21.3.1 矩形 第1课时 矩形的性质课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章 四边形 21.3 特殊的平行四边形 21.3.1 矩形 第1课时 矩形的性质 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 矩形的定义 7. 课堂小结 3. 新课导入 8. 当堂小练 CONTENTS 9. 对接中考 10. 拓展与延伸 2. 知识回顾 5. 知识点2 矩形的性质 6. 知识点3 直角三角形斜边上的中线的性质 1. 理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系. 2. 探索并证明矩形的性质定理，并能运用它们进行证明和计算，提升推理能力. 3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单运用. 学习目标 知识回顾 对边平行 对边相等 对角相等 对角线互相平分 平行四边形的性质有哪些？ 新课导入 观察下面图形，长方形在生活中无处不在. 长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？ 思考 新课讲解 知识点1 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长方形. 一个角是直角 矩形的定义： 1. 矩形是特殊的平行四边形，平行四边形不一定是矩形. 2. 矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的一种方法. 注意 新课讲解 符号语言： 如图，∵ 四边形ABCD 是平行四边形，且∠ABC＝90°， ∴ ▱ABCD 是矩形 矩形必须具备两个条件： ①是平行四边形； ②有一个角是直角. 新课讲解 例 1. 如图，在▱ABCD中，点E，F为BC边上的点，且BE＝CF，AF＝DE. 求证：▱ABCD 是矩形. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB＝CD，∠B＋∠C＝180°. ∵ BE＝CF， ∴ BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE. 又∵ AF＝DE， ∴△ABF ≌△DCE(SSS). ∴∠B＝∠C＝ 90°. ∴ ▱ABCD 是矩形. 新课讲解 练一练 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E 是AC的中点，O 是AB的中点，连接EO并延长至点F，使BF∥AC.四边形BCEF是矩形吗？请说明理由. 解：四边形BCEF是矩形．理由如下： ∵E是AC的中点，O是AB的中点， ∴OE∥BC，即EF∥BC. 又∵BF∥CE， ∴四边形BCEF是平行四边形． 又∵∠C＝90°， ∴▱BCEF是矩形． 新课讲解 知识点2 矩形的性质 思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质. 可以从边，角，对角线等方面来考虑. 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 A B D C ┐ O 但由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 新课讲解 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O. 求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；(2)AC=DB. 证明： (1) ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等). ∵ AB∥CD(矩形的对边平行), ∴∠ABC+∠BCD=180°. 又∵∠ABC = 90°, ∴∠BCD = 90°. ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°. B C D A O (2) ∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC(矩形的对边相等). 在△ABC和△DCB中, ∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC= CB， ∴△ABC≌△DCB（SAS）. ∴AC=DB. 新课讲解 矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有的性质有： 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等. 符号语言： ∵四边形 ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°, AC=BD. B C D A O 矩形的性质： 新课讲解 请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考.矩形是不是轴对称图形? 如果是，那么对称轴有几条? 矩形的性质： 对称性： 对称轴： 轴对称图形 2条 思考 矩形是轴对称图形，它每组对边中点连线所在的直线就是它的对称轴. 如图，直线l1，l2是矩形ABCD的两条对称轴. 归纳 新课讲解 例 2. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，∠BOC＝120，AB＝6. 求：(1)对角线的长；(2)BC的长；(3)矩形ABCD的面积. 解：(1) ∵四边形ABCD 是矩形， ∴ AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD. 又∵∠BOC＝120°， ∴∠AOB＝60°. ∴△AOB是等边三角形. ∴ OA＝AB＝6. ∴ BD＝AC＝2OA＝2×6＝12. (2) ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°. ∴ BC＝＝＝6 . (3) S矩形ABCD＝AB·BC＝6×6＝36. 新课讲解 练一练 2. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB= 60°，AB=4，求矩形ABCD的对角线的长. B C D A O 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC与BD相等且互相平分， ∴OA=OB. 又∠AOB=60°， ∴△OAB是等边三角形. ∴OA=AB=4. ∴AC=BD=2OA=8. 新课讲解 练一练 3. 如图，已知AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E. 求证：BD＝BE. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AB∥CD. ∵BE∥AC， ∴四边形ABEC是平行四边形. ∴AC＝BE. ∴BD＝BE. 新课讲解 练一练 4. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠AOD=120.若AB=3，则BC的长为( ) B C D A O A. B.3 C.3 D.6 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，OA=OB=OC. ∵∠AOD=120°，∠AOD+∠AOB=180°， ∴∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB=OA=OC. ∵AB=3，∴AC=6， ∴BC= = 3. C 当矩形两条对角线相交所成的角中有一个角是 60°或120°时，矩形中就会含有等边三角形和含30°角的直角三角形. 归纳 新课讲解 性质 数学语言 图形 角 对角线 对称性 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等 ∵四边形ABCD是矩形， ∴. ∴ AC=BD. ∵四边形ABCD是矩形, 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. A B D C A B D C O 归纳 新课讲解 知识点3 直角三角形斜边上的中线的性质 问题 A 　 B 　 C 　 D 　 O 　 如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半. B C O A Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？ 它的长度与斜边AC有什么关系？ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 试给出数学证明. 猜想 新课讲解 O C B A D 证明：延长BO至D，使OD=BO，连接AD、DC. ∵AO=OC，BO=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD， 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证：BO = AC . ∴BO= BD= AC. 新课讲解 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. A B C O 符号语言： 在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AO=CO， ∴OB = AC. 依据：矩形的对角线相等且互相平分. 直角三角形的一个性质： 性质的应用：证明线段的倍、分、相等关系. 性质的逆命题：“ 如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用来判定一个三角形为直角三角形.（只可以在选择题或填空题中直接应用）. 新课讲解 例 3. 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点． (1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长； (2)求证：EF垂直平分AD. 解： (1) ∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点， ∴DE＝AE＝AB＝ ×10＝5， DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4， ∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18； (2) 证明：∵DE＝AE，DF＝AF， ∴E、F在线段AD的垂直平分线上， ∴EF垂直平分AD. 当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解． 归纳 新课讲解 练一练 5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=( ) A.2 B.3 C.4 D.2 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°， CE为AB边上的中线，CE=5， ∴AE=CE=5. ∵AD=2，∴DE=3. ∵CD为AB边上的高， ∴在Rt△CDE中，CD = = = 4. C 新课讲解 练一练 6. 已知：如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD＝AB，E，F分别是AC，BD的中点，AC＝6.求EF的长. 解：如图，连接AF. ∵AB＝AD，F是BD的中点， ∴AF⊥ BD. ∴△AFC是直角三角形. 又∵E是AC的中点， ∴ EF＝AC. ∵AC＝6， ∴EF＝3. 课堂小结 四个角都是直角 性质 对角线相等 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 是轴对称图形，有两条对称轴 定义 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 矩形 当堂小练 1. 矩形有但一般平行四边形没有的性质是 ( ) A. 对角线相等 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 对角线互相平分 A 2. 若直角三角形的两条直角边分别5和12，则斜边上的中线长为( ) A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定 C 当堂小练 3. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=______cm． 2.5 4. 如图，△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为______． 6 第3题图 第4题图 当堂小练 5. 如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC的延长线上，DE∥AC，△DBE是等腰三角形吗？试说明理由. B C D A E 解：△DBE是等腰三角形.理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥CE，AC=BD. ∵DE∥AC， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AC=DE， ∴BD=DE， ∴△DBE是等腰三角形. 当堂小练 6. 如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E. （1）求证：BD=BE， （2）若∠DBC=30° ，BO=4 ，求四边形ABED的面积. A B C D O E 解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC= BD，AB∥CD. 又∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形， ∴AC=BE，∴BD=BE. (2) ∵在矩形ABCD中，BO=4，∴BD = 2BO =2×4=8. ∵∠DBC=30°，∴CD=BD=×8=4， ∴AB=CD=4，DE=CD+CE=CD+AB=8. 在Rt△BCD中，. ∴四边形ABED的面积= ×(4+8)×= . 当堂小练 7. 如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点．求证：(1)DE⊥CF；(2)∠B＝2∠BCF． 证明：(1) 如图，连接DF. ∵AD是边BC上的高，∴∠ADB＝90°. (2) ∵DC＝DF，∴∠DFC＝∠DCF. ∴∠FDB＝∠DFC＋∠DCF＝2∠DCF. ∵DF＝BF，∴∠FDB＝∠B.∴∠B＝2∠BCF. 当堂小练 8．如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点E，若B(2，4)，则OE的长为________． 对接中考 1. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD 相交于点O. 若∠AOB＝60°，则＝(　　) A． B． C． D． D 对接中考 2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若CD＝1，则GE＝( ) A. 3 B. 2 C.1 D. B 对接中考 3. 某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点. 若AB＝AC＝ 8 m， 则DE的长为_______m． 4 解：∵AD⊥BC， ∴△ABD为直角三角形. ∵E是斜梁AB的中点， ∴DE＝AB＝4 m． 拓展与延伸 1. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，求PE+PF的值. 解：连接OP. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°，OA=OD=OC=OB， ∴S△AODS△DOCS△AOBS△BOCS矩形ABCD×6×812. 在中，由勾股定理得BD=10， ∴AO=OD=5， ∵S△APO+S△DPO=S△AOD， ∴ AO·PE+ DO·PF=12，即5PE+5PF=24， ∴PE+PF= . 拓展与延伸 2．如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，EF⊥AE交BC于点F，连接AF.若∠CFE＝α，则∠BAF的度数为________． 2α－90° 解：延长AE，交BC的延长线于点G，如图所示． ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD＝∠D＝∠DCB＝90°，AD∥BC.∴∠ECG＝∠D＝90°. ∵E为CD边的中点，∴DE＝CE.又∵∠AED＝∠GEC，∴△ADE≌△GCE.∴AE＝GE. 又∵EF⊥AE，∴EF垂直平分线段AG.∴AF＝GF.∴∠FAE＝∠G. ∵CF是边AB上的中线， ∴点F是AB的中点，∴DF＝AB＝BF. ∵DC＝BF，∴DC＝DF. ∵点E是CF的中点，∴DE⊥CF. 解：∵四边形OABC是矩形，∴OC∥AB.∴∠ECA＝∠CAB. 根据题意得∠CAB＝∠CAD，∴∠ECA＝∠EAC.∴EC＝EA. 在矩形OABC中，B(2，4)，∴OC＝AB＝4，OA＝2. 设OE＝x，则AE＝EC＝OC－OE＝4－x. 在Rt△AOE中，AE2＝OE2＋OA2，即(4－x)2＝x2＋22， 解得x＝.∴OE＝. ∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠G.∴∠DAE＝∠FAE.∴∠DAE＝. ∵∠DAE＋∠AED＝90°，∠AED＋∠FEC＝90°，∴∠FEC＝∠DAE＝. ∵∠FEC＋∠EFC＝90°，∴∠EFC＝90°－＝α.∴∠BAF＝2α－90°. $