21.2.1平行四边形及其性质 第2课时 平行线之间的距离课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章 四边形 21.2 平行四边形 21.2.1 平行四边形及其性质 第2课时 平行四边形性质的综合及平行线之间的距离 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 两条平行线之间的距离 6. 课堂小结 3. 新课导入 7. 当堂小练 CONTENTS 8. 对接中考 9. 拓展与延伸 2. 知识回顾 5. 知识点2 平行四边形性质的综合 1. 理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离. 2. 经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想， 体会图形性质探究的一般思路. 学习目标 知识回顾 平行四边形的概念 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形的性质 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角相等； 平行四边形的对角线互相平分. 新课导入 大家有没有注意过，马路上的斑马线、操场上的跑道线、甚至是我们作业本上的横线，它们都有一个共同的特点——平行. 那么，你有没有思考过这样一个问题：这些平行线之间的距离，是不是处处相等呢？ 比如说，一条斑马线中，任意两条线之间的宽度是否总是一样的？ 新课讲解 知识点1 两条平行线之间的距离 如图，a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点.由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，AB=CD.也就是说，两条平行线之间的任何两条平行线段都相等. A B C D a b c d 新课讲解 B 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作这两条平行线之间的距离. 如图，a∥ b，A是a上的任意一点，AB⊥b，垂足为B，线段AB的长就是平行线a，b之间的距离. a b A 新课讲解 例 1. 如图，直线a∥ b，则直线a，b之间的距离是（　　） A．线段AB的长度 B．线段CD的长度 C．线段AB D．线段CD B A C B D a b 新课讲解 例 2. 如图，在□ ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别是E，F． 求证：AE=CF． 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠A= ∠C，AD=CB. 又∠AED= ∠CFB=90°， ∴ △ADE≌△CBF（AAS）， ∴AE=CF. 在上述证明中还能得出什么结论？ D A B C F E DE=BF 思考 新课讲解 性质：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等. 数学语言： ∵ l1 // l2 ，AC⊥ l2 ，BD⊥ l2 ， ∴ AC=BD. l1 l2 A B C D 1. 因为平行线间的距离处处相等，所以在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置. 2. 平行四边形的面积=底高=ah（其中a是平行四边形一条边的长度，h是这条边上的高）. 注意 新课讲解 两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区別？ 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 示 意 图 区别 连接两点的线段的长度 点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度 联系 都是指某一条线段的长度（距离是数值） 思考 新课讲解 3. 如图，已知 l₁∥ l₂，C₁在l₁上，并且C₁A⊥l₂，A为垂足，C₂,C₃是l₁上任意两点，点B在l₂上.设△ABC₁的面积为S₁， △ABC₂的面积为S₂，△ABC₃ 的面积为 S₃，小颖认为S₁ = S₂ = S₃，请帮小颖说 明理由. 例 解：∵ l₁∥ l₂， ∴ △ABC₁、△ABC₂、△ABC₃ 的边AB上的高相等， ∴ △ABC₁、△ABC₂、△ABC₃ 这三个三角形同底等高， ∴ △ABC₁、△ABC₂、△ABC₃ 这三个三角形的面积相等， 即 S₁ = S₂ = S₃. 新课讲解 练一练 1. 如图，在梯形ABCD中，AD∥ BC，∠C=90°，AD=3，AB=4，BC=5，E为边BC上一点，AB∥ DE.求AD，BC之间的距离. 解：∵ AD ∥ BC，AB ∥ DE， ∴ 四边形 ABED 是平行四边形， ∴ DE = AB = 4，BE = AD = 3， ∴ CE = BC − BE = 5 − 3 = 2， ∴ CD = = = = 2， 即AD，BC之间的距离为2. A D C B E 新课讲解 练一练 2. 在△ABC中，∠ACB=90°，∠A+∠D=90°，DE∥ BC． (1) 请说明AB∥ DC的理由； (2) 若AC=4，BC=3，求AB与DC之间的距离． 解： (1) ∵DE∥ BC， ∴∠AFE=∠ACB=90°． 在Rt△AEF中，∠A+∠AEF=90°， ∵∠A+∠D=90°， ∴∠AEF=∠D， ∴AB∥ DC． D C A E B F (2)如图，过点C作CG⊥AB于点G， ∴ =AC×BC = AB×CG. ∵AC=4, BC=3，AB = = 5， ∴ ×4×3 = ×5×CG. CG = . 即AB与DC之间的距离为. G 新课讲解 知识点2 平行四边形性质的综合 4. 如图，▱ABCD的周长是36，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F. 若DE＝4，DF＝5，求▱ABCD的面积. 例 解：设AB＝x，BC＝y. ∵ ▱ABCD 的周长是36，∴ 2x＋2y＝36. ① ∵ DE⊥AB，DF⊥BC， ∴ S▱ABCD＝AB·DE＝BC·DF. 又∵ DE＝4，DF＝5，∴ 4x＝5y. ② 联立①②，得解得 ∴ S ▱ABCD＝AB·DE＝10×4＝40. 新课讲解 5. 平面直角坐标系xOy 中，点A(－3，0)，B(0，2)，以O，A，B 为顶点作平行四边形，第四个顶点的坐标不可能是(　　) A．(－3，2) B．(3，2) C．(3，－2) D．(－3，－2) 例 解：设第四个顶点为点C，如图所示. (1)当OA 为对角线时，AC1∥OB，AC1＝OB，此时点B 怎么平移到点O，点A就以相同的方式平移到点C1. ∵ O(0，0)，A(－ 3 ，0)，B(0，2)， ∴ C1(－3，－2). (2)当OB为对角线时，BC2∥OA，BC2＝OA，同理可得C2(3，2). (3)当AB 为对角线时，BC3∥OA，BC3＝OA，同理可得C3(－ 3 ，2). 综上可知，第四个顶点的坐标为(－3，－2)或(3，2)或(－3，2). C 新课讲解 练一练 1. 如图， □ABCD中，∠ADC=119°，BE ⊥DC于点E，DF⊥BC于点 F，BE与DF相交于点H，则∠BHF= 度. A B C D H E F 解：∵四边形是平行四边形， ∴//， ∴. ∵， ∴ . ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. 新课讲解 练一练 2. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC, 且 AD＝9 cm，BC＝6 cm，点P，Q分别从点A,C同时出发，点P以1 cm/s的速度由A向D运动，点Q以2 cm/s的速度由C向B运动，当点Q运动到点B时，两点停止运动，求几秒后，PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形. 解：设点P，Q运动的时间为t(s)，由题意可知t≤3. 依题意有CQ＝2t，BQ＝6－2t，AP＝t，PD＝9－t cm. 分两种情况讨论： (2)如图，当四边形CQPD是平行四边形时，CQ＝PD，即2t＝9－t，解得t＝3. 因此，2 s 或3 s 后，PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形. (1)如图，当四边形APQB是平行四边形时，BQ＝AP，即6－2t＝t，解得t＝2； 课堂小结 两条平行线 之间的距离 两条平行线之间的任何两条平行线段都相等. 如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等. 平行线间的距离处处相等. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离. 当堂小练 1. 下列说法正确的是(　　) A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等 C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分 D 当堂小练 2. 如图，某条楼梯及栏杆可以看作由三角形ABC与平行四边形ACDE构成，若∠D＝59°，则该楼梯的坡脚∠BAC的度数为(　　) A. 59° B. 41° C. 31° D. 49° C 当堂小练 3. 如图，▱ABCO的顶点O，A，C的坐标分别是(0，0)， (3，0)，(1，2)，则顶点B的坐标是_______. (4，2) 当堂小练 4. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，若AB＝AC＝5，AD＝3，则梯形ABCD的面积为_______． 18 当堂小练 5. 如图，▱ABCD的周长为16，对角线AC，BD相交于点O，点E在AD上，OE⊥AC. 求△CDE的周长. 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA = OC，AB = CD，AD = BC. ∵ OE ⊥ AC， ∴ OE 垂直平分 AC， ∴ AE = CE， ∴ △CDE 的周长 = CD + CE + DE = CD + AE + DE = CD + AD = × 16 = 8. A D C B E F O 当堂小练 6. 如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若四边形EPFQ的面积为20 cm2，则图中阴影部分的面积为________cm2． 20 解：连接EF，由平行四边形的性质可得AB∥CD， 由平行线间距离处处相等易得S△AED＝S△AEF， 所以S△AED－S△AEP＝S△AEF－S△AEP，即S△APD＝S△EPF. 同理可得S△BQC＝S△EQF， 则图中阴影部分的面积＝S△APD＋S△BQC＝S△EPF＋S△EQF＝S四边形EPFQ＝20 cm2. 对接中考 1. 如图，▱ABCD的对角线AC与BD 相交于点O，则下列结论一定正确的是(　　) A．AB＝BC B．AD＝BC C．OA＝OB D．AC ⊥ BD 解：A.平行四边形的邻边不一定相等，无法得到AB＝BC，故此选项不合题意； B.平行四边形的对边相等，故AD＝ BC，故此选项符合题意； C.平行四边形的对角线互相平分但不一定相等，无法得到OA＝OB，故此选项不合题意； D.平行四边形的对角线不一定垂直，无法得到AC⊥BD，故此选项不合题意． B 对接中考 2. 如图，点E是平行四边形ABCD边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，AD＝5. 求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝5，BC∥AD. ∴∠EFC＝∠EAD，∠ECF＝∠EDA. ∵点E是平行四边形ABCD边CD的中点， ∴CE＝DE. ∴△ADE≌△FCE(AAS). ∴CF＝AD＝5. ∴BF＝BC＋CF＝5＋5＝10. 对接中考 3. 如图，在▱ABCD 中，点O是BD 的中点，EF 过点O，下列结论： ① AB∥DC； ② EO＝ED； ③∠A＝∠C； ④S四边形ABOE＝S四边形CDOF. 其中正确结论的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C 对接中考 4. 如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝2，BD＝2．过点A作AE⊥BC交BC于点E，记BE 长为x，BC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是(　　) A．x＋y B．x－y C．xy D．x2＋y2 C 拓展与延伸 1. 如图，在▱ABCD中，BD 是它的一条对角线. (1)求证：△ABD≌△CDB； (1) 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC. 又∵BD＝BD， ∴△ABD≌△CDB(SSS)． (2)尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC 于点E，F(不写作法，保留作图痕迹)； (2) 解：EF如图所示． (3)连接BE，若∠DBE＝25°，求∠AEB 的度数． (3) 解：如图，∵EF垂直平分线段BD， ∴EB＝ED. 又∵∠DBE＝25， ∴∠DBE＝∠BDE＝25. ∵∠AEB是△BED的外角， ∴∠AEB＝∠DBE＋∠BDE ＝25＋25＝50. 拓展与延伸 2. 如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A落在x轴上，顶点C的坐标为(6，4)，BC＝2，点P，Q分别是线段OB和CD上的两个动点，满足OP＝2CQ，记CQ＝x，连接AQ，PQ． (1)点B的坐标为______，点D的坐标为______； (8，0) (0，4) (2)若△APQ是以AQ为腰的等腰三角形，求x的值； 解：过点Q作QH⊥x轴于点H，则QH＝OD＝4，∠QHA＝90°. ∵CQ＝x，OP＝2CQ，∴OP＝2x，DQ＝OH＝6－x.∴AH＝6－x－2＝4－x. 若△APQ是以AQ为腰的等腰三角形，则分两种情况：当AQ＝PQ时，PH＝AH＝4－x. ∵PH＝OP－OH＝2x－(6－x)＝3x－6，∴4－x＝3x－6，解得x＝； 当AQ＝AP时，(4－x)2＋42＝(2x－2)2，整理，得x2＝，解得x＝(负值已舍去)． 综上，满足条件的x值为或. $