精品解析：江苏无锡市第三高级中学2025-2026学年第二学期高二数学期中试卷

2025-2026学年第二学期高二数学期中试卷 2026.4 出卷人：孙成成 审卷人：马丽 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知函数满足（为的导函数），则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 将4位老师分配到3个学校去任教，共有分配方案（ ） A. 81种 B. 12种 C. 64种 D. 256种 4. 若函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 从混有5件次品的20件产品中依次抽取2件，在第1次抽到次品的条件下，第2次抽到次品的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若是函数的极值点，则的极小值为 A. B. C. D. 1 7. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 120 D. 200 8. 定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9. 对于二项式的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 各项系数之和为0 B. 二项式系数的最大值为 C. 不存在常数项 D. x的系数为－28 10. 某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名老师到A、B、C、D四个社区参与志愿活动,以下说法正确的是（ ） A. 5人中选出四个人安排到四个社区,每个社区都有人,则不同方法数为120 B. 每人都只安排到一个社区,每个社区至少有一人,则不同的方法数为480 C. 每人都只安排到一个社区,如果D社区不安排,其余三个社区至少安排一人,则这5名老师全部被安排的不同方法数为150 D. 每人都安排到一个社区,每个社区至少有一人,其中甲、乙不去A社区,其余三位老师四个社区均可安排,则不同安排方案的种数是126 11. 已知函数,则（ ） A. 当或时,有且仅有一个零点 B. 当或时,有且仅有一个极值点 C. 若为单调递减函数,则 D. 若与x轴相切,则 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 若，则的值为________. 13. 已知，则______． 14. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. 某种产品的加工需要经过、、、、共5道工序． （1）如果工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ （2）如果工序和工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ （3）如果和工序相邻，和不能相邻，那么有多少种加工顺序？ 16. 已知 的展开式中，所有二项式系数的和为256. （1）求n 的值，并求展开式中第5项的二项式系数； （2）求展开式中所有的有理项； （3）求展开式中各项系数的最大值（结果用数字表示）. 17. 有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率分别为加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的 （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，试问该次品来自第几台车床的概率最大？ 18. 已知函数 （1）当时， 求 在处的切线方程； （2）当 时， 单调递增， 求a的取值范围； （3）若 恒成立，求a的取值范围. 19. 已知函数，，其中. （1）若，求函数在上的值域； （2）若，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高二数学期中试卷 2026.4 出卷人：孙成成 审卷人：马丽 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用组合数性质，即可求出结果． 【详解】由组合数性质， 得， ． 故选：A． 2. 已知函数满足（为的导函数），则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，代入求出，从而得到的解析式，求出答案. 【详解】， 当时，，解得， 故，所以. 故选：D 3. 将4位老师分配到3个学校去任教，共有分配方案（ ） A. 81种 B. 12种 C. 64种 D. 256种 【答案】A 【解析】 【详解】将4位老师分配到3个学校去任教， 每位老师都可以去这3个学校中的1个学校， 故每位老师都有3种分配方案， 则这4位老师分配到3个学校去任教共有分配方案为种， 故选择A. 4. 若函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将函数的零点问题转化为函数图像的交点问题，再画出的图像，根据图像求参数范围即可. 【详解】 函数的定义域为，由，得， 设，则，由得，此时函数单调递增， 由得，此时函数单调递减，即当时，函数取得极小值，当时，∴函数有两个零点，即方程有两个不同的根，即函数和有两个不同的交点，则， 故选：C. 5. 从混有5件次品的20件产品中依次抽取2件，在第1次抽到次品的条件下，第2次抽到次品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用条件概率的公式求解即可. 【详解】设第1次抽到次品为事件A，则 设第2次抽到次品为事件B，则 故第1次抽到次品的条件下，第2次抽到次品的概率：. 故选：D 6. 若是函数的极值点，则的极小值为 A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 求出函数的导数，是导函数等于零的一个根，这样可以求出的值，进而求出函数的极小值点. 【详解】,是函数的极值点，所以是的根，代入方程中，得，， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，因此，是函数的极小值点， ，故本题选A. 【点睛】本题考查了已知函数极值的情况，求参数，进而再研究函数的极值问题.解决此类问题的关键是正确求出导函数，利用极值的定义进行分析判断. 7. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 120 D. 200 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数. 【详解】展开式的通项公式为， 当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到； 当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到； 据此可得：的系数为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理具体展开项的系数求解问题，解题的关键是写出的通项，再分类讨论的值，确定的系数，考查学生的分类讨论思想与运算能力，属于中档题. 8. 定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式结构特征构造函数，研究该函数的单调性即可求解. 【详解】令，则， 因为， 所以，则在上单调递减， 所以，即， 故，， 故选：C. 二、多选题：本题共3小题,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9. 对于二项式的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 各项系数之和为0 B. 二项式系数的最大值为 C. 不存在常数项 D. x的系数为－28 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，令可得；对B，由可判断；对C，求出通项公式，令的指数为0，求解可判断；对D，令的指数为1可求出. 【详解】对于A，令，则可得各项系数之和为，故A正确； 对于B，二项式系数最大的为，故B不正确； 对于C，的展开式的通项公式为，令，解得，不是非负整数，故不存在常数项，故C正确； 对于D，，令，解得，则的系数为，故D错误. 故选：AC. 10. 某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名老师到A、B、C、D四个社区参与志愿活动,以下说法正确的是（ ） A. 5人中选出四个人安排到四个社区,每个社区都有人,则不同方法数为120 B. 每人都只安排到一个社区,每个社区至少有一人,则不同的方法数为480 C. 每人都只安排到一个社区,如果D社区不安排,其余三个社区至少安排一人,则这5名老师全部被安排的不同方法数为150 D. 每人都安排到一个社区,每个社区至少有一人,其中甲、乙不去A社区,其余三位老师四个社区均可安排,则不同安排方案的种数是126 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用排列求解选项A,先选出一个社区安排两人，然后再将剩下的社区安排好求解即可求解选项B，选项C分两类一类是3人安排在一个社区，其余两个社区各一人，另一类是两个社区各两人，然后另外一个社区一人利用排列组合求解即可，选项D：分两类：第一类 社区安排两人，第二类A社区只安排一人，然后利用排列与组合求解即可. 【详解】5人中选出四个人安排到四个社区,每个社区都有人,则不同方法数为故选项A正确. 先选出2人组成一组然后再选一个社区安排，则有再将剩下的3人安排下去则有 则一共有，则选项B错误. 选项C：先将5名老师分成3组，人数可为1,1,3或1,2,2， 若人数为1,1,3时,则有 种不同的安排方法； 若人数为1，2，2时，则有 种不同的安排方法， 由分类计数原理得，共有 种不同的安排方法，所以C正确； 选项D：每人都安排到一个社区，每个社区至少有一人，其中甲、乙不去A社区， 若 社区安排两人，则有 种不同的安排方法； 若A社区只安排一人，则有 种不同的安排方法， 由分类计数原理得，共有 种不同的安排方法，所以D正确. 11. 已知函数,则（ ） A. 当或时,有且仅有一个零点 B. 当或时,有且仅有一个极值点 C. 若为单调递减函数,则 D. 若与x轴相切,则 【答案】ACD 【解析】 【分析】零点问题可化为，即研究函数的图像与常数的交点个数，极值点和单调性由导函数决定，与 轴相切需要同时满足 【详解】由得 选项A，由得 因为定义域为，所以只需讨论即 设则 当时当时当时 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最大值 又 所以的大致图像为： 因此：当时，由于在上单调递增，且从增大到， 故方程只有一个解； 当时，方程，只有一个解； 当时，方程只有一个解， 因此，当或时，有且仅有一个零点，所以A正确. 选项B，极值点由的零点及其左右符号决定， 当时，此时则在上单调递增， 又因为 故只有一个解，则有且仅有一个极值点. 当时，有 此时则在上单调递增， 又 故方程也有且仅有一个解，因此有且仅有一个极值点. 当时，有 由不等式知当且仅当时取等号， 因此在上单调递减， 而处有驻点，但该点两侧导数不变号，因此不是极值点， 故当时， 没有极值点.综上，选项B错误. 选项C，若为单调递减函数，则必须有 即移项得 设则 故在上单调递增，在上单调递减， 于是它在处取得最大值 因此要使恒成立，必须有 即故C正确. 选项D，若与轴相切，设切点为，则 由得 由 得 两式相减，得 代回，得所以 进而 所以D正确. 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 若，则的值为________. 【答案】2或3 【解析】 【分析】根据组合数的性质解方程即可求出结果. 【详解】由题意可得或，解得或， 故答案为：2或3. 13. 已知，则______． 【答案】8088 【解析】 【分析】先求导数，再利用赋值法进行求解. 【详解】对两边求导， 再令=可得， . 故答案为：8088 14. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】解法一，利用反函数的性质确定，得到，利用导数求函数的最值解决恒成立问题. 解法二，由，可得，则，构造函数，利用函数单调性解题. 【详解】解法一：由题知恒成立， 函数与函数互为反函数， 由反函数图象的性质，可得恒成立， 即，令函数，则， 当时，，当时，， 所以在单调递增，在上单调递减， ，， 故的取值范围是. 解法二：由，可得， 则. 令函数，则， 因为是增函数，所以，即， 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在单调递增，在上单调递减， ，， 故的取值范围是. 故答案为： 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. 某种产品的加工需要经过、、、、共5道工序． （1）如果工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ （2）如果工序和工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ （3）如果和工序相邻，和不能相邻，那么有多少种加工顺序？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）特殊元素优先法，先排工序，其余工序全排列； （2）首先排工序和工序，，其余工序全排列； （3）相邻问题用捆绑，不相邻问题用插空法. 【小问1详解】 因为工序不能放在最后， 首先排工序，有种排法， 其余工序全排列即可，有种排法， 按照分步乘法计数原理可得一共有种加工顺序； 【小问2详解】 因为工序和工序既不能放在最前，也不能放在最后， 首先排工序和工序，有种排法， 其余工序全排列即可，有种排法， 按照分步乘法计数原理可得一共有种加工顺序； 【小问3详解】 如果和工序相邻，和不能相邻， 把和工序捆绑作为一组，与工序排列，有种排法， 再将和插入所形成的个空中的个空，有种排法， 按照分步乘法计数原理可得一共有种加工顺序； 16. 已知 的展开式中，所有二项式系数的和为256. （1）求n 的值，并求展开式中第5项的二项式系数； （2）求展开式中所有的有理项； （3）求展开式中各项系数的最大值（结果用数字表示）. 【答案】（1），展开式中第5项的二项式系数为； （2），，，，； （3）1792. 【解析】 【分析】（1）先列方程，求解，再代入展开项第5项的值，求二项式系数； （2）先确定有理项中的范围，再求解有理项； （3）利用系数的单调性，求出系数的最大值即可. 【小问1详解】 二项式系数和为，所以 展开式中第5项的二项式系数为 【小问2详解】 当，时，展开项为有理项 因为且，所以展开项为有理项时 【小问3详解】 设第项的系数为，则 所以 当时，，，即； 当时，，，即； 当时，，，即； 综上，当取最大值时，或 所以展开式中各项系数的最大值为1792. 17. 有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率分别为加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的 （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，试问该次品来自第几台车床的概率最大？ 【答案】（1）； （2）2. 【解析】 【分析】(1)利用全概率公式来求解即可； (2)利用贝叶斯公式来求解即可得到最大概率的判断. 【小问1详解】 利用全概率公式可知，任取一个零件，它是次品的概率为： ； 【小问2详解】 利用贝叶斯公式可知， 如果取到的零件是次品，该次品来自第1台车床的概率为： 如果取到的零件是次品，该次品来自第2台车床的概率为： 如果取到的零件是次品，该次品来自第3台车床的概率为： 通过比较，如果取到的零件是次品，该次品来自第2台车床的概率最大. 18. 已知函数 （1）当时， 求 在处的切线方程； （2）当 时， 单调递增， 求a的取值范围； （3）若 恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数公式、导数的几何意义以及直线的点斜式方程求解. （2）在单调递增时，则对恒成立，再利用分离参数法、导数计算求解. （3）构造函数，根据函数单调性得出函数最值，应用隐零点计算求解. 【小问1详解】 当时，由，得， 则，又， 所以曲线在处的切线方程为, 即． 【小问2详解】 因为时，单调递增， 所以时，恒成立， 即在时恒成立， 设，则， 则时，，所以在上单调递减，可得； 当时， ， 所以，所以，单调递增时，的取值范围是． 【小问3详解】 因为 恒成立，所以恒成立， 所以恒成立， 设，则，则， 因为，所以， 令单调递增，，所以，， 所以单调递减；单调递增； 因为，所以， 所以， 所以. 19. 已知函数，，其中. （1）若，求函数在上的值域； （2）若，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入，，从而求导，从而由导数的正负确定函数的单调性，从而求最值； （2）令，化简求导得到，再令并求导得，从而解得，使得，使在上单调递减，在上单调递增，从而可得，且，从而化简求出实数的取值范围. 【小问1详解】 若，则，， 故当时，，所以，故函数在上单调递增， 故，， 所以的值域为； 【小问2详解】 由可得， 令，，， 于是， 令，则， 即在上是增函数， ∵，， ∴，使得， 当时，，即，此时单调递减； 当时，，即，此时，单调递增； ∴①， 由可得，整理得②， 代入①中，得， 由，恒有，转化为③， 因为，③式可以化为，整理得，解得， 再由，于是，由②可得， 令，则根据的单调性易得在上是增函数， ∴，即，得， 故实数的取值范围为 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $