精品解析：江苏常州市北郊高级中学2025-2026学年高二下学期6月期中数学试题

2025~2026学年第二学期期末考试 高二数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 2026年6月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】由已知， 所以，共3个元素． 2. 已知命题:，，则该命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的否定判断即可. 【详解】根据命题的否定得该命题的否定为：. 3. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】条件可转化为在上恒成立，利用导数求的取值范围，可得结论. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，，则， 在上单调递增，又， 所以当时，的取值范围为， 所以的取值范围为. 4. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的增区间是 C. 函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象 D. 图象的一个对称中心是 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图像易得，从而可得出，再将点代入求得，从而得到函数的解析式，再根据正弦函数的性质逐一判断即可得出答案. 【详解】由图像可得，，， ，将点代入可得， 又，，所以函数， 令，解得，， 故函数的单调递增区间为，，故B错误； 由，A错误； ， 故是对称中心，故D正确； 将函数的图像向左平移个单位，得到，该函数为偶函数，故C错误. 5. 已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由图象可知函数定义域为，可知选项C定义域为，即，所以C错误； 由图象可知函数为奇函数，选项B可知，函数为偶函数，所以选项B错误； 对于选项D，可知， 因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以D错误. 可知选项A符合题意. 6. 已知是定义在上的偶函数，且，有.设 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用给定单调性和奇偶性确定在上单调递增，再得到，最后比较函数值即可. 【详解】由，可知在上单调递减， 又是偶函数，图像关于轴对称，因此在上单调递增， 由题意得，，， 而，而，可得， 由偶函数性质得，可得， 而在单调递增，得到，即. 7. 已知函数，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定，再构造函数，通过单调性和奇偶性求解不等式即可. 【详解】当时，，，， 相加得， 当时，，，， 相加得， 又当时， 故对任意，可验证得： 令，可得，又， 所以是上的奇函数， 当时，，求导得， 故在单调递增； 由奇函数单调性性质，是上的单调递增函数， 原不等式，代入， 化简得：   由单调递增，得不等式：， 若：，原不等式无解； 若，则， 即，又，解得 综上：的取值范围是. 8. 记的内角的对边分别为，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由边关系利用余弦定理转化为关于角、的等式，再结合正弦定理边化角得，将目标式用表示，通过基本不等式求其最小值. 【详解】已知 ，整理得 . 由余弦定理可知.​ 由正弦定理​，代入得， 整理得， 两边同除以，得. 又由于为三角形内角，故. 由正切差公式， 分子分母同除以得. 由基本不等式，​， 当且仅当 ，即 时等号成立. 因此，即的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 已知某扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为 B. C. 的值域为 D. 中，，则是等腰三角形 【答案】AB 【解析】 【详解】选项A：已知圆心角为，半径为，则扇形面积为 ，A正确； 选项B：化简原式得 ，B正确； 选项C：令 ，则 ​，代入得. 当 时，取最大值，因此值域为，不是，C错误； 选项D：中，，有两种情况： ① ，即 ，三角形为等腰三角形； ② ，即​，​，三角形为直角三角形. 因此三角形不一定是等腰三角形，D错误. 10. 如图，在棱长均为的平行六面体中，底面是正方形，且，设，，，下列选项正确的是（ ） A. B. 长为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A，通过向量表示即可. B，在A的基础上利用数量积求模. C，利用数量积求夹角余弦值. D，通过距离确定球心位置和半径后，通过等体积法求出截面半径以及面积. 【详解】选项A，，所以，正确. 选项B，， 所以，错误. 选项C，，且， 所以，正确. 选项D，因为，，所以为等腰直角三角形. 取中点，因为，所以该外接球是以为球心，. 对于锥体的体积， 因为投影落在上，所以， 所以到面的距离. 因为， 所以，解得. 所以截面半径， 所以，正确. 11. 设函数，则（ ） A. 若，则的值域为 B. 时，存在极大值点 C. 若 ，都有，则实数的取值范围为 D. 若函数存在零点，且满足，则实数的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】A.利用单调性求解最值，从而得到值域；B.利用导数判断单调性，从而得出不存在极大值点；C. 若 ，都有转化为求解；D.分析可知原题意等价于在内有解，结合导数分析函数单调性和最值即可. 【详解】对于 A.当 时，, , 当 时， ，因此 在 上单调递增, 因,则的值域为 ，故A 正确; 对于 B. ,, 由，解得, 当 时，，在上 单调递减, 当 时，，在上 单调递增, 即 在内不存在极大值点，故在区间 内也不存在极大值点，即B错误; 对于 C.由 B 知，当 时， 在 单调递减， 单调递增, 所以， 因为 ，都有，则，所以， 因为，所以，则 ，即 ， 所以，即实数的取值范围是，故C错误； 对于D.令， 则，即， 因为，即， 且，则，可得， 原题等价于在内有解， 令，， 则， 可知在内单调递增，则； 令，， 则， 可知在内单调递增，则； 可得， 所以实数的取值范围为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点是角的终边上一点，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由三角函数的定义可得，， 所以. 13. 若函数的定义域为，且为奇函数，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】令，利用函数的奇偶性，运用换元法得出是周期为4的周期函数，再根据奇函数，得出，结合已知条件求出，最后利用函数的周期性求解． 【详解】令，则为奇函数，故， 即，故， 令，则， 又， 则， 故，即， 则，故是周期为4的周期函数； 由为奇函数，则， 故，解得， 由得， ， 故． 14. 已知是幂函数，且，若，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】通过幂函数的一般形式求出和，并利用单调性求解不等式. 【详解】设，因为，所以，解得，. 又因为，所以. 解，即， 设，，那么，因为，单调递增， 又因为，所以时，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数，关于的不等式（为常数）的解集为. （1）若，求实数的值； （2）当时， 恒成立，试求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将问题转化为的两根分别为，利用韦达定理即可； （2）利用韦达定理得出，，再结合一元二次函数的性质求参即可. 【小问1详解】 时，的解集为， 则的两根分别为， 故，，得. 【小问2详解】 因为的两根分别为， 所以，，得，，则， 因为当时，恒成立， 所以对恒成立， 则且，得， 故的取值范围为. 16. 在如图所示的平面图形中，，，，与交于点，为的中点，设. （1）求； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先在中用余弦定理算出，再对使用正弦定理，代入与直接解出； （2）先由同角平方关系求出，再结合三角形内角和得到，利用两角差正弦公式与正弦定理求出，最后由面积公式算出面积． 【小问1详解】 在中，，，， 由， 得， 由， 得． 【小问2详解】 由（1）知，所以， 在中，，， 由， 得， 所以． 17. 已知函数. （1）时，求的值域； （2）若，，求的值； （3）设，求在上的最值. 【答案】（1） （2） （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式和倍角公式化简，结合三角函数求值域； （2）利用同角关系以及两角和差的正弦公式求出； （3）化简函数表达式结合导函数判断单调性即可. 【小问1详解】 ，的值域为 【小问2详解】 因为，所以， ，， = 【小问3详解】 ， 则， ， 则，且时，时， 故当时，单调递增； 当时，单调递减； 因为，，， 故在上的最大值为，最小值为 18. 四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面. （1）证明：； （2）若，且三棱锥的体积为，点在线段上，若平面与平面所成的二面角的正弦值为，求的长. 【答案】（1）由题意知为等边三角形，则，所以， 又四边形为梯形，，则， 在中，，， 由， 得，解得， 所以，即， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）先由梯形边长与角度判定为等边三角形，用余弦定理算出，借助勾股逆定理证，再结合面面垂直性质定理推出平面，最终得线线垂直； （2）取中点，利用等腰与面面垂直条件以为原点建空间直角坐标系，由棱锥体积求出高；设表示坐标，分别求出两平面法向量，结合二面角正弦值算出余弦绝对值，列方程解出，最后乘长度得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点为， 因为，且为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面， 连接，则，且平面，故， 综上，，，两两垂直， 以为原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系. 所以，，，， 由 ， 即，解得， 则， 设 ，所以 所以 ，，，， 若是平面的一个法向量， 则， 取，则，则 . 若是平面的一个法向量， 则， 取，则，，则， 所以， 因为，解得，故， 所以． 19. 已知函数，. （1）若过点且同时与曲线，曲线都相切的直线有两条，求点的坐标； （2）若，有两个不同的零点，且，求的取值范围； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设出两切点坐标，利用导数的几何意义分别求出切线方程，对照系数列方程求得的值，再由到切线方程联立即可求得的坐标； （2）将函数求导根据的取值分类讨论，判断函数单调性和图象趋势，依题只需使，通过构造函数，求导判断即可得到且，设，结合条件根据的取值分类讨论不等式成立的条件，即可求得的范围； （3）将题设不等式同构成，设函数，判断并利用其单调性，推得，求导求解的最大值即得的范围. 【小问1详解】 ，， 设公切线与两函数的切点分别为， 由求导得，斜率， 则在点处的切线方程为， 由求导得，斜率， 则在点处的切线方程为， 依题意，得，解得或， 故切线方程有和， 联立，解得， 即交点为. 【小问2详解】 函数的定义域为， 求导得， 当时，，在上单调递增，至多只有一个零点，舍去； 当时，若，则，在上单调递减； 若，则，在上单调递增； 又当时，，当时，； 因为有两个不同的零点，则， 即， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则， 又，则且， 不妨设，则有两个零点， 又， ① 当时，则，因为，， 所以，即，即， ，即，， ② 当时，，因为，， 所以，即，即，需使， 即，， 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 因为，， 所以转化为， 即， 即， 令，则上式可写成， 因为，所以在上单调递增， 故， 即， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故， 则，解得， 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期期末考试 高二数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 2026年6月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知命题:，，则该命题的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的增区间是 C. 函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象 D. 图象的一个对称中心是 5. 已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义在上的偶函数，且，有.设 ，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 记的内角的对边分别为，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 已知某扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为 B. C. 的值域为 D. 中，，则是等腰三角形 10. 如图，在棱长均为的平行六面体中，底面是正方形，且，设，，，下列选项正确的是（ ） A. B. 长为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为 11. 设函数，则（ ） A. 若，则的值域为 B. 时，存在极大值点 C. 若 ，都有，则实数的取值范围为 D. 若函数存在零点，且满足，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点是角的终边上一点，则______. 13. 若函数的定义域为，且为奇函数，，则______． 14. 已知是幂函数，且，若，则不等式的解集为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数，关于的不等式（为常数）的解集为. （1）若，求实数的值； （2）当时， 恒成立，试求的取值范围. 16. 在如图所示的平面图形中，，，，与交于点，为的中点，设. （1）求； （2）求的面积. 17. 已知函数. （1）时，求的值域； （2）若，，求的值； （3）设，求在上的最值. 18. 四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面. （1）证明：； （2）若，且三棱锥的体积为，点在线段上，若平面与平面所成的二面角的正弦值为，求的长. 19. 已知函数，. （1）若过点且同时与曲线，曲线都相切的直线有两条，求点的坐标； （2）若，有两个不同的零点，且，求的取值范围； （3）若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $