21.2.2 平行四边形的判定 第1课时 通过两组对边、两组对角、对角线判定平行课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章 四边形 21.2 平行四边形 21.2.2 平行四边形的判定 第1课时 通过两组对边、两组对角、对角线判定平行四边形 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 7. 课堂小结 3. 新课导入 8. 当堂小练 CONTENTS 9. 拓展与延伸 2. 知识回顾 5. 知识点2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 6. 知识点3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 1. 理解并掌握平行四边形的 3 种判定方法（两组对边分别相等、两组对角分别相等、对角线互相平分），能区分判定定理与性质定理的关系（互逆）. 2. 能运用平行四边形的判定定理，解决 “证明四边形是平行四边形” 的简单几何问题，并初步学会从 “性质逆推判定” 的逻辑思考方式. 学习目标 知识回顾 两条平行线之间的距离 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. 如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等. 平行四边形的性质有哪些？ 对边相等 对角线互相平分 对角相等 两条平行线之间距离的性质 新课导入 问题 两组对边分别平行的四边形叫平行四边形. A B C D 四边形ABCD 如果AB∥ CD，AD∥ BC 平行四边形的定义是什么？有什么作用？ B D ▱ABCD A C 可以用平行四边形的定义来判定平行四边形，如： 新课导入 平行四边形的判定定理（定义法）： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 符号语言: ∵ AD∥ BC，AB∥ CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 根据平行四边形的定义，可以从边的位置关系的角度来判定，还有其他判定平行四边形的方法吗？ 新课讲解 知识点1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 思考 我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.反过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？ 逆命题1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 逆命题2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 逆命题3：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 新课讲解 逆命题1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 已知： 如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC. 求证： 四边形ABCD是平行四边形. A D C B 证明：连接AC， 在△ABC和△CDA中, ， ∴△ABC≌△CDA(SSS) ∴ ∠1=∠4，∠ 2=∠3， ∴AB∥ CD，AD∥ BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. 新课讲解 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 平行四边形的判定定理1 符号语言： ∵AD =BC，AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 新课讲解 例 1. 如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°. 求证：四边形PONM是平行四边形． 证明：Rt△MON中， 由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2， 解得x＝8. ∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5. ∴PM＝ON，OP＝MN， ∴四边形PONM是平行四边形． 新课讲解 练一练 1. 如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE＝CF，BF＝DE. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵BF＝DE， ∴BF－EF＝DE－EF，即BE＝DF. ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°. 又∵AE＝CF， ∴△ABE≌△CDF， ∴AB＝CD. ∵AE＝CF，∠AED＝∠CFB，DE＝BF, ∴△AED≌△CFB， ∴AD＝CB. ∴四边形ABCD是平行四边形. 新课讲解 练一练 2. 如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形． 解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形， ∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°， ∴∠DBF＝∠ABC. 又∵BD＝BA，BF＝BC， ∴△ABC≌△DBF(SAS)， ∴AC＝DF＝AE. 同理可证△ABC≌△EFC， ∴AB＝EF＝AD， ∴四边形DAEF是平行四边形． 新课讲解 知识点2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 逆命题2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 已知： 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D. 求证： 四边形ABCD是平行四边形. A D C B 证明：∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°， 又∵∠A=∠C，∠B=∠D， ∴2∠A+2∠B=360°， 即∠A+∠B=180°， ∴ AD∥ BC. 同理得 AB∥ CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 新课讲解 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 平行四边形的判定定理2 符号语言： ∵ ∠A=∠C，∠B=∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形. A D C B 新课讲解 例 2. 如图，四边形ABCD中，AB∥ DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°. (1) 求∠D的度数； (2) 求证：四边形ABCD是平行四边形． (1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°， ∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°. (2)证明：∵AB∥ DC，∴∠2＝∠CAB， ∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°. ∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°， ∴∠DCB＝∠DAB＝125°. 又∵∠D＝∠B＝55°， ∴四边形ABCD是平行四边形． 新课讲解 练一练 1. 判断下列四边形是否为平行四边形： A D C B 110° 70° 110° A B C D 120° 60° 是 不是 新课讲解 练一练 2. 如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE＝CF，BF＝DE. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵BF＝DE， ∴BF－EF＝DE－EF，即BE＝DF. ∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°. 又∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF. ∴∠ABE＝∠CDF，∠BAE＝∠DCF. ∵AE＝CF，∠AED＝∠CFB，DE＝BF， ∴△AED≌△CFB， ∴∠ADE＝∠CBF，∠DAE＝∠BCF. ∴∠ABE＋∠CBF＝∠CDF＋∠ADE， ∠BAE＋∠DAE＝∠DCF＋∠BCF， 即∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 新课讲解 知识点3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 逆命题3：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 已知：如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC， OB=OD. 求证： 四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD， ∴△AOB≌△COD (SAS)， ∴ ∠OAB=∠OCD , ∴AB∥ CD , 同理 AD∥ BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. A D C B O 新课讲解 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 平行四边形的判定定理3 符号语言： ∵ OA=OC，OB=OD ， ∴四边形ABCD是平行四边形. A D C B O 新课讲解 例 3. 如图，▱ABCD 的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，并且AE = CF. 求证：四边形BFDE是平行四边形. 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AO = CO，BO = DO. ∵ AE = CF， ∴ AO - AE = CO - CF，即 EO = FO. 又 BO = DO， ∴ 四边形 BFDE 是平行四边形. 你还有其他证明方法吗？ 新课讲解 练一练 1. 如图，线段AB，CD相交于点O，E，F分别是AB上的四等分点，G，H分别是CD上的四等分点，则图中的点可以构成____个平行四边形． A B C O D 4 E F G H 新课讲解 练一练 2. 如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，AD∥BC，E，F 分别是OB，OD的中点. 求证：四边形AFCE 是平行四边形. 课堂小结 平行四边形的判定定理 定义法: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 当堂小练 1. 根据下列条件，不能判定四边形为平行四边形的是 ( ) A.两组对边分别相等 B.两条对角线互相平分 C.两条对角线相等 D.两组对边分别平行 C 当堂小练 对角线互相平分的四边形是平行四边形 当堂小练 D 3. 下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　) A．∠A＝∠C，∠B＝∠D B．∠A＝∠B＝∠C＝90° C．∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180° D．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180° 4. 如图，E是▱ABCD的边AD的延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是(　　) A．∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF C．∠AEB＝∠BCD D．∠AEC＝∠CBD 当堂小练 C 当堂小练 5. 小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是(　　) A．①② B．③④ C．②③ D．①④ B 当堂小练 6. 一个四边形的边长依次是a，b，c，d，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形一定是______________． 平行四边形 当堂小练 7. 如图，以△ABC的三边为一条边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，求证：四边形ADEF是平行四边形． 证明：∵△ABD，△BCE都是等边三角形， ∴BD＝AB，BC＝BE，∠DBA＝∠EBC＝60°. ∴∠DBA－∠EBA＝∠EBC－∠EBA，即∠DBE＝∠ABC. ∴△DBE≌△ABC(SAS)．∴DE＝AC. 又∵△ACF是等边三角形，∴AC＝AF，∴DE＝AF. 同理可证AD＝EF，∴四边形ADEF是平行四边形． 拓展与延伸 1. 如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BC至点E，使BE＝CD.连接AE交CD于点F．连接BF，AC，DE，已知∠DAE＝60°． (1)求∠BAD的度数； (2)若BF⊥AE，求证：四边形ACED是平行四边形． 解：(1) ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB＝60°. ∵BE＝CD，∴AB＝BE， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠BAE＝60°， ∴∠BAD＝∠BAE＋∠DAE＝120°. 拓展与延伸 2. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5 cm，E，F为直线BD上的两个动点(点E，F始终在▱ABCD的外面)，连接AE，CE，CF，AF． ②若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求四边形AFCE的周长. ②解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC.∴∠DAC＝∠BCA. ∵CA平分∠BCD，∴∠BCA＝∠DCA. ∴∠DCA＝∠DAC.∴AD＝CD.∵OA＝OC，∴OE⊥AC. ∴OE是AC的垂直平分线．∴AE＝CE. ∵∠AEC＝60°，∴△ACE是等边三角形． ∴AE＝CE＝AC＝2OA＝10 cm. 由(1)可知，四边形AFCE为平行四边形， ∴C四边形AFCE＝2(AE＋CE)＝2×(10＋10)＝40(cm)． 拓展与延伸 2. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5 cm，E，F为直线BD上的两个动点(点E，F始终在▱ABCD的外面)，连接AE，CE，CF，AF． 证明：∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵E，F分别是OB，OD的中点， ∴OE＝OB，OF＝OD. ∴OE＝OF. ∴四边形AFCE是平行四边形． 2. 如图，在△ABC中，按如下步骤尺规作图： ①分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，F； ②作直线EF，交AC于点O； ③作射线BO，在射线BO上截取OD(B与D不重合)，使得OD＝OB； ④作直线AD，连接CD，则四边形ABCD是平行四边形，理由是________________________________________． (2) 证明：∵△ABE是等边三角形，BF⊥AE， ∴AF＝EF. 在△ADF和△ECF中， ∴△ADF≌△ECF，∴DF＝CF. 又∵AF＝EF，∴四边形ACED是平行四边形． (1) 若DE＝OD，BF＝OB． ①求证：四边形AFCE为平行四边形； ①证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵DE＝OD，BF＝OB， ∴DE＝BF.OE＝OF. ∴四边形AFCE为平行四边形． 解：若DE＝OD，BF＝OB， 四边形AFCE是平行四边形．理由： ∵DE＝OD，BF＝OB，OD＝OB， ∴DE＝BF. ∴OB＋BF＝OD＋DE，即OF＝OE. 又∵OA＝OC，∴四边形AFCE为平行四边形． 若DE＝OD，BF＝OB， 四边形AFCE是平行四边形． 理由：∵DE＝OD，BF＝OB，OD＝OB， ∴DE＝BF.∴OB＋BF＝OD＋DE，即OF＝OE. 又∵OA＝OC，∴四边形AFCE为平行四边形． (2)若DE＝OD，BF＝OB，四边形AFCE还是平行四边形吗？ 若DE＝OD，BF＝OB呢？简单说明理由． $