上海市长征中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 高二下学期期中数学试卷，聚焦解析几何、导数与函数核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理及运算能力，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|抛物线方程、直线夹角、椭圆离心率|基础概念直接应用，如第5题导数计算、第12题极值条件分析| |选择题|4/18|圆的方程、充要条件、曲线对称性|注重概念辨析，如第14题驻点与极值点关系判断| |解答题|5/78|三角形直线方程、函数单调性、椭圆综合|分层设计，如20题从椭圆方程求解到面积最值探究，考查数学建模与逻辑推理|

长征中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷 学校:___________班级：___________姓名：___________学号：___________ 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．在平面直角坐标系xOy中，焦点为（2，0）的抛物线的标准方程为　　 ． 2．直线l1：x+1＝0与l2：x+y＝0的夹角的大小为　　 ． 3．椭圆y2＝1的离心率是　　 ． 4．已知双曲线9x2﹣25y2=225，则它的实轴长为　　 ． 5．函数y＝f（x）=xe+ex的导函数　　 ． 6．已知直线l1：（m﹣2）x﹣3y﹣1＝0与直线l2：mx﹣2y+1＝0相互平行，则实数m的值是 　 　． 7．曲线在x＝π处的切线方程是 　　 ． 8．已知双曲线C1过点，且与双曲线C2：有相同的渐近线，则双曲线C1的方程为 　　 ． 9．将化简为椭圆标准方程的形式，结果为　 ． 10．已知点A（2，2），B（﹣1，3），若过点P（0，﹣1）的直线l与线段AB相交， 则直线l斜率k的取值范围是　　 ． 11.已知、，，则直线与圆的位置关系是________. （相交、相离、相切） 12．若函数既有极大值也有极小值，则下列说法中所有正确的有________. ①；②；③；④. 二. 选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分） 13．已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．＂是函数的驻点＂是＂是函数的极值点＂的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．曲线的图像（     ） A．关于轴对称 B．关于原点对称，但不关于直线对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称，关于直线对称 16．设P为曲线C:上的任意一点，记P到C的准线的距离为d． 若关于点集和，给出如下结论： ①任意，中总有2个元素；②存在，使得．其中正确的是（    ） A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立 C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，0）、B（6，7）、C（0，3），求： （1）AB边所在直线的方程；（2）AB边上的中线所在直线的方程． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知．（1）求函数的单调减区间；（2）求函数在上的最大值和最小值． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知圆：.（1）求圆关于直线对称的圆的标准方程； （2）当取何值时，直线与圆相交的弦长最短，求出最短弦长. 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 已知分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点，面积的最大值为. （1）求椭圆的方程；（2）若直线与交于点，直线与交于点. ①求直线的方程；②记的面积分别为，求的最大值. 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知定义域为R的函数y＝f（x），其图象是连续的曲线，且存在定义域也为R的导函数y＝f′（x）． （1）求函数f（x）＝ex+e﹣x在点（0，f（0））的切线方程；（2）已知（x）＝acosx+bsinx， 当a与b满足什么条件时，存在非零实数k，对任意的实数x使得f（﹣x）＝﹣kf′（x）恒成立？ （3）若函数y=f(x)在定义域R上为最小正周期为T的奇函数，判别其导函数的奇偶性和周期性，并说明理由. 长征中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷解析 学校:___________班级：___________姓名：___________学号：___________ 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．在平面直角坐标系xOy中，焦点为（2，0）的抛物线的标准方程为y2＝8x ． 【分析】设出抛物线的标准方程，根据焦点坐标求出p的值，代入可得到答案． 【解析】设抛物线的标准方程为y2＝2px（p＞0），则因为焦点为F（2，0），所以2，所以p＝4， 所以抛物线C的标准方程为y2＝8x；故答案为：y2＝8x． 2．直线l1：x+1＝0与l2：x+y＝0的夹角的大小为　30°　 ． 【分析】根据直线的方程求直线的斜率，根据直线的斜率求直线的倾斜角，从而得到两条直线的夹角． 【解析】∵直线l1：x+1＝0的斜率不存在，故它的倾斜角为90°，∵l2：x+y＝0的斜率为， 故它的倾斜角为120°，故这两条直线的夹角的大小为120°﹣90°＝30°，故答案为：30°． 3．椭圆y2＝1的离心率是　　 ． 【分析】利用椭圆的标准方程，转化求解离心率即可． 【解析】椭圆y2＝1可得：a＝2，b＝1，c，所以椭圆y2＝1的离心率是：，故答案为：． 4．已知双曲线9x2﹣25y2=225，则它的实轴长为 　　 ． 【分析】首先将双曲线方程整理为标准形式，然后结合标准方程可得焦点坐标． 【解析】双曲线方程即，则双曲线为焦点位于x轴的双曲线，且c2＝a2+b2＝34， 故双曲线的实轴长为；故答案为：． 5．函数y＝f（x）=xe+ex的导函数　exe-1﹣ex ． 【解析】y′=f′（x）＝exe-1﹣ex. 6．已知直线l1：（m﹣2）x﹣3y﹣1＝0与直线l2：mx﹣2y+1＝0相互平行，则实数m的值是 　﹣4　 ． 【分析】利用两条直线平行的条件A1B2﹣A2B1＝0即可求得，再代入验证． 【解析】由题意，（m﹣2）×（﹣2）﹣（﹣3）×m＝m+4＝0，解得m＝﹣4， 检验：当m＝﹣4时，l1：6x+3y+1＝0与l2：4x+2y﹣1＝0平行;故答案为：﹣4． 7．曲线在x＝π处的切线方程是 　　 ． 【分析】对函数求导将x＝π代入即可计算斜率，利用点斜式即可． 【解析】，将x＝π代入即k， 当x＝π时，y＝0，故，化简可得：；故答案为：. 8．已知双曲线C1过点，且与双曲线C2：有相同的渐近线， 则双曲线C1的方程为 　　 ． 【分析】根据共渐近线的双曲线方程的设法，可设双曲线C的方程为，将点（，4）代入， 即可求出双曲线C1的方程．【解析】由已知设双曲线C1的方程为， 将（，4）代入得λ＝﹣7，故双曲线C1方程为；故答案为：． 9．将化简为椭圆标准方程的形式，结果为　 ． 9．【解析】根据， ∴方程表示的曲线是以，为焦点的椭圆，其中，，， ∴方程为；故答案为：. 10．已知点A（2，2），B（﹣1，3），若过点P（0，﹣1）的直线l与线段AB相交， 则直线l斜率k的取值范围是　　 ． 【分析】利用斜率公式求kPA，kPB，数形结合确定直线斜率的范围． 【解析】点A（2，2），B（﹣1，3），点P（0，﹣1）， 可得， 如右图示，所以． 11.已知、，，则直线与圆的位置关系是__相切___. （相交、相离、相切） 11．相切【解析】，化为，圆心，半径为， 圆心到直线的距离为，，所以直线与圆相切. 12．若函数既有极大值也有极小值，则下列说法中所有正确的有________. ①；②；③；④. 12．【解析】函数的定义域为，，又函数既有极大值也有极小值， 所以函数在上有两个变号零点，而，故方程有两个不等的正根， 于是，则，所以即. 故②③④正确.故答案为：②③④. 二. 选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分） 13．已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．D【解析】圆的标准方程为：，故即或，故选：D. 14．＂是函数的驻点＂是＂是函数的极值点＂的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．D【分析】通过举特例可判断选项正误. 【解析】驻点不一定是极值点，如，极值点也不一定是驻点，如. 则＂是函数的驻点＂是＂是函数的极值点＂的既不充分也不必要条件；故选：D 15．曲线的图像（     ） A．关于轴对称 B．关于原点对称，但不关于直线对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称，关于直线对称 15．D【分析】构造二元函数，分别考虑与、、 、、的关系，即可判断出相应的对称情况. 【解析】A．，所以不关于轴对称；B．，，所以关于原点对称，也关于直线对称； C．，所以不关于轴对称；D．， 所以关于直线对称，同时也关于直线对称；故选：D. 16．设P为曲线C:上的任意一点，记P到C的准线的距离为d． 若关于点集和，给出如下结论： ①任意，中总有2个元素；②存在，使得． 其中正确的是（    ） A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立 C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立 16．B【分析】根据题意可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，的圆心， 证明当点在原点处时，点在点的轨迹圆外，即可得出结论. 【解析】曲线C:的焦点，则，由得，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 的圆心，当点在原点处时，，此时， 此时点的轨迹方程为，因为，所以点在圆外， 则存在，使得两圆相离，即，故①错误，②正确；故选：B. 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，0）、B（6，7）、C（0，3），求： （1）AB边所在直线的方程；（2）AB边上的中线所在直线的方程． 【解析】（1）因为A（4，0），B（6，7），所以直线AB的斜率为， 故所求直线的方程为，即7x﹣2y﹣28＝0． （2）因为A（4，0），B（6，7），所以AB的中点为， 不妨记，又C（0，3），所以直线CD的斜率为， 故所求直线的方程为，即x﹣10y+30＝0． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知．（1）求函数的单调减区间；（2）求函数在上的最大值和最小值． 18．（1）；（2）最大值为，最小值为. 【解析】（1）的定义域为，且，令得， 所以函数的递减区间； （2）因为，令得或， 所以递增区间为，，当变化时，，变化状态如下表： 1 3 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在上的最大值为，最小值为． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知圆：.（1）求圆关于直线对称的圆的标准方程； （2）当取何值时，直线与圆相交的弦长最短，求出最短弦长. 19．（1）；（2），. 【解析】（1）化圆：为，可得圆心，， 设，∵圆心与关于直线对称，∴，解得， ∴圆的标准方程为：； （2）直线过定点，且点在圆内，当时，弦长最短， ∵，∴，此时最短弦长为. 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 已知分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点，面积的最大值为. （1）求椭圆的方程；（2）若直线与交于点，直线与交于点. ①求直线的方程；②记的面积分别为，求的最大值. 20．（1）；（2）①，②.【分析】（1）易知当点为短轴端点时，面积取最大值，又易知即可求得椭圆方程；（2）①利用垂直关系分别写出直线和的方程，求出其交点的坐标， 同理可求得的坐标，即可得出直线的方程为；      ②将直线与椭圆方程联立利用韦达 定理可解得点纵坐标，同理得点纵坐标，再结合①中直线的方程可得，， 分别表示出的表达式利用基本不等式即可求得的最大值. 【解析】（1）由题意可知，且面积的最大值为， 所以，即椭圆的方程为； （2）如下图所示：   ①设，由题意知直线的斜率一定存在，即， 代入直线的点斜式方程可得直线的方程为， 因为直线与直线垂直，而，且； 所以可得，即直线的方程为， 又因为在椭圆上可得，联立可得，， 即，即直线与的交点的横坐标为；同理可得，可得； 即直线与的交点的横坐标为，所以直线的方程为； ②设直线，与椭圆联立可得，所以，同理可得， 由可得，同理可得， 所以， 易知，所以；当且仅当时，等号成立，所以的最大值为. 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知定义域为R的函数y＝f（x），其图象是连续的曲线，且存在定义域也为R的导函数y＝f′（x）． （1）求函数f（x）＝ex+e﹣x在点（0，f（0））的切线方程；（2）已知（x）＝acosx+bsinx， 当a与b满足什么条件时，存在非零实数k，对任意的实数x使得f（﹣x）＝﹣kf′（x）恒成立？ （3）若函数y=f(x)在定义域R上为最小正周期为T的奇函数，判别其导函数的奇偶性和周期性，并说明理由. 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）先求导，再根据f（﹣x）＝﹣kf′（x）列出方程组， 进而可得出结论；（3）由函数y＝f（x）是奇函数，可得y＝f′（x）是偶函数，再进一步求出导函数的周期性， 再整理即可得出结论． 【解析】（1）由题可知，f′（x）＝ex﹣e﹣x，所以切线的斜率为f'（0）＝0，且f（0）＝2， 所以函数在点（0，f（0））的切线方程为y﹣2＝0（x﹣0），即y＝2； （2）由题可知f′（x）＝﹣asinx+bcosx，又因为定义域上对任意的实数x满足f（﹣x）＝﹣kf′（x）， 所以acosx﹣bsinx＝aksinx﹣bkcosx，即，当k∈R且k≠0时，a＝b＝0， 当k＝1时，a+b＝0，当k＝﹣1时，a﹣b＝0； （3）导函数y=f'(x)为偶函数，且为周期函数(T为其周期)， 理由如下：因为 f(x)为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x）， 两边求导得：f′（﹣x）•（﹣x）′＝﹣f′（x）， 即f′（﹣x）＝f′（x），故y＝f′（x）为偶函数； 因为f(x)为周期为T的函数，所以f（x）＝f（x+T）＝f（x-T）， 两边求导得f′（x）＝f′（x+T）＝f′（x﹣T），故f'(x)为周期函数，且T为其周期. 成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $