2026年山东省日照市岚山区中考一模数学试题

**基本信息** 2026年初中学业水平调研检测数学试卷，以科技前沿（140万亿词元科学记数法）、文化传承（篆刻俯视图、《算法统宗》问题）为情境，非选择题主综合探究（如无人机吊运方案设计、汽车轮胎几何计算），适配一模学业水平检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|代数（相反数、运算）、几何（平行线、三视图）、统计概率|结合“词元”科技情境（第2题）、篆刻文化素材（第4题）| |填空题|5/15|二次根式、因式分解、圆锥侧面积、抛物线规律、菱形翻折|第15题菱形翻折最值，考查空间观念与几何直观| |解答题|8/75|方程应用、函数综合、统计分析、圆与新定义探究|第19题无人机方案设计（模型意识），第22题“双等四边形”探究（推理能力）|

2026年初中学业水平调研检测 数 学 试 题 注意事项： 1. 本试题分第I卷和第II卷两部分，共6页．满分120分．考试时间为120分钟． 2. 答卷前务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题卡规定位置上．考试结束，本试卷和答题卡一并收回． 3. 第I卷每小题选出答案后，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑．如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．不涂在答题卡上，答在试卷上无效． 4. 第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定的区域内，在试卷上答题不得分；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 第Ⅰ卷（选择题　30分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的相反数是（    ） A． B． C． D． 2.“词元”是大模型处理信息的最小信息单位，据国家数据局2026年3月中国日均词元调用量突破140万亿，140万亿词元约等于1000亿中文词汇，相当于250个中国国家图书馆的资源总量，数据140万亿用科学记数法表示为（    ） A．1.4×1012 B．1.4×1013 C．1.4×1014 D．1.4×1015 3.如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B，直线d过点A且与直线c垂直．若∠1=58°，则的度数是（    ）第3题图 A．32° B．42° C．48° D．58° 4.篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（    ）正面 A． B． C． D． 5.下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6.若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7.经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或右转．如果这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆右转的概率是（    ） A． B． C． D． 8.明代数学家程大位的《算法统宗》中有一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，求人数和总银两数.若设总银两数为x两，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 第9题图 9.如图，矩形的对角线交于原点O，反比例函数（k≠0）的图象过点A. 若AC=4，∠ADB=30°，则k的值是（    ） A． B． C． D． 10.若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为1；③若函数与函数的“对偶值”是2，则k=1；④若函数与函数具有“对偶关系”，则．其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 第Ⅱ卷（非选择题　90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11.若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 12.分解因式： ． 13.圆锥的底面半径为，高为，这个圆锥的侧面积是 cm2． 14.如图，线段是直线的一部分，点的横坐标为1，曲线是抛物线的一部分，在x轴上．由点开始，不断重复曲线“”，形成一组波浪线，则的坐标为 ．第15题图 第14题图 15.如图，在菱形中，AB=6，，M是边AB的中点，N是边上任意一点，将菱形沿翻折，点A落在点E处，连接CE，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题每小题4分，共8分） （1）计算：； （2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来. 17.（本题满分7分） 如图，在□ABCD中，BC=10，点E，F分别在边上，且BE=DF，连接AC. （1）求证：AE∥CF； （2）若E，F分别是边的中点，AC⊥AB，求四边形AECF的周长. 18.（本题满分7分） 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于、B两点，一次函数图象与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）分别求m、k的值； （2）根据图象，当时，直接写出x的取值范围． 19.（本题满分9分） 随着低空经济的快速发展，无人机吊运作业有效解决了山地运输难、成本高的问题.在某山区水果种植基地，果农计划租用A，B两款无人机进行吊运作业.据了解，2架A款无人机和1架B款无人机每次满载可吊运水果共300千克；1架A款无人机和2架B款无人机每次满载可吊运水果共330千克． （1）求A，B两款无人机每架次满载可吊运水果各多少千克？ （2）现要吊运一批重1020千克的水果至山下，计划租用A，B两款无人机若干架（每架飞机都是满载），恰好一次运完，则需要分别租用A，B两款无人机各多少架？并写出所有的租赁方案. 20.（本题满分10分） 2026年1月16日，谷神星一号海遥七运载火箭在日照近海成功发射，“航天发射”正成为日照的新IP. 某校为了解七年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七年级学生进行了测试，现从七年级学生中随机抽取40名学生的测试成绩（成绩用表示，单位：分）进行了整理与分析，并分为A、B、C、D、E五个等级： 等级 A B C D E 成绩（分） 信息1：七年级抽取学生成绩条形统计图 信息2：七年级抽取学生成绩在C等级的数据是： 70，71，71，73，74，74，74，75，75，76，77，77，78； 根据以上信息，回答下列问题： （1）求七年级抽取学生测试成绩在B等级的学生人数，并补全条形统计图； （2）七年级抽取学生成绩的中位数是_________； （3）七年级有800名学生都参加此次测试，如果成绩不低于75分可以参加第二轮比赛，请你估计七年级能参加第二轮比赛的人数． 21.（本题满分11分） 一辆汽车停放于积水水平路面上，如图1是该汽车轮胎的截面示意图，已知轮胎截面⊙O与地面相切于点P（轮胎的形变忽略不计），已知轮胎没入积水的最大深度为，轮胎与积水面的交线长度为．图2 图1 （1）求轮胎的半径； （2）如图2，当汽车行驶到坡角为的斜坡上的点时（轮胎截面⊙O与斜坡相切于点），连接OD并延长交水平地面于点E，已知CD=180cm． ①DE= cm； ②求车轮轮胎中心O到水平地面的距离OM长（结果保留小数点后一位，参考数据： ）； 图1 22.（本题满分11分）综合与探究 【探索发现】如图1，在数学活动中，小组同学用尺规作出⊙O的五等分点A、B、C、D、E后，顺次连接AC、BD、CE、DA、EB，其中EB与AC、DA分别交于点G、H. （1）同学们测量发现，∠AEB=∠DAE=∠CAD，请用数学知识说明理由； （2）已知GH=1，求AG长； 【抽象定义】 像图1这样，等腰△AGH与等腰△AHE有公共边AH，且在等腰△AHE中，边AH所对的∠AEB等于等腰△AGH的顶角∠GAH，则称△AGE为“双等三角形”； 类似地，若以等腰三角形的一边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，若两个等腰三角形组成一个四边形，则称该四边形为“双等四边形”. 图3 图2 【拓展应用】 （3）如图2，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，以AC为斜边作等腰直角△ACD，∠ADC=90°. 则四边形ABCD （填“是”或“否”）双等四边形； （4）如图3，在等腰三角形中，AB=AC=5，BC=6，以AC为一边向外作等腰△ACD，使四边形是“双等四边形”，求CD的长. 23.（本题满分12分） 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． （1）当，时，求抛物线的对称轴； （2）在（1）的条件下，当时，若点N满足，求点N的坐标； （3）若对于，，都有，求t的取值范围． 数学试题第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平调研检测数学试题参考答案及评分标准 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1.A 2.C 3.A 4.D 5.D 6. B 7. C 8.C 9. B 10.D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 12. 13. 14.（298，4） 15. 三、解答题（本大题共8小题，满分75分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题每小题4分，共8分） （1） （2）解不等式①，得 ......................................................................5分 解不等式②，得 .......................................................................6分 将解集在数轴上表示 ..................................7分 所以，不等式组的解集为 ...........................................8分 17.（本题满分7分，4+3） （1）证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD=BC，AD∥BC .....................................1分 ∵ BE=DF ∴ AD-DF=BC-BE 即AF=EC .......................................................2分 ∵ AF∥EC ∴ 四边形AECF是平行四边形 .....................................3分 ∴ AE∥CF ......................................................................4分 （2）解： ∵ AC⊥AB ∴ ∠BAC=90∘ ∵ 点E是BC的中点 ∴ ....................................................................5分 ∵ 四边形AECF是平行四边形 ∴ 四边形AECF是菱形 ∴ AE=CE=CF=AF=5 ...................................................................................6分 ∴ 四边形AECF的周长为：AE+CE+CF+AF=20.................................................7分 18.（本题满分7分，4+3） 解：（1）把点代入反比例函数，得 ，解得 ∴ ...................................................................................................2分 把点代入一次函数，得 ，解得 ......................................................................4分 （2）由图象得 .....................................................................................7分 19.（本题满分9分，4+5） 解：（1）设A、B两款无人机每架次满载可分别调运水果千克、千克。由题意得： .........................................................................................2分 解方程组，得 答：A、B两款无人机每架次满载可分别调运水果90千克、120千克...................4分 （2）设租用A款无人机架，B款无人机架，由题意得 ..............................................................................6分 化简，得 ∵根据题意， ，为正整数 ∴ ∴一共有3种租赁方案。①租用A款无人机2架、B款无人机7架；②租用A款无人机6架、B款无人机4架；③租用A款无人机10架、B款无人机1架......................................9分 20.（本题满分10分，4+3+3） （1）根据信息2，七年级抽取学生成绩在C等级的人数为13人， 根据信息1，七年级抽取学生成绩在A、D、E等级的人数分别为6、9、2人， 所以七年级抽取学生测试成绩在B等级的学生人数为：40－13－6－9－2=10（人）............2分 补全得条形统计图如下： ...............................4分 （2）75.5 ....................................................................................................................7分 （3）七年级抽取学生成绩在C等级的人数中不低于75的有6人 所以 800× 答：七年级能参加第二轮比赛的人数约为440人. ...............................................10分 21.（本题满分11分，5+6） （1）连接OP、OA，OP与AB交于点Q. ∵⊙O与地面相切于点P ∴垂直于地面， ∵平行地面， ∴，................................................................................................................1分 ∴，............................................................................................2分 设轮胎的半径为． 在Rt△AOQ中，∠AQC=90°，，OQ=r－6，AQ=18， ∴，............................................................................................4分 解得， ∴轮胎的半径为.........................................................................................5分 （2）①DE= 45 cm .................................................................................................7分 ②由上可得，OE=OD+DE=30+45=75（cm） .................................................8分 ∵CD切⊙O于点D ∴∠CDE=90° ∴∠DCE+∠CED=90° 又∵OM⊥CE ∴∠MOE+∠CED=90° ∴∠MOE=∠DCE=14° ...................................................................................9分 在Rt△MOE中， 答：车轮轮胎中心O到水平地面的距离OM长约为72.8cm..............................11分 22.（本题满分11分，1+3+1+6） （1）∵A、B、C、D、E是⊙O的五等分点， ∴,且每条弧的度数是360°×=72° ∴∠AEB=∠DAE=∠CAD=72°×=36°..............................................1分 （2）∵∠AEB=∠DAE=∠CAD=36° ∴AH=HE，∠AHG=∠AEB+∠DAE=72° ∴∠AGH=180°－∠GAH－∠AHG=72°图1 ∴∠AGH=∠AHG ∴AG=AH=HE ∵∠AEB=∠CAD，∠AGE是公共角， ∴△AGH∽△EAG ∴......................................................................2分 设AG=HE=x，则GE=GH+HE=1+x 则有 ..................................................................3分 解得， 即AG长为 ......................................................4分 （3）是； .....................................................................5分 （4）①如图Ⅰ，当AD=CD，∠ADC=∠BAC时. 过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AC于点F， ∴∠BAE=∠BAC，∠ADF=∠ADC，BE=BC=3，CF=AC=， ∴∠BAE=∠ADF ∵在Rt△ABE中，sin∠BAE==，在Rt△CDF中，sin∠CDF==，图Ⅰ ∴sin∠BAE=sin∠CDF，即 解得 .....................................................................7分 ②如图Ⅱ，当AD=AC，∠ADC=∠BAC时. 过点B作BE⊥AC于点E，过点A作AF⊥CD于点F， 在Rt△ABE和Rt△CBE中，分别有 ∴ 设AE=x，则有图Ⅱ 解得 ∵AF⊥CD于点F， ∴CF=DF=CD 又∠ADC=∠BAC，∠AEB=∠AFC=90°，AB=AC， ∴△ABE≌△CAF ∴CF=AE=图Ⅲ ∴CD=2CF= .....................................................................9分 ②如图Ⅲ，当AD=CD，∠ADC=∠BAC时. CD=AC=5 综上，CD的长为....................................................................11分 23. （本题满分12分，3+4+5） （1）解：把代入，得 ，......................................................................................1分 ∴抛物线的对称轴为.........................................................3分 （2）当时，， 所以抛物线的解析式为 过M、N分别作y轴的垂线，垂足分别为A、B. ∴∠OAM=∠OBN=90° ∴∠AOM+∠AMO=90° 又∵∠MON=90° ∴∠AOM+∠BON=90° ∴∠AMO=∠BON ∴△AOM∽△BNO ∴ ..................................................................4分 设，则OB=，BN= 即， ∴.......................................................5分 若点N在第一象限，则∠MON<90°，所以点N不在第一象限， ∴不存在 解，得 ........................................................................................................6分 当m=1时，；当时， ∴.......................................................................................7分 注：用两直线垂直，k积-1的方法也可以. （3）①如图1，当t≥0时，满足的函数图象在对称轴右侧，的函数图象在对称轴左侧，关于对称轴对称的区间是在对称轴右侧. 因为a>0，所以在对称轴右侧y随x的增大而增大， 要满足都有，则2t≥t+2，解得t≥2 ...............................9分 ②如图2，当－1<t<0时，与有重叠部分，不能满足都有，所以t不在这个范围内. ................................................................................................10分 ③如图3，当t≤-1时，，都在对称轴右侧，y随x的增大而增大， 要满足都有，则t+2≤－1，解得t≤－3. 综上，t≥2或t≤－3. ..........................................................................................12分 图2 图3 图1 数学试题第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $