精品解析：广东惠州大亚湾经济技术开发区第一中学2025-2026学年度第二学期高二期中考试数学试卷

大亚湾一中2025—2026学年度第二学期高二期中考试 数学试卷 命题人：张婉璐 审核人：刘仰鹏 2026年4月 本试卷共1页，19题，满分150分.考试用时120分钟. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算中，正确的一项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用求导公式逐项求解判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式计算即可. 【详解】． 故选：C． 3. 若函数，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数运算求得正确答案. 【详解】由，得， 所以，解得. 故选：B 4. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. 15 C. D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】由二项展开式通项公式求解． 【详解】， 令，得， ∴常数， 故选：B． 5. 甲､乙､丙､丁､戊5人排成一排，甲和乙相邻，丙和丁也相邻的排列共有多少种（ ） A. 120 B. 48 C. 24 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】甲、乙相邻有种排法，丙、丁相邻有种排法， 把甲、乙看成一个整体，丙、丁看成一个整体与戊排列有种排法， 故甲、乙相邻，丙和丁也相邻的排法有种方法. 6. 高二有甲乙丙丁4名志愿者参加2024年体育节志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加长跑、跳远、铅球3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了长跑的条件下，乙也被安排到长跑的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用事件A表示“甲被安排到了长跑”，以A为样本空间，利用古典概率公式即可求解. 【详解】用事件A表示“甲被安排到了长跑”，B表示“乙被安排到了长跑”， 在甲被安排到了长跑的条件下，乙也被安排到长跑就是在事件A发生的条件下，事件B发生， 相当于以A为样本空间，考查事件B发生，在新的样本空间中事件B发生就是积事件AB，包含的样本点数， 事件A发生的样本点数， 所以在甲被安排到了长跑的条件下，乙也被安排到长跑的概率为. 故选：A. 7. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，求导确定单调性即可判断. 【详解】， 所以在上为偶函数，图象关于轴对称，排除CD. 又，， 令，，则，， 所以在上单调递增，又， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递增，故排除B. 8. 已知函数，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为求函数最值问题，分别求出的最小值列不等式求解. 【详解】对任意，存在，等价于， ，令得或（舍）， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值，； 在单调递增，， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有三个极值点 B. C. 函数在上单调递增 D. 是的极小值点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据的图象确定函数在各区间的符号，进而判断的单调性，依次判断各项的正误即可. 【详解】由图知，时，即在上单调递增， 时，即在上单调递减，故， 时，即在上单调递增，易知在上单调递增， 所以有两个极值点，其中是极大值点，是极小值点， 综上，A错，B、C、D对. 故选：BCD. 10. 已知为正整数，且，下列等式正确的是（ ） A. . B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【详解】对于A， ， 故A错误； 对于B，由， ， 则，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 11. 已知，则下列描述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用赋值法计算判断A，C，由通项公式计算判断B，应用导函数结合赋值法判断D. 【详解】对于A，将代入，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，将代入，， ，故C不正确； 对于D，对求导，， 将代入得到，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 方程式：，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据组合数的性质列方程求解即可. 【详解】由题意知，或，解得或. 当时，，不符合组合数定义，故舍去. 因此. 13. 过点作函数图像的切线，则切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设切点坐标，根据导数值等于两点连线斜率求出切点坐标，得到切线方程. 【详解】设切点坐标为，因为， 所以，解得， 所以切线斜率， 所以切线方程为，即. 14. 若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得出，由此得出，于是得出，然后对实数的取值进行分类讨论，结合极大值点的定义进行验证即可. 【详解】因为，所以， 由题知，则， 令可得或. 若，即当时， 由可得或，由可得， 此时，函数在、上单调递增，在上单调递减， 此时，函数在处取得极小值，不合乎题意； 若，即当，则对任意的恒成立， 此时，函数在上单调递增，无极值点； 若，即当时， 由可得或，由可得， 此时，函数在、上单调递增，在上单调递减， 此时，函数在处取得极大值，合乎题意. 故实数的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 结合排列组合，解决下列问题结果用数字作答 （1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？ （2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ （3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？ 【答案】（1）81； （2）36； （3） 【解析】 【分析】（1）根据分步乘法计数原理可解； （2）根据题意将4封信分成1，1，2三组，再分到3个信箱即可； （3）确定一组序号相同，而其余的全部不同均有2种情况，从而可解． 【小问1详解】 将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有种放法； 【小问2详解】 将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信， 则将4封信分成1，1，2三组，有组，再分给三个信箱，有种放法； 【小问3详解】 将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中， 先确定一组序号相同有种情况，其余的全部不同均有2种情况，则共有种情况． 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间中的最大值． 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）4 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数后判断其符号可得函数的单调性； （2）根据（1）的单调性可得函数在上的最大值. 【小问1详解】 由题可得：， · 令，得，， 所以与的情况如下： 0 2 正 0 负 0 正 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【小问2详解】 由（1）知：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增． 又，， 所以，· 所以在区间中的最大值为． · 17. 在的展开式中，求： （1）第3项的二项式系数及系数； （2）奇数项的二项式系数和； （3）求系数绝对值最大的项． 【答案】（1）二项式系数为，第3项的系数为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二项展开式的通项可求二项式系数与系数； （2）由二项式系数的性质可得； （3）设出系数绝对值最大项，根据与前后项系数绝对值大小关系建立不等式组求解可得. 【小问1详解】 二项式的通项 ． 第3项的二项式系数为，第3项的系数为； 【小问2详解】 奇数项的二项式系数和； 【小问3详解】 设系数绝对值最大的项为第项， 当时， 由，解得， 又，所以，此时； 当时，； 当时，； 综上可知，系数绝对值最大的项为． 18. 已知函数（且） （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围． 【答案】（1） 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； （2） 【解析】 【分析】（1）求出，分、、、讨论可得答案； （2）分、、、讨论，结合单调性和零点情况可得答案． 【小问1详解】 因为， 当时，时，所以在上单调递减； 时，，所以在上单调递增； 当时，时，，所以在和上单调递增， 时，在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 当时，， 所以在和上单调递增，时，在上单调递减； 【小问2详解】 当时，由（1）可知是唯一的极小值点，且，，所以在有唯一零点； ， 所以在上有唯一零点，符合题意； 当时，由（1）可知为极大值点， 且， 所以不符题意； 当时，在单调，不符题意； 当时，由（1）可知，为函数极大值点，且，不符题意． 综上所述，. 【点睛】方法点睛：函数有零点（方程有根）求参数取值范围的三种常用的方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法（参数和自变量全分离）：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法（参数和自变量半分离）：把原函数拆解为两个部分（拆解为熟悉的函数类型，一边含参数，一边不含参数，含参的往往为一次函数、指数函数、对数函数等单调的函数，含参部分一定要搞清参数对函数图象的影响），在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，分析参数对函数图象的控制来满足题目的要求，进而得出参数的范围. 19. 定义：若函数与在公共定义域内存在（互不相等，），使得，则称与为“阶相似函数”，称为与的“阶相似点”. （1）已知，函数，，判断函数与是否为“三阶相似函数”，并说明理由. （2）已知函数，，与为“二阶相似函数”， ，称为与的“二阶相似点”. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1）函数与为“三阶相似函数”，理由如下： 令，则， 令，解得或，令，解得， 所以在上单调递减，在和上单调递增. ，，，， ∴存在，，，使得，即，，， ∴函数与为“三阶相似函数”. （2）（i）； （ii）证明如下： 根据题意得，不妨设. 构造函数， 则. 当时，，，则，得在上单调递减， 有，即. 将代入不等式，得，又， 所以， 又，，在上单调递增， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）令，求导判断函数的零点个数可得结论； （2）（i）在上有两个不相等的实数根，变形两边取对数，进而构造函数，可求得的取值范围；（ii）根据题意得，不妨设. 构造函数，利用导数判断，进而可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为与为“二阶相似函数”， ∴在上有两个不相等的实数根，即， 两边取对数，可得.记，易知在上是增函数， 故可等价于，即. 记，则，得在上单调递减，在上单调递增，有最小值，故，即的取值范围为. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大亚湾一中2025—2026学年度第二学期高二期中考试 数学试卷 命题人：张婉璐 审核人：刘仰鹏 2026年4月 本试卷共1页，19题，满分150分.考试用时120分钟. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算中，正确的一项是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 4. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. 15 C. D. 30 5. 甲､乙､丙､丁､戊5人排成一排，甲和乙相邻，丙和丁也相邻的排列共有多少种（ ） A. 120 B. 48 C. 24 D. 12 6. 高二有甲乙丙丁4名志愿者参加2024年体育节志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加长跑、跳远、铅球3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了长跑的条件下，乙也被安排到长跑的概率（ ） A. B. C. D. 7. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有三个极值点 B. C. 函数在上单调递增 D. 是的极小值点 10. 已知为正整数，且，下列等式正确的是（ ） A. . B. C. D. 11. 已知，则下列描述正确的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 方程式：，则__________. 13. 过点作函数图像的切线，则切线方程为__________. 14. 若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 结合排列组合，解决下列问题结果用数字作答 （1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？ （2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ （3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？ 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间中的最大值． 17. 在的展开式中，求： （1）第3项的二项式系数及系数； （2）奇数项的二项式系数和； （3）求系数绝对值最大的项． 18. 已知函数（且） （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围． 19. 定义：若函数与在公共定义域内存在（互不相等，），使得，则称与为“阶相似函数”，称为与的“阶相似点”. （1）已知，函数，，判断函数与是否为“三阶相似函数”，并说明理由. （2）已知函数，，与为“二阶相似函数”， ，称为与的“二阶相似点”. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $