21.3.1 矩形-第2课时 矩形的判定 课件 2025—2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章 四边形 21.3 特殊的平行四边形 21.3.1 矩形 第2课时 矩形的判定 数 学 八年级 下册 1 1.会用矩形的定义来判定一个四边形为矩形. 2.探究矩形的判定定理，会证明一个四边形为矩形. 3.能解决与矩形相关的几何问题. 2 综合应用矩形的判定与性质解决几何问题. 3 解决与矩形相关的几何综合题. 4 小丽同学想买一条方形纱巾，有一天她在商店里看到一块漂亮的纱巾， 非常想买，但她感觉这块纱巾不是方形.商店老板看她犹豫不决的样子，就 上前询问，小丽同学说出了她的想法，商店老板马上拉起一组对角（如图）， 让小丽看另一组对角是否对齐，小丽很疑惑，你能帮小丽同学拿主意吗？学 完本节课，我们就会作出准确判断了. 5 （真情境）小华想判断家里的门框是否为矩形，他设计了四种方案：①测量 三个角是否都是直角；②测量对角线是否互相平分；③测量两组对边是否分 别相等；④测量一组对角是不是直角.请直接写出方案正确的序号. 解：①. 6 若四边形 的对角线互相平分，要使它变为矩形，则添加的条件可以是 ( ) B A. B. C. D. 7 矩形的判定定理（1） 阅读课本本课时开始至第二个“思考”之前的内容，解答下列问题. 8 1.如图，若的对角线 . 9 （1）与 全等吗？为什么？ 解：全等.，， ， . （2）由（1）可知_______.由可知_______ _____， 所以这两个角都是______. （3）结论：对角线相等的平行四边形，一定有一个内角是______. 直角 直角 2.回顾矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是______. 3.对角线相等的平行四边形是______. 矩形 矩形 10 学法指导 要运用矩形的定义或上面的判定定理来证明一个四边形是矩形， 都要先根据该四边形满足的条件说明它是平行四边形，再说明它是矩形. 11 1.四边形的对角线，相交于点 ，从以下四个条件： ，；，； ； 中选两个，能推出四边形 是矩形的是( ) C A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ①③ 2.在四边形中， ，添加下列选项中的条件，不能判定四边形 为矩形的是( ) C A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 12 矩形的判定定理（2） 阅读课本本课时第二个“思考”至“练习”前的内容，解答下列问题. 1.若一个四边形有三个角都是直角，则第四个角是什么角？ 【答案】根据四边形的内角和可知第四个角也是直角. 13 2.如图，四边形的四个内角都为直角，则有 ， ，则四边形 的两组对边有什么位置关系？四边形 是不是平行四边形？四边形 是不是矩形？ 【答案】分别平行.四边形是平行四边形.四边形 是矩形. 3.结论：有三个角是直角的四边形是平行四边形.由矩形的定义可知，该四边 形是______. 矩形 14 归纳总结 矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是______. 学法指导 运用该判定定理可以直接证明一个满足条件的四边形是矩形，不 必先说明它是平行四边形，再说明它是矩形. 矩形 15 下列命题是假命题的是( ) C A. 四个角都相等的四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 有一个角为直角的四边形是矩形 D. 有三个角是直角的四边形是矩形 16 矩形的判定 例1 如图，在中， ，为 边上任意一点 （不与点,重合），过点作，，分别交 , 于点,，连接 . 17 （1）求证：四边形 为矩形. 解：证明：， ， 四边形 为平行四边形. 又 ， 四边形 为矩形. 18 （2）若，，求点到 的距离. 解：如图，过点作于点 . 在中，， ， . ， ， 点到的距离为 . 19 矩形的判定与性质 例2 如图，在中，，，，为 边上一动点， 于点，于点 . 20 （1）求证：四边形 是矩形. 解：证明： ， . 于点，于点 ， ， ， 四边形 是矩形. 21 （2）在点的运动过程中， 的长度是否存在最小值？若存在，请求出最 小值；若不存在，请说明理由. 解：存在.如图，连接 . 四边形是矩形， . 当时，最短，此时， ， 即，解得 ， 22 的长度的最小值为 . 23 1.（新考法·识别图形）如图，在四边形中，和 是对角线，依据 图中所标的角度及线段长度，下列四边形不一定为矩形的是( ) 24 A. B. C. D. √ 2.在中，对角线，相交于点，且 ，要使平行四边形 为矩形，则 的长是( ) B A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 26 3.如图，在四边形中，， ，在不添加任何辅助线的前 提下，要想四边形 成为一个矩形，只需添加的一个条件是__________ _______________. （答案不唯一） 27 4.如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点 ，且 ，求证：四边形 是矩形. 28 证明：， . 四边形 是平行四边形， ， ， ， 四边形 是矩形. 29 5.如图，点在的边上， ，请从以下三个条件： ；；中选择一个合适的，使得 为 矩形. （1）你添加的条件是__________________（填序号）. ①（选②也可以）. 30 （2）添加条件后，请证明 为矩形. 解：证明： 四边形 是平行四边形， ，， . 在和中， ， ， ， 为矩形. (选②，先证明, 可得 ) 31 6.如图，在矩形中，，分别是边，上的动点，是线段 的 中点，，，，为垂足，连接.若， ， ，则 的最小值是___. 8 32 提示：如图，连接，， . 四边形 是矩形， ， ， . 是线段 的中点， . ， ， 33 ， 四边形 是矩形， . 当，，三点共线时，最小，且的最小值为 ， 的最小值是8.故答案为8. 7.如图，点，，在同一条直线上，，分别平分与 ， ，，垂足分别为，，连接交于点 . 35 （1）求证：四边形 是矩形. 解：证明：，分别平分与 ， ， . 点，， 在同一条直线上， ， ， ， 36 . ， ， ， 四边形 是矩形. （2）猜想与 的位置关系，并证明你的结论. 解： . 证明：由（1）知，四边形 是矩形， ， . 平分 ， ， ， . 38 8.如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，， 分别为 ，的中点，延长至，使，连接 . 39 （1）求证： . 解：证明： 四边形 是平行四边形， ，，， ， . ，分别为， 的中点， ， ， . 40 在和中， . （2）请写出当线段与线段满足什么数量关系时，四边形 是矩形， 并说明理由. 解：当时，四边形 是矩形. 理由：， ， . 是 的中点， ， 42 ， 同理 ， ， . ， ， 是 的中位线， ， ， 四边形 是平行四边形. ， 四边形 是矩形. 9.如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点 作 于点，延长至点，使，连接 . 45 （1）求证：四边形 是矩形. 解：证明： 四边形 是平行四边形， 且 ， . 在和 中， 46 ， ， ， . ， ， 四边形 是平行四边形. ， 四边形 是矩形. （2）连接，若，，，求 的长. 解：由（1）可知，四边形 是矩形， . ，， . 在中， . 在中， . 四边形 是平行四边形， 48 . ， . $