2025-2026学年北师大版八年级下册数学期中模拟卷（二）

北师大版2025-2026学年度八年级下学期期中模拟卷（一） (解析版) (考试时间：90分钟试卷满分：120分) 注意事项 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：第一章~第五章 5.难度系数：0.65。 一、单选题（每题3分，共计30分） 1.下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是() 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个 图形就叫做轴对称图形：中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形 能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.根据轴对称图形 和中心对称图形的定义进行逐一判断即可. 【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意： B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意； C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意： D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意 [2-x≥3 2.不等式组 2xr+3 2x+ 16的解集在数轴上表示为（) 3 2 A. 4-0 B234 54-20 D254 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】先分别解出不等式，再把它的解集在数轴上表示即可判断. 2-x≥3① 【详解】解：解不等式组 16 2x+3、 2x+ 3② 3 解不等式①得x≤-1 解不等式②得x≤-5， 故不等式组的解集为x≤-5， 只有选项C符合题意， 3.下列从左到右的变形中是因式分解的是() A.(x+2)(x-2)=x2-4 B.x2+2x-3=(x+3)(x-1) C.x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x D.x2+4+4=x(x+4)+4 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，根据定义对各 选项逐一判断即可. 【详解】解：根据因式分解的定义，变形结果需为几个整式乘积的形式， 选项A是整式乘法，结果是多项式和的形式，不是整式乘积的形式，A错误： :选项B将多项式x2+2x-3化为两个整式(x+3)与(x-1)的乘积，符合因式分解的定义，.B正确： 选项C的结果是整式乘积加多项式，不是几个整式乘积的形式，.C错误； :选项D的结果是整式乘积加常数，不是几个整式乘积的形式，∴D错误： 故选：B. 4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,DB=90°，AD=3,BC=9,∠BCD=45°，点E为CD中点， 连接AE,并延长交BC的延长线于点F,则线段AF的长度为() A D A.10 B.63 C.12 D.65 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、利用二次根式的性质化简、全等的 性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 【分析】首先利用平行线的性质和中点条件证明△ADE≌△FCE,从而得出CF=AD=3,进而求出BF 的长：其次通过作辅助线构造直角三角形，利用∠BCD=45°求出梯形的高AB,最后在Rt△ABF中利用 勾股定理计算AF的长度即可. 【详解】解：：AD∥BC, .∠D=∠ECF, :点E为CD中点， .DE=CE, 在△ADE和△FCE中， ∠D=∠ECF DE=CE ∠AED=∠FEC .△ADE≌△FCE(ASA), AD=3, .CF=AD=3, ∴.BF=BC+CF=9+3=12, 过点D作DG⊥BC于点G, D :∠B=90°，AD∥BC, G ∠BAD=90°， ∴.∠BAD=∠B=∠BGD=90, .四边形ABGD是矩形， ∴AB=DG,BG=AD=3, BC=9, .GC=BC-BG=9-3=6, 在RtADGC中，∠DGC=90°，∠GCD=45°， ∴.DG=GC=6, .AB=6 在Rt△ABF中，DB=90°， :AF=√AB2+BF2=V62+122=36+14=√180=65. 5.如图，函数=与y=k+b的图象交于点Pm1),不等式+b>子的解集是（) 1 VA v=kx+b A.x<2 B.x>-2 C.x≥2 D.x≤-2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】先把点P的坐标代入正比例函数解析式求出的值，确定交点坐标，再根据函数图象在交点右 侧时y=a+b的图象在y=- x的上方即可得出答案： 1 【详解】解：·函数y=-x x过点P(m,1), 2 ∴.1=- %, 1 解得m=-2, .交点P的坐标为(-2,1)， 1 由图象可知，当x>-2时，函数y=k+b的图象在函数y=-一x的图象上方， 不等式+b>-1 x的解集是x>-2. 2 x>1 6.关于x的分式方程-2+6 =-3的解为正数，且关于x的不等式组 atxzx- 7有解，则满足上 4-xx-4 2 2 述条件的所有整数a的绝对值之和为() A.14 B.16 C.18 D.21 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】先解分式方程，根据解为正数且不为增根得到α的取值范围，再解不等式组，根据不等式组有 解得到α的另一范围，找出范围内所有整数a,计算它们的绝对值之和即可. 【详解】解分式方程：-2+6 =-3 4-xx-4 方程两边同乘(x-4)得： (ax-2)+6=-3(x-4) 整理得：(3-a)x=4 解得：x=、4 3-a ,分式方程的解为正数，且x≠4(x=4时分母为0，是增根) 4>0且，4≠4 3- 3-a .a<3且a≠2 解不等式组： x>1 {a+x、 7 2≥x2 解第二个不等式得：a+x≥2x-7,即x≤a+7 ,不等式组有解，即两个不等式存在公共解 .a+7>1,解得a>-6 综上，a的取值范围是-6<a<3且a≠2，范围内的整数a为：-5，-4，-3，-2，-1,0,1 计算绝对值之和：5+4+-3+川-2+-1+0+1=5+4+3+2+1+0+1=16 故选B 7.如图，在Rt△ADC中，CD⊥AC,AD=3,DC=2,AC绕点A摆动到AB的位置，取AB的中点E, 连接BD、CE,求AC绕点A摆动的过程中，下列结论正确的是() E B A.AE=3 B.CB的最小值为多 2 C.BD+CB的最小值为3- 2 D.BD+CE的最小值为 2 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、用勾股定理解三角形、利用二次根式的性质化简、根据旋转 的性质求解 【分析】首先根据勾股定理求出AC的长，进而得到AB和AE的长，判断选项A;取AC的中点M,连 接BM,DM,证明△ABM≌△ACE,可得CE=BM,从而将求BD+CE的最小值转化为求BD+BM的 最小值，根据两点之间线段最短可知当D,B,M三点共线时和最小，最小值为DM的长，进而判断选项C、 D:根据CE=BM,利用当A,B,M三点共线且B在AM延长线上时，BM取得最小值，进而判断B. 【详解】解：在Rt△ADC中，CD L AC,AD=3,DC=2, .AC=VAD2-DC2=V32-22=V5, ,AC绕点A摆动到AB, AB=AC=√5， :E为AB的中点， A加B- 故选项A错误： 2 如图，取AC的中点M,连接BM,DM, E M B AM=CM=1 2, .AM=AF, 在△ABM和△ACE中， AB=AC ∠BAM=∠CAE, AM=AE .△ABM≌△ACE(SAS), .BM=CE, .BD+CE=BD+BM≥DM, .当D,B,M三点共线时和最小，最小值为DM的长， 一BD+CE的最小值为2I 故选项C错误，选项D正确； .BM=CE, 当BM取得最小值时，CE取得最小值， ,当A,B,M三点共线且B在AM延长线上时，BM取得最小值，此时点B与点C重合，即此时 BM=CM= √5 一CB的最小值为 ,故选项B错误。 8.如图，△ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB上一点，DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F,AC=4, M是EF的中点，则CM最小值是() B A.√2 B.4 C.22 D.2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、二次根式的混合运算、等腰三角形 的定义 【分析】先由矩形的判定定理推知四边形DECF是矩形：连接DC,则DC=EF 即DC最短，只需DC⊥AB即可：然后根据三角形的等积转换即可求得DC的值. 【详解】解：连接DC. D DE⊥AC,DF⊥BC, .∠DEC=∠DFC=90°： 又.'∠ACB=90°， .四边形ECFD是矩形， .EF=DC, ,M是EF的中点， ∴M也是DC的中点， 1 ∴.CM=二CD, 2 .当DC最小时，EF也最小， 即当CD⊥AB时，DC最小， .AC=BC=4, .AB=√42+42=4V2, 48三=AgD三， .DC=2v2. 线段EF长的最小值为2√2，即CM最小值是√2. a-b(ab≥0) 9.定义一种新运算，心b= a+b(ab<0) ①若2=3，则x=1或x=5: ②若x-1p2≥3，则x≥6： 所以要使CM最小， ③若(x-1)(x-3)<0,则(x-4)P(3x-2+4x+8的最小值为14： 以上说法正确的有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】B 【难度】0.35 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、求不等式组的解集、整式的加减运算、不等式的性质 【分析】根据新运算中乘积的正负选择对应规则，分情况讨论逐一验证三个结论，结合不等式和绝对值 性质计算. 【详解】解：①：x>2=3,分情况讨论： 当2x≥0，即x≥0时，得x-2=3,解得x=5,符合条件： 当2x<0,即x<0时，得x+2=3,解得x=1,不符合x<0,舍去； 仅x=5,结论①错误： ②x-1≥0， .2x-1≥0，符合ab≥0， 得x-1-2≥3，即x-1≥5， 解得x≥6或x≤-4，结论②漏解，错误； ③由(x-1)(x-3)<0,得x-1与x-3异号，且x-1>x-3, 「x-1>0 x-3<0' 解得1<x<3, 1<x<3时，x-4<0,3x-2>3x1-2=1>0, .(x-4)(3x-2)<0,符合ab<0, .(x-4)>(3x-2)=(x-4)+(3x-2)=4x-6, 原式为4x-6+4x+8, 1<x<3, .4x+8>0,即4x+8=4x+8, 分情况化简： 当1<x≤1.5时，4x-6=6-4x,原式=6-4x+4x+8=14: 当1.5<x<3时，4x-6=4x-6,原式=4x-6+4x+8=8x+2>8×1.5+2=14: .原式最小值为14，结论③正确： 综上，仅1个结论正确. 10.如图，△ABC是等边三角形，边长为2，点D为边BC的中点，点E为边AB上的一动点，连接DE, 将DE绕点D顺时针旋转60°，得到DF,连接CF,则CF的最小值为() A.5 B.3 C.1 1 2 D.2 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、根据旋转的性质 求解 【分析】先取AB中点G,连接DG,CG,GF,再根据三角形的中位线定理和等边三角形的性质，得 出△BDG为等边三角形，再结合旋转的性质，得出△BDE≌△GDF(SAS,进一步得出GF∥BC, ∠BCG=∠FGC=30°，根据垂线段最短，过点C作GF的垂线，交点即为最小值处，最后根据含30°角的 直角三角形的性质和勾股定理，即可解答， 【详解】解：如图，取AB中点G,连接DG,CG,GF, E G F:.BG=LAB. 2 D ,D为BC的中点，即DG为△ABC的中位线， ∴BD=号BC,DG/IAC且DG=AC」 :△ABC是等边三角形，且点G为AB中点， :AB=BC=AC=2,∠B=∠ACB=60°，∠BCG=∠ACB=30°，CG1AB, .BG=BD=DG:BG=4B=1, :.△BDG为等边三角形， ∴.∠BDG=60°. 由旋转得，DE=DF,EDF=60°， .∠BDG=∠EDF, .∠BDE=∠BDG+∠EDG=∠EDF+∠EDG=∠GDF. 在△BDE与△GDF中， BD=DG ∠BDE=∠GDF, ED=DF ∴.△BDE≌AGDF(SAS), ∴.∠DGF=∠B=60°. 又：∠BDG=60°， ∴.∠BDG=∠DGF, .GF∥BC, .∠BCG=∠FGC=30°. 过点C作GF的垂线，交点即为所求，此时CF取得最小值， :.cr-1cG. 2 在RtABCG中，CG=√BC2-BG=√22-1P=V3, 2 二、填空题（每题3分，共计15分） G(a,1)<2 11.对于x、y定义了一种新运算G,规定G(x,y)=x+3y,若关于a的不等式组 G(2,a)p恰好有2 个整数解，则实数P的取值范围是 【答案】-10<P≤-7 【难度】0.4 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】先根据新定义化简关于a的不等式，根据不等式组有2个整数解，得出-4<P,2≤-3，进而解 3 不等式组，即可求解 【详解】解：G(xy)=x+3y, G(a,1)<2 a+3<2① ∴.关于a的不等式组 G(2,a)≥p,即 2+3a≥P②' 解不等式①得：a<-1, 解不等式②得：a≥P-2 3 ,不等式组有2个整数解， ∴.整数解为-3，-2， -4<P,2≤-3， 3 解得：-10<P≤-7. 12.如图，△ABC中，AB=AC,∠BAC=40°，D为BC的中点，P在AD上，点M在AB上，PM‖AC, 将线段PM绕着点P旋转，使点M落在射线AC上点N处，则∠ANP=· M 【答案】140°或40° 【难度】0.4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、用HL证全等(H亚)、角平分线的性质定理 【分析】满足条件的N点有M、N,两个.①当PM=PN时，根据等腰三角形三线合一的性质可得 ∠BAP=∠CAP=20°，作PE⊥AB于E点，PF⊥AC于F点，根据角平分线的性质可得PE=PF,再根 据HL可得Rt△PEM≌Rt△PFN,进而可得∠PME=∠PNF,由平行线的性质及三角形外角的性质可得 ∠PME=40°，从而可得∠PNF=40°，进而可得∠ANP=140°.②当PM=PN2时，结合PM=PN可得 PN,=PN,进而可得∠ANP=∠PNN2=40°，从而可得解. 【详解】解：根据旋转的性质可得PM=PN.如图，满足条件的N点有N、N,两个， N2 B (图1) ①当PM=PN时， ,△ABC中，AB=AC,∠BAC=40°，D为BC的中点， ∴.AD是∠BAC的平分线， ∠BAP=∠C4P=1∠BAC=20, 2 作PE⊥AB于E点，PF⊥AC于F点， 则PE=PF,∠PEM=∠PFN=90°， 又PM=PN, ∴.RtaPEM≌RtAPFN(HL), ∴.∠PME=∠PNF, PM AC, ∴.∠APM=∠PAN=20°， ,∠PME=∠PAM+∠APM=20°+20°=40°， ∴.∠PNF=40°， ∴.∠ANP=180°-40°=140°. ②当PM=PN,时，如图， M N2 B D .PM=PN, ∴.PN2=PN, ∴.∠AN,P=∠PNN,=40°. 综上，∠AWP为140°或40°. 13.我省特种钢技术全国领先，某企业生产A,B两种规格的手撕钢成品.已知生产1tB规格手撕钢所用 的时间是生产1tA规格手撕钢所用时间的1.5倍，该企业用80h生产A规格手撕钢的数量比用90h生产B 规格手撕钢的数量多2t.设该企业生产1tA规格的手撕钢需要h,则根据题意，可列方程为 【答案】 8090 =2 x1.5x 【难度】0.73 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】设该企业生产1tA规格的手撕钢需要xh,则生产1tB规格的手撕钢需要1.5h,根据该企业用80h 生产A规格手撕钢的数量比用90h生产B规格手撕钢的数量多2t,建立分式方程即可. 【详解】解：设该企业生产1tA规格的手撕钢需要h,则生产1tB规格的手撕钢需要1.5h, 根据题意，得80.90 =2 x1.5x x+2>4 14.关于x的不等式组 3-m)s2-m 的解集中任意一个x的值均不在2≤x≤4的范围内，则m的取值 范围是 【答案】m≥2或m≤0 【难度】0.65 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求不等式组的解集 【分析】先解不等式组，得到解集为4-2m<x<6-2m,根据题意，解集中任意x均不在2≤x≤4范围内， 则有6-2m≤2或4-2m≥4，求解得到m的取值范围. x+2L>4 【详解】解：解不等式组 得4-2m<x<6-2m, 】3(xm)<2-2 ,解集中任意x的值均不在2≤x≤4范围内， ∴.6-2m≤2或4-2m≥4， 解得≥2或≤0， 因此，m的取值范围是≤0或m≥2. 15.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将函数y=2x+b(b为常数)的图象位于x轴下方的部分沿x 轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y=2x+b(b为常数)的图象.若函数y=2x+b(b为常数)与 直线y=2有交点A、B,现给出以下结论，其中正确结论的序号是 ①△AOB的面积总为2； ②若函数y=2x+b(b为常数)图象在直线y=2下方的点的横坐标x满足0<x<3,则b的取值范围为 -4≤b≤-2； ③若b-4,则号x>2x+b的解集为<<3； ④当b=-3,若正比例函数y=(k≠0)与y=2x+b(b为常数)的图象只有一个公共点，则k>2. 【答案】①②③ 【难度】0.4 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】画出草图，再根据选项逐一解答进行排除即可. 【详解】①：如图， 1V=-2x-b y=2x+b -y=2 B 由题意可知，当y=0时，点c(台0 当y=2时，由y=-2x-b得，2=-2x-b,解得：x=-b+2 2 由y=2+b得，2=2x+b,解得：x=2-b 2 则a=月-(2头 S.40B= 4x2 2x2x2=2, 故①正确： ②：自@得，yx4与y=2图像交点为(2 当y<2时，总有0<x<3, b+2 ≥0 2 ,解得：4≤b≤-2， 2-b ≤3 2 故②正确： ③：当64时、则子+如图. y=-2x+4 y=2x-4 233 y=5x2 由x=-2x+4,解得：X=3 2 由亏=2x-4,解得：x=3, ∴解集为： 3 <x<3, 故③正确； ④：如图， y个 y=-2x+3 y=2x-3 O y=kx 当y=x与y=2x+b的图象只有一个公共点时，k>2或k<-2,故④不正确： 故选：①②③. 【点睛】此题考查一次函数的图象及其性质，解题的关键是结合图象进行分析， 三、解答题（共计75分） 16.解下列各题： (1)解不等式： +2<1-2-3x 5 2x-7<3(x-1) (2)解不等式组： 3+3≥12、 3 (3)因式分解：m2(a-2)+(2-a: (4)因式分解：（x2+9)-36x2. 【答案】(1)x>4 (2)x≥-1 (3)(a-2)(L-1)(m+1) (4)(x+3)2(x-32 【难度】0.69 【知识点】求不等式组的解集、综合运用公式法分解因式、求一元一次不等式的解集、 公式法分解因式 【分析】(1)去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，即可求解； (2)分别求出两个不等式的解集，即可求解： (3)先提出公因式，再利用平方差公式解答，即可求解： (4)利用平方差公式以及完全平方公式解答，即可求解. 【详解】(1)解：+2<1-2-3x 2 5 去分母得：5(x+2)<10-2(2-3x), 去括号得：5x+10<10-4+6x, 移项合并同类项得：-x<-4, 解得：x>4; 2x-7<3(x-1)① (2)解： 3+321-名g’ 4 3 解不等式①得：x>-4, 解不等式②得：x≥-1， 所以原不等式组的解集为x≥-1； (3)解：m(a-2)+(2-a =(a-2)(m2-1 =(a-2)(-1)(m+1) (4)解：（x2+9)-36x2 =(x2+9+6x)(x2+9-6x =(x+3)2(x-3)2 17.解方程： 34 x- 综合提公因式和 因2*3 x-2 【答案】(1) x=4 (2) 原分式方程无解 【难度】0.66 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】(1)先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程，再检验即可： (2)先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程，再检验所得值是否使原方程分母不为0，若 使分母为0则为增根，原方程无解， 解题的关键在于正确掌握解分式方程步骤，以及注意检验所得值是否是方程的解， 【详解】(1)解： 34 x-1 x 3x=4(x-1) 10 3x=4x-4 x=4, 检验：当x=4时，x(x-1)=4×3=12≠0， 因此原分式方程的解为x=4: (2)解： 1+3=X-1 x-2x-2 1+3(x-2)=x-1 1+3x-6=x-1 2x=4 x=2, 检验：当x=2时，x-2=0, 因此x=2是增根，原分式方程无解. 18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点的坐标分别为A(1,4),B(1,1),C(3,1) 5 4 3 3/ B 5-43219 2 -5-4-3-2-19 12345x -4 D -4 5 图1 图2 (I)如图1，若△ABC和△DEF关于点M成中心对称，点A,B,C的对应点分别是D,E,F,则对称中心 点M的坐标为 (2)请在图2中作△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到的△AB,C,点A,B,C的对应点分别为A,B1 C. (3)在（2)的条件下，将△ABC先向下平移5个单位长度，再向右平移2个单位长度得到△A,B,C,点A, B,,C的对应点分别为A,B,,C,请在图2中画出△A,B,C,并直接写出点C的坐标. 【答案】(1)(2,0) (2)作图见详解 (3)作图见详解，(1，-2) 【难度】0.7 【知识点】平移（作图）、画旋转图形、由平移方式确定点的坐标、判断中心对称图形的对称中心 【分析】(1)连接AD,BE,CF,交点即为对称中心M (2)根据网格结构找出点A、B、C关于点O逆时针旋转90°后的对应点A,B,C的位置，然后顺次 连接即可； (3)根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A,B,,C,的位置，然后顺次连接即可，从而求得 点C的坐标. 【详解】(1)解：如图，连接AD,BE,CF,得到对称中心M的坐标为(2，O). 5 4 3 2 B 5-4 -3-2-10 2 3 4 5 (2)解：如图，△ABC,即为所作 11 4 2 3-2 (3)解：如图，△A,B,C,即为所作.点C,的坐标为(1，-2) 19.每年的农历五月初五是端午节，主要有赛龙舟、吃粽子和挂艾草等习俗.某食品店生产粽子礼盒， 每个礼盒内含6个牛角粽和4个三角粽，已知：包制一个牛角粽需1片粽叶，包制一个三角粽需2片粽 叶，每捆粽叶固定为30片，且单捆粽叶仅用于包制同一种粽子 (1)现有21捆粽叶，全部用于包制牛角粽和三角粽（无剩余），为使包制出的粽子恰好组成完整礼盒，求 需用多少捆粽叶包制牛角粽： (2)为了节省资源，食品店改为零售单颗粽子.已知一个三角粽比一个牛角粽贵3元，小宇在此食品店花 200元购买牛角粽的个数比花240元购买三角粽的个数多10个， ①求购买一个牛角粽和一个三角粽各需多少元： ②考前吃粽子有“一举高粽'的寓意，学校食堂决定在此食品店购买600个粽子为毕业生送上考前祝福，总 费用不超过340元，且三角粽的个数不少于牛角粽个数的}.此食品店推出优惠活动：三角粽按原告价 打八五折出售.问有多少种购买方案？并求出所花资金的最小值。 【答案】(1)9捆 (2)①购买一个牛角粽需5元，购买一个三角粽需8元；②共有5种购买方案，所花资金的最小值为3432 元 【难度】0.56 【知识点】分式方程的经济问题、解分式方程（化为一元二次）、销售盈亏（一元一次方程的应用）、不等 式组的方案选择问题 【分析】(1)设需用x捆粽叶包制牛角粽，则用(21-x)捆粽叶包制三角粽，由题意列出关于x的一元 次方程，求出x的值即可： (2)①设购买一个牛角粽需y元，则购买一个三角粽需(y+3)元，由题意列出分式方程，求出y的值， 并检验是否符合题意即可： 5a+8.0.85(600-a)≤3440 ②设购买α个牛角粽，则购买(600-a)个三角粽，由题意得 2 ,求出 600-a≥3a 355.6≤a≤360，再根据a为整数，得到a可以为356、357、358、359、360，共有5种购买方案，设购 买总费用为W,则W=5a+8×0.85(600-a)=-1.8a+4080,根据一次函数的性质求解即可. 【详解】(1)解：设需用x捆粽叶包制牛角粽，则用(21-x)捆粽叶包制三角粽， 30. 30 由题意得4x=6.(21-x), 1 2 解得x=9, 答：需用9捆粽叶包制牛角粽. (2)①解：设购买一个牛角粽需y元，则购买一个三角粽需(y+3)元， 由题意得200=240 +10, y v+3 .y2+7y-60=0, (y+12)(y-5)=0 4=-12(舍去) 解得 y2=5 经检验，y=5是原方程的解，且符合题意， .5+3=8(元) 答：购买一个牛角粽需5元，购买一个三角粽需8元. ②解：设购买a个牛角粽，则购买(600-a)个三角粽， 5a+8.0.85(600-a)s3440 由题意得 2 600-a230 3 3200 a>- ≈355.6 解得： 9 a≤360 ∴.355.6≤a≤360， ,a为整数， .a可以为356、357、358、359、360 ∴.共有5种购买方案 设购买总费用为W,则W=5a+8×0.85(600-a=-1.8a+4080, .-1.8<0,则w随a的增大而减小， ∴.当a=360时，W取得最小值，最小值为-1.8×360+4080=3432， 答：共有5种购买方案，所花资金的最小值为3432元. 20.如图，在△ABC中，AC=BC,△ACE和△BCD是等边三角形，AE与BD相交于点F,连接CF并 交AB于点G.求证： (1)FA=FB; (2)点G为AB的中点. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【难度】0.73 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、等腰三角形的性质和判定、三线合一、等边三角形的性质 【分析】(1)利用等腰三角形的性质，等边三角形的性质结合角的和差关系可推出∠FAB=∠FBA,从而证 得结论： (2)先证明△ACF≌△BCF(SAS),得到∠ACF=∠BCF,再由已知条件推出AG=BG,即可得证： 【详解】(1)证明：，AC=BC, ∴.∠CAB=∠CBA, .'△ACE和△BCD是等边三角形，AE与BD相交于点F, ∴.∠CAF=∠CBF=60°， ∴∠CAF-∠CAB=∠CBF-∠CBA, ∴.∠FAB=∠FBA, .'FA=FB. (2)证明：由(1)得∠CAF=∠CBF=60°，FA=FB, 在△ACF和△BCF中， AC=BC ∠CAF=∠CBF, FA=FB ∴.△ACF≌ABCF(SAS), ∴.∠ACF=∠BCF, .CF平分∠ACB交AB于点G, .AC=BC, ∴.AG=BG, .点G是AB的中点. 21.【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①(x+2)(x+3)=x2+5x+6: ②(x-4)(x+1)=x2-3x-4: ③(y-5)y-3)=y2-8y+15. 通过以上计算发现： 形如(x+p)(x+q)的两个多项式相乘，其结果一定为x+(p+q)x+pg(p,q为整数)， 即(x+p)(x+q)=x2+(D+q)x+pg(p,q为整数). 反之，x2+(p+q)x+P9=(x+P)(x+q)(p,q为整数). 13 由于因式分解与整式乘法是方向相反的变形，所以形如x2+(p+q)x+pq(p、q为整数)的多项式， 因式分解成(x+p)(x+q).例如：x2+3x+2=x2+(1+2)x+1×2=(x+(x+) 【初步应用】(1)用上面的方法分解因式：x2+6x+8=_-: 【类比应用】(2)规律应用：若x2+mx+6可用以上方法进行因式分解，则整数的所有可能值是_： 【拓展应用】(3)分解因式：(x2-3x)-2(2-3x）-8. 【答案】(1)(x+4)(x+2):(2)5或7或-5或-7（3)(x-4)(x+1)(x-2)x-1) 【难度】0.65 【知识点】因式分解的应用、十字相乘法 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式： (1)按照已知条件中方法进行分解因式即可： (2)先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出的值即可： (3)按照已知条件中的方法，进行两次因式分解解答即可. 【详解】(1)解：x2+6x+8=x2+(4+2)x+4x2=(x+4)(x+2), 故答案为：（x+4)(x+2)； (2)解：x2+x+6=x2+(1+6)x+1×6,此时m=1+6=7: x2+x+6=x2+（-1-6)x+(-1)×(-6),此时m=-1-6=-7: x2+x+6=x2+(2+3)x+2×3,此时m=2+3=5: x2+x+6=x2+(-2-3)x+(-2)×(-3),此时m=-2-3=-5: 则整数m的所有可能值是5或7或-5或-7. (3)解：(（x2-3x)-2(x2-3x)-8 =(x2-3x)/+[(-4)+2]2-3x)+(-4)×2 =(x2-3x-4)(x2-3x+2） =(x-4)(x+1)(x-2)(x-1) 22.探究函数y=x-1的图像与性质， 小天根据学习一次函数的经验，对函数y=x-1的图像与性质进行了探究.下面是小天的探究过程，请 补充完整： 第一步：y=x-的自变量x的取值范围是全体实数； 第二步：x与y的几组对应值： 0 2 0 ()第三步：建立平面直角坐标系xO少，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图像： 4 3 2 -5-4-3-2-1012345x 2 --------1 4 (2)第四步：观察y=x-1的函数图像，得出了如下几条结论： ①当x= 时，函数有最小值为 ②当 时（填写自变量取值范围），y随x的增大而增大：当 时（填写自变量取值范围）， y随x的增大而减少： ③图像关于过点 且垂直于x轴的直线对称； ④若直线y=瓜-与y=-的图保只有一个交点，则灰的取值范图是 【答案】(1)见解析 （a01:0:②1，r<1:@00:④=或k≥1或<-1 14 【难度】0.4 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、判断一次函数的增减性 【分析】(1)根据表格中的数据可以画出相应的函数图像： (2)①根据图像即可求得最小值，②根据题目中的函数解析式及图像，可知x的取值范围；③函数图像 即可求得点的坐标：④根据函数图像的特征即可求解， 【详解】(1)描点，并画出函数y=x-1的图像如下： -5-4-3-2-1Q112345x 3 4 (2)①由图可知，当x=1时，函数有最小值y=x-1=0, 故答案为1,0： ②由图可知，当x>1时，y随x的增大而增大，当x<1时（填写自变量取值范围），y随x的增大而减少， 故答案为x>1x<1; ③由图像可知，图像关于x=1成轴对称， ∴图像关于过点(1,0)且垂直于x轴的直线对称， 故答案为(1,0)； ④：y=k-= x-1(x>1) 1-x(x<1) 当=1时，西数=与)yl-(<半行，当k=1时，题数=低与=(x>)平行。 2 :当≥1或k<1时，函数y-瓜与-水-有一个交点， 另外当函数=尔过点0)时，有0=女号即女号时、函数=瓜号与=小k-有一个交点， 故答案为k=二或k≥1或k<-1. 2 【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图像，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图 像，利用数形结合的思想解答， 23.综合与实践 在几何图形变换探究活动中，同学们以两个等腰直角三角形为研究对象开展实践探索.己知在△ABC和 △ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，且AB=AC,AD=AE.如图1，同学们连接BD、CE,通过观察、 测量，初步发现线段BD与CE的长度相等.为进一步探究图形变换中线段的数量关系，各小组围绕图形 旋转展开深度探讨与论证，请你参与并完成下列探究任务， B 图1 图2 图3 备用图 (I)初步探究，博学小组提出：保持△ABC位置不变，将△ADE绕着点A逆时针旋转至图2的位置，连接BD、 CE,此时线段BD和CE相等吗？请给出判断并说明理由. (2)深入探究，逻辑先锋组继续探究：将图2中的△ADE继续绕点A逆时针旋转至图3的位置，连接BD、 CD、CE,当∠AEC=45°时，试探究线段BD、CD、DE之间的数量关系，并说明理由 (3)拓展应用，拓思创新组进行拓展思考：保持△ABC位置不变，将△ADE绕着点A逆时针旋转，当 ∠AEC=45°时，若AD=3,BD=12,请直接写出CD的长. 【答案】(I)BD=CE,理由见解析 (2)BD2+DE2=CD2,理由见解析 (3)92或12-32 【难度】0.4 【知识点】等边对等角、全等的性质和SA综合(SAS)、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】(1)根据SAS证明△ABD2△ACE,然后根据全等三角形的性质即可得出结论： (2)同(1)可得BD=CE,判断ACDE是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解； 5 (3)分点E不在CD上和点E在CD上两种情况讨论即可. 【详解】(1)解：BD=CE, 理由：∠BAC=∠DAE=90°， ∴.∠BAD=∠CAE, 又AB=AC,AD=AE, ∴，△ABD≌△ACE(SAS), ∴BD=CE; (2)解：BD2+DE2=CD2, 理由：同(1)可证△ABD2△ACE(SAS), ∴.BD=CE, ,'AD=AE,∠DAE=90°， ∴.∠AED=∠ADE=45°， .∠AEC=45°， ∴.∠CED=90°， ∴.CE2+DE2=CD2, ∴BD2+DE2=CD2: (3)解：，AD=AE=3,∠DAE=90°， ∴.DE=3√2， 当点E不在CD上时，如图3， B E D 图3 由(2)可知BD2+DE2=CD2, ∴CD=VBD2+DE2=9√2： 当点E在CD上时，如图， 0 E 此时CD=CE-DE=BD-DE=12-3N2, 综上，CD的长为9√2或12-3√2. 16 北师大版2025-2026学年度八年级下学期期中模拟卷（一） （解析版） （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第一章~第五章 5．难度系数：0.65。 一、单选题（每题3分，共计30分） 1．下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意； C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意． 2．不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】先分别解出不等式，再把它的解集在数轴上表示即可判断． 【详解】解：解不等式组， 解不等式得 解不等式得, 故不等式组的解集为， 只有选项C符合题意． 3．下列从左到右的变形中是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，根据定义对各选项逐一判断即可． 【详解】解：根据因式分解的定义，变形结果需为几个整式乘积的形式， 选项是整式乘法，结果是多项式和的形式，不是整式乘积的形式，错误； 选项将多项式化为两个整式与的乘积，符合因式分解的定义，正确； 选项的结果是整式乘积加多项式，不是几个整式乘积的形式，错误； 选项的结果是整式乘积加常数，不是几个整式乘积的形式，错误； 故选：． 4．如图，在梯形中，，，，，，点E为中点，连接，并延长交的延长线于点F，则线段的长度为（   ） A．10 B． C．12 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、利用二次根式的性质化简、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】首先利用平行线的性质和中点条件证明 ，从而得出，进而求出的长；其次通过作辅助线构造直角三角形，利用 求出梯形的高，最后在中利用勾股定理计算的长度即可． 【详解】解： ， ， 点为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在中， ， ， 在 中，， ． 5．如图，函数与的图象交于点，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】先把点的坐标代入正比例函数解析式求出的值，确定交点坐标，再根据函数图象在交点右侧时的图象在的上方即可得出答案； 【详解】解：∵函数过点， ∴， 解得， ∴交点的坐标为， 由图象可知，当时，函数的图象在函数的图象上方， ∴不等式的解集是． 6．关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组有解，则满足上述条件的所有整数的绝对值之和为（    ） A．14 B．16 C．18 D．21 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】先解分式方程，根据解为正数且不为增根得到a的取值范围，再解不等式组，根据不等式组有解得到a的另一范围，找出范围内所有整数a，计算它们的绝对值之和即可. 【详解】解分式方程： 方程两边同乘得： 整理得： 解得： ∵分式方程的解为正数，且（时分母为0，是增根） ∴且 ∴且 解不等式组： 解第二个不等式得：，即 ∵不等式组有解，即两个不等式存在公共解 ∴，解得 综上，的取值范围是且，范围内的整数为： 计算绝对值之和： 故选B. 7．如图，在中，，，，绕点摆动到的位置，取的中点，连接、，求绕点摆动的过程中，下列结论正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、利用二次根式的性质化简、根据旋转的性质求解 【分析】首先根据勾股定理求出的长，进而得到和的长，判断选项 A；取的中点，连接，，证明，可得，从而将求的最小值转化为求的最小值，根据两点之间线段最短可知当三点共线时和最小，最小值为的长，进而判断选项 C、D；根据，利用当三点共线且在延长线上时，取得最小值，进而判断B． 【详解】解：在 中，，，， ， 绕点摆动到， ， 为的中点， ，故选项 A 错误； 如图，取的中点，连接，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当三点共线时和最小，最小值为的长， ∵， ∴的最小值为，故选项C错误，选项D正确； ∵， ∴当取得最小值时，取得最小值， ∵当三点共线且在延长线上时，取得最小值，此时点与点重合，即此时， ∴的最小值为，故选项B错误． 8．如图，是等腰直角三角形，点D是斜边上一点，于点E，于点F，，M是的中点，则最小值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、二次根式的混合运算、等腰三角形的定义 【分析】先由矩形的判定定理推知四边形是矩形；连接，则，所以要使最小，即最短，只需即可；然后根据三角形的等积转换即可求得的值． 【详解】解：连接． ，， ； 又， 四边形是矩形， ， ∵M是的中点， ∴M也是的中点， ∴， 当最小时，也最小， 即当时，最小， ， ， ， ． 线段长的最小值为，即最小值是． 9．定义一种新运算， ①若，则或； ②若，则； ③若，则的最小值为14； 以上说法正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【难度】0.35 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、求不等式组的解集、整式的加减运算、不等式的性质 【分析】根据新运算中乘积的正负选择对应规则，分情况讨论逐一验证三个结论，结合不等式和绝对值性质计算． 【详解】解：① ，分情况讨论： 当，即时，得，解得，符合条件； 当，即时，得，解得，不符合，舍去； 仅，结论①错误； ②， ，符合， 得，即， 解得或，结论②漏解，错误； ③由，得与异号，且， ∴， 解得， 时，，， ，符合， ， 原式为， ， ，即， 分情况化简： 当时，，原式； 当时，，原式； 原式最小值为，结论③正确； 综上，仅1个结论正确． 10．如图，是等边三角形，边长为2，点为边的中点，点为边上的一动点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、根据旋转的性质求解 【分析】先取中点，连接，，，再根据三角形的中位线定理和等边三角形的性质，得出为等边三角形，再结合旋转的性质，得出，进一步得出，，根据垂线段最短，过点作的垂线，交点即为最小值处，最后根据含角的直角三角形的性质和勾股定理，即可解答． 【详解】解：如图，取中点，连接，，， ． 为的中点，即为的中位线， ，且． 是等边三角形，且点为中点， ，，，， ，， 为等边三角形， ． 由旋转得，，， ， ． 在与中， ， ， ． 又， ， ， ． 过点作的垂线，交点即为所求，此时取得最小值， ． 在中，， ． 二、填空题（每题3分，共计15分） 11．对于x、y定义了一种新运算G，规定，若关于a的不等式组恰好有2个整数解，则实数P的取值范围是_____． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】先根据新定义化简关于a的不等式，根据不等式组有2个整数解，得出，进而解不等式组，即可求解． 【详解】解：∵， ∴关于a的不等式组，即， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有2个整数解， ∴整数解为，， ∴， 解得：． 12．如图，中，，，D为的中点，在上，点在上，，将线段绕着点旋转，使点落在射线上点处，则_____． 【答案】或 【难度】0.4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、用HL证全等（HL）、角平分线的性质定理 【分析】满足条件的N点有、两个．①当时，根据等腰三角形三线合一的性质可得，作于E点，于F点，根据角平分线的性质可得，再根据可得，进而可得，由平行线的性质及三角形外角的性质可得，从而可得，进而可得．②当时，结合可得，进而可得，从而可得解． 【详解】解：根据旋转的性质可得．如图，满足条件的N点有、两个． ①当时， ∵中，，，D为的中点， ∴是的平分线， ∴， 作于E点，于F点， 则，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ②当时，如图， ∵， ∴， ∴． 综上，为或． 13．我省特种钢技术全国领先，某企业生产A，B两种规格的手撕钢成品．已知生产B规格手撕钢所用的时间是生产A规格手撕钢所用时间的1.5倍，该企业用生产A规格手撕钢的数量比用生产B规格手撕钢的数量多．设该企业生产A规格的手撕钢需要，则根据题意，可列方程为__________． 【答案】 【难度】0.73 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】设该企业生产A规格的手撕钢需要，则生产B规格的手撕钢需要，根据该企业用生产A规格手撕钢的数量比用生产B规格手撕钢的数量多，建立分式方程即可． 【详解】解：设该企业生产A规格的手撕钢需要，则生产B规格的手撕钢需要， 根据题意，得． 14．关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在的范围内，则m的取值范围是______． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求不等式组的解集 【分析】先解不等式组，得到解集为，根据题意，解集中任意均不在范围内，则有或，求解得到的取值范围． 【详解】解：解不等式组得， ∵解集中任意的值均不在范围内， ∴或， 解得或， 因此，的取值范围是或． 15．在平面直角坐标系中，为坐标原点，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（b为常数）的图象．若函数（为常数）与直线有交点A、B，现给出以下结论，其中正确结论的序号是_________． ①的面积总为； ②若函数（为常数）图象在直线下方的点的横坐标x满足，则b的取值范围为； ③若，则的解集为； ④当，若正比例函数与（为常数）的图象只有一个公共点，则． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】画出草图，再根据选项逐一解答进行排除即可． 【详解】：如图，    由题意可知，当时，，∴点 当时，由得，，解得：， 由得，，解得：， 则， ∴， 故正确； ：由得，与图像交点为和， 当时，总有， ∴，解得：， 故正确； ：当时，则，如图，    由，解得：， 由，解得：， ∴解集为：， 故正确； ：如图，    当与的图象只有一个公共点时，或，故不正确； 故选：． 【点睛】此题考查一次函数的图象及其性质，解题的关键是结合图象进行分析． 三、解答题（共计75分） 16．解下列各题： (1)解不等式： (2)解不等式组： (3)因式分解：； (4)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.69 【知识点】求不等式组的解集、综合运用公式法分解因式、求一元一次不等式的解集、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】（1）去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，即可求解； （2）分别求出两个不等式的解集，即可求解； （3）先提出公因式，再利用平方差公式解答，即可求解； （4）利用平方差公式以及完全平方公式解答，即可求解． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为； （3）解： （4）解： 17．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 原分式方程无解 【难度】0.66 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】（1）先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程，再检验即可； （2）先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程，再检验所得值是否使原方程分母不为0，若使分母为0则为增根，原方程无解． 解题的关键在于正确掌握解分式方程步骤，以及注意检验所得值是否是方程的解． 【详解】（1）解： ， 检验：当时，， 因此原分式方程的解为； （2）解： ， 检验：当时，， 因此是增根，原分式方程无解． 18．如图，在平面直角坐标系中，的各顶点的坐标分别为，，． (1)如图1，若和关于点M成中心对称，点A，B，C的对应点分别是D，E，F，则对称中心点M的坐标为__________． (2)请在图2中作绕点O按逆时针方向旋转得到的，点A，B，C的对应点分别为，，． (3)在（2）的条件下，将先向下平移5个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，点，，的对应点分别为，，，请在图2中画出，并直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)作图见详解 (3)作图见详解， 【难度】0.7 【知识点】平移(作图)、画旋转图形、由平移方式确定点的坐标、判断中心对称图形的对称中心 【分析】（1）连接，，，交点即为对称中心M； （2）根据网格结构找出点A、B、C关于点O逆时针旋转后的对应点，，的位置，然后顺次连接即可； （3）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点，，的位置，然后顺次连接即可，从而求得点的坐标． 【详解】（1）解：如图，连接，，，得到对称中心M的坐标为． （2）解：如图，即为所作． （3）解：如图，即为所作．点的坐标为． 19．每年的农历五月初五是端午节，主要有赛龙舟、吃粽子和挂艾草等习俗．某食品店生产粽子礼盒，每个礼盒内含6个牛角粽和4个三角粽，已知：包制一个牛角粽需1片粽叶，包制一个三角粽需2片粽叶，每捆粽叶固定为30片，且单捆粽叶仅用于包制同一种粽子． (1)现有21捆粽叶，全部用于包制牛角粽和三角粽（无剩余），为使包制出的粽子恰好组成完整礼盒，求需用多少捆粽叶包制牛角粽； (2)为了节省资源，食品店改为零售单颗粽子．已知一个三角粽比一个牛角粽贵3元，小宇在此食品店花200元购买牛角粽的个数比花240元购买三角粽的个数多10个， ①求购买一个牛角粽和一个三角粽各需多少元； ②考前吃粽子有“一举高粽”的寓意，学校食堂决定在此食品店购买600个粽子为毕业生送上考前祝福，总费用不超过3440元，且三角粽的个数不少于牛角粽个数的．此食品店推出优惠活动：三角粽按原售价打八五折出售．问有多少种购买方案？并求出所花资金的最小值． 【答案】(1)9捆 (2)①购买一个牛角粽需5元，购买一个三角粽需8元；②共有5种购买方案，所花资金的最小值为3432元 【难度】0.56 【知识点】分式方程的经济问题、解分式方程（化为一元二次）、销售盈亏(一元一次方程的应用)、不等式组的方案选择问题 【分析】（1）设需用x捆粽叶包制牛角粽，则用捆粽叶包制三角粽，由题意列出关于x的一元一次方程，求出x的值即可； （2）①设购买一个牛角粽需y元，则购买一个三角粽需元，由题意列出分式方程，求出y的值，并检验是否符合题意即可； ②设购买a个牛角粽，则购买个三角粽，由题意得，求出，再根据a为整数，得到a可以为356、357、358、359、360，共有5种购买方案，设购买总费用为W，则，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设需用x捆粽叶包制牛角粽，则用捆粽叶包制三角粽， 由题意得， 解得， 答：需用9捆粽叶包制牛角粽． （2）①解：设购买一个牛角粽需y元，则购买一个三角粽需元， 由题意得， ∴， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴（元） 答：购买一个牛角粽需5元，购买一个三角粽需8元． ②解：设购买a个牛角粽，则购买个三角粽， 由题意得， 解得：， ∴， ∵a为整数， ∴a可以为356、357、358、359、360 ∴共有5种购买方案 设购买总费用为W，则， ∵，则W随a的增大而减小， ∴当时，W取得最小值，最小值为， 答：共有5种购买方案，所花资金的最小值为3432元． 20．如图，在中，，和是等边三角形，与相交于点F，连接并交于点G．求证： (1)； (2)点G为的中点． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【难度】0.73 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、三线合一、等边三角形的性质 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，等边三角形的性质结合角的和差关系可推出，从而证得结论； （2）先证明，得到，再由已知条件推出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵和是等边三角形，与相交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：由（1）得，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分交于点G， ∵， ∴， ∴点G是的中点． 21．【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现： 形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）， 即（p，q为整数）． 反之，（p，q为整数）． 由于因式分解与整式乘法是方向相反的变形，所以形如（p、q为整数）的多项式，可因式分解成．例如： 【初步应用】（1）用上面的方法分解因式： ； 【类比应用】（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是 ； 【拓展应用】（3）分解因式：． 【答案】（1）；（2）5或7或或（3） 【难度】0.65 【知识点】因式分解的应用、十字相乘法 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式． （1）按照已知条件中方法进行分解因式即可； （2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出的值即可； （3）按照已知条件中的方法，进行两次因式分解解答即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：，此时； ，此时； ，此时； ，此时； 则整数m的所有可能值是5或7或或． （3）解： ． 22．探究函数的图像与性质． 小天根据学习一次函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究．下面是小天的探究过程，请补充完整： 第一步：的自变量x的取值范围是全体实数； 第二步：x与y的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 2 1 0 1 2 … (1)第三步：建立平面直角坐标系，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图像； (2)第四步：观察的函数图像，得出了如下几条结论： ①当________时，函数有最小值为_______________； ②当________时（填写自变量取值范围），y随x的增大而增大；当________时（填写自变量取值范围），y随x的增大而减少； ③图像关于过点________且垂直于x轴的直线对称； ④若直线与的图像只有一个交点，则k的取值范围是________． 【答案】(1)见解析 (2)①1；0；②；；③；④或或 【难度】0.4 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、判断一次函数的增减性 【分析】（1）根据表格中的数据可以画出相应的函数图像； （2）①根据图像即可求得最小值，②根据题目中的函数解析式及图像，可知x的取值范围；③函数图像即可求得点的坐标；④根据函数图像的特征即可求解． 【详解】（1）描点，并画出函数的图像如下： （2）①由图可知，当时，函数有最小值， 故答案为，0； ②由图可知，当时，y随x的增大而增大，当时（填写自变量取值范围），随的增大而减少， 故答案为； ③由图像可知，图像关于成轴对称， ∴图像关于过点且垂直于x轴的直线对称， 故答案为； ④∵， ∴当时，函数与平行，当时，函数与平行， ∴当或时，函数与有一个交点， 另外当函数过点时，有，即时，函数与有一个交点， 故答案为或或． 【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图像，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图像，利用数形结合的思想解答． 23．综合与实践 在几何图形变换探究活动中，同学们以两个等腰直角三角形为研究对象开展实践探索．已知在和中，，且，．如图1，同学们连接、，通过观察、测量，初步发现线段与的长度相等．为进一步探究图形变换中线段的数量关系，各小组围绕图形旋转展开深度探讨与论证，请你参与并完成下列探究任务． (1)初步探究，博学小组提出：保持位置不变，将绕着点逆时针旋转至图2的位置，连接、，此时线段和相等吗？请给出判断并说明理由． (2)深入探究，逻辑先锋组继续探究：将图2中的继续绕点逆时针旋转至图3的位置，连接、、，当时，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用，拓思创新组进行拓展思考：保持位置不变，将绕着点逆时针旋转，当时，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【难度】0.4 【知识点】等边对等角、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）同（1）可得，判断是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解； （3）分点E不在上和点E在上两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：， 理由：∵， ∴， 又，， ∴， ∴； （2）解：， 理由：同（1）可证， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， 当点E不在上时，如图3， 由（2）可知， ∴； 当点E在上时，如图， 此时， 综上，的长为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版2025-2026学年度八年级下学期期中模拟卷（二） （原卷版） （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：第一章~第五章 5．难度系数：0.65。 一、单选题（每题3分，共计30分） 1．下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．B．C． D． 2．不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A．B．C． D． 3．下列从左到右的变形中是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在梯形中，，，，，，点E为中点，连接，并延长交的延长线于点F，则线段的长度为（   ） A．10 B． C．12 D． 5．如图，函数与的图象交于点，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 6．关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组有解，则满足上述条件的所有整数的绝对值之和为（    ） A．14 B．16 C．18 D．21 7．如图，在中，，，，绕点摆动到的位置，取的中点，连接、，求绕点摆动的过程中，下列结论正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 8．如图，是等腰直角三角形，点D是斜边上一点，于点E，于点F，，M是的中点，则最小值是（   ） A． B． C． D．2 9．定义一种新运算， ①若，则或； ②若，则； ③若，则的最小值为14； 以上说法正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．如图，是等边三角形，边长为2，点为边的中点，点为边上的一动点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 二、填空题（每题3分，共计15分） 11．对于x、y定义了一种新运算G，规定，若关于a的不等式组恰好有2个整数解，则实数P的取值范围是_____． 12．如图，中，，，D为的中点，在上，点在上，，将线段绕着点旋转，使点落在射线上点处，则_____． 13．我省特种钢技术全国领先，某企业生产A，B两种规格的手撕钢成品．已知生产B规格手撕钢所用的时间是生产A规格手撕钢所用时间的1.5倍，该企业用生产A规格手撕钢的数量比用生产B规格手撕钢的数量多．设该企业生产A规格的手撕钢需要，则根据题意，可列方程为__________． 14．关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在的范围内，则m的取值范围是______． 15．在平面直角坐标系中，为坐标原点，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（b为常数）的图象．若函数（为常数）与直线有交点A、B，现给出以下结论，其中正确结论的序号是_________． ①的面积总为； ②若函数（为常数）图象在直线下方的点的横坐标x满足，则b的取值范围为； ③若，则的解集为； ④当，若正比例函数与（为常数）的图象只有一个公共点，则． 三、解答题（共计75分） 16．解下列各题： (1)解不等式： (2)解不等式组： (3)因式分解：； (4)因式分解：． 17．解方程： (1)； (2)． 18．如图，在平面直角坐标系中，的各顶点的坐标分别为，，． (1)如图1，若和关于点M成中心对称，点A，B，C的对应点分别是D，E，F，则对称中心点M的坐标为__________． (2)请在图2中作绕点O按逆时针方向旋转得到的，点A，B，C的对应点分别为，，． (3)在（2）的条件下，将先向下平移5个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，点，，的对应点分别为，，，请在图2中画出，并直接写出点的坐标． 19．每年的农历五月初五是端午节，主要有赛龙舟、吃粽子和挂艾草等习俗．某食品店生产粽子礼盒，每个礼盒内含6个牛角粽和4个三角粽，已知：包制一个牛角粽需1片粽叶，包制一个三角粽需2片粽叶，每捆粽叶固定为30片，且单捆粽叶仅用于包制同一种粽子． (1)现有21捆粽叶，全部用于包制牛角粽和三角粽（无剩余），为使包制出的粽子恰好组成完整礼盒，求需用多少捆粽叶包制牛角粽； (2)为了节省资源，食品店改为零售单颗粽子．已知一个三角粽比一个牛角粽贵3元，小宇在此食品店花200元购买牛角粽的个数比花240元购买三角粽的个数多10个， ①求购买一个牛角粽和一个三角粽各需多少元； ②考前吃粽子有“一举高粽”的寓意，学校食堂决定在此食品店购买600个粽子为毕业生送上考前祝福，总费用不超过3440元，且三角粽的个数不少于牛角粽个数的．此食品店推出优惠活动：三角粽按原售价打八五折出售．问有多少种购买方案？并求出所花资金的最小值． 20．如图，在中，，和是等边三角形，与相交于点F，连接并交于点G．求证： (1)； (2)点G为的中点． 21．【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现： 形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）， 即（p，q为整数）． 反之，（p，q为整数）． 由于因式分解与整式乘法是方向相反的变形，所以形如（p、q为整数）的多项式，可因式分解成．例如： 【初步应用】（1）用上面的方法分解因式： ； 【类比应用】（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是 ； 【拓展应用】（3）分解因式：． 22．探究函数的图像与性质． 小天根据学习一次函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究．下面是小天的探究过程，请补充完整： 第一步：的自变量x的取值范围是全体实数； 第二步：x与y的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 2 1 0 1 2 … (1)第三步：建立平面直角坐标系，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图像； (2)第四步：观察的函数图像，得出了如下几条结论： ①当________时，函数有最小值为_______________； ②当________时（填写自变量取值范围），y随x的增大而增大；当________时（填写自变量取值范围），y随x的增大而减少； ③图像关于过点________且垂直于x轴的直线对称； ④若直线与的图像只有一个交点，则k的取值范围是________． 23．综合与实践 在几何图形变换探究活动中，同学们以两个等腰直角三角形为研究对象开展实践探索．已知在和中，，且，．如图1，同学们连接、，通过观察、测量，初步发现线段与的长度相等．为进一步探究图形变换中线段的数量关系，各小组围绕图形旋转展开深度探讨与论证，请你参与并完成下列探究任务． (1)初步探究，博学小组提出：保持位置不变，将绕着点逆时针旋转至图2的位置，连接、，此时线段和相等吗？请给出判断并说明理由． (2)深入探究，逻辑先锋组继续探究：将图2中的继续绕点逆时针旋转至图3的位置，连接、、，当时，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用，拓思创新组进行拓展思考：保持位置不变，将绕着点逆时针旋转，当时，若，，请直接写出的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版2025-2026学年度八年级下学期期中模拟卷（二） (原卷版) （考试时间：90分钟试卷满分：120分) 注意事项 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：第一章~第五章 5.难度系数：0.65。 一、单选题（每题3分，共计30分） 1.下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是() 2-x≥3 2.不等式组 2x+3 +16的解集在数轴上表示为（） 2x+ 3 3 5-4-3-2-10B.0 e32立f 3.下列从左到右的变形中是因式分解的是() A.（x+2)(x-2)=x2-4 B.x2+2x-3=(x+3)(x-1) C.x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x D.x2+4x+4=x(x+4)+4 4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,DB=90°，AD=3,BC=9,∠BCD=45°，点E为CD中点， 连接AE,并延长交BC的延长线于点F,则线段AF的长度为() D A.10 B.65 C.12 D.65 5.如图，函数y=x与y=c+b的图象交于点Pm,1),不等式：+b>-x的解集是() 2 VA v=kx+b A.x<2 B.x>-2 C.x22 D.x≤-2 x>1 6.关于x的分式方程-2+6 =-3的解为正数，且关于的不等式组 a+x 7有解，则满足上 4-xx-4 一2X- 2 2 述条件的所有整数α的绝对值之和为() A.14 B.16 C.18 D.21 7.如图，在RtAADC中，CD⊥AC,AD=3,DC=2,AC绕点A摆动到AB的位置，取AB的中点E, 连接BD、CE,求AC绕点A摆动的过程中，下列结论正确的是() E D A.AF= B.CE的最小值为 2 2 C.BD+CE的最小值为3- 2 D.BD+CE的最小值为② 2 8.如图，△ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB上一点，DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F,AC=4, M是EF的中点，则CM最小值是() A B A.v2 B.4 C.2W2 D.2 a-b(ab≥0) 9.定义一种新运算，心b= a+b(ab<0) ①若2=3，则x=1或x=5: ②若x-12≥3，则x≥6： ③若(x-1)(-3)<0,则(x-4)P(3x-2+4x+8的最小值为14： 以上说法正确的有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 10.如图，△ABC是等边三角形，边长为2，点D为边BC的中点，点E为边AB上的一动点，连接DE, 将DE绕点D顺时针旋转60°，得到DF,连接CF,则CF的最小值为() E A.5 B.3 C.1 D. 二、填空题（每题3分，共计15分） G(a,1)<2 11.对于x、y定义了一种新运算G,规定G(x,y)=x+3y,若关于a的不等式组 G(2,a)≥p恰好有2 个整数解，则实数P的取值范围是 I2.如图，△ABC中，AB=AC,∠BAC=40°，D为BC的中点，P在AD上，点M在AB上，PM‖AC, 将线段PM绕着点P旋转，使点M落在射线AC上点N处，则∠ANP=, B 13.我省特种钢技术全国领先，某企业生产A,B两种规格的手撕钢成品.已知生产1tB规格手撕钢所用 的时间是生产1tA规格手撕钢所用时间的1.5倍，该企业用80h生产A规格手撕钢的数量比用90h生产B 规格手撕钢的数量多2t.设该企业生产1tA规格的手撕钢需要xh,则根据题意，可列方程为 /x+2>4 14.关于x的不等式组 3-m2m 的解集中任意一个x的值均不在2≤x≤4的范围内，则的取值 范围是 15.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将函数y=2x+b(b为常数)的图象位于x轴下方的部分沿x 轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y=2x+b(b为常数)的图象.若函数y=2x+b(b为常数)与 直线y=2有交点A、B,现给出以下结论，其中正确结论的序号是 ①△AOB的面积总为2； ②若函数y=2x+b(b为常数)图象在直线y=2下方的点的横坐标x满足0<x<3,则b的取值范围为 -4≤b≤-2： ③若b=4,则子x>2x+b的解集为<x<3: 3 ④当b=-3,若正比例函数y=x(k≠0)与y=2x+b(b为常数)的图象只有一个公共点，则k>2. 2 三、解答题（共计75分） 16.解下列各题： 2s123x 2x-7<3(x-1) (1)解不等式：+2<1 (2)解不等式组： 5 4 (3)因式分解：m2(a-2)+(2-a: (4)因式分解：(x2+9)2-36x2. 17.解方程： () 34 x-1 x -2+3=1 x-2 18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点的坐标分别为A(1,4),B(1,1),C(3,1). 5 4 3 2 B -5-4=3-2-19 l 2 3p4 5 x -5-4-3-2-10 12345x -2 -2 3 =4 5 图1 图2 (I)如图1，若△ABC和DEF关于点M成中心对称，点A,B,C的对应点分别是D,E,F,则对称中心 点M的坐标为 (2)请在图2中作△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到的△AB,C,点A,B,C的对应点分别为A,B1, C. (3)在(2)的条件下，将△ABC先向下平移5个单位长度，再向右平移2个单位长度得到△A,B,C2,点A, B,C的对应点分别为A,,B,C2,请在图2中画出△A,B,C,,并直接写出点C2的坐标 19.每年的农历五月初五是端午节，主要有赛龙舟、吃粽子和挂艾草等习俗.某食品店生产粽子礼盒， 每个礼盒内含6个牛角粽和4个三角粽，已知：包制一个牛角粽需1片粽叶，包制一个三角粽需2片粽 叶，每捆粽叶固定为30片，且单捆粽叶仅用于包制同一种粽子， (1)现有21捆粽叶，全部用于包制牛角粽和三角粽（无剩余），为使包制出的粽子恰好组成完整礼盒，求 需用多少捆粽叶包制牛角粽： (②)为了节省资源，食品店改为零售单颗粽子.已知一个三角粽比一个牛角粽贵3元，小宇在此食品店花 200元购买牛角粽的个数比花240元购买三角粽的个数多10个， ①求购买一个牛角粽和一个三角粽各需多少元： ②考前吃粽子有一举高粽的寓意，学校食堂决定在此食品店购买600个粽子为毕业生送上考前祝福，总 费用不超过3440元，且三角粽的个数不少于牛角粽个数的.此食品店推出优惠活动：三角粽按原售价 打八五折出售.问有多少种购买方案？并求出所花资金的最小值. 20.如图，在△ABC中，AC=BC,△ACE和△BCD是等边三角形，AE与BD相交于点F,连接CF并 交AB于点G.求证： G B D (1)FA=FB; (2)点G为AB的中点. 21.【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①(x+2)(x+3)=x2+5x+6; ②(x-4)(x+1)=x2-3x-4: ③(y-5)y-3)=y2-8y+15. 通过以上计算发现： 形如(x+p)(x+q)的两个多项式相乘，其结果一定为x+(p+q)x+pq(p,q为整数)， 即(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pg(p,q为整数). 反之，x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)(p,q为整数). 由于因式分解与整式乘法是方向相反的变形，所以形如x2+(p+qx+Pq(p、q为整数)的多项式，口 因式分解成(x+p)(x+q.例如：x2+3x+2=x2+(1+2x+1x2=(x+0(x+) 【初步应用】(1)用上面的方法分解因式：x2+6x+8=_-: 【类比应用】(2)规律应用：若x2+mx+6可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_： 【拓展应用】(3)分解因式：（x2-3x)-2(x2-3x）8. 22.探究函数y=x-1的图像与性质. 小天根据学习一次函数的经验，对函数y=x-1的图像与性质进行了探究.下面是小天的探究过程，请 补充完整： 第一步：y=x-1的自变量x的取值范围是全体实数； 第二步：x与y的几组对应值： -1 0 1 2 1 0 2 (1)第三步：建立平面直角坐标系xOy,描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图像： 5 4 3 -5-4;-31-2-1Q 2345 3 3 (2)第四步：观察y=x-1的函数图像，得出了如下几条结论： ①当x= 时，函数有最小值为 ②当 时（填写自变量取值范围），y随x的增大而增大；当 时（填写自变量取值范围）， y随x的增大而减少； ③图像关于过点 且垂直于x轴的直线对称： @若直线y=太号与=k-的图像只有一个交点，则的取值范国是 4 23.综合与实践 在几何图形变换探究活动中，同学们以两个等腰直角三角形为研究对象开展实践探索.已知在△ABC和 △ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，且AB=AC,AD=AE.如图1，同学们连接BD、CE,通过观察、 测量，初步发现线段BD与CE的长度相等.为进一步探究图形变换中线段的数量关系，各小组围绕图形 旋转展开深度探讨与论证，请你参与并完成下列探究任务. D D B B B D B 图1 图2 图3 备用图 (I)初步探究，博学小组提出：保持△ABC位置不变，将△ADE绕着点A逆时针旋转至图2的位置，连接BD、 CE,此时线段BD和CE相等吗？请给出判断并说明理由， (2)深入探究，逻辑先锋组继续探究：将图2中的△ADE继续绕点A逆时针旋转至图3的位置，连接BD、 CD、CE,当∠AEC=45°时，试探究线段BD、CD、DE之间的数量关系，并说明理由， (3)拓展应用，拓思创新组进行拓展思考：保持△ABC位置不变，将△ADE绕着点A逆时针旋转，当 ∠AEC=45°时，若AD=3,BD=12,请直接写出CD的长.