21.2.2 第1课时 从两组对边或对角或对角线的角度判定平行四边形 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章　平行四边形 21.2.2　平行四边形的判定 第1课时 从两组对边或对角 或对角线的角度判定平行四边形 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 问题1：平行四边形的定义是什么？平行四边形有哪些性质？根据下 图你能用符号表示吗? 问题2：如图，在▱ABCD中，BE∥DF. 求证：四边形BFDE是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴DA∥BC, 即DE∥BF. 又∵BE∥DF, ∴四边形BFDE是平行四边形. 知识关联 【课堂引入】 探究与应用 平行四边形两组对边分别相等 2.思考：平行四边形的性质的逆命题 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 猜想：这些逆命题可否成为平行四边形的判定方法？ 类比前面平行线、垂直平分线等图形的性质和判定定理之间的关系，你能否给出关于平行四边形判定定理的猜想呢? 1.回顾：平行四边形的性质 平行四边形两组对边分别平行 平行四边形两组对角分别相等 平行四边形两条对角线互相平分 【探究1】对角线互相平分的四边形是平行四边形 【操作尝试】 如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 探究与应用 ∵OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD, 证明: ∴△AOB≌△COD. ∴∠OAB=∠OCD. ∴ AB∥CD. ∴ 四边形ABCD是平行四边形 同理 AD∥BC. 【探究1】对角线互相平分的四边形是平行四边形 【概括新知】 探究与应用 平行四边形的判定定理1： 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 几何语言描述： 在四边形ABCD中， ∵AO=CO，DO=BO, ∴四边形ABCD是平行四边形. B O D A C 【理解应用】 探究与应用 例1 如图， □ABCD 的对角线AC，BD相交于点O，E、F是AC上的两点， 并且AE=CF. 求证：四边形BFDE是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AO=CO,BO=DO. ∵AE=CF ， ∴ AO-AE=CO-CF，即EO=OF. 又∵BO=DO， ∴四边形BFDE是平行四边形. B O D A C E F 【探究2】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形的定义是判定一个四边形是平行四边形的第一种方法. 探究与应用 证明两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 已知：如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC. 求证：四边形ABCD是平行四边形 证明：连接AC， ∴ △ABC≌△CDA, ∵ AB=CD、AD=BC、AC=CA, ∴ ∠2=∠1，∠3=∠4, ∴ AD∥BC，AB∥CD, ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 总结 : 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 【尝试交流】 【探究2】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【概括新知】 探究与应用 平行四边形的判定定理2： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 几何语言描述： 在四边形ABCD中， ∵AB=CD，AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. B D A C 【理解应用】 探究与应用 例2 如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°. 求证：四边形PONM是平行四边形． 分析: 1. 根据图形与已知条件，你能想到之前学过的什么知识? 勾股定理 2. 是否能计算出x的值? 3. 四边形的四边分别是多少？它们之间有怎样的关系? 证明：Rt△MON中， 由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2， 解得x＝8. ∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5. ∴PM＝ON，OP＝MN ∴四边形PONM是平行四边形． 【理解应用】 【变式】 已知四边形的四条边长分别是a、b、c、d，其中a、b为对边，并且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，则这个四边形是 ( ) A.任意四边形　　　　　　B.平行四边形 C.对角线相等的四边形 D.对角线互相垂直的四边形 B 探究与应用 【探究3】两组对角分别相等的四边形是平行四边形 【尝试交流】 我们知道平行四边形的对角相等，那么对角相等的四边形一定是平行四边形吗? 探究与应用 如图，在四边形ABCD中，如果∠A=∠C，∠B=∠D，那么四边形ABCD一定是平行四边形吗？说说你的理由. 证明 : 四边形ABCD一定是平行四边形.理由如下: ∵ ∠A=∠C, ∠B=∠D, ∠A+∠C+∠B+∠D=360°, ∴ ∠A+∠B=180°, ∠A+∠D=180°, ∴ AD∥BC, AB∥CD, ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 【探究3】两组对角分别相等的四边形是平行四边形 【概括新知】 探究与应用 平行四边形的判定定理3： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 几何语言描述： 在四边形ABCD中， ∵∠A=∠C，∠B=∠D, ∴四边形ABCD是平行四边形. B D A C 【理解应用】 例3　如图，AE、CF分别是▱ABCD的内角∠DAB、∠BCD的平分线. 求证 : 四边形AECF是平行四边形. 探究与应用 证明 : ∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ AD∥BC , ∠DAB=∠BCD ∴∠1=∠2. ∵AD∥BC, ∴∠3=∠1 , ∠4=∠2, ∴∠3=∠4, ∴∠5=∠6, ∴ 四边形AECF是平行四边形 又∵∠1= ∠DAB, ∠2= ∠BCD, 例4　如图，△ACD、△ABE、△BCF均为线段BC同侧的等边三角形，当AB≠AC时，求证：四边形ADFE为平行四边形. 【探究2】有理数的概念及分类 探究与应用 【拓展提升】 同理可得AE=DF ∴四边形AEFD是平行四边形 证明 : ∵△ABE，△BCF为等边三角形 ∴AB=BE=AE，BC=CF=FB， ∠ABE =∠CBF= 60°. ∴∠FBE=∠CBA. ∴△ABC≌△EBF. ∴EF= AC. 又∵△ADC为等边三角形， ∴CD=AD=AC. ∴EF = AD. 【小结】 课堂小结与检测 平行四边形的判定 定义法:两组对边分别平行 对边：两组对边分别相等 对角：两组对角分别相等 对角线：对角线互相平分 【检测】 课堂小结与检测 1.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　） A．OA=OC，OB=OD B．AB=CD，AO=CO C．AB=CD，AD=BC D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD B O D A C B 【 检测】 课堂小结与检测 2.如图，在四边形ABCD中， (1)如果AB∥CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是 ___________. (2)如果∠A：∠B：∠ C：∠D=a：b：a：b(a,b为正数)，那么四边形ABCD是__________. (3)如果AD=6cm，AB=4cm，那么当BC=____cm, CD=___ cm时，四边形ABCD为平行四边形. B D A C 平行四边形 平行四边形 6 4 【 检测】 课堂小结与检测 3 . 如图，E、F是▱ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个 适当的条件:　 (答案不唯一)　,使四边形AECF 是平行四边形.  BE=DF 【 检测】 课堂小结与检测 4.如图，AC∥DE且AC＝DE，AD，CE交于点B，AF，DG分别是△ABC，△BDE的中线，求证：四边形AGDF是平行四边形. ∴BG＝BF. ∴四边形AGDF是平行四边形. 证明： ∵AC∥DE，AC＝DE， ∴∠C＝∠E，∠CAB＝∠EDB. ∴△ABC≌△DBE. ∴AB＝DB，CB＝EB. ∵AF，DG分别是△ABC，△BDE的中线， ∴ $