精品解析：新疆和田地区皮山县2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试题

皮山县2025-2026学年第二学期普通高中期中考试 高一年级数学试卷 满分：150分考 试时间：120分钟 一､选择题.（每小题5分，共40分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 方向相同的向量叫相等向量 B. 零向量是没有方向的向量 C. 共线向量不一定相等 D. 平行向量方向相同 2. 复数是实数，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. D. 0或1 3. 下列各式中，化简后结果不是零向量的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体的结构特征是（ ） A. 一个棱柱中截去一个棱柱 B. 一个棱柱中截去一个圆柱 C. 一个棱柱中截去一个棱锥 D. 一个棱柱中截去一个棱台 5. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ） A. B. C. D. 7. 钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC= A. 5 B. C. 2 D. 1 8. 已知向量，，则（ ） A. “”的必要条件是“” B. “”的必要条件是“” C. “”的充分条件是“” D. “”的充分条件是“” 二､多选题（每小题6分，共18分） 9. 对于非零向量，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ） A. 复数z的虚部是 B. C. 复数z的共轭复数是 D. 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限 11. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 四边形的周长为 D. 四边形的面积为 三､填空题（每小题5分，共15分） 12. __________. 13. 正四棱锥P-ABCD的各条棱长均为2，则该四棱锥的表面积为______________． 14. 在中，，面积，则等于___________． 四､解答题（总77分） 15. （1）若复数，求； （2）在复数范围内，求方程的解． 16. 已知向量，. （1）求的值； （2）若向量满足，，求向量的坐标. 17. 已知锐角三个内角、、的对边分别是，且． （1）求A的大小； （2）若，求的面积． 18. 如图，已知圆锥的顶点为P，O是底面圆心，AB是底面圆的直径，，． （1）求圆锥的表面积； （2）经过圆锥的高PO的中点作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积． 19. 已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且 （1）求角B的大小； （2）若，求面积的最大值； （3）若，且外接圆半径为2，圆心为O，P为⊙O上的一动点，试求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 皮山县2025-2026学年第二学期普通高中期中考试 高一年级数学试卷 满分：150分考 试时间：120分钟 一､选择题.（每小题5分，共40分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 方向相同的向量叫相等向量 B. 零向量是没有方向的向量 C. 共线向量不一定相等 D. 平行向量方向相同 【答案】C 【解析】 【分析】由相等向量、零向量、共线向量的概念逐项判断即可. 【详解】长度相等，方向相同的向量叫相等向量，A错； 零向量的方向是任意的，B错； 共线向量即方向相同或相反的向量，故不一定相等，C正确； 平行向量方向相同或相反，D错. 2. 复数是实数，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. D. 0或1 【答案】B 【解析】 【分析】利用实数定义计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 3. 下列各式中，化简后结果不是零向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，故A错误． 对于B，，故B错误． 对于C，，故C错误． 对于D，，故D正确． 4. 如图所示的几何体的结构特征是（ ） A. 一个棱柱中截去一个棱柱 B. 一个棱柱中截去一个圆柱 C. 一个棱柱中截去一个棱锥 D. 一个棱柱中截去一个棱台 【答案】C 【解析】 【分析】采用补形法判断出原几何体，然后再考虑截去的几何体是什么. 【详解】图中的几何体为一个棱柱截去一个角，截去的角是一个棱锥. 故选C. 【点睛】本题考查空间几何体的组成，难度较易. 5. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算化简，再由复数的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】， 则. 故选：B. 6. 已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可. 【详解】由已知可得：. A：因为，所以本选项不符合题意； B：因为，所以本选项不符合题意； C：因为，所以本选项不符合题意； D：因为，所以本选项符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力. 7. 钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC= A. 5 B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】由面积公式得：，解得，所以或，当时， 由余弦定理得：=1，所以，又因为AB=1，BC=，所以此时为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以，由余弦定理得：=5，所以，故选B. 考点：本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查解三角形的基础知识. 8. 已知向量，，则（ ） A. “”的必要条件是“” B. “”的必要条件是“” C. “”的充分条件是“” D. “”的充分条件是“” 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行、垂直的判定，以及充分条件、必要条件的定义得到正确答案. 【详解】，，若，则，解得或， 故“”的充分条件是“”，故A错误，C正确； 若，则，解得，故B、D错误． 故选：C． 二､多选题（每小题6分，共18分） 9. 对于非零向量，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律以及有关概念对各个选项进行判断即可. 【详解】A. 若，则,故错误； B. 若，则，所以成立，故正确； C. 当为零向量时，满足，但是推不出，故错误； D. 若，则，可得， 整理即可得到，故正确； 故选：BD 10. 已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ） A. 复数z的虚部是 B. C. 复数z的共轭复数是 D. 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的四则运算可得，再利用复数的概念、复数的模、共轭复数的概念以及复数的几何意义逐一判断即可. 【详解】， 对于A，复数z的虚部是，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，复数z的共轭复数是，故C正确； 对于D，，在复平面内，对应点的坐标为， 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限，故D正确. 故选：CD 11. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 四边形的周长为 D. 四边形的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】斜二测画法对应的平行关系、长度关系还原平面图，然后逐一验算各个选项即可得解. 【详解】对于AB：还原平面图如下图， 则，，，故A错误，B正确； 对于C：过作交于点，则， 由勾股定理得，， 故四边形的周长为：，即C正确； 对于D：四边形的面积为：，即D正确. 故选：BCD． 三､填空题（每小题5分，共15分） 12. __________. 【答案】 【解析】 【分析】由复数的除法计算得到结果. 【详解】依题意， ， 所以. 13. 正四棱锥P-ABCD的各条棱长均为2，则该四棱锥的表面积为______________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出底面积和侧面积，即可求出表面积. 【详解】因为正四棱锥P-ABCD的各条棱长均为2， 所以正四棱锥的底面积为，侧面积为， 所以该四棱锥的表面积为． 故答案为： 14. 在中，，面积，则等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用三角形的面积公式求出，然后利用余弦定理和正弦定理即可． 【详解】由题意及三角形面积公式可得， 可得， 由余弦定理可得， 所以， 所以． 故答案为：． 四､解答题（总77分） 15. （1）若复数，求； （2）在复数范围内，求方程的解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得复数，进而计算可求； （2）利用配方法可求解. 【详解】（1）由，可得，所以， 所以； （2）由，可得，所以， 所以. 16. 已知向量，. （1）求的值； （2）若向量满足，，求向量的坐标. 【答案】（1）7；（2）. 【解析】 【分析】(1)先计算,再求模即可； （2）设，进而计算，，再根据垂直与共线的坐标关系求解即可. 【详解】解：（1）因为向量，，所以，所以 （2）设，， 因为，， 所以， 解得 所以 17. 已知锐角三个内角、、的对边分别是，且． （1）求A的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理把边化为对角的正弦求解；（2）根据余弦定理和已知求出，再根据面积公式求解. 【详解】解：（1）由正弦定理得 ∵， ∴， 又∵ ∴ （2）由余弦定理 得所以 即 ∴ ∴的面积为 【点睛】本题考查解三角形.常用方法有正弦定理，余弦定理，三角形面积公式；注意增根的排除. 18. 如图，已知圆锥的顶点为P，O是底面圆心，AB是底面圆的直径，，． （1）求圆锥的表面积； （2）经过圆锥的高PO的中点作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，该圆锥的底面半径，母线，从而可求出锥的表面积， （2）先求出大圆锥的高，从而可求出小圆锥的高，进而可得圆台的体积等于大圆锥的体积减去小圆锥的体积 【详解】解：（1）由题意可知，该圆锥的底面半径，母线． ∴该圆锥的表面积． （2）在中，， ∵是PO的中点，∴． ∴小圆锥的高，小圆锥的底面半径， ∴截得的圆台的体积． 19. 已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且 （1）求角B的大小； （2）若，求面积的最大值； （3）若，且外接圆半径为2，圆心为O，P为⊙O上的一动点，试求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和化简得到，从而得到角B的大小； （2）由余弦定理和基本不等式得到，从而利用三角形面积公式求出面积最大值； （3）由正弦定理，余弦定理及，求出，利用极化恒等式求出的取值范围. 【小问1详解】 由及正弦定理可得： 又∵， ∴， 整理可得：， 可得， 可得：， ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 若，根据余弦定理得：，化简， 又∵， ∴，即：当且仅当时，有最大值6， ∵的面积． ∴当且仅当时，面积有最大值，最大值等于 【小问3详解】 由正弦定理，则，则， 由，可得，则， 则三角形ABC为等边三角形，取AB中点M，如图所示： 则 由OP=2，OM=1，则，则． 【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $