精品解析：上海市长征中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

长征中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷 学校:___________班级：___________姓名：___________学号：___________ 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 在平面直角坐标系中，焦点为的抛物线的标准方程为_______． 2. 直线与的夹角的大小为_______． 3. 椭圆的离心率为_____． 4. 已知双曲线，则它的焦距为_______． 5. 函数的导函数______． 6. 已知直线与直线相互平行，则实数的值是________. 7. 曲线在处的切线方程是_______． 8. 已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的方程为________. 9. 将化简为椭圆标准方程的形式，结果为_____. 10. 已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 11. 已知、，，则直线与圆：的位置关系是________. 12. 若函数既有极大值也有极小值，则下列说法中所有正确的有________. ①；②；③；④ 二. 选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分） 13. 已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 14. ＂是函数的驻点＂是＂是函数的极值点＂的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 曲线的图像（ ） A. 关于轴对称 B. 关于原点对称,但不关于直线对称 C. 关于轴对称 D. 关于直线对称，关于直线对称 16. 设P为曲线C:上的任意一点，记P到C的准线的距离为d．若关于点集和，给出如下结论： ①任意，中总有2个元素；②存在，使得． 其中正确的是（ ） A. ①成立，②成立 B. ①不成立，②成立 C. ①成立，②不成立 D. ①不成立，②不成立 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. 已知三个顶点的坐标分别为、、，求 （1）边所在直线的方程； （2）边上的中线所在直线的方程. 18. 已知． （1）求函数的单调减区间； （2）求函数在上的最大值和最小值． 19. 已知圆： （1）求圆关于直线对称的圆D的标准方程； （2）当k取何值时，直线与圆相交的弦长最短，并求出最短弦长. 20. 已知分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点，面积的最大值为. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与交于点，直线与交于点. ①求直线的方程； ②记的面积分别为，求的最大值. 21. 已知定义域为的函数，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为的导函数． （1）求函数在点的切线方程； （2）已知，当a与b满足什么条件时，存在非零实数k，对任意的实数x使得恒成立？ （3）若函数在定义域上为最小正周期为的奇函数，判别其导函数的奇偶性和周期性，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长征中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷 学校:___________班级：___________姓名：___________学号：___________ 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 在平面直角坐标系中，焦点为的抛物线的标准方程为_______． 【答案】 【解析】 【详解】设抛物线的标准方程为，则因为焦点为， 所以，所以， 所以抛物线的标准方程为． 2. 直线与的夹角的大小为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的方程求直线的斜率，根据直线的斜率求直线的倾斜角，从而得到两条直线的夹角． 【详解】因为直线的斜率不存在，故它的倾斜角为， 又的斜率为，故它的倾斜角为， 故这两条直线的夹角的大小为． 3. 椭圆的离心率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程求，根据离心率的定义求结论. 【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 则，，， 所以椭圆的离心率. 故答案为：. 4. 已知双曲线，则它的焦距为_______． 【答案】 【解析】 【详解】双曲线方程，化为标准方程得， 则双曲线为焦点位于x轴的双曲线，且， 故双曲线的焦距为. 5. 函数的导函数______． 【答案】 【解析】 【详解】. 6. 已知直线与直线相互平行，则实数的值是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行可得出关于的等式和不等式，解之即可. 【详解】因为直线与直线相互平行， 则，解得. 故答案为：. 7. 曲线在处的切线方程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导将代入即可计算斜率，利用点斜式即可． 【详解】， 将代入，则切线斜率， 当时，， 故，化简可得：． 8. 已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先设出与共渐近线的双曲线方程，再代入点，求出，从而求出的方程. 【详解】设双曲线：， 将代入可得， 故双曲线：. 故答案为：. 9. 将化简为椭圆标准方程的形式，结果为_____. 【答案】 【解析】 【分析】运用方程的几何意义得出结果. 【详解】根据， ∴方程表示的曲线是以，为焦点的椭圆， 其中，，， ∴方程为. 故答案为：. 10. 已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 【答案】 【解析】 【详解】点，点，可得，， 如下图示，所以. 11. 已知、，，则直线与圆：的位置关系是________. 【答案】相切 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系即可. 【详解】把圆：化为标准方程是：， 所以圆心坐标为，半径为， 又圆心到直线的距离为， 所以直线与圆的位置关系是相切. 故答案为：相切. 12. 若函数既有极大值也有极小值，则下列说法中所有正确的有________. ①；②；③；④ 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，由已知可得函数在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答即可. 【详解】函数的定义域为， ， 又函数既有极大值也有极小值， 所以函数在上有两个变号零点，而， 故方程有两个不等的正根， 于是，则， 所以即. 故②③④正确. 故答案为：②③④. 二. 选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分） 13. 已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将一般方程转化为标准方程后可求参数的取值范围. 【详解】圆的标准方程为：， 故即或， 故选：D. 14. ＂是函数的驻点＂是＂是函数的极值点＂的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】通过举特例可判断选项正误. 【详解】驻点不一定是极值点，如， 极值点也不一定是驻点，如. 则＂是函数的驻点＂是＂是函数的极值点＂的既不充分也不必要条件. 故选：D 15. 曲线的图像（ ） A. 关于轴对称 B. 关于原点对称,但不关于直线对称 C. 关于轴对称 D. 关于直线对称，关于直线对称 【答案】D 【解析】 【分析】构造二元函数，分别考虑与、、、、的关系，即可判断出相应的对称情况. 【详解】A．，所以不关于轴对称； B．，， 所以关于原点对称，也关于直线对称； C．，所以不关于轴对称； D．，所以关于直线对称，同时也关于直线对称. 故选：D. 【点睛】本题考查曲线与方程的综合应用，难度一般.若曲线关于轴对称，则将曲线中的换成，此时曲线的方程不变；若曲线关于轴对称，则将曲线中的换成，此时曲线的方程不变；若曲线关于对称，则将曲线中的换成、换成，此时曲线的方程不变；若曲线关于原点对称，则将曲线中的换成、换成，此时曲线的方程不变. 16. 设P为曲线C:上的任意一点，记P到C的准线的距离为d．若关于点集和，给出如下结论： ①任意，中总有2个元素；②存在，使得． 其中正确的是（ ） A. ①成立，②成立 B. ①不成立，②成立 C. ①成立，②不成立 D. ①不成立，②不成立 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，的圆心，证明当点在原点处时，点在点的轨迹圆外，即可得出结论. 【详解】曲线C:的焦点， 则， 由得，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 的圆心， 当点在原点处时，，此时， 此时点的轨迹方程为， 因为，所以点在圆外， 则存在，使得两圆相离，即， 故①错误，②正确. 故选：B. 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. 已知三个顶点的坐标分别为、、，求 （1）边所在直线的方程； （2）边上的中线所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程； （2）首先求出的中点的坐标，即可求出中线的斜率，再由斜截式求出直线方程. 【小问1详解】 因为、，所以， 所以边所在直线的方程为，即； 【小问2详解】 因为、，所以的中点为，不妨记， 又，所以， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. 18. 已知． （1）求函数的单调减区间； （2）求函数在上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，解不等式，得到单调区间； （2）求出极值和端点值，比较后即可确定最值． 【小问1详解】 的定义域为，且， 令得， 所以函数的递减区间． 【小问2详解】 因为， 令得或， 所以递增区间为，， 当变化时，，变化状态如下表： 1 3 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在上的最大值为，最小值为． 19. 已知圆： （1）求圆关于直线对称的圆D的标准方程； （2）当k取何值时，直线与圆相交的弦长最短，并求出最短弦长. 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据斜率公式和中点公式，结合圆的标准方程进行求解即可； （2）先判断直线过定点，利用圆的性质进行求解即可. 【小问1详解】 圆心，，设，因为圆心C与D关于直线对称，所以 ， 所以圆标准方程为：； 【小问2详解】 直线过定点，当时，弦长最短， ∵，∴ 此时最短弦长为. 20. 已知分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点，面积的最大值为. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与交于点，直线与交于点. ①求直线的方程； ②记的面积分别为，求的最大值. 【答案】（1） （2）①，② 【解析】 【分析】（1）易知当点为短轴端点时，面积取最大值，又易知即可求得椭圆方程； （2）①利用垂直关系分别写出直线和的方程，求出其交点的坐标，同理可求得的坐标，即可得出直线的方程为； ②将直线与椭圆方程联立利用韦达定理可解得点纵坐标，同理得点纵坐标，再结合①中直线的方程可得，，分别表示出的表达式利用基本不等式即可求得的最大值. 【小问1详解】 由题意可知， 且面积的最大值为 所以. 即椭圆的方程为. 【小问2详解】 如下图所示： ①设，由题意知直线的斜率一定存在，即， 代入直线的点斜式方程可得直线的方程为. 因为直线与直线垂直，而，且； 所以可得，即直线的方程为. 又因为在椭圆上可得， 联立可得，，即， 即直线与的交点的横坐标为； 同理可得，可得； 即直线与的交点的横坐标为. 所以直线的方程为. ②设直线， 与椭圆联立可得. 所以. 同理可得. 由可得. 同理可得. 所以 易知，所以； 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的面积问题往往是先写出面积表达式，通过合理变形再利用基本不等式或构造函数求出其范围即可. 21. 已知定义域为的函数，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为的导函数． （1）求函数在点的切线方程； （2）已知，当a与b满足什么条件时，存在非零实数k，对任意的实数x使得恒成立？ （3）若函数在定义域上为最小正周期为的奇函数，判别其导函数的奇偶性和周期性，并说明理由. 【答案】（1） （2）当时，，当时， （3）偶函数，为周期函数(T为其周期)， 理由如下：因为为奇函数，所以， 两边求导得：， 即，故为偶函数； 因为为周期为的函数，所以， 两边求导得，故为周期函数，且为其周期. 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）先求导，再根据列出方程组，进而可得出结论； （3）由函数是奇函数，可得是偶函数，再进一步求出导函数的周期性， 再整理即可得出结论． 【小问1详解】 由题可知，，所以切线的斜率为，且， 所以函数在点的切线方程为，即； 【小问2详解】 由题可知，又因为定义域上对任意的实数x满足， 所以，即，当且时，， 当时，，当时，； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $