21.3.1 矩形 第2课时 矩形的判定 课件 -2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十一章 四边形 21.3 特殊的平行四边形 21.3.1 矩形 第2课时 矩形的判定 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 对角线相等的平行四边形是矩形 6. 课堂小结 3. 新课导入 7. 当堂小练 CONTENTS 8. 对接中考 9. 拓展与延伸 2. 知识回顾 5. 知识点2 有三个角是直角的四边形是矩形的性质 1. 经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理. 2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题. 学习目标 知识回顾 矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 矩形有哪些性质？ 对称性：轴对称图形，有两条对称轴. 边：对边平行且相等. 角：四个角都是直角. 对角线：对角线相等且互相平分. 新课导入 思考 工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？ 这节课我们一起探讨矩形的判定吧. 新课导入 我们在研究平行四边形的判定时，用了什么判定方法？ 定义法、性质定理的逆命题. 类比平行四边形的判定，如何研究矩形的判定？ 定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 性质定理： 性质1 矩形的四个角都是直角. 性质2 矩形的对角线相等. 逆命题是否成立？ 问题 回顾 新课讲解 知识点1 对角线相等的平行四边形是矩形 符号语言： 在平行四边形ABCD中， ∵∠A=90〫 ∴平行四边形ABCD是矩形. A B D C ┐ 矩形的定义可以作为判定四边形是矩形的方法，即 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 新课讲解 我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的四边形是矩形吗？ 若是把“四边形”换成“平行四边形” 成立吗？ 即对角线相等的平行四边形是矩形. 思考1 新课讲解 如图，在□ABCD中，AC ，DB是它的两条对角线，AC=DB. 求证：□ABCD是矩形. A B C D 证明：∵AB = DC，BC = CB，AC = DB， ∴ △ABC≌△DCB ， ∴∠ABC = ∠DCB. ∵AB∥CD， ∴∠ABC + ∠DCB = 180°， ∴ ∠ABC = 90°， ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）. 新课讲解 对角线相等的平行四边形是矩形. 矩形的判定1： 符号语言： 如图，在□ ABCD中，∵AC=BD， ∴ □ ABCD是矩形. A B C D 新课讲解 工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等. 你知道其中的道理吗？ 对角线相等的平行四边形是矩形. 新课讲解 例 1. 如图，在□ ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°.求∠OAB的度数． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC= AC，OB=OD= BD. 又∵OA=OD ∴ AC=BD, ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90〫. A D B C O 又∵∠OAD=50〫， ∴ ∠OAB=40〫. 新课讲解 练一练 1. 如图，在△ABC中，点D，E 分别是AB，AC 的中点，连接ED 并延长至点F，使DF＝DE，连接AF，BF，BE． (1)求证：△ADE ≌△BDF； (2)若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE 是矩形． (2) ∵AD＝BD，DF＝DE， ∴四边形AFBE是平行四边形． ∵点D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线．∴DE∥BC.∴∠DEB＝∠CBE. ∵∠ABE＝∠CBE，∴∠DEB＝∠ABE. ∴DB＝DE.∴AB＝EF. ∴平行四边形AFBE是矩形． 新课讲解 知识点2 有三个角是直角的四边形是矩形 思考2 我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？ 如何证明这一猜想？ 有三个角是直角的四边形是矩形. A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) A B D C (有三个角是直角) A B D C (有四个角是直角) 猜想 思考 新课讲解 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°， ∴AD∥ BC，AB∥ CD. ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形. A B C D 新课讲解 有三个角是直角的四边形是矩形. 符号语言： 在四边形ABCD中， ∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 矩形的判定2： A B D C ┐ ┐ ┐ 新课讲解 例 1. 如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形． A B D C G F E H 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC=180°. 又AF，DF分别平分∠BAD，∠ADC， ∴∠DAF+∠ADF = ∠BAD+ ∠ADC = (∠BAD+∠ADC)=90°， ∴∠F=90°.同理∠H=∠AEB=90°， ∴ ∠FEH= ∠AEB =90°. ∴四边形EFGH为矩形. 新课讲解 练一练 2. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F 分别为垂足． (1)求证：△ABE ≌△CDF； (2)求证：四边形AECF是矩形． 证明：(1) ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC. ∵AE⊥BC，CF⊥AD， ∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°. (2) ∵AE⊥BC，CF⊥AD， ∴∠AEC＝∠CFA＝90°. ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC. ∴∠FAE＝180°－∠AEC＝90°. ∴四边形AECF是矩形． 新课讲解 练一练 3. 如图，在△ABC中，AB=BC， BD平分∠ABC. 四边形ABED是平行四边形， DE交BC于点F，连接CE. 求证：四边形BECD是矩形. 证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC，AD=CD. ∵四边形ABED是平行四边形， ∴BE//AD，BE=AD， ∴BE=CD， ∴四边形BECD是平行四边形. ∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°， ∴四边形BECD是矩形. 等腰三角形“三线合一” 有一个角是直角的平行四边形是矩形 新课讲解 归纳 判定方法 数学语言 图形 角 对角线 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形. 在四边形ABCD中，∵∠A= ∠B=∠C=90〫，∴四边形ABCD是矩形. A B D C A D B C O 对角线相等的平行四边形是矩形. 在ABCD中， ∵ AC= BD， ∴ ABCD是矩形. 在ABCD中， ∵∠A= 90〫 ∴ ABCD是矩形. 课堂小结 矩形的 判定定理 有一个角是直角的平行四边形 有三个角是直角的四边形 对角线相等的平行四边形 当堂小练 1. 下列各句判定矩形的说法是否正确？ （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （5）有三个角是直角的四边形是矩形； （6）四个角都相等的四边形是矩形； （7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有三个角都相等的四边形是矩形； × × × × √ √ √ √ （8）一组对角互补的平行四边形是矩形. 当堂小练 2. 下列命题中，假命题的是（ ）. A.有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形 B.有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形 A C.有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形 D.有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形 可能是直角梯形 当堂小练 3. 下列说法正确的是( ) A. 有一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形 B. 一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D. 有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形 D 解：A 是错误的，提供的条件甚至不能证明它是平行四边形； B 中提供的条件对于直角梯形也成立，所以是错误的； 对角线互相垂直的平行四边形不一定是矩形，所以C是错误的； 由对角线互相平分可知，这个四边形是平行四边形，又有一个角是直角，根据矩形的定义可知其是矩形，所以D正确. 当堂小练 4. 如图，要使▱ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是( ) A. AB∥CD B. AB＝BC C. ∠ABC＝∠ADC D. AC＝BD D 当堂小练 5. 如图，直线EF∥MN，PQ交EF、MN于A、C两点，AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的平分线，则四边形ABCD是 （ ） A. 梯形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 不能确定 D E F M N Q P A B C C 当堂小练 6. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形． 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AO＝OC，OD＝OB. ∵AN＝CM，ON＝OB， ∴ON＝OM＝OD＝OB， ∴四边形NDMB为平行四边形，MN＝BD， ∴平行四边形NDMB为矩形． 当堂小练 7. 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠B=∠D，AE平分∠BAD交BC于点E，若AB=3，AE=，求证：四边形ABCD是矩形. A B C D E 证明：∵ AB//CD，∴∠B+∠C=180〫. ∵ ∠B=∠D，∴∠C+∠D=180〫，∴AD//BC. ∴四边形ABCD是平行四边形，∠DAE=∠AEB. ∵ AE平分∠BAD， ∴ ∠BAE = ∠DAE = ∠AEB ， ∴ BE=AB=3. ∵ AE= ， ∴， ∴△ABE是直角三角形，∠B=90〫， ∴四边形ABCD是矩形. 对接中考 1. 如图，点C是BE的中点，四边形ABCD 是平行四边形． (1)求证：四边形ACED 是平行四边形； (2)如果AB＝AE，求证：四边形ACED 是矩形． 证明：(1) ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC，且AD＝BC． ∵点C 是BE 的中点， ∴ BC＝CE. ∴ AD＝CE. ∵ AD∥CE， ∴四边形ACED 是平行四边形. (2) ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB＝DC. ∵ AB＝AE， ∴ DC＝AE. ∵四边形ACED 是平行四边形， ∴四边形ACED 是矩形. 对接中考 2. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F． (1)求证：FA＝BD； (2)连接BF，若AB＝AC，求证：四边形ADBF 是矩形． 证明：(1) ∵ AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE. 又∵ E 是AD 的中点， ∴ AE＝DE， ∴△AEF≌△DEC(AAS). ∴AF＝DC. 又∵ D 是BC 的中点， ∴ BD＝CD. ∴ FA＝BD. (2) ∵ AF＝BD，FA∥BD， ∴四边形ADBF 是平行四边形. ∵ AB＝AC，D 是BC 的中点， ∴ AD ⊥ BC. ∴∠ADB＝ 9 0°. ∴四边形ADBF 是矩形． 拓展与延伸 1. 如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，点H是BC延长线上一点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠ACH的平分线于点F. (1)证明：EO＝FO； (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？简要说明 理由. (1)证明：∵ MN∥BC，∴∠CEO＝ ∠ECB. ∵ CE 是∠BCA 的平分线， ∴∠ECO＝ ∠ECB. ∴∠CEO＝ ∠ECO. ∴ EO＝OC. 同理可得FO＝OC， ∴ EO＝FO. (2)解：点当O运动到AC 的中点时， 四边形AECF 是矩形. 理由：由(1)知OE＝OF. 又∵ AO＝CO， ∴四边形AECF 是平行四边形. ∵ OE＝OC，∴ AC＝EF. ∴四边形AECF 是矩形. 拓展与延伸 2.【问题背景】已知矩形ABCD与矩形CEFG共顶点C, AB＝CG，BC＝CE，连接AF交BE的延长线于点M. 【特例感知】 (1)如图①，当点E在CD上时，试判断∠DAF与∠EFM的大小， 并说明理由. 解：∠DAF＝∠EFM.理由如下： ∵矩形ABCD与矩形CEFG共顶点C，且E在CD上， ∴EF⊥CD，AD⊥CD， ∴AD∥EF， ∴∠DAF＝∠EFM. 拓展与延伸 【拓展探究】 (2)如图②，当点E不在CD上时，求证： ①∠DAF＝∠EFM＋∠DCE；②AM＝MF. 证明：①如图，过点F作FP⊥CD，交CD于点P，交CE于点Q， ∵AD⊥CD，∴AD∥FP， ∴∠DAF＝∠AFP＝∠EFM＋∠EFQ. ∵在Rt△CPQ与Rt△FEQ中， ∠PQC＝∠EQF，∠CPQ＝∠FEQ＝90°， ∴∠PCQ＝∠EFQ，即∠DCE＝∠EFQ， ∴∠DAF＝∠EFM＋∠DCE. ②如图，过点A作AN∥EF，交BM的延长线于点N. ∴∠NAM＝∠EFM，∠ANM＝∠MEF. ∵BC＝CE，∴设∠EBC＝∠BEC＝α. ∵CE⊥EF，∴∠ANM＝∠MEF＝90°－α， 又∠ABN＝90°－α，∴AN＝AB＝EF. ∴△ANM≌△FEM(ASA)．∴AM＝MF. 证明：(1) ∵点D是AB的中点， ∴AD＝BD. 在△ADE和△BDF中， ∴△ADE≌△BDF(SAS)． 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(AAS)． $