信息技术辅助探究。

取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边各取一个点，分别固定在点上，笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，观察笔尖运动形成的图形。

教师指导学生进行拉链实验

【预设1】

当常数等于0时，满足条件的点的轨迹是线段的垂直平分线；

当常数等于时，满足条件的点的轨迹是以为端点，沿方向的射线；

当常数等于时，满足条件的点的轨迹是以为端点，沿方向的射线；

【设计意图1】

复习椭圆概念，类比引出新问题，激发学生求知欲。从特殊情况出发，体现分类讨论的思想，帮助学生加深对双曲线轨迹方程的认识。

【设计意图2】

通过借助计算机画图软件，直观体现出点的运动轨迹，减轻学生理解的抽象性。一系列设问层层引导学生发现双曲线的几何特征，同时还回顾了椭圆的定义，培养学生的逻辑思维，发展数学抽象的素养。