广东惠州大亚湾经济技术开发区第一中学2025-2026学年度第二学期高二期中考试数学试卷

大亚湾一中2025—2026学年度第二学期高二期中考试 数学试卷 命题人：张婉璐 审核人：刘仰鹏 2026年4月 本试卷共1页，19题，满分150分.考试用时120分钟. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算中，正确的一项是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 4. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. 15 C. D. 30 5. 甲､乙､丙､丁､戊5人排成一排，甲和乙相邻，丙和丁也相邻的排列共有多少种（ ） A. 120 B. 48 C. 24 D. 12 6. 高二有甲乙丙丁4名志愿者参加2024年体育节志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加长跑、跳远、铅球3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了长跑的条件下，乙也被安排到长跑的概率（ ） A. B. C. D. 7. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有三个极值点 B. C. 函数在上单调递增 D. 是的极小值点 10. 已知为正整数，且，下列等式正确的是（ ） A. . B. C. D. 11. 已知，则下列描述正确的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 方程式：，则__________. 13. 过点作函数图像的切线，则切线方程为__________. 14. 若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 结合排列组合，解决下列问题结果用数字作答 （1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？ （2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ （3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？ 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间中的最大值． 17. 在的展开式中，求： （1）第3项的二项式系数及系数； （2）奇数项的二项式系数和； （3）求系数绝对值最大的项． 18. 已知函数（且） （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围． 19. 定义：若函数与在公共定义域内存在（互不相等，），使得，则称与为“阶相似函数”，称为与的“阶相似点”. （1）已知，函数，，判断函数与是否为“三阶相似函数”，并说明理由. （2）已知函数，，与为“二阶相似函数”， ，称为与的“二阶相似点”. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 大亚湾一中2025—2026学年度第二学期高二期中考试 数学试卷 命题人：张婉璐 审核人：刘仰鹏 2026年4月 本试卷共1页，19题，满分150分.考试用时120分钟. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】CD 【11题答案】 【答案】ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）81； （2）36； （3） 【16题答案】 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）4 【17题答案】 【答案】（1）二项式系数为，第3项的系数为 （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1） 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； （2） 【19题答案】 【答案】（1）函数与为“三阶相似函数”，理由如下： 令，则， 令，解得或，令，解得， 所以在上单调递减，在和上单调递增. ，，，， ∴存在，，，使得，即，，， ∴函数与为“三阶相似函数”. （2）（i）； （ii）证明如下： 根据题意得，不妨设. 构造函数， 则. 当时，，，则，得在上单调递减， 有，即. 将代入不等式，得，又， 所以， 又，，在上单调递增， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $