6.3 利用导数解决实际问题-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业（人教B版）

参考答案 .当a<2e时，F(a)<0,当a>2e时，F(a)>0,则 1 F'(a)min=F(2e)=-e m≥-之则实教m的取位范国是[日十)门 11.解析：对任意x∈R都存在x2∈(1，e)使f(x)<g(x) 成立，所以得到f(x)mx<g(x)mx,而f(x)=sinx一1， 所以f(x)=0,即存在x∈(1，e),使号lnx-x>0, 此时lnx>0,x>0,所以a>0,因此将问题转化为存在 xE(1,e),使2<血严成立，设h(x)=血，则2<h a a ()mm ,h (z)=1-In2 当x∈(1，e),h'(x)>0,h(x)单调递增，所以h(x)<h(e) =1,即2<】，所以a>2e,所以实数a的取值范圈 e e 是(2e,+o). 答案：(2e,十∞) 12.解：(1)f(x)=1-1(x>0). 由f(x)>0,解得0<x<1;由(x)<0,解得x>1. .f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减. (2)证明要证当xE(1,+∞)时，1<<x,即证 In x<x-1<xln I. 由(1)得f(x)=lnx一x+1在(1，十∞)上单调递减， 当x∈(1，十∞)时，f(x)<f(1)=0,即有lnx<x-1. 设F(x)=xlnx-x+1,则F'(x)=1+lnx-1=lnx. 当x∈(1，十∞)时，F(x)>0,F(x)单调递增. .F(x)>F(1)=0,即有xlnx>x-1.∴.原不等式 成立. 1ACD[由题意，通数f)=学，可得了)= 1-21血工(x>0,令fe)=0,即1-21血工=0，解得x =V,当0<x<√e时，f(x)>0,函数f(x)在(0，We)上 单调递增；当x>√e时，f(x)<0,函数f(x)在（√e,十 ∞)上单调递减，所以当x=√时，函数f(x)取得极大 值，板大值为f®=。，所以A正确；由当x=1时， f(1)=0,因为f(x)在(0，√)上单调递增，所以函数 f(x)在(0WE)上只有一个零点，当x>√e时，可得f(x) >0,所以函数在（√，十∞）上没有零点，综上可得函数 在(0，十∞)只有一个零，点，所以B不正确；由函数f(x) 在(W,十∞)上单调递减，可得(f√3)>f(元)，由于f (2)-nv2e()in 2 2π1 则f尔-fW2)=”r-n2_lh元lh2 2π4 4π4π 因为π>2π，所以f(Wπ)一f(2)>0,即f(√π)>f(2) 所以f(√2)<f(W)<f(3),所以C正确： 由fx)Ck-是在(0，+四)上板成立，即>)十 马=lnx十1在(0，十o)上恒成立， 设8=h中，则g国=20， 令g()=0,即二21n-=0,解得x= 1 x √e 所以当0K2时8>0，函数g在(0，完上 单调递增； 当>后时g<0,最数g)在（后+四)上单明 递减， 所以当x= 二时，函数g(x)取得最大值，最大值为 ·6 课时作业兰 所以k>号，所以D正确，故选ACD.] 14.证明(1)f(x)的定义域为(0，十∞)， f(z)-z-1+lnx-1=Inx-1. x x 因为y=1nx在(0，十∞)上单调递增，y=二在(0，十 ∞)上单调递减， 所以f(x)在(0，十∞)上单调递增. (1)=-1<0,f(2)=ln2-1=n2 2 故存在唯一x∈(1,2)，使得f(x)=0. 又当x<x时，f(x)<0,f(x)单调递减； 当x>x。时，f(x)>0,f(x)单调递增.所以，f(x)存在 唯一的极值点. (2)由(1)知f(x)<f(1)=-2,又f(e2)=e2-3>0, 所以f(x)=0在(x0,十∞)内存在唯一根x=a. 由>>1得。<1<又f(日)-（日-1日 -1-1=fa=0, 故是是f()=0在(0，)内的唯一根 所以f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为 倒数. 6.3利用导数解决实际问题 1.B[设一个数为x,则另一个数为8一x,则其立方和y= x3+(8-x)3=83-192x+24x2(0≤x≤8)，y=48x- 192.令y=0,即48x-192=0,解得x=4.当0≤x<4 时，y<0;当4<x≤8时，y>0.所以当x=4时，y 最小.] 2.B[v)=-22+30x,V()=-是2+60x= 、3 x(x-40),当0<x<40时，V'(x)>0.当40<x <60时，V(x)<0,.V(x)在(0,40)单调递增，在(40， 60)单调递减，.x=40是V(x)的极大值，点，也是最大 值，点.门 3.A[要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设 场地宽为工米，则长为52米，因此新墙总长L=2z十 2 2(红>0，则V=2,今L/=0,得x=16或与 合去).此时长为船=82（未），可使L最短，] 4.D[由题意，得总成本函数为C(x)=20000十100x,总 利润P(x)=R(x)一C(x) 了300x20O00,0x≤400， 60000-100x,x>400. 所以P'(x)=300x,0≤x≤400， -100,x>400. 令P'(x)=0,得x=300,易知x=300时，总利润P(x) 最大.] 5.ABC[令上部分的半球半径为R,可得号R=10VI西 π，解得R=√I5,设小圆锥的底面半径为r,小圆锥底面 中心到球心距离为h,可知r,h和R可构成直角三角形， 即+=15，小国维体积V=号(h+6)=号x15 -h2)(h+6)(0<h<√15). 令f(h)=(15一h2)(h+6)(0<h<√15)，则f(h)=-3 (h十5)·(h-1),可知f(h)在(0,1)上单调递增，在(1， √15)上单调递减，所以当h=1时，f(h)最大，f(h)mx= f(I)=98,即V=元，即ABC三个选项都满足题意， 故选ABC.] 巴数学B版 6.解析：设利润为y,则y=y一y2=17x2-(2x3-x2)=- 2x3+18x2(x>0),.y=-6x2+36x=-6.x(x-6).令 y'=0,解得x=0或x=6,经检验知x=6既是函数的极 大值点又是函数的最大值，点 答案：6 7.解析：设圆柱的高为h,圆柱底面单位面积造价为1，总造 价为y,因为储油罐容积为元，所以Rh十专R·之 1-号R π，整理得：h= R2>0, 所以y=元R+2R号+合4R=x(R+， +则=号R 1 当≥0得：3>R>5,当M<0得0<R 5 所以当R=西时，取最大值，即y取得最大值。 5 75 答案：5 8.解：(1)设需要新建n个桥墩，(n十1)x=m,即n=” 1.所以y=f(x)=256n+(n十1)(2+√)x=256 (2-1）十(2+@m=2560+mG+2m-256,0<2 <m. (2)由01)知，f(x)=-256m+号mr立=22（x- 512). 令f(x)=0,得x2=512,所以x=64. 当0<x<64时，f(x)<0,故f(x)在区间(0,64)上为减 函数； 当64<x<640时，f(x)>0,故f(x)在区间(64,640)上 为增函数. 所以f(x)在x=64处取得最小值，此时，n=一1= x 640-1=9. 64 故需新建9个桥墩才能使y最小. 9.A[设圆柱的底面半径为r,高为h,体积为V,则4r+ 2h=l, h-2v=h=台2-2(0<K）月 则V=mr-62,令V=0,得r=0或r=6,而>0， “r=日是其唯一的极位点。 当台时V取得最大值，最大俊为（台）广元] 10.BCD[A周为y==05,y=eog9r的月期 9 分别是2，号晋号，共最小公倍数为2，所以画数画数 f(x)的最小正周期为2π，故A错误；B.因为f(-受) =c0s(-)+ =0,故B正 5 9 确；C.f(x)=-sinx-sin5x-sin9x=f(x-x),故 n9=-3, c正确，D.f(受)-sin受-sinm受-sm经 故D正确，故选BCD.] 11.解析：设容器底面短边长为xm,则另一边长为(x十 0.5)m,高为[14.8-4x-4(z+0.5] ·6 选择性必修第三册 =(3.2-2x)m.由3.2-2x>0及x>0,得0<x<1.6, 设容器容积为y,则有y=x(x十0.5)(3.2-2x)= 2x3+2.2x2+1.6x(0<x<1.6),y=-6.x2+4.4x+ 1.6.由y=0及0<x<1.6,解得x=1.在定义域（0， 1.6)内，只有x=1使y=0.由题意，若x过小（接近于 0)或过大（接近于1.6），y的值都很小（接近于0）.因此 当x=1时，y取最大值，且ymx=-2+2.2+1.6=1.8 (m3),这时高为1.2m. 答案：1.2m 12.解：1)设日缩售量为冬，则点=10，=10e,则日 售量为10e 件 则日利润L()=(x-30-a10e =10e°×x-30-a, et 所以该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元 的函数关系式为L(x)=10e0工一30一a e (2)L'(x)=10eo31+a-x ①当2a≤4时，33≤a+31≤35， 当35<x<41时，L'(x)<0..当x=35时，L(x)取最 大值为10(5一a)e5; ②当4<a≤5时，35a+3136, 令L(x)=0,得x=a十31，易知当x=a十31时，L(x) 取最大值为10e-a. 综合上得L(x)=10(5a)e,(2≤a<4) {10e-a,(4<a≤5) 所以当2≤a≤4时，当每件产品的日售价35元时，为L (x)取最大值为10(5一a)e;当4<a≤5时，每件产品 的日售价为a十31元时，该商品的日利润L(x)最大，最 大值为10e-4」 13.解：设C,点距D点xkm,则AC=(50-x)km, 所以BC=√BD2+CD=√x2+40(km). 又设总的水管费用为y元， 依题意，得y=3a(50-x)+5a√x2+402(0<x<50) y'=-3a+ 5ax √x2+402 令y=0,解得x=30. 在(0,50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意 义，函数在x=30km处取得最小值，此时AC=50一x =20(km). 故供水站建在A,D之间距甲厂20km处，可使水管费 用最省. 14.解：由题意可知，每瓶饮料的利润是y=f（r) =0.2x号2-0.8ar=0.8m(写-f),0<a≤6. 所以f(r)=0.8π(r2-2r) 令f(r)=0,解得r=2. 当x∈(0.2)时，f(r)<0;当x∈(2.6)时，f(r)>0. 因此，当半径r>2时，f(r)>0, f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r<2 时，∫(r)<0,f(r)单调递减，即半径越大，利润越低. (1)半径为6cm时，利润最大 (2)半径2cm时，利润最小，这时f(2)<0,表示此种瓶 内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润时负值. f)=0.8π(5-r) 12/3c 第六章 导数及其应用 数课时 6.3 利用 学 作业 [基础达标练] 1.将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立 方和最小，则应分为 ) A.2和6 B.4和4 C.3和5 D.以上都不对 2.某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)= x2.60。(0<x<60),则当箱子的容积最大 2 时，箱子底面边长为 ( A.30 B.40 C.50 D.以上都不对 3.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形 堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边 需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省， 堆料场的长和宽应分别为（单位：米）() A.32,16 B.30,15 C.40,20 D.36,18 4.某公司生产某种产品，固定成本为20000元， 每生产一单位产品，成本增加100元，已知总 营业收入R与年产量x的关系是R(x)= 1 400x- t,0≤40 则总利润最大时，每年 80000, x>400, 生产的产品是 A.100 B.150 C.200 D.300 5.(多选)如图所示，外层是类似于“甜筒冰淇淋” 的图形，上部分是体积为10√15π的半球，下面 大圆刚好与高度为6的圆锥的底面圆重合，在 该封闭的几何体内倒放一个小圆锥，小圆锥底 面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外 层圆锥顶点重合，则该小圆锥体积可以为 A.10元 B.18π C.30π D.40π 课时作业乡 导数解决实际问题 间 纠错空间 6.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台) 的函数：y1=17x2(x>0),生产成本y2(万元) 是产量x(千台)的函数：y2=2x3-x2(x>0), 为使利润最大，应生产 千台. 7.要设计一个容积为π的下端为圆柱形、上端为 半球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面的单位面 积造价是下底面积的单位面积造价的一半，而 顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的 单位面积造价的一半，储油罐的下部圆柱的底 面半径R= 时，造价最低。 8.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相 距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥 面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为 256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面 工程费用为(2十√无)x万元.假设桥墩等距离 分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素， 记余下工程的费用为y万元. 方法总结 (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m=640米时，需新建多少个桥墩才能 使y最小？ ++4.4+。++。4年。 39. 世数学B版 9.如果圆柱轴截面的周长1为定值，则体积的最 大值为 间 A. ) B(传)x 纠错空间 C. ) ()* 10.(多选)北斗卫星导航系统是中国自行研制的 全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类 用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导 航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三 号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能 实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某 语言通讯的传递可以用函数f(x)=cosx十 cos52+cos9工近似模拟其信号，则下列结论 5 9 中正确的是 ( A.函数f(x)的最小正周期为π B.函数f()的图象关于点（一0]对称 C.对任意x∈R,都有f(π一x)=f(x) D.函数f(x)的最小值为一3 11.用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器 方法总结 的框架，如果所制作容器的底面的一边比另 一边长0.5m,那么高为 时容器的 容积最大. 12.某商店经销一种商品，每件产品的成本为30 元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交 a元(a为常数，2≤a≤5)的税收.设每件产品 的售价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查， 日销售量与e(e为自然对数的底数)成反比 例.已知每件产品的日售价为40元时，日销 售量为10件. (1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的 日售价x元的函数关系式； (2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品 的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值. 4 选择性必修第三册 [素养培优练] 13.如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直 线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海岸的同 侧，乙厂位于离海岸40km的B处，乙厂到 海岸的垂足D与A相距50km.两厂要在此 岸边A,D之间合建一个供水站C,从供水站 到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管 费用最省？ 14.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料， 瓶子的制造成本是0.8πr2分，其r(单位： cm)中是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮 料制造商可获得0.2分，且制造商能制作的 瓶子的最大半径是6cm. (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润 最大？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 0·