精品解析：2025年山东省日照市岚山区中考一模数学试题

2025年初中学业水平调研检测 数学试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分120分．考试时间为120分钟． 2．答卷前务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题卡规定位置上．考试结束，本试卷和答题卡一并收回． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑．如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．不涂在答题卡上，答在试卷上无效． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定的区域内，在试卷上答题不得分；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 第Ⅰ卷（选择题 30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各数中，无理数是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 随着乡村全面振兴的全面推进，我国农业强国建设不断取得新成绩，据悉，2024年我国粮食总产量70650万吨，比上年增长．将70650万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD； （2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N； （3）连接OM，MN． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A. ∠COM=∠COD B. 若OM=MN，则∠AOB=20° C. MN∥CD D. MN=3CD 7. 将3枚黑棋子2枚白棋子装入一个不透明的空盒子里，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒子中随机取出一枚棋子后不放回，再从盒子中随机抽出一枚棋子，则两次取出的棋子都是黑棋子的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知直线交⊙O于A，B两点，是的直径，作的角平分线交于点D，过D作，垂足为E，且，，则的长等于（ ） A. 4 B. 6 C. D. 9. 若关于x的一元二次方程两根为，，且与同号，则m可能的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 10. 如图①，在中，是对角线，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点D停止．若点P的运动速度为，设点P的运动时间为x（），的面积为，y与x的函数图象如图②所示．当恰好平分时，的长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 函数中，自变量的取值范围是______． 12. 到x轴的距离是______． 13. 等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为________． 14. 如图，已知正六边形的边长为2，以点E为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为________． 15. 如图，在正方形中，点是上一点，．连接，过点作，垂足为，连接，过点作，交于点，则___________． 16. 一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“成双数”．对于“成双数”M，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．例如“成双数”3412，．若“成双数”M千位上的数字与个位上的数字之和为7，且能被3整除，则满足条件的“成双数”中的最大数为______． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解不等式组． （2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 18. 每年的4月24日是中国航天日，某市计划在今年4月份开展中学生航模比赛，比赛组织方需要购买一批A，B两种型号的动力部件，购买记录如下表： A型号（件） B型号（件） 合计金额（元） 第一次 30 20 720 第二次 20 15 510 （1）分别求A，B两种型号动力部件的单价； （2）若组织方计划再次购买A，B两种型号的动力部件共30件，恰逢A型号动力部件7.5折促销，B型号动力部件单价不变，若计划购买金额不超过400元，则最多可购买B型号动力部件多少件？ 19. 学生视力健康问题引起社会广泛关注．某学习小组为了解本校七年级学生视力情况，开展了一次调查研究． 七年级学生右眼视力情况频率分布表 右眼视力 频率 m 合计 1 （1）小组计划从本校七年级抽取50名同学的视力情况作为样本，下面的抽样调查方式合理的是 ；（只填序号） ①抽取七年级一班50名同学视力情况作为样本；②抽取喜欢跑步的50名同学视力情况作为样本；③随机抽取50名同学视力情况作为样本． （2）小组采用合理的调查方式获得该年级50名同学的视力情况，并数据整理如上，根据以上图表信息，解答下列问题： ①频率分布表中的 ； ②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据） （3）视力范围在“”的数据为：，，，，，，，这组数据的中位数是 ； （4）若该校七年级共有800名学生，请你估计视力范围在“”的学生人数． 20. 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，点B，D的横坐标分别为m，n（），以线段为对角线作矩形，轴． （1）求证：四边形是正方形； （2）如图2，若反比例函数的图象过点A．以点O为圆心，长为半径作． ① （用含m，n的代数式表示）； ②若，当与相切时，求k的值． 21. 综合与实践：数学兴趣小组的同学结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】将一束光线从游泳池边点A处发出，经水面点C折射到池底B处． 【测量数据】点A，D，E在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内，是法线，点N在上．记入射角为，折射角为．测得点A到水面的距离，水深，入射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）小组的同学发现，根据光的折射物理学知识可知．从而可求得． ①由上可在中推理求得 ； ②求B，E之间的距离．（参考数据：，，） 22. 如图1，在中，，．将线段绕点C顺时针旋转得到线段，过点D作，垂足为E，的平分线与交于点F，与的延长线相交于点P，连接． （1）的度数是 （用含的代数式表示）； （2）猜想与的数量关系，并加以证明； （3）如图2，将沿折叠，在变化过程中，当点C恰好落在点E的位置时，连接．若，求长． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线过B、C两点． （1）分别求b、t的值； （2）如图2，将直线向左平移若干单位，使之恰好过点A，分别取点A左侧直线部分和点A右侧抛物线部分（实线所示），记为图象G，点，均在图象G上． ①若平面内一点P，满足线段轴，（P在D的右侧），当线段与图象G有两个交点时，求a取值范围； ②D，E之间（含D，E两点）的图象所对应函数的最大值与最小值均不随a的变化而变化，直接写出a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平调研检测 数学试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分120分．考试时间为120分钟． 2．答卷前务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题卡规定位置上．考试结束，本试卷和答题卡一并收回． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑．如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．不涂在答题卡上，答在试卷上无效． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定的区域内，在试卷上答题不得分；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 第Ⅰ卷（选择题 30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各数中，无理数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别．熟练掌握无理数的定义是解题关键．无限不循环小数是无理数，分数，整数属于有理数． 利用无理数的定义逐个分析判断即可． 【详解】A、是有理数，不合题意； B、是有理数，不合题意； C、，是有理数，不合题意； D、是无理数，符合题意． 故选：D． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别；一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A． 3. 随着乡村全面振兴的全面推进，我国农业强国建设不断取得新成绩，据悉，2024年我国粮食总产量70650万吨，比上年增长．将70650万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：70650万． 故选：C． 4. 下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图．分别分析四种几何体的主视图和左视图，找出主视图和左视图不同的几何体． 【详解】解：A、圆台的主视图和左视图都是梯形，本选项不符合题意； B、圆柱的主视图是长方形，左视图是圆，本选项符合题意； C、圆锥的主视图与左视图相同，都是等腰三角形，本选项不符合题意； D、球的主视图和左视图相同，都是圆，本选项不符合题意． 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方，根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故此选项不合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：B． 6. 已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD； （2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N； （3）连接OM，MN． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A. ∠COM=∠COD B. 若OM=MN，则∠AOB=20° C. MN∥CD D. MN=3CD 【答案】D 【解析】 【分析】由作图知CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得． 【详解】解：由作图知CM=CD=DN， ∴∠COM=∠COD，故A选项正确； ∵OM=ON=MN， ∴△OMN是等边三角形， ∴∠MON=60°， ∵CM=CD=DN， ∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B选项正确； ∵∠MOA=∠AOB=∠BON， ∴∠OCD=∠OCM= ， ∴∠MCD=， 又∠CMN=∠AON=∠COD， ∴∠MCD+∠CMN=180°， ∴MN∥CD，故C选项正确； ∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN， ∴3CD＞MN，故D选项错误； 故选D． 【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点． 7. 将3枚黑棋子2枚白棋子装入一个不透明的空盒子里，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒子中随机取出一枚棋子后不放回，再从盒子中随机抽出一枚棋子，则两次取出的棋子都是黑棋子的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查等可能事件的概率，熟练画出树状图，展示所有等可能的结果，是解题的关键．根据题意，画出树状图，展示所有等可能的结果，再利用概率公式，即可求解． 【详解】解：画树状图如下： 一共有20种等可能的结果，两次摸出的恰好都是黑棋子有6种， ∴两次摸出的恰好都是黑棋子的概率， 故选：A． 8. 如图，已知直线交⊙O于A，B两点，是的直径，作的角平分线交于点D，过D作，垂足为E，且，，则的长等于（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边对等角，矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由以及角平分线的定义得，则，故，证明四边形是矩形，根据，得出，最后根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：过点O作，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 即， 在中，， 即， 解得， ∴， 故选：D． 9. 若关于x的一元二次方程两根为，，且与同号，则m可能的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，根据根与系数的关系得到，进而结合已知条件求出，再结合一元二次方程的判别式，即可解答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为、， ∴， ∵与同号， ∴， ∴， ∴， 当时，原方程为，则，方程无解，不符合题意； 当时，原方程为，则，方程有两个不相等的实数根，符合题意； ∴可能的值为， 故选：B． 10. 如图①，在中，是对角线，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点D停止．若点P的运动速度为，设点P的运动时间为x（），的面积为，y与x的函数图象如图②所示．当恰好平分时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点函数图象间关系，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，解一元二次方程，过点A作于点H，过点P作于点G，连接，由图象可得，，利用三角形等面积法求出，解直角三角形求出，求出，进而求出，解直角三角形求出，进而求出，由角平分线的定义得到，设，则，求出，利用勾股定理建立方程求出的值，进而得到，即可求解． 【详解】解：过点A作于点H，过点P作于点G，连接， 当点P在上运动时，的面积为定值， 由图象可得点P运动到点B时，运动时间为，的面积为， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵恰好平分， ∴， 设，则， ∴， ∵ ∴，即， 解得：或（舍去） ∴， ∴． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由得， 解得：且， 故答案为：且． 12. 到x轴的距离是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查点到坐标轴的距离．根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，求解即可． 【详解】解：到x轴的距离是， 故答案为：4． 13. 等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案． 【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2， ， 能构成三角形， 第三边长为6； 当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6， ， 不能构成三角形，舍去； 综上，第三边长为6， 故答案为：6． 14. 如图，已知正六边形的边长为2，以点E为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多形的内角和和内角以及弧长公式，根据六边形是正六边形，根据正多边内角和等于，求出内角，再根据弧长公式即可得出答案． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，点是上一点，．连接，过点作，垂足为，连接，过点作，交于点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解体的关键． 先求出，得出，再由，得出，再根据，得出． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“成双数”．对于“成双数”M，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．例如“成双数”3412，．若“成双数”M千位上的数字与个位上的数字之和为7，且能被3整除，则满足条件的“成双数”中的最大数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的新定义问题，整式加减的应用，二元一次方程的应用，正确理解新定义是解题的关键．根据题意表示出各个数位上的数，求出，根据能被3整除，进而求解即可． 【详解】解：根据题意：M千位上的数字为a，百位上的数字为b，十位上的数字为，个位上的数字为，且， 则 ， ∴， ∵能被3整除， ∴能被3整数， ∴能被3整数， ∵，且b越大，M越大， ∴当时，不能被3整除，不符合题意； 当时，能被3整除，符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴满足条件的“成双数”中的最大数为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解不等式组． （2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【答案】（1）；（2），当时，原式，当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集和掌握分式的混合运算顺序与运算法则是解答此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的a的值代入计算即可． 【详解】解：（1）， 由①得； 由②得； ∴不等式组的解集为； （2） ， 由题意得：且， 当时，原式， 当时，原式． 18. 每年的4月24日是中国航天日，某市计划在今年4月份开展中学生航模比赛，比赛组织方需要购买一批A，B两种型号的动力部件，购买记录如下表： A型号（件） B型号（件） 合计金额（元） 第一次 30 20 720 第二次 20 15 510 （1）分别求A，B两种型号动力部件的单价； （2）若组织方计划再次购买A，B两种型号的动力部件共30件，恰逢A型号动力部件7.5折促销，B型号动力部件单价不变，若计划购买金额不超过400元，则最多可购买B型号动力部件多少件？ 【答案】（1）A，B两种型号动力部件的单价分别为12元、18元． （2）最多可购买B型号动力部件件． 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用； （1）设A，B两种型号动力部件的单价分别为x元、y元．根据表格信息建立方程组即可； （2）设购买B型号动力部件m件，则购买A型号动力部件件，由计划购买金额不超过400元，列出一元一次不等式求解，结合为正整数，即可解答． 【小问1详解】 解：设A，B两种型号动力部件的单价分别为x元、y元． 则 解得 答：A，B两种型号动力部件的单价分别为12元、18元． 【小问2详解】 解：设购买B型号动力部件m件，则购买A型号动力部件件， 根据题意：， 解得：， ∵为正整数， ∴最多可购买B型号动力部件件． 19. 学生视力健康问题引起社会广泛关注．某学习小组为了解本校七年级学生视力情况，开展了一次调查研究． 七年级学生右眼视力情况频率分布表 右眼视力 频率 m 合计 1 （1）小组计划从本校七年级抽取50名同学的视力情况作为样本，下面的抽样调查方式合理的是 ；（只填序号） ①抽取七年级一班50名同学视力情况作为样本；②抽取喜欢跑步的50名同学视力情况作为样本；③随机抽取50名同学视力情况作为样本． （2）小组采用合理的调查方式获得该年级50名同学的视力情况，并数据整理如上，根据以上图表信息，解答下列问题： ①频率分布表中的 ； ②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据） （3）视力范围在“”的数据为：，，，，，，，这组数据的中位数是 ； （4）若该校七年级共有800名学生，请你估计视力范围在“”的学生人数． 【答案】（1）③ （2）①； ②补全条形统计图，如图所示： （3） （4）112人 【解析】 【分析】（1）根据样本选取的标准进行解答即可； （2）①用1减去其他项的频率，求出m的值即可； ②先求出的频数，然后补全条形统计图即可； （3）根据中位线的定义进行求解即可； （4）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：因为样本应该具有代表性，所以随机抽取50名同学视力情况作为样本是比较合理的． 【小问2详解】 解：①频率分布表中的； ②的频数为：， 【小问3详解】 解：将这组数据从小到大进行排序为：，，，，，， ， 排在中间位置的数为，所以中位数为． 【小问4详解】 解：（人）， 答：视力范围在“”的学生人数为112人． 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，频数分布表，用样本估计总体，求中位线，熟练掌握样本的特点，相关的定义，是解题的关键． 20. 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，点B，D的横坐标分别为m，n（），以线段为对角线作矩形，轴． （1）求证：四边形是正方形； （2）如图2，若反比例函数的图象过点A．以点O为圆心，长为半径作． ① （用含m，n的代数式表示）； ②若，当与相切时，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形，且轴， ∴轴， ∵点B，D是直线上，点B，D的横坐标分别为m，n（）， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意得，由矩形的性质结合轴，求出，再求出，即可证明； （2）①由（1）得，即可求出k的值；②根据题意，设中点为，则，根据，可得当与相切时，切点为T，则，求出，求出，建立方程求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由（1）得， ∵反比例函数的图象过点A， ∴， ∴； ②根据题意， 设中点为，则， ∵， ∴当与相切时，切点为T，则， ∴， ∵， ∴，整理得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查的是反比例函数与几何的综合，一次函数，切线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理，掌握切线的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 21. 综合与实践：数学兴趣小组的同学结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】将一束光线从游泳池边点A处发出，经水面点C折射到池底B处． 【测量数据】点A，D，E在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内，是法线，点N在上．记入射角为，折射角为．测得点A到水面的距离，水深，入射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）小组的同学发现，根据光的折射物理学知识可知．从而可求得． ①由上可在中推理求得 ； ②求B，E之间的距离．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2）①；②B，E之间的距离为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，矩形的判定与性质： （1）利用正切的定义即可求解； （2）①根据，求出，由题意可得，利用勾股定理求出，再利用正切的定义即可解答；②由①知，四边形是矩形，由（1）知，推出，由即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得， 则， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①∵在中，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； ②由①知，四边形是矩形，由（1）知， ∴， ∴， 答：B，E之间的距离为． 22. 如图1，在中，，．将线段绕点C顺时针旋转得到线段，过点D作，垂足为E，的平分线与交于点F，与的延长线相交于点P，连接． （1）的度数是 （用含的代数式表示）； （2）猜想与的数量关系，并加以证明； （3）如图2，将沿折叠，在变化过程中，当点C恰好落在点E的位置时，连接．若，求长． 【答案】（1） （2）， 证明如下： ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出，然后证明出，得到； （2）首先根据外角的性质求出，求出，利用三角形内角和定理求出，然后得到，即可证明出； （3）证明出，得到，由折叠得，，然后利用勾股定理求出，得到，然后证明出，得到，设，则，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴ ∵将线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵平分 ∴ 又∵ ∴ ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴ ∴ 由折叠得， ∴， ∵， ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴设，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了旋转的性质，折叠问题，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线过B、C两点． （1）分别求b、t的值； （2）如图2，将直线向左平移若干单位，使之恰好过点A，分别取点A左侧直线部分和点A右侧抛物线部分（实线所示），记为图象G，点，均在图象G上． ①若平面内一点P，满足线段轴，（P在D的右侧），当线段与图象G有两个交点时，求a取值范围； ②D，E之间（含D，E两点）的图象所对应函数的最大值与最小值均不随a的变化而变化，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）， （2）①或；②或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，正确画出图形，利用分类讨论解题是关键． （1）根据二次函数的解析式可得，代入可得，再求得的坐标，代入抛物线即可； （2）①画出图形，分类讨论即可； ②根据题意D，E之间（含D，E两点）的图象需要包含点，分类讨论，分或，逐一分析即可． 【小问1详解】 解：把代入，可得， ， 把代入，可得， 直线的解析式为， 当时，可得， 解得， ， 把代入，可得， 解得； 【小问2详解】 解：①由（1）可得抛物线解析式为， 当时，可得， 解得， ， 将直线向左平移若干单位，使之恰好过点A， 设平移后的直线解析式为， 把代入，可得， 解得， 平移后的直线解析式为， 由题意可得点 当点在图象G的抛物线部分时，如图， 设此时点刚好落在抛物线上，则可得， 解得， 根据图象可得点在点和顶点之间，此时线段与图象G有两个交点， ， ， 故； 当点在图象G的直线部分时，如图， 设此时点刚好落在抛物线上，则可得， 解得（舍去）， 根据图象可得点在之间，此时线段与图象G有两个交点， 故； 综上，或； ②根据题意D，E之间（含D，E两点）的图象需要包含点，才符合题意， 如图，当点在点之间，点在之间时， ， 把代入，可得， 解得， ， ， ， 解得， ； 如图，当点在点之间，点在之间时， ， ， ， ， 解得， ， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $