精品解析：山东省德州市夏津县2025-2026学年第二学期九年级第一次模拟数学试题

2025-2026学年第二学期九年级第一次模拟数学试题 （全卷满分150分，考试时间为120分钟） 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记为零分． 1. 今年春节小明的微信收入200元，记作元．若小明购买数学书籍，他的微信支出80元，则支出80元可以记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵支出与收入的意义相反， ∴若微信收入200元，记作元，则微信支出80元，可以记作元． 2. 盼盼在公园散步时看到了如图所示的石凳，则该石凳的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图中的俯视图，解题的关键是明确俯视图是从物体正上方观察得到的视图，能看到的轮廓用实线，看不到的轮廓用虚线． 从上方观察该石凳，能看到凳面的长方形轮廓，以及下方两个支撑腿的长方形轮廓，且支撑腿的轮廓不可见，应用虚线表示． 【详解】解：A选项是从正面观察得到的主视图，不符合题意； B选项是从侧面观察得到的左视图，不符合题意； C选项中支撑腿的轮廓用实线表示，不符合俯视图的绘制规则，不符合题意； D选项中凳面为长方形，支撑腿的不可见轮廓用虚线表示，符合俯视图的要求，此选项符合题意． 故选：D． 3. “北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．数据3600亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将原数化为的形式，取满足，小数点向左移动了11位，故． 【详解】解：亿 ． 4. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方及合并同类项的运算，解题的关键是牢记法则并熟记计算．根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可得答案． 【详解】解：A、，符合题意； B、，此选项不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； 故选：A． 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、的坐标分别为，，以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由位似图形的概念和性质，在平面直角坐标系中，根据位似变换的性质计算，判断即可． 【详解】解：∵以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小， ∴点的对应点的坐标是，即为． 6. 如图，从入口处进入，最后到达的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，根据真假命题的定义和特殊四边形的判定方法逐步分析即可． 【详解】解：“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”，由于等腰梯形也满足此条件，可知该命题不是真命题； “对角线互相垂直的四边形是菱形”，由于筝形也满足此条件，可知该命题不是真命题； 所以最后到达的是丁． 7. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，日到齐国；乙从齐国出发，日到长安．现乙先出发日，甲才从长安出发．问甲，乙再经过多少日相逢？设甲，乙再经过日相逢，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设长安到齐国的总路程为单位， ∵甲走完全程需要日，乙走完全程需要日， ∴甲的速度为，乙的速度为， 设甲乙再经过日相逢，则甲走的路程为，乙一共走了日，乙的总路程为， ∵相遇时甲乙的路程和等于总路程， ∴． 8. 若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是（　　） A. 4 B. 4 C. 4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式组得到含m的解集，再根据所有整数解的和为10确定不等式组的整数解，最后根据整数解得到m的取值范围． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． ∴不等式组的解集为． ∵不等式组所有整数解的和为，且， ∴不等式组的整数解为， ∴可得． 9. 如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据得出，即可求出，利用三角形外角的性质即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是的外接圆圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10. 已知某函数图像关于y轴对称，当，；当时，．若直线与这个函数图像有且仅有四个不同交点，则实数b的范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先利用函数关于轴对称的性质，画出函数图象，联立直线与抛物线解析式，通过判别式确定的值，结合图象分析得到的取值范围． 【详解】∵函数图象关于轴对称， 且当，；当时，． 由此可得函数图像如图： 根据图像可知，直线与这个函数图像有三个交点， 且直线与抛物线只有一个交点时， 直线与这个函数图像有三个交点， 联立直线与抛物线， 得，整理得， 判别式，解得， 此时直线方程为， 只有直线位于直线与中间时，有四个交点， 故当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点． 第Ⅱ卷（非选择题，共110分） 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 写出一个使有意义的x的值_____． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x的范围，进而得到答案． 【详解】解：要使有意义，必须， 则， ∴使有意义的x的值可以是3． 12. 岩岩妈妈的手机共安装了3款AI工具“豆包”、“千问”、“元宝”，若岩岩从中随机选择1款查阅资料，则恰好选择“豆包”的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再找出满足恰好选择“豆包”的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵岩岩从3款AI工具“豆包”、“千问”、“元宝”中随机选择1款查阅资料， 所有等可能出现的结果共3种，其中恰好选择“豆包”的结果有1种。 ∴根据概率公式可得，恰好选择“豆包”的概率是． 13. 已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是一元二次方程 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】设两条直角边长为一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再结合勾股定理即可求出斜边长． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为， ∵，是一元二次方程的两个根， ∴ ， ， 又∵该三角形为直角三角形， ∴， ∴ ， ∵ ， ． 14. 定义新运算：对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，例如：，若，则的值是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据定义可得：等于、中较大的值，当时，；当时，，解出方程，即可． 【详解】解：由题意知，等于a、b中较大的值 ∴当时 ∴ ∴ 解出， ∵ ∴取 当时 ∴ 解得：， ∵ ∴取 综上所述：的值为或． 15. 如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转90°得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．以上结论正确的是________．（填写序号） 【答案】①③④⑤ 【解析】 【分析】由旋转性质得，可得，，，进而由即可判断①；由即可判断②；根据的面积的不同表示方法即可得出③成立；由、、、、在以为直径的圆上，可以证明，即可判定④，设，由勾股定理解三角形可得，，即可判断⑤． 【详解】解：由旋转可知：， ∴，，， ∵在正方形中， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即，故①结论正确， ∵，， ∴，故②结论错误； ∵， ∴，故结论③正确； 如图： ∵在正方形中， ∴， ∴， ∴、、、、在以为直径的圆上， ∵， ∴，故结论④正确； 如图：过点作，交于， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴，（负根已舍去） ∵， ∴， ∴．故结论⑤正确； 综上所述：①③④⑤结论正确． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算、化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： . 17. 为弘扬校园文化，某校开展了校园文化知识竞赛，现从初一、初二两个年级分别随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行了收集、整理、描述、分析．竞赛成绩得分用x表示，数据分成5组：，，，，，其中分及以上为“良好”，分及以上为“优秀”，下面给出了部分信息： ①初一年级抽取学生成绩的频数分布直方图 ②初一年级学生在，这一组的成绩数据：81，82，83，85，85，87，88，89； ③初二年级20名学生成绩：65，69，70，75，80，82，83，85，86，88，88，90，91，92，93，94，95，96，98，100． ④初一、初二年级学生成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下： 年级 平均数 众数 中位数 优秀率 初一 86 85 a b 初二 86 88 45% 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的 ， ， ； （2）你认为哪个年级的学生对校园文化知识的掌握较好？请说明理由． （3）该校初一共有名学生，初二共有名学生，全部参加了此次知识竞赛，请估计初一、初二两个年级知识竞赛成绩“良好”的学生人数一共有多少？ 【答案】（1），， （2） 解：初二年级学生对校园文化知识的掌握较好． 理由：∵初一、初二年级学生成绩的平均数都是86分， 又∵初二年级学生成绩的众数和中位数都大于初一年级学生成绩的众数和中位数，且初二年级学生成绩的优秀率也高于初一年级学生成绩的优秀率， ∴初二年级学生对校园文化知识的掌握较好． （3）人 【解析】 【分析】本题考查了样本估计总体，求中位数，众数； （1）根据中位数、众数的意义，分别求出初一年级的中位数和初二年级的众数，用90分及以上人数除以初一年级总人数可得的值； （2）比较两个年级的平均数、中位数和众数即可； （3）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：∵按照从小到大排列，初一年级学生成绩中位数应为第10和第11名成绩的平均数，而第10和第11名落在一组的成绩数据，故； 初一年级的优秀率， 初二年级抽取的学生竞赛成绩出现次数最多的是88，共出现2次，因此众数是88，即， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵初一共有800名学生，初二共有900名学生， ∴初一、初二成绩“良好”的学生人数一共有（人）． 18. 某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下． 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 1．站在与教学楼底部同一水平地面的处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部处（此时三点在同一条直线上）； 2．测量两点和两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛处看校徽顶部处的仰角； 4．向后退至点处时，视线恰能看到校徽底部处（此时三点在同一条直线上），测量两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛处看校徽底部处的仰角． 实验图示 测量数据 1．AD 2． 3． 4．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直． 参考数据：，cos，． 请你根据以上实验过程和测量的数据，完成： （1）______________________； （2）计算校徽的高度．（结果保留整数） 【答案】（1）14；27.5 （2）2.02 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出答案； （2）先根据，求出，同理求出，然后根据得出答案． 【小问1详解】 解：由题意，得四边形，四边形为矩形， ∴， ． 【小问2详解】 在中，， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， 所以校徽的高度为． 19. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，且与y轴交于点B，第二象限内的点C在反比例函数图象上，且以点C为圆心的圆与轴、y轴分别相切于点D、B． （1）求和的值； （2）根据图象，当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出B点坐标，再利用切线的性质结合正方形的判定与性质得出C点坐标，进而利用待定系数法求出反比例函数和一次函数解析式，即可得答案； （2）利用E点坐标结合函数图象得出x的取值范围． 【小问1详解】 解：如下图：连接， 与x轴，y轴相交于点D，B， ， 四边形是正方形， 当时，， 点B的坐标是， ， 的坐标是， 把代入得到，则， ， 把代入得到，则， ， ， ， 综上所述：，； 【小问2详解】 解：如（1）图，直线于x轴相交于E点， ， ，解得：， ， 由图像可知，当时，， 的取值范围为． 20. 春联承载着中国人对新一年的美好祝愿和期盼．年马年来临之前，小颖家的文具店计划购进套春联，“手写春联”进价元套，“印刷春联”进价元套． （1）若小颖家购进这批春联共用了元，求“手写春联”和“印刷春联”各购进了多少套； （2）若购进“手写春联”不能少于“印刷春联”的倍，且购进的总费用最低，应如何选购？ （3）若采取（）中的选购方案，且均按元套的价格全部售出，请计算出此次盈利情况． 【答案】（1）“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套； （2）“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套时购进的总费用最低； （3）此次盈利元． 【解析】 【分析】（）设“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套，根据题意得，然后解方程组即可； （）设购进的总费用为元，“手写春联”购进了套，则“印刷春联”购进了套，由题意得，又由购进“手写春联”不能少于“印刷春联”的倍，求得，再通过一次函数的性质即可求解； （）根据题意得此次盈利为，然后通过有理数运算法则即可求解． 【小问1详解】 解：设“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套， 根据题意得：， 解得：， 答：“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套； 【小问2详解】 解：设购进的总费用为元，“手写春联”购进了套，则“印刷春联”购进了套， 由题意得：， ∵购进“手写春联”不能少于“印刷春联”的倍， ∴，解得：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，最小， 此时“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套； 【小问3详解】 解：由（）得：“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套， ∴此次盈利 （元）， 答：此次盈利元． 21. 如图，是的直径，交的边于点，连接，已知，，． （1）求证：是的切线． （2）①用圆规和无刻度的直尺在图中作出的角平分线交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． ②在①的条件下，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的直径， ∴是的切线． （2） ①如图，为的角平分线，交于点． ② 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形性质、圆周角定理与外角性质，推导出，结合切线判定定理证明是的切线； （2）先由勾股定理求出，再利用等腰三角形三线合一证，结合平行线性质证，最后通过相似三角形对应边成比例求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：∵，，， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即， ∴． 22. 已知抛物线（a为常数）经过点． （1）求a的值． （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值． （3）设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线、之间．若直线、之间的距离为16，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出对称轴，由题意可知关于对称轴对称，的纵坐标均为，中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出的值即可； （3）根据题意，易得要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，根据直线、之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，令，求出的值，进而确定、的值，进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得：， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴对称轴为直线， ∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于B、C两点， ∴B、C两点关于对称轴对称，B、C的纵坐标均为， 又∵点B为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴代入，得：， ∴； 【小问3详解】 解：∵ ， ∴抛物线的顶点坐标， 当抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线、之间时，、为直线与抛物线的交点， ∴要使最大，则、为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称， 又∵直线、之间的距离为16，为定值， ∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点时，即： 时，最大，此时另一条直线的解析式为， 如图： ∴当时， 解得：， 即：，， ∴的最大值为：． 23. 在中，，将绕点C旋转得到，点A的对应点D在边上，连接． （1）如图1，求证：； 将下列探究过程补充完整： 解：由旋转的性质可知，，， ， ___， ∴ （2）如图2，当，时，求的长； （3）如图3，过点E作的平行线交的延长线于点F，连接交于K． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 【答案】（1）；；利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 （2） （3）①证明：由旋转的性质可知，，，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ② 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，旋转角相等即，则，根据两边对应成比例且夹角相等，可证； （2）由推得，在中由勾股定理得，即，结合相似比与勾股定理，即可求解； （3）①由旋转性质得，，结合推得，满足全等条件，可证；②设，则、，由等腰三角形三线合一得，证得，再根据证明，进而即可求解． 【小问1详解】 证明：由旋转的性质可知，，，， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ，， 又， ， ， 在直角中，， ， ， ， ， 在直角中，， ， 解得，； 【小问3详解】 ①略 ②解：如图，作，垂足为，延长、交于点，设， ， ， 在直角中，， ， ， ， ， ， ， ， ∴是等腰三角形，且， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题以直角三角形的旋转为核心载体，融合旋转性质、相似与全等三角形判定、勾股定理等知识，通过角度与线段的转化推导结论，体现了转化化归与逻辑推理的核心数学思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级第一次模拟数学试题 （全卷满分150分，考试时间为120分钟） 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记为零分． 1. 今年春节小明的微信收入200元，记作元．若小明购买数学书籍，他的微信支出80元，则支出80元可以记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 盼盼在公园散步时看到了如图所示的石凳，则该石凳的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. “北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．数据3600亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、的坐标分别为，，以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，从入口处进入，最后到达的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，日到齐国；乙从齐国出发，日到长安．现乙先出发日，甲才从长安出发．问甲，乙再经过多少日相逢？设甲，乙再经过日相逢，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是（　　） A. 4 B. 4 C. 4 D. 4 9. 如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知某函数图像关于y轴对称，当，；当时，．若直线与这个函数图像有且仅有四个不同交点，则实数b的范围是（ ） A. B. C. D. 或 第Ⅱ卷（非选择题，共110分） 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 写出一个使有意义的x的值_____． 12. 岩岩妈妈的手机共安装了3款AI工具“豆包”、“千问”、“元宝”，若岩岩从中随机选择1款查阅资料，则恰好选择“豆包”的概率是________． 13. 已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是一元二次方程 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是______． 14. 定义新运算：对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，例如：，若，则的值是__________． 15. 如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转90°得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．以上结论正确的是________．（填写序号） 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算、化简： （1） （2） 17. 为弘扬校园文化，某校开展了校园文化知识竞赛，现从初一、初二两个年级分别随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行了收集、整理、描述、分析．竞赛成绩得分用x表示，数据分成5组：，，，，，其中分及以上为“良好”，分及以上为“优秀”，下面给出了部分信息： ①初一年级抽取学生成绩的频数分布直方图 ②初一年级学生在，这一组的成绩数据：81，82，83，85，85，87，88，89； ③初二年级20名学生成绩：65，69，70，75，80，82，83，85，86，88，88，90，91，92，93，94，95，96，98，100． ④初一、初二年级学生成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下： 年级 平均数 众数 中位数 优秀率 初一 86 85 a b 初二 86 88 45% 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的 ， ， ； （2）你认为哪个年级的学生对校园文化知识的掌握较好？请说明理由． （3）该校初一共有名学生，初二共有名学生，全部参加了此次知识竞赛，请估计初一、初二两个年级知识竞赛成绩“良好”的学生人数一共有多少？ 18. 某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下． 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 1．站在与教学楼底部同一水平地面的处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部处（此时三点在同一条直线上）； 2．测量两点和两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛处看校徽顶部处的仰角； 4．向后退至点处时，视线恰能看到校徽底部处（此时三点在同一条直线上），测量两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛处看校徽底部处的仰角． 实验图示 测量数据 1．AD 2． 3． 4．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直． 参考数据：，cos，． 请你根据以上实验过程和测量的数据，完成： （1）______________________； （2）计算校徽的高度．（结果保留整数） 19. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，且与y轴交于点B，第二象限内的点C在反比例函数图象上，且以点C为圆心的圆与轴、y轴分别相切于点D、B． （1）求和的值； （2）根据图象，当时，直接写出x的取值范围． 20. 春联承载着中国人对新一年的美好祝愿和期盼．年马年来临之前，小颖家的文具店计划购进套春联，“手写春联”进价元套，“印刷春联”进价元套． （1）若小颖家购进这批春联共用了元，求“手写春联”和“印刷春联”各购进了多少套； （2）若购进“手写春联”不能少于“印刷春联”的倍，且购进的总费用最低，应如何选购？ （3）若采取（）中的选购方案，且均按元套的价格全部售出，请计算出此次盈利情况． 21. 如图，是的直径，交的边于点，连接，已知，，． （1）求证：是的切线． （2）①用圆规和无刻度的直尺在图中作出的角平分线交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． ②在①的条件下，求的长． 22. 已知抛物线（a为常数）经过点． （1）求a的值． （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值． （3）设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线、之间．若直线、之间的距离为16，求的最大值． 23. 在中，，将绕点C旋转得到，点A的对应点D在边上，连接． （1）如图1，求证：； 将下列探究过程补充完整： 解：由旋转的性质可知，，， ， ___， ∴ （2）如图2，当，时，求的长； （3）如图3，过点E作的平行线交的延长线于点F，连接交于K． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $