21.2.1平行四边形及其性质 第1课时 平行四边形的定义及性质 课件 -2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十一章 四边形 21.2 平行四边形 21.2.1 平行四边形及其性质 第1课时 平行四边形的定义及性质 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 平行四边形的概念 6. 课堂小结 3. 新课导入 7. 当堂小练 CONTENTS 8. 对接中考 9. 拓展与延伸 2. 知识回顾 5. 知识点2 平行四边形的性质 1. 理解平行四边形的概念，增强几何直观. 2. 探索并证明平行四边形的性质定理，并能运用它们进行证明和计算，提升推理能力. 学习目标 知识回顾 四边形的定义 在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形. 四边形的外角和 四边形的外角和等于360. 四边形的内角和 四边形的内角和等于360. 四边形的对角线 连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线. 新课导入 观察下图，平行四边形在生活中无处不在. 新课讲解 知识点1 平行四边形的概念 两组对边都不平行 一组对边平行， 一组对边不平行 两组对边分别平行 【问题1】观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？ 【问题2】你们还记得我们以前对平行四边形的定义吗？ 新课讲解 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形的概念 平行四边形用“▱” 表示，如图，平行四边形ABCD，记作▱ABCD ，读作：平行四边形ABCD. A B D C 语言表述： ∵AD∥ BC，AB∥ DC， ∴四边形ABCD是平行四边形. 注意：1.表示平行四边形时一定要按顺（或逆）时针依次书写各顶点字母； 2.“▱”后要紧跟表示四个顶点的字母，不能单独使用. 表示方法： 新课讲解 平行四边形的基本元素 基本元素 主要内容 图示 边 邻边 AD 和AB，AD 和DC，DC 和BC，BC和AB，共有四组 对边 AB 和DC，AD 和BC，共有两组 角 邻角 ∠BAD和∠ADC，∠ADC和∠DCB，∠DCB 和∠ABC，∠DAB 和∠ABC，共有四组 对角 ∠BAD 和∠BCD，∠ADC和∠ABC，共有两组 对角线 AC 和BD，共有两条 新课讲解 例 1. 如图所示，在▱ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH相交于点O，则图中平行四边形共有（ ） A.7个 B.8个 C.9个 D.11个 平行四边形的组成 个数 名称 单独1个四边形 4 ▱DEOH，▱EAGO， ▱OGBF，▱HOFC 由2个四边形组成 4 ▱DAGH，▱HGBC， ▱EABF，▱DEFC 由4个四边形组成 1 ▱ABCD C 新课讲解 练一练 1. 你能从以下图形中找出平行四边形吗？ (2) (3) (1) (4) (5) 新课讲解 练一练 2. 如图，在△ABC中，D，E，F 分别是AB，BC，AC 上的点，且DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，则图中平行四边形共有(　　) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 C 新课讲解 知识点2 平行四边形的性质 探究 根据定义画一个平行四边形并进行观察，除了“两组对边分别平行”，它的边之间还有什么关系？它的角之间呢？度量一下，和你的猜想一致吗？你能证明你的猜想吗？把你的结论和同学比较一下. 通过观察和度量，我们猜想： 平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等. 怎么证明？ 构造全等三角形. 新课讲解 A D C B 证明：如图，连接▱ABCD的对角线AC. ∵AD∥BC，AB∥CD， ∴∠1=∠2，∠3=∠4. 又AC是△ABC和△CDA的公共边， ∴△ABC≌△CDA. ∴AB=CD，BC=DA，∠B=∠D. ∵∠1=∠2，∠3=∠4. ∴∠1+∠4=∠2+∠3， 即∠BAD=∠DCB. 请你自己证明∠BAD=∠DCB. 不添加辅助线你能否直接运用平行四边形的定义证明其对角相等呢? 新课讲解 A D C B 已知：四边形ABCD是平行四边形， 求证：平行四边形对角相等. 证明：∵AD∥BC，AB∥CD， ∴∠A+∠B=180°，∠A+∠D=180°. ∴∠B=∠D. 同理∠A=∠C. 新课讲解 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角相等. 平行四边形的性质 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，∠B=∠D. 符号语言： 新课讲解 探究 如图，在▱ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O.点O把每条对角线都分成两部分，这两部分有什么关系？ 容易发现，即便改变▱ABCD的形状，仍然有OA=OC，OB=OD. 利用信息技术工具，改变▱ABCD的形状，你发现的结论还成立吗？证明你发现的结论. 新课讲解 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥ BC， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴△OAD≌△OCB (ASA)， ∴OD=OB，OA=OC， 即▱ABCD的对角线互相平分. 新课讲解 平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形的性质 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC=AC，OB=OD=BD. 符号语言： 新课讲解 例 2. 如图，在△ABC中，AB=10，AD=8，AC⊥BC.求BC，CD，AC，OA的长，以及▱ABCD的面积. A B C D O 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=8，CD=AB=10. ∵ AC⊥BC， ∴△ABC是直角三角形. 根据勾股定理，AC===6. ∴OA=OC=AC=3， S▱ABCD=BCAC=8×6=48. 新课讲解 例 3. 已知的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，的周长比的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC. ∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm， ∴AB－AD＝5cm. 又∵ ABCD的周长为60cm， ∴AB＋AD＝30cm， 则AB＝CD＝17.5cm，AD＝BC＝12.5cm. 平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差． 归纳 新课讲解 练一练 1. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列式子中不一定成立的是（ ） A. AB∥ CD B. OA=OC C. ∠ABC+∠BCD=180° D. AB=BC D 解：由“平行四边形对边平行”可知AB∥ CD； 根据“平行四边形的对角线互相平分”可知OA=OC； 根据“平行四边形的邻角互补”可知∠ABC+∠BCD=180°； 根据四边形ABCD是平行四边形不能推出AB=BC. 新课讲解 练一练 2. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F. 求证：OE=OF. A E D C B O F 证明：在▱ABCD中，AB∥ CD, ∴∠EAO=∠FCO, ∠AEO=∠CFO. 又OA=OC, ∴△AOE≌△COF. ∴OE=OF. 新课讲解 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等. 归纳 A B C D O E F A B C D O E F A B C D O E F 请判断下列图中，OE=OF还成立么？ 想一想 课堂小结 平行四边形 定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 边 两组对边分别平行且相等 角 两组对角分别相等，邻角互补 对角线 对角线互相平分 性质 当堂小练 1. 如图，在□ABCD中. (1)若∠A=130°，则∠B=_____ ，∠C=______ ，∠D=_____. (3)若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=_____，∠B=______. (2)若AB=3，BC=5，则它的周长= ____. C D A B 50° 130° 50° 100° 80° 16 当堂小练 2. 判断题 (1)平行四边形两组对边分别平行且相等. ( ) (2)平行四边形的四个内角都相等. ( ) (3)平行四边形的相邻两个内角的和等于180° ( ) (4)如果平行四边形相邻两边长分别是2cm和3cm，那么周长是10cm. ( ) (5)在平行四边形ABCD中，如果∠A=42°，那么∠B=48°. ( ) (6)在平行四边形ABCD中，如果∠A=35°，那么∠C=145°. ( ) √ √ √ × × × 当堂小练 3. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，如果AC＝14，BD＝8，AB＝x，那么x的取值范围是________. 3<x<11 解：由平行四边形的对角线互相平分，易知AO＝AC＝7，BO＝BD＝4，故在△AOB中，利用三角形三边关系知AO－BO<AB<AO＋BO，从而可得3<x<11. 当堂小练 4. 如图，在▱ABCD中，∠B＝120°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.求∠ADE，∠EDF，∠FDC的度数. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠A＝∠C，∠ADC＝∠B＝120°， ∴∠A＋∠B＝180°. ∴∠A＝ ∠C＝180°－ ∠B＝60°. ∵DE⊥AB, DF⊥BC， ∴∠ADE＝ ∠FDC＝30°. ∴∠EDF＝∠ADC－∠ADE－∠FDC＝60°. 当堂小练 5. 如图，在▱ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14.△AOD的周长是多少？△ABC与△DBC的周长哪个长？长多少？ 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC=10，AB=CD，OA=OC，OB=OD. ∵ AC=8，BD=14， ∴OA=OC= AC= ×8=4， OB=OD= BD= ×14=7， ∴△AOD的周长为OA+OD+AD=4+7+10=21， △ABC的周长为AB+AC+BC=AB+8+10=18+AB， △DBC的周长为BC+CD+BD=10+CD+14=24+CD=24+AB. ∵24+AB >18+AB， ∴△DBC的周长比△ABC的周长长. ∵24+AB-(18+AB)=24+AB-18-AB=6, ∴△DBC的周长比△ABC的周长长6. 当堂小练 解：线段AD和BC的长度相等.理由如下： 由已知得AD∥ BC，AB∥ CD. 所以四边形ABCD是平行四边形， 所以AD=BC， 即线段AD和BC的长度相等. 6. 如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形.转动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？ A B C D 当堂小练 7. 如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，BE=CD，连接AE，∠D=50°，则∠DAE的度数为（ ） A.65° B.60° C.55° D.50° 解：在▱ABCD中，AB=CD，∠B=∠D=50°，AD∥ BC. ∵AB=CD，BE=CD, ∴AB=BE, ∴∠BAE=∠BEA==65°. ∵ AD∥ BC, ∴∠DAE=∠BEA=65°. A 对接中考 1. 如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC， 则BD＝_______. 对接中考 2. 如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD 上的点，且DE＝BF．求证：∠1＝∠2． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD＝BC，AD∥BC. ∴∠ADE＝∠CBF． 在△ADE 和△CBF 中， ∴△ADE ≌△CBF(SAS). ∴∠1＝∠2． 证明角相等的常用方法： 1. 对顶角相等； 2. 一个三角形中等边对等角； 3. 两直线平行，内错角相等(同位角相等)； 4. 全等三角形的对应角相等； 5. 同角或等角的补(余)角相等； 6. 平行四边形的对角相等. 归纳 拓展与延伸 1. 在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2 ，则▱ABCD的周长等于_______. 20或12 解：分两种情况进行讨论： (1)当△ABC为锐角三角形时，如图1，过点A作AE⊥BC于点E，则AE＝4. ∵ AB＝5，AC＝2，∴ EC＝＝2，BE＝＝3. ∴ BC＝BE＋EC＝5. ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴ AD＝BC＝5，CD＝AB＝5. ∴▱ABCD的周长等于20. (2)当ABC为钝角三角形时，如图2，过点A作AF⊥BC，交BC的延长线于点F，则AF＝4. ∵ AB＝5，AC＝2，∴ FC＝＝2，BF＝＝3. ∴ BC＝BF－FC＝ 1 . ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴ AD＝BC＝1，CD＝AB＝5.∴ ▱ABCD的周长等于12. 综上所述，▱ABCD 的周长等于20或12. 图1 图2 拓展与延伸 2. 在一次数学探究活动中，小明用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等． (1)请在图①中的三个平行四边形中画出满足小明分割方法的直线； 解：(答案不唯一)作图如图所示． (2)根据小明的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有_____组．由上述实验操作过程，你发现小明所画的两条直线的主要特点是______________________________________； 无数 两条直线都经过平行四边形对角线的交点 拓展与延伸 (3)拓展延伸：如图②，将一张平行四边形的纸片ABCD沿过对角线AC的中点O的直线EF折叠，折痕分别交边AD，BC于点E，F，点A落在点A1处，点B落在点B1处．设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，AD于点H，I．求证：EI＝FG． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，点O是AC的中点， ∴∠BAD＝∠BCD，∠B＝∠D，AD∥BC，OA＝OC. ∴∠OAE＝∠OCF. 又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA).∴AE＝CF. 由折叠的性质得AE＝A1E，∠A1＝∠BAD，∠B1＝∠B， ∴A1E＝CF，∠A1＝∠BCD，∠B1＝∠D. ∵∠DHI＝∠B1HG，∴∠DIH＝∠B1GH. 又∵∠A1IE＝∠DIH，∠B1GH＝∠CGF， ∴∠A1IE＝∠CGF. ∴△A1IE≌△CGF(AAS)．∴EI＝FG. Lavf57.25.100 4 $