八年级数学下学期5月学情自测卷（新教材苏科版第6章～第10章，高效培优）

2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 参考答案 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C D B D C C B B B 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．【答案】 12．【答案】 13.【答案】 14．【答案】 15．【答案】 16．【答案】8 17．【答案】 18．【答案】 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，26题每题12分，答案写在答题卡上） 19．（8分） 【答案】(1)(2)原方程无解 【详解】（1）解：， 去分母得， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为；（4分） （2）解：， 去分母得， 解得：， 检验：当时，， ∴不是原方程的解， ∴原方程无解．（8分） 20．（8分） 【答案】(1)抽样调查(2)200，图见解析(3)(4)175 【详解】（1）解：本次调查方式为抽样调查，故答案为：抽样调查；（1分） （2）解：本次调查一共调查学生：（名）， “”人数为：，补全频数分布直方图如下： 故答案为：200，补全频数分布直方图如上；（4分） （3）解：“”这一组在扇形统计图中所对圆心角的度数是：， 故答案为：；（6分） （4）解：该校七年级视力正常（4.9及以上为正常视力）的人数有：（人）， 答：该校七年级视力正常的人数有175人．（8分） 21．（10分） 【答案】（1）；时，原式（2）（3） 【详解】（1）解： ，（2分） ∵，，即， ∴只能取， 将代入化简后的式子得，原式 ．（4分） （2） 解：原式 ；（7分） （3）解： ；（10分） 22．（10分） 【答案】(1)①；②；③ (2)或(3)0 【详解】（1）解：①∵，，∴； ②，，∴； ③；（3分） （2）解：∵可分解为两个一次因式的积，， ∴或或或，故答案为：或．（6分） （2）解：∵， ∴ ；（10分） 23．（10分） 【答案】(1)B种花卉的单价(2)A种花卉单价24元，B种花卉单价30元(3)共2种购买方案：方案1：购买A种花卉10枝，B种花卉4枝；方案2：购买A种花卉5枝，B种花卉8枝 【详解】（1）解：由每枝A种花卉的单价比每枝B种花卉便宜6元，用900元购买B种花卉的数量，恰好是用480元购买A种花卉数量的1.5倍，可知代表B种花卉的单价；（2分） （2）解：设用480元购买了A种花卉y枝，则用900元购买了B种花卉枝，由题意，得 ，解得，经检验符合题意，且是原方程的解， 元，元，所以A种花卉单价24元，B种花卉单价30元；（6分） （3）解：设购买A种花卉m枝，B种花卉n枝（m，n均为正整数），根据题意得： ，∴， ∵m，n为正整数，∴当时，，符合要求；当时，，符合要求． ∴共2种购买方案：方案1：购买A种花卉10枝，B种花卉4枝； 方案2：购买A种花卉5枝，B种花卉8枝．（10分） 24．（10分） 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：；（2分） （2）解： ， ， ，， ；（6分） （3）解： ．（10分） 25．（10分） 【答案】(1)证明见解析(2)①证明见解析；② 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，， 在和中，，∴，∴；（3分） （2）①证明：如图，过点作于点，∴， ∵四边形是正方形，∴，， ∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∴， 又∵，，∴，∴， 又∵，∴，又∵，由（1）知：， ∴，即， ∴，即；（6分） ②解：如图，过作交的延长线于点，在上取点，使，∴， ∵四边形是正方形，∴，，， ∴，，， ∴，由①知：，由（1）知：，， ∴，∴， ∵，，∴，即， 在和中，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， 在中，，，∴，， ∴，∴， ∴，∴．（10分） 26．（12分） 【答案】（1）；（2）四边形是矩形，理由见解析；（3）的长为或 【详解】解∶（1）在菱形中，，且， 是等边三角形， 已知点在线段的中垂线上，，， 由旋转的性质可知：， ，，故答案为：；（3分） （2）四边形是矩形．理由∶由旋转可得，，， 在菱形中，，，， ，，为等边三角形，，， 点是中点，， 又，，，， ，， 又，，， ，，四边形是平行四边形， 又，，平行四边形为矩形．（7分） （3）的长为或．理由：①当时，如图， ，， 点为的中点，为的中位线，点为中点， ，，，∴． ①当时，如图，取中点为，连接， ∵点为中点，∴为的中位线，∴， ∵，∴， ∵，∴是等边三角形，∴， 设，则，，， ∵为中点，∴即，解得：，∴． 综上所述，的长为或．（12分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：。 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26八年级上·湖南益阳·期末）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）下列计算或说法错误的是（   ） A．当时，分式的值不存在 B．分式与的最简公分母是 C．当时， D．把分式中的、都扩大到原来的9倍，那么分式的值扩大到原来的9倍 3．（25-26八年级下·广东东莞·月考）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山西太原·月考）下列说法正确的是（    ） A．做抛掷硬币的实验，如果没有硬币用图钉代替硬币，做出的实验结果是一致的 B．天气预报说明天下雨的概率是，也就是说明天下雨和不下雨的机会是均等的 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，连续掷6次，其中必定有一次是一点 D．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该彩票一定会中奖 5．（2026·福建三明·一模）在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（    ） 小刚： 小强： A．x表示规定时间 B．y表示慢马的速度 C．*表示 D．△表示 6．（25-26七年级下·云南昆明·月考）某公司生产A，B，C，D四种型号的帐篷共20000顶，有关信息见如下统计图： 下列判断正确的是（   ） A．单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的3倍 B．单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的1.5倍 C．单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等 D．每天单独生产C型帐篷的数量最多 7．（25-26八年级上·湖南永州·期末）利用“因式分解”可以设计密码．我们约定将多项式因式分解得到的每个因式代入数值进行运算，取其绝对值，将得到的数组合，从中选出最大的数，即为密码．如 ，当x取3，y取4时，各因式的绝对值分别为， 组合可得到1725， 1257， 7125， 7251， 2517， 2571， 其中最大的数7251，即为密码．对于多项式．，当x取12，y取14时，其密码为（   ） A．21226 B．12262 C．26212 D．62212 8．（2026·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，M，N是对角线上不重合的两个点，且．当改变点M，N位置的过程中，下列对于四边形的说法正确的是（   ） A．总是矩形 B．总是菱形 C．中不可能存在 D．中可能存在 9．（25-26八年级下·河北邢台·月考）在学习二次根式的过程中，嘉淇发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系，如：由，可得与互为倒数，即，．根据嘉淇发现的规律，可得，则整数n的值为（   ） A．400 B．200 C．199 D．20 10．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在正方形中，，，分别是边，上的点；且，，将绕点顺时针方向旋转后与重合，连接，给出下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的是（   ） A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26八年级上·河南新乡·月考）已知，，则的值为________． 12．（25-26九年级上·山西·期末）小明想要估计他家池塘里鱼的数量，他首先捕捞出条鱼做了标记，然后放回池塘，一段时间后，他随机捕捞出条鱼，发现带标记的鱼有条，据此估计该池塘里约有 条鱼． 13.（24-25八年级上·福建泉州·期末）因式分解： _____________ 14．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，长方形内两个正方形的面积分别是，，则长方形的周长为________． 15．（25-26八年级·贵州遵义·期中）已知，则______． 16．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，为的中点，连接，为的中点，连接、，若为直角，则的长为_____． 17．（25-26八年级上·山东·期末）如果关于的分式方程有正整数解，且关于的不等式组无解，那么符合条件的所有整数的和是________． 18．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平行四边形中，，，，点E在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接交对角线于点G，作于点M，于点N，则______． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，26题每题12分，答案写在答题卡上） 19．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）解方程：(1)；(2)． 20．（25-26八年级上·广东深圳·期末）为了解本校七年级同学近视情况，数学兴趣小组通过调查部分七年级学生，形成了如下统计图．结合调查报告，回答下列问题： (1)本次调查方式为______（填“普查”或“抽样调查”） (2)本次调查一共调查了______名学生，请补全频数分布直方图； (3)“”这一组在扇形统计图中所对圆心角的度数是______； (4)已知该校七年级有500名学生，估计该校七年级视力正常（4.9及以上为正常视力）的人数有多少． 21．（25-26八年级下·山东烟台·月考）（1）先化简，再求值：，其中从中取一个你认为合适的数代入求值． （2）计算：；(3)； 22．（25-26八年级上·山东烟台·期中）阅读与思考： 材料1：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由得；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解，例如：因式分解，这个式子的常数项，一次项系数，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”，请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题． 材料2（分组分解法）：， 利用上述分解因式的方法，解决以下问题： (1)用“十字相乘法”或“分组分解法”因式分解：①；②；③。 (2)可分解为两个一次因式的积，则整数a的所有可能值是______． (3)已知，求的值； 23．（2026·广东茂名·一模）五一将至，某学校准备购买花卉装点校园，采购小组到市场了解到：每枝A种花卉的单价比每枝B种花卉便宜6元，用900元购买B种花卉的数量，恰好是用480元购买A种花卉数量的1.5倍． (1)若小宇同学列的方程为，请你直接说明方程中代表的含义； (2)请你用不同于（1）的方法，分别求出两种花卉的单价； (3)学校计划用恰好360元的费用，同时购买A、B两种花卉共若干枝（两种花卉都购买），求该校有几种符合条件的购买方案？分别写出每种方案的购买数量． 24．（24-25八年级上·山东济南·期中）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：，．类似的，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：，． 根据上述知识，请你完成下列问题： (1)运用分母有理化，化简：； (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：的值． 25．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在正方形中，点，分别在边，上，． (1)如图1，求证：；(2)，交于点，垂足为点． ①如图2，若，求证：；②如图3，连接，若，直接写出的值． 26．（25-26九年级上·山西太原·月考）综合与探究 问题背景：如图，在菱形中，是一条对角线，点为直线上一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是中点，连接． 【初步探究】（1）如图1，当点在线段BC的中垂线上，则________． 【深入分析】（2）如图 2，若点与点重合，连接交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】（3）若点在右侧，如图 3，连接，若，请直接写出的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版八年级下册第6章~第10章。 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26八年级上·湖南益阳·期末）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、左边是单项式，不符合因式分解的对象要求； B、是整式乘法运算，是从整式的积到多项式的变形，不属于因式分解； C、右边不是整式积的形式，是和的形式，不属于因式分解； D、将多项式转化为，符合因式分解的定义．故选：D 2．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）下列计算或说法错误的是（   ） A．当时，分式的值不存在 B．分式与的最简公分母是 C．当时， D．把分式中的、都扩大到原来的9倍，那么分式的值扩大到原来的9倍 【答案】C 【详解】解：当时，分式的分母， 分式无意义，值不存在，故A正确，但不符合题意； 分式与的最简公分母是，故B正确，但不符合题意； 由，得，又，即∴仅当时，，故C错误，符合题意； 根据题意，将扩大后的、代入原分式可得，， 所以，新分式的值是原分式的9倍，即分式的值扩大到原来的9倍，故D正确，但不符合题意，故选：C． 3．（25-26八年级下·广东东莞·月考）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、与不是同类二次根式，无法合并，，故该选项计算错误，不符合题意； 、，故该选项计算错误，不符合题意； 、，故该选项计算错误，不符合题意； 、，故该选项计算正确，符合题意． 4．（24-25七年级下·山西太原·月考）下列说法正确的是（    ） A．做抛掷硬币的实验，如果没有硬币用图钉代替硬币，做出的实验结果是一致的 B．天气预报说明天下雨的概率是，也就是说明天下雨和不下雨的机会是均等的 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，连续掷6次，其中必定有一次是一点 D．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该彩票一定会中奖 【答案】B 【详解】A. 做抛掷硬币的实验，如果没有硬币用图钉代替硬币，做出的实验结果不一致的，原说法错误； B. 天气预报说明天下雨的概率是，也就是说明天下雨和不下雨的机会是均等的，说法正确； C. 抛掷一枚质地均匀的骰子，连续掷6次，其中不一定有一点，原说法错误； D. 某种彩票中奖的概率是，因此买100张该彩票不一定会中奖，原说法错误；故选：B． 5．（2026·福建三明·一模）在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（    ） 小刚： 小强： A．x表示规定时间 B．y表示慢马的速度 C．*表示 D．△表示 【答案】D 【详解】解：设规定时间为，则快马时间为，快马速度为，慢马时间为，慢马速度为， 又∵快马速度是慢马的2倍，可得，因此表示规定时间，A正确；△应为，故D错误； 设慢马速度为，则快马速度为，慢马时间为，规定时间， 快马时间为，规定时间，因此方程为，可得表示慢马速度，B正确； *表示，C正确．综上，不正确的是D． 6．（25-26七年级下·云南昆明·月考）某公司生产A，B，C，D四种型号的帐篷共20000顶，有关信息见如下统计图： 下列判断正确的是（   ） A．单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的3倍 B．单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的1.5倍 C．单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等 D．每天单独生产C型帐篷的数量最多 【答案】C 【详解】解：A．单独生产B型帐篷所需天数为(天)， 单独生产C型帐篷所需天数为 (天)， ∴单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的4倍，故选项不符合题意； B．单独生产A型帐篷所需天数为(天)， ∴单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的2倍，故选项不符合题意； C．单独生产D型帐篷所需天数为(天)， ∴单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等，故选项符合题意； D．由条形统计图可得每天单独生产A型帐篷的数量最多，故选项不符合题意；故选：C． 7．（25-26八年级上·湖南永州·期末）利用“因式分解”可以设计密码．我们约定将多项式因式分解得到的每个因式代入数值进行运算，取其绝对值，将得到的数组合，从中选出最大的数，即为密码．如 ，当x取3，y取4时，各因式的绝对值分别为， 组合可得到1725， 1257， 7125， 7251， 2517， 2571， 其中最大的数7251，即为密码．对于多项式．，当x取12，y取14时，其密码为（   ） A．21226 B．12262 C．26212 D．62212 【答案】C 【详解】解：∵， 当x取12，y取14时，，，，∴三个数为12、2、26． 所有组合数字：12226、12262、21226、22612、26122、26212，其中最大数字为26212． ∴ 密码为26212，故选C． 8．（2026·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，M，N是对角线上不重合的两个点，且．当改变点M，N位置的过程中，下列对于四边形的说法正确的是（   ） A．总是矩形 B．总是菱形 C．中不可能存在 D．中可能存在 【答案】B 【详解】解：如图，连接交于O， ∵四边形是菱形，∴，，， ∵，∴，即，∴四边形是平行四边形， 又∵，∴平行四边形是菱形，∴， 当时，菱形是正方形，则． 9．（25-26八年级下·河北邢台·月考）在学习二次根式的过程中，嘉淇发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系，如：由，可得与互为倒数，即，．根据嘉淇发现的规律，可得，则整数n的值为（   ） A．400 B．200 C．199 D．20 【答案】B 【详解】解：由题意可得： ， ，，． 10．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在正方形中，，，分别是边，上的点；且，，将绕点顺时针方向旋转后与重合，连接，给出下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的是（   ） A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转后与重合，∴，，， ∵四边形是正方形，∴， 又 ，∴， ∴，∴， 在和中，∴， ∴，而，∴，故①正确； ∵四边形是正方形，，∴，，∴， ∵，∴，设，则， ∵，∴，∴，∴，即，故②错误； ∵，∴，∵将绕点A顺时针旋转后与重合， ∴，∴，即平分，故③正确； ∵将绕点A顺时针旋转后与重合，∴与是对应边，∴，故④正确； 综上所述，其中正确的是①③④，故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26八年级上·河南新乡·月考）已知，，则的值为________． 【答案】 【详解】解：∵，，∴，答案为：． 12．（25-26九年级上·山西·期末）小明想要估计他家池塘里鱼的数量，他首先捕捞出条鱼做了标记，然后放回池塘，一段时间后，他随机捕捞出条鱼，发现带标记的鱼有条，据此估计该池塘里约有 条鱼． 【答案】 【详解】解：设池塘中鱼的总数为条，根据题意得，，解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意，故答案为：． 13.（24-25八年级上·福建泉州·期末）因式分解： _____________ 【答案】 【详解】解：故答案为： 14．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，长方形内两个正方形的面积分别是，，则长方形的周长为________． 【答案】 【详解】解：长方形内两个正方形的面积分别为和， 两个正方形的边长分别为，，边的长为，的长为， ∴这个长方形的周长为． 15．（25-26八年级·贵州遵义·期中）已知，则______． 【答案】 【详解】解：对通分，得，整理得 ， 所以． 16．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，为的中点，连接，为的中点，连接、，若为直角，则的长为_____． 【答案】8 【详解】解：如图，连接，过点作于点，交于点， ∵四边形是矩形， ，． ∴四边形和四边形都是矩形． ，，，． ，为中点， ．．，． 为的中点， ．． ． ，， ， ， ． 17．（25-26八年级上·山东·期末）如果关于的分式方程有正整数解，且关于的不等式组无解，那么符合条件的所有整数的和是________． 【答案】 【详解】解：分式方程，方程两边同乘以，得， 整理得，解得， 为正整数，是的正因数（，，，，，）， ，即，，解得， 的取值为，，，，，取值为，，，，；解不等式得，， 不等式组无解，，取值为，，，，（排除）， 符合条件的所有整数的和是．故答案为：． 18．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平行四边形中，，，，点E在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接交对角线于点G，作于点M，于点N，则______． 【答案】 【详解】解：作于点H；四边形为平行四边形，， ，，， ，，由旋转的性质可知： ，是等边三角形，，，， 即． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，26题每题12分，答案写在答题卡上） 19．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）解方程：(1)；(2)． 【答案】(1)(2)原方程无解 【详解】（1）解：， 去分母得， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为；（4分） （2）解：， 去分母得， 解得：， 检验：当时，， ∴不是原方程的解， ∴原方程无解．（8分） 20．（25-26八年级上·广东深圳·期末）为了解本校七年级同学近视情况，数学兴趣小组通过调查部分七年级学生，形成了如下统计图．结合调查报告，回答下列问题： (1)本次调查方式为______（填“普查”或“抽样调查”） (2)本次调查一共调查了______名学生，请补全频数分布直方图； (3)“”这一组在扇形统计图中所对圆心角的度数是______； (4)已知该校七年级有500名学生，估计该校七年级视力正常（4.9及以上为正常视力）的人数有多少． 【答案】(1)抽样调查(2)200，图见解析(3)(4)175 【详解】（1）解：本次调查方式为抽样调查，故答案为：抽样调查；（1分） （2）解：本次调查一共调查学生：（名）， “”人数为：，补全频数分布直方图如下： 故答案为：200，补全频数分布直方图如上；（4分） （3）解：“”这一组在扇形统计图中所对圆心角的度数是：， 故答案为：；（6分） （4）解：该校七年级视力正常（4.9及以上为正常视力）的人数有：（人）， 答：该校七年级视力正常的人数有175人．（8分） 21．（25-26八年级下·山东烟台·月考）（1）先化简，再求值：，其中从中取一个你认为合适的数代入求值． （2）计算：；(3)； 【答案】（1）；时，原式（2）（3） 【详解】（1）解： ，（2分） ∵，，即， ∴只能取， 将代入化简后的式子得，原式 ．（4分） （2） 解：原式 ；（7分） （3）解： ；（10分） 22．（25-26八年级上·山东烟台·期中）阅读与思考： 材料1：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由得；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解，例如：因式分解，这个式子的常数项，一次项系数，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”，请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题． 材料2（分组分解法）：， 利用上述分解因式的方法，解决以下问题： (1)用“十字相乘法”或“分组分解法”因式分解：①；②；③。 (2)可分解为两个一次因式的积，则整数a的所有可能值是______． (3)已知，求的值； 【答案】(1)①；②；③ (2)或(3)0 【详解】（1）解：①∵，，∴； ②，，∴； ③；（3分） （2）解：∵可分解为两个一次因式的积，， ∴或或或，故答案为：或．（6分） （2）解：∵， ∴ ；（10分） 23．（2026·广东茂名·一模）五一将至，某学校准备购买花卉装点校园，采购小组到市场了解到：每枝A种花卉的单价比每枝B种花卉便宜6元，用900元购买B种花卉的数量，恰好是用480元购买A种花卉数量的1.5倍．(1)若小宇同学列的方程为，请你直接说明方程中代表的含义； (2)请你用不同于（1）的方法，分别求出两种花卉的单价； (3)学校计划用恰好360元的费用，同时购买A、B两种花卉共若干枝（两种花卉都购买），求该校有几种符合条件的购买方案？分别写出每种方案的购买数量． 【答案】(1)B种花卉的单价(2)A种花卉单价24元，B种花卉单价30元(3)共2种购买方案：方案1：购买A种花卉10枝，B种花卉4枝；方案2：购买A种花卉5枝，B种花卉8枝 【详解】（1）解：由每枝A种花卉的单价比每枝B种花卉便宜6元，用900元购买B种花卉的数量，恰好是用480元购买A种花卉数量的1.5倍，可知代表B种花卉的单价；（2分） （2）解：设用480元购买了A种花卉y枝，则用900元购买了B种花卉枝，由题意，得 ，解得，经检验符合题意，且是原方程的解， 元，元，所以A种花卉单价24元，B种花卉单价30元；（6分） （3）解：设购买A种花卉m枝，B种花卉n枝（m，n均为正整数），根据题意得： ，∴， ∵m，n为正整数，∴当时，，符合要求；当时，，符合要求． ∴共2种购买方案：方案1：购买A种花卉10枝，B种花卉4枝； 方案2：购买A种花卉5枝，B种花卉8枝．（10分） 24．（24-25八年级上·山东济南·期中）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：，．类似的，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：，． 根据上述知识，请你完成下列问题： (1)运用分母有理化，化简：； (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：；（2分） （2）解： ， ， ，， ；（6分） （3）解： ．（10分） 25．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在正方形中，点，分别在边，上，． (1)如图1，求证：；(2)，交于点，垂足为点． ①如图2，若，求证：；②如图3，连接，若，直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析(2)①证明见解析；② 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，， 在和中，，∴，∴；（3分） （2）①证明：如图，过点作于点，∴， ∵四边形是正方形，∴，， ∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∴， 又∵，，∴，∴， 又∵，∴，又∵，由（1）知：， ∴，即， ∴，即；（6分） ②解：如图，过作交的延长线于点，在上取点，使，∴， ∵四边形是正方形，∴，，， ∴，，， ∴，由①知：，由（1）知：，， ∴，∴， ∵，，∴，即， 在和中，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， 在中，，，∴，， ∴，∴， ∴，∴．（10分） 26．（25-26九年级上·山西太原·月考）综合与探究 问题背景：如图，在菱形中，是一条对角线，点为直线上一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是中点，连接． 【初步探究】（1）如图1，当点在线段BC的中垂线上，则________． 【深入分析】（2）如图 2，若点与点重合，连接交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】（3）若点在点右侧，如图 3，连接，若，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）四边形是矩形，理由见解析；（3）的长为或 【详解】解∶（1）在菱形中，，且， 是等边三角形， 已知点在线段的中垂线上，，， 由旋转的性质可知：， ，，故答案为：；（3分） （2）四边形是矩形．理由∶由旋转可得，，， 在菱形中，，，， ，，为等边三角形，，， 点是中点，， 又，，，， ，， 又，，， ，，四边形是平行四边形， 又，，平行四边形为矩形．（7分） （3）的长为或．理由：①当时，如图， ，， 点为的中点，为的中位线，点为中点， ，，，∴． ①当时，如图，取中点为，连接， ∵点为中点，∴为的中位线，∴， ∵，∴， ∵，∴是等边三角形，∴， 设，则，，， ∵为中点，∴即，解得：，∴． 综上所述，的长为或．（12分） 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $