3.2离散型随机变量及其分布列课时作业-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

3.2离散型随机变量及其分布列 课时作业 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第二册第3章3.2离散型随机变量及其分布列 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（ ） X 3 4 5 9 P A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列中所有概率之和为1列方程求解即可 【详解】离散型随机变量分布列满足：所有概率之和为1，即，代入数据可得：，解得. 2．已知随机变量服从两点分布，，则其成功的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设成功的概率为，根据期望的公式计算即可. 【详解】随机变量服从两点分布，设成功的概率为， ，成功的概率为. 3．已知随机变量，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】因为随机变量，则. 4．某班有54名学生，其中18名学生数学成绩优秀，每次从该班随机抽取1名学生，观察后放回，连续抽取6次，其中数学成绩优秀的学生数，则（    ） A．13 B．12 C．5 D．4 【答案】C 【详解】，则，故． 5．在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖.则摸球三次仅中奖一次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，摸球一次中奖的概率为， 则摸球三次仅中奖一次的概率为. 6．已知随机变量的分布如下：若，则（    ） 0 1 2 A． B．7 C． D．22 【答案】C 【分析】先根据分布列的性质与确定，的值，计算，再根据求值. 【详解】由题意得，，即， 因为，所以，即， 联立解得，，，则， 所以. 7．某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】利用二项分布概率公式，通过为唯一最大值需满足且，列不等式组求解正整数. 【详解】依题意，， 由是唯一的最大值，得，即， 则，整理得，解得，而，因此. 8．已知某口袋中装有编号分别为1，2，3，4的红色小球各一个，编号分别为1，2，3，4的白色小球各一个(共8个小球，除颜色与编号外，其他完全相同)，每次从口袋中不放回地任取一个小球，只要取到相同编号的红色小球和白色小球，就结束取球.记取球次数为X，则X的数学期望为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分析取球结束时的次数情况，结合不放回抽样的概率计算方法，分别求出各次数对应的概率，再利用数学期望公式求解. 【详解】随机变量的可能取值为. 当时，前两次取球就取到一对编号相同的红、白球， 第一次任取一球，第二次需取到与它编号相同的另一颜色球：； 当时，前两次未出现同号球，第三次才取到， 第一次任取一球，第二次不取同号球， 第三次取到与前两次之一同号的另一颜色球：； 当时，前三次未出现同号球，第四次才取到， 第一次任取一球，后两次均不取已取编号的同号球， 第四次取到与前三次之一同号的另一颜色球：； 当时，前四次未出现同号球， 第五次必然取到（前四次取了4个不同编号的球，剩余球必与前四次某一球同号）： ， 数学期望：. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设为样本的一个随机变量，则关于数学期望的表述正确的有（    ） A．样本估计总体时，总体的均值一定为 B．反应了取值的平均水平 C． D．若服从分布，则 【答案】BCD 【分析】对于选项A，根据样本期望是随机变量，总体均值是定值即可判断；对于选项B，结合期望的含义即可判断；对于选项C，利用方差的非负性公式即可判断；对于选项D，结合期望计算公式判断. 【详解】对于A，用样本估计总体时，样本的均值为随机变量，总体的均值是固定的，故错误；对于B，期望的含义是反映了随机变量取值的平均水平，故正确； 对于C,故正确； 对于D,分布的期望为，故正确． 10．下列命题中正确的是（    ） A．已知随机变量，则 B．数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4 C．若事件A与B互斥，且，，则 D．样本数据，，…，的平均数为，方差为，则，，…，的平均数为，方差为 【答案】CD 【分析】根据二项分布的方差计算公式，求二项分布方差；根据第百分位数的概念求几个数的第60百分位数；根据互斥事件的概率关系，求出互斥事件的和事件概率；根据平均数和方差的性质，求出新的平均数和方差；逐一判断各选项正误. 【详解】由题意可知，则，所以A错误； 数据2，3，4，5，6共5个数，第60百分位数是第3个数和4个数的平均数，是，所以B错误；事件A与B互斥，则，所以C正确； 根据平均数和方差的性质，样本数据，，…，的平均数为，方差为，则，，…，的平均数为，方差为，所以D正确；故选：CD. 11．某学校组织“传统文化”竞赛，有X，Y两类问题，每位参加比赛的同学在两类问题中随机选择一类并从中任意抽取一个问题回答，已知甲同学答对X类问题的概率为，答对Y类问题的概率为，甲同学选择X类问题的概率为，每轮只答一道题，每轮答题互不影响，则下列说法正确的是（    ） A．甲同学在第一轮答对试题的概率为 B．甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是Y类问题的概率为 C．甲同学经过三轮答题，答对两道试题的概率为 D．甲同学经过了二十四轮答题，答对试题个数的期望为9 【答案】ACD 【分析】先利用全概率公式求答对试题概率，再用贝叶斯公式求答错时选类问题概率，接着用二项分布概率公式求三轮答对两道题概率，最后用二项分布期望公式求二十四轮答对个数期望. 【详解】设选X类问题为A事件，选Y类问题为，甲同学答对题目为B事件， 根据题意得： ，，，， 在A选项中，根据全概率公式可得： ，A选项正确； 在B选项中，由条件概率公式可得：，其中， ，因此，B选项错误； 在C选项中，每轮答题独立，每轮答对概率为，服从二项分布， 答对2道的概率：，C选项正确； 在D选项中，答对个数服从二项分布， 期望，D选项正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设随机变量，则___________． 【答案】1 【详解】因为随机变量服从二项分布，其中， 所以由二项分布的期望公式可得：. 13．某高级中学举办数学学科周活动，为表彰数学建模比赛中表现优异的同学，学校给高中三个年级共分配9个表彰名额，每个年级至少一个名额.从所有可能的分配方案中随机选择一种，用表示这三个年级中分配的最少名额数，则的数学期望__________. 【答案】 【分析】根据题意，分析三个年级中分配的最少名额数的取值情况，及相应的分配方案数，得到相应的概率，根据数学期望的公式求得的数学期望. 【详解】若三个年级名额数分别为，则，又每个年级至少一个名额， 所以，相当于9个球分成3份，且每份至少有一个球，即用2个隔板插入8个空，则有种，由题意，则，且各年级人数为， 其中的情况有一种情况，即， 的情况有､ 九种情况，即，所以， 综上，. 14．某单位有1000名职工，想通过验血的方法筛查某种病毒携带者，假设携带病毒的人占，化验费用为50元/次，如果对每个人的血样逐一化验，则该单位所需的化验费用为50000元．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．按照这种化验方法，该单位所需的平均化验费用为______元．（参考数据：） 【答案】21310 【分析】先平均分组，设每组需要的化验次数为，结合独立重复试验概率计算公式、对立事件概率计算公式求得，进而求得每组的费用，进一步计算即可. 【详解】1000名职工按5人一组，可分为组. 已知携带病毒的人占，即每个人呈阴性的概率为0.95. 设每组需要的化验次数为，则的可能取值为1,6， ，， . 所以该单位所需的平均化验费用为（元）. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）暑假来临，有大学生四人各自通过互联网订购回家的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响.若获得火车票的概率分别是,其中 ，又成等比数列，且两人恰好有一人获得火车票的概率是 (1)求的值； (2)若是同乡，两人约定只有两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家，设表示能够回家过暑假的人数，求的分布列. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 4 【分析】（1）根据条件列出方程和，联立求出，即可求解； （2）根据条件可得的可能取值，求出相应取值对应的概率，即可求解. 【详解】（1）因为成等比数列，所以，整理得到①， 又两人恰好有一人获得火车票的概率是，则， 整理得到②，由①②可得③，联立①③解得或， 又，所以. （2）因为是同乡，两人约定只有两人都获得火车票才一起回家，两人都获得火车票，一起回家的概率为，易知的可能取值为， 则， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 16．（15分）某健身俱乐部周末开展促销活动，促销期间俱乐部的收费标准如下表： 健身时间（小时） 收费标准 免费 50元／人 100元／人 现有甲、乙两人相互独立地来该俱乐部健身，已知甲、乙不超过1小时离开的概率分别为小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人健身的时间都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人所付的健身费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量，求的分布列. 【答案】(1) (2) 0 50 100 150 200 【分析】（1）按“两人费用均为0元、均为50元、均为100元”三类情况分类，利用独立事件概率乘法公式计算每类概率，再求和得到费用相同的概率. （2）先确定随机变量（两人健身费用之和）的所有可能取值，再结合两人不同费用的组合情况，用独立事件概率公式计算各取值的概率，列出分布列. 【详解】（1）依题意，两人都付0元的概率； 两人都付50元的概率； 两人都付100元的概率， 则甲、乙两人所付的健身费用相同的概率为. （2）由题意知，的所有可能取值为0，50，100，150，200， ， 所以的分布列为 0 50 100 150 200 17．（15分）某芯片公司生产两种芯片，一种是用于人工智能计算的甲类芯片，另一种是用于基础信号传输的乙类芯片.现将4个甲类芯片和2个乙类芯片混合放置在一个容器中，这些芯片外观完全相同. (1)质检员从中随机抽取2个芯片进行破坏性测试，求至少抽到1个乙类芯片的概率； (2)自动化测试机随机逐个对芯片进行性能检测，检测过的芯片不再放回，直到甲类芯片或乙类芯片被全部检测完毕时停止，记停止时检测的芯片总数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) 2 3 4 5 . 【分析】（1）用对立事件处理，即“至少抽到1个乙类芯片”的对立事件是“抽到的2个芯片均为甲类芯片”； （2）把6个芯片的检测顺序看作随机排列，停止时间由2个乙类芯片的位置决定：若前2个均为乙类则，若第2个乙类出现在第3位则，若第2个乙类出现在第4位或前4个均为甲类则，其余情况为.分别计数即可得到分布列，再由数学期望公式求出. 【详解】（1）（1）设“至少抽到1个乙类芯片”为事件，则表示事件“抽取的两个芯片都是甲类芯片”，则. （2）由题意知的所有可能取值为2，3，4，5. ，， ，，         所以的分布列为 2 3 4 5 . 18．（17分）当下有许多人喜欢以爬山作为锻炼身体的运动方式，有一座山，上山有①②两条路径. (1)小李、小王、小张三人经常组队去爬这座山锻炼身体，三人选择①路径爬山的概率分别为，求小李、小王、小张三人中恰有两人选择②路径爬山的概率. (2)若小刘决定连续两天去爬山，事件“小刘第一天选择①路径爬山”，“小刘第二天选择②路径爬山”，且.若小刘第一天选择①路径爬山，第二天仍选择①路径爬山的概率为；若小刘第一天选择②路径爬山，则第二天选择①路径爬山的概率为.求. (3)有一支登山队，经过一段时间的爬山锻炼后，可对每人的登山速度的提高做出评定为“有效”和“无效”.在对全体登山队员的登山速度的提高做出评定后，从中随机抽取一人，登山速度的提高为“有效”的概率为0.88.现从全体登山队员中随机抽取一人，若此人登山速度的提高为“有效”，则继续抽取下一人，直到抽取到登山速度的提高为“无效”的人为止.若抽取的次数为，且（且），求的最大值. （参考数据：） 【答案】(1) (2) (3)29 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式求解即可； （2）根据条件概率公式以及全概率公式求解即可； （3）列出分布列，写出的表达式，利用错位相减求和，最后解不等式即可. 【详解】（1）由题意得小李、小王、小张三人中恰有两人选择②路径爬山的概率为 （2）由题意得，. . （3）设从全体登山队员中随机抽取1人，抽取到的人是“无效”的概率为，则. 抽取的次数为的分布列为 1 2 3 ... ... 故. 又， 两式相减得 . . ，即， 解得， 的最大值为29. 19．（17分）现有甲、乙两个不透明的盒子中装有若干个除颜色外均相同的小球，起始状态为甲盒中有个红球，个白球，乙盒中有个红球，个白球，，，，．某同学进行取球试验，分三步操作，第一步：从甲盒中随机取出个球放入乙盒中；第二步：从乙盒中随机取出1个球(不放回)并记录颜色；第三步：从乙盒剩下的球中再随机取出1个球.记事件“从甲盒中随机取出个球放入乙盒中”，事件“从甲盒取出的个球中红球的个数为”，事件“第二步取出的球是红球”，事件“第三步取出的球是红球”． (1)若，，，，，求和（注： 表示在事件发生的条件下和同时发生） (2)证明:； (3)在（1）的条件下，当时，该同学试验结束，否则回到起始状态，重新进行下一轮试验.若每轮试验，第一步从甲盒中取出的球中有个红球，则该轮的得分为，求试验结束时该同学总得分的平均值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）按古典概型计算第一步取出个红球的概率；在发生的条件下，乙盒中共有个球，其中个红球，再计算连续两次取出红球的概率． （2）在发生的条件下，乙盒中共有个球，其中红球数为．第二步取红球的概率可直接求得；第三步取红球的概率按第二步是否取到红球分类计算，化简即可得到相等关系． （3）由第（2）问先判断试验结束等价于，再用“本轮得分加下一轮期望”的递推方程求总得分的平均值． 【详解】（1）由超几何分布，． 在条件下，乙盒共有个球，其中红球个，白球个， 故． （2）在发生的条件下，乙盒中红球数为.总球数为. 所以.下面计算． 若第二步取到红球，则第三步取到红球的概率为. 若第二步未取到红球，则第三步取到红球的概率为. 又因为在发生的条件下，第二步取到红球的概率为. 第二步未取到红球的概率为. 所以. 因此. （3）在（1）的条件下，，，．由第（2）问可得. 试验结束的条件为，解得.又因为第一步取出个球，所以. 故试验结束当且仅当. 第一步从甲盒的个红球、个白球中取个球，取出红球数的各概率为: ；；；； 设试验结束时总得分的平均值为． 若本轮，本轮得分为，试验结束；若本轮， 则本轮得分分别为，之后回到起始状态，下一轮及以后总得分的平均值仍为． 于是. 整理得.所以，解得. 因此试验结束时该同学总得分的平均值为． 学科网（北京）股份有限公司 $3.2离散型随机变量及其分布列课时作业 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)选择性必修第二册第3章3.2离散型随机变量及其分布列 第一部分（选择题共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.下表是离散型随机变量X的分布列，则常数a的值是() X 3 4 5 9 a-2 a 1 4君 B品 D. 2.己知随机变量X服从两点分布，E(X)=0.7,则其成功的概率为() A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 1 3.已知随机变量X~B9, 则D(X)=() 3 A.4 B.3 C.2 D.1 4.某班有54名学生，其中18名学生数学成绩优秀，每次从该班随机抽取1名学生，观察 后放回，连续抽取6次，其中数学成绩优秀的学生数X~B6,? 1 ,则E(2X+1)=() A.13 B.12 C.5 D.4 5.在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同， 每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖则摸球三次仅中奖一次的概率 为() A B.27 54 125 D.125 6.已知随机变量X的分布如下：若E(X)=0,则D(2x+5)=() X -2 0 2 m 6 1-3 A.3 B.7 c D.22 7.某人在n次射击中击中目标的次数为X,且X~B(n,0.8),记P=P(X=k),k=0,1,2,,n, 若P,是唯一的最大值，则的值为() A.7 B.8 C.9 D.10 8.已知某口袋中装有编号分别为1,2,3,4的红色小球各一个，编号分别为1,2,3,4 的白色小球各一个（共8个小球，除颜色与编号外，其他完全相同），每次从口袋中不放回地 任取一个小球，只要取到相同编号的红色小球和白色小球，就结束取球记取球次数为X, 则X的数学期望为() A器 c.40 D. 15 9 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设X为样本的一个随机变量，则关于数学期望的表述正确的有() A.样本估计总体时，总体的均值一定为E(X) B.E(X)反应了X取值的平均水平 C.E(X)≤E(X) D.若X服从0-1分布，则E(X)=P(X=1) 10.下列命题中正确的是() A.已知随机变量X~B(4,0.25),则D(X)=1 B.数据2,3,4,5,6的第60百分位数是4 C.若事件A与B互斥，且P(A)=0.2,P(B)=0.3,则P(AUB)=0.5 D.样本数据x,x2,,x的平均数为x,方差为2，则2x1+3,2x2+3,,2xn+3 的平均数为2x+3,方差为4s2 11.某学校组织传统文化”竞赛，有X,Y两类问题，每位参加比赛的同学在两类问题中随 机选择一类并从中任意抽取一个问题回答，已知甲同学答对X类问题的概率为；，答对y 类问题的概率为}，甲同学选择X类问题的概率为，每轮只答一道题，每轮答题互不影响， 则下列说法正确的是() A.甲同学在第一轮答对试题的概率为。 8 ®.甲同学在第一轮答错试腰的情祝下，回答的是Y类向题的概率为} C.甲同学经过三轮答题，答对两道试题的概率为3的 512 D.甲同学经过了二十四轮答题，答对试题个数的期望为9 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题。每小题5分。共15分。 1 12. 设随机变量5~B3,) ,则E(5)= 13.某高级中学举办数学学科周活动，为表彰数学建模比赛中表现优异的同学，学校给高中 三个年级共分配9个表彰名额，每个年级至少一个名额从所有可能的分配方案中随机选择 一种，用X表示这三个年级中分配的最少名额数，则X的数学期望E(X)= 14.某单位有1000名职工，想通过验血的方法筛查某种病毒携带者，假设携带病毒的人占5%， 化验费用为50元/次，如果对每个人的血样逐一化验，则该单位所需的化验费用为50000 元.统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合 再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至 少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.按照这种化验方法，该单位所需 的平均化验费用为元.（参考数据：0.95≈0.7738) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)暑假来临，有大学生A,B,C,D四人各自通过互联网订购回家的火车票，若订票 成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响若A,B,C,D获得火车票的概率分别 是号以，其中2>A,又A2,成等比数列，日AC人恰好有一人获得火车募的 概率吴时 (1)求P,P的值： (2)若C,D是同乡，两人约定只有两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家，设X表 示A,B,C,D能够回家过暑假的人数，求X的分布列 16.(15分)某健身俱乐部周末开展促销活动，促销期间俱乐部的收费标准如下表： 健身时间x(小时) x≤1 1<x≤2 2<x≤3 收费标准 免费 50元/人 100元/人 现有甲、乙两人相互独立地来该俱乐部健身，己知甲、乙不超过1小时离开的概率分别为 11 12 4.1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为2了：两人健身的时间都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人所付的健身费用相同的概率： (2)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量X,求X的分布列 17.(15分)某芯片公司生产两种芯片，一种是用于人工智能计算的甲类芯片，另一种是用 于基础信号传输的乙类芯片.现将4个甲类芯片和2个乙类芯片混合放置在一个容器中，这 些芯片外观完全相同， (1)质检员从中随机抽取2个芯片进行破坏性测试，求至少抽到1个乙类芯片的概率： (2)自动化测试机随机逐个对芯片进行性能检测，检测过的芯片不再放回，直到甲类芯片或 乙类芯片被全部检测完毕时停止，记停止时检测的芯片总数为X,求X的分布列与数学期 望 18.(17分)当下有许多人喜欢以爬山作为锻炼身体的运动方式，有一座山，上山有①②两 条路径 (1)小李、小王、小张三人经常组队去爬这座山锻炼身体，三人选择①路径爬山的概率分别 为2,11 亏43，求小李、小王、小张三人中恰有两人选择②路径爬山的概率 (2)若小刘决定连续两天去爬山，事件A=“小刘第一天选择①路径爬山”，B=“小刘第二天选 择②路径爬山，且P(4=?若小刘第一天选择①路径爬山，第二天仍选择①路径爬山的概 率为：若小刘第一天选择②路径爬山，则第二天选择①路径爬山的概率为求P(B) (3)有一支登山队，经过一段时间的爬山锻炼后，可对每人的登山速度的提高做出评定为“有 效和“无效”在对全体登山队员的登山速度的提高做出评定后，从中随机抽取一人，登山速 度的提高为“有效'的概率为0.88现从全体登山队员中随机抽取一人，若此人登山速度的提高为 “有效'，则继续抽取下一人，直到抽取到登山速度的提高为“无效的人为止.若抽取的次数为5， 且5≤k(k≥8且k∈N),E(5)≤8.125，求k的最大值 （参考数据：n0.88≈-0.128,0.8828≈0.028,0.8829≈0.025,0.8830≈0.022) 19.(17分)现有甲、乙两个不透明的盒子中装有若千个除颜色外均相同的小球，起始状态 为甲盒中有m个红球，n个白球，乙盒中有a个红球，b个白球，m,n,a,b∈N.某 同学进行取球试验，分三步操作，第一步：从甲盒中随机取出k个球1≤k≤+m)放入乙盒 中；第二步：从乙盒中随机取出1个球（不放回）并记录颜色：第三步：从乙盒剩下的球中再 随机取出1个球.记事件X=“从甲盒中随机取出k个球1≤k≤m+)放入乙盒中”，事件 X,(=0,1,2,3,,k)=“从甲盒取出的k个球中红球的个数为i”,事件R=“第二步取出的球是 红球”，事件R,=“第三步取出的球是红球” (1)若m=4,n=3,a=2,b=5,k=3,求P(X2)和P(R∩R|X2)(注：(R∩R2)川X2表 示在事件X,发生的条件下R和R,同时发生) (2)证明：P(R|X)=P(R|X): (③)在1)的条件下，当P风X)分时，该同学试验结束，否则▣到起始状态，重新进行 下一轮试验.若每轮试验，第一步从甲盒中取出的球中有i个红球，则该轮的得分为10，求 试验结束时该同学总得分的平均值. 3.2离散型随机变量及其分布列 课时作业 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第二册第3章3.2离散型随机变量及其分布列 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（ ） X 3 4 5 9 P A． B． C． D． 2．已知随机变量服从两点分布，，则其成功的概率为（   ） A． B． C． D． 3．已知随机变量，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．某班有54名学生，其中18名学生数学成绩优秀，每次从该班随机抽取1名学生，观察后放回，连续抽取6次，其中数学成绩优秀的学生数，则（    ） A．13 B．12 C．5 D．4 5．在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖.则摸球三次仅中奖一次的概率为（    ） A． B． C． D． 6．已知随机变量的分布如下：若，则（    ） 0 1 2 A． B．7 C． D．22 7．某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．已知某口袋中装有编号分别为1，2，3，4的红色小球各一个，编号分别为1，2，3，4的白色小球各一个(共8个小球，除颜色与编号外，其他完全相同)，每次从口袋中不放回地任取一个小球，只要取到相同编号的红色小球和白色小球，就结束取球.记取球次数为X，则X的数学期望为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设为样本的一个随机变量，则关于数学期望的表述正确的有（    ） A．样本估计总体时，总体的均值一定为 B．反应了取值的平均水平 C． D．若服从分布，则 10．下列命题中正确的是（    ） A．已知随机变量，则 B．数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4 C．若事件A与B互斥，且，，则 D．样本数据，，…，的平均数为，方差为，则，，…，的平均数为，方差为 11．某学校组织“传统文化”竞赛，有X，Y两类问题，每位参加比赛的同学在两类问题中随机选择一类并从中任意抽取一个问题回答，已知甲同学答对X类问题的概率为，答对Y类问题的概率为，甲同学选择X类问题的概率为，每轮只答一道题，每轮答题互不影响，则下列说法正确的是（    ） A．甲同学在第一轮答对试题的概率为 B．甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是Y类问题的概率为 C．甲同学经过三轮答题，答对两道试题的概率为 D．甲同学经过了二十四轮答题，答对试题个数的期望为9 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设随机变量，则___________． 13．某高级中学举办数学学科周活动，为表彰数学建模比赛中表现优异的同学，学校给高中三个年级共分配9个表彰名额，每个年级至少一个名额.从所有可能的分配方案中随机选择一种，用表示这三个年级中分配的最少名额数，则的数学期望__________. 14．某单位有1000名职工，想通过验血的方法筛查某种病毒携带者，假设携带病毒的人占，化验费用为50元/次，如果对每个人的血样逐一化验，则该单位所需的化验费用为50000元．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．按照这种化验方法，该单位所需的平均化验费用为______元．（参考数据：） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）暑假来临，有大学生四人各自通过互联网订购回家的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响.若获得火车票的概率分别是,其中 ，又成等比数列，且两人恰好有一人获得火车票的概率是 (1)求的值； (2)若是同乡，两人约定只有两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家，设表示能够回家过暑假的人数，求的分布列. 16．（15分）某健身俱乐部周末开展促销活动，促销期间俱乐部的收费标准如下表： 健身时间（小时） 收费标准 免费 50元／人 100元／人 现有甲、乙两人相互独立地来该俱乐部健身，已知甲、乙不超过1小时离开的概率分别为小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人健身的时间都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人所付的健身费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量，求的分布列. 17．（15分）某芯片公司生产两种芯片，一种是用于人工智能计算的甲类芯片，另一种是用于基础信号传输的乙类芯片.现将4个甲类芯片和2个乙类芯片混合放置在一个容器中，这些芯片外观完全相同. (1)质检员从中随机抽取2个芯片进行破坏性测试，求至少抽到1个乙类芯片的概率； (2)自动化测试机随机逐个对芯片进行性能检测，检测过的芯片不再放回，直到甲类芯片或乙类芯片被全部检测完毕时停止，记停止时检测的芯片总数为，求的分布列与数学期望. 18．（17分）当下有许多人喜欢以爬山作为锻炼身体的运动方式，有一座山，上山有①②两条路径. (1)小李、小王、小张三人经常组队去爬这座山锻炼身体，三人选择①路径爬山的概率分别为，求小李、小王、小张三人中恰有两人选择②路径爬山的概率. (2)若小刘决定连续两天去爬山，事件“小刘第一天选择①路径爬山”，“小刘第二天选择②路径爬山”，且.若小刘第一天选择①路径爬山，第二天仍选择①路径爬山的概率为；若小刘第一天选择②路径爬山，则第二天选择①路径爬山的概率为.求. (3)有一支登山队，经过一段时间的爬山锻炼后，可对每人的登山速度的提高做出评定为“有效”和“无效”.在对全体登山队员的登山速度的提高做出评定后，从中随机抽取一人，登山速度的提高为“有效”的概率为0.88.现从全体登山队员中随机抽取一人，若此人登山速度的提高为“有效”，则继续抽取下一人，直到抽取到登山速度的提高为“无效”的人为止.若抽取的次数为，且（且），求的最大值. （参考数据：） 19．（17分）现有甲、乙两个不透明的盒子中装有若干个除颜色外均相同的小球，起始状态为甲盒中有个红球，个白球，乙盒中有个红球，个白球，，，，．某同学进行取球试验，分三步操作，第一步：从甲盒中随机取出个球放入乙盒中；第二步：从乙盒中随机取出1个球(不放回)并记录颜色；第三步：从乙盒剩下的球中再随机取出1个球.记事件“从甲盒中随机取出个球放入乙盒中”，事件“从甲盒取出的个球中红球的个数为”，事件“第二步取出的球是红球”，事件“第三步取出的球是红球”． (1)若，，，，，求和（注： 表示在事件发生的条件下和同时发生） (2)证明:； (3)在（1）的条件下，当时，该同学试验结束，否则回到起始状态，重新进行下一轮试验.若每轮试验，第一步从甲盒中取出的球中有个红球，则该轮的得分为，求试验结束时该同学总得分的平均值． 学科网（北京）股份有限公司 $3.2离散型随机变量及其分布列课时作业 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)选择性必修第二册第3章3.2离散型随机变量及其分布列 第一部分（选择题共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.下表是离散型随机变量X的分布列，则常数a的值是() X 3 4 5 9 a-2 a 1 1-2 A. 1 6 C. 9 D. 【答案】C 【分析】利用分布列中所有概率之和为1列方程求解即可 【详解】离散型随机变量分布列满足：所有概率之和为1，即 a,1 PX3+P4+PX)+PX=9)L,代入数据可得士-+a+上+1，解得a 1 2626 2.已知随机变量X服从两点分布，E(X)=0.7,则其成功的概率为() A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 【答案】A 【分析】设成功的概率为P,根据期望的公式计算即可。 【详解】“随机变量X服从两点分布，设成功的概率为卫， .E(X)=0x(1-p)+1×p=p=0.7,.成功的概率为0.7 3.已知随机变量X~B9, 则D(X)=() 3 A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 详解】因为随机变量X~B9;D 则Dx)=含1-)-2 4.某班有54名学生，其中18名学生数学成绩优秀，每次从该班随机抽取1名学生，观察 后放回，连续抽取6次，其中数学成绩优秀的学生数X~B6 1 则E(2X+1)=() A.13 B.12 C.5 D.4 【答案】C 【详解】X6 则B(X)=p=6×{2,故E(2X+1)=2B(X)+1=5. 3 5.在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同， 每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖则摸球三次仅中奖一次的概率 为() A 27 36 54 B. C. 125 125 D. 125 【答案】D 【详解】依题意，摸球一次中奖的概率 CC-2 则摸球三次仅中奖一次的概率为C,· 2_54 6.已知随机变量X的分布如下：若(X)=0,则D(2x+5)=() -2 0 2 b 名 1 6 3 A. 28 3 B.7 C. D.22 3 【答案】C 【分析】先根据分布列的性质与E(X)=0确定m,的值，计算D(X),再根据 D(2X+5)=4D(X)求值 【详解】由题意得，m+n+6+31,即m+n27 因为E(X)=0,所以-2xm+0x2+1x+2x=0,即n-m=-1 6 6 1 1 联立解得，n=。m则D(X)=4×3+0X石+1 6 3*4x7 1 63 所以D(2X+5)=4D(X=4×7=28 3 7.某人在n次射击中击中目标的次数为X,且X~B(n,0.8),记P=P(X=k),k=0,1,2,,n, 若P是唯一的最大值，则n的值为() A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】B 【分析】利用二项分布概率公式，通过P为唯一最大值需满足P,>且P,>,列不等式组 求解正整数n. 【详解】依题意，D=C×0.8×0.2,k=0,1,2,,n, 由卫是唯一的最大值，得 5>g,mC0802c002 C7×0.8×0.2-7>C8×0.8×0.28 -×0.8> ×02 7(n-7 6(n-6 「4(n-6)>7 则 ,整理得 l n 4-7)<8’解得7三<n<9,而n∈N,因此n=8 4 7m-7*02> ×0.8 8(n-8)！ 8.已知某口袋中装有编号分别为1,2,3,4的红色小球各一个，编号分别为1,2,3,4 的白色小球各一个（共8个小球，除颜色与编号外，其他完全相同），每次从口袋中不放回地 任取一个小球，只要取到相同编号的红色小球和白色小球，就结束取球记取球次数为X, 则X的数学期望为() 4器 14 B. C. 40 D 5 9 【答案】A 【分析】通过分析取球结束时的次数情况，结合不放回抽样的概率计算方法，分别求出各次 数对应的概率，再利用数学期望公式求解 【详解】随机变量X的可能取值为2,3,4,5 当X=2时，前两次取球就取到一对编号相同的红、白球， 第一次任取一球，第二次需取到与它编号相同的另一颜色球：P(x=2)=8× 87=7 当X=3时，前两次未出现同号球，第三次才取到， 第一次任取一球，第二次不取同号球， 第三次取到与前两次之一同号的另一颜色球：P(x=3)=8<5×22 8767 当X=4时，前三次未出现同号球，第四次才取到， 第一次任取一球，后两次均不取已取编号的同号球， 第四次取到与前三次之一同号的另一颜色球：P(x=4)8××4×?2 876535 当X=5时，前四次未出现同号球， 第五次必然取到（前四次取了4个不同编号的球，剩余球必与前四次某一球同号）： 0x-列g9g器 4x5+5x8128 数学期塑：B(W)=2x3×子4×号+5 7 3535 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设X为样本的一个随机变量，则关于数学期望的表述正确的有() A.样本估计总体时，总体的均值一定为E(X) B.E(X)反应了X取值的平均水平 C.E(X)≤E(X2) D.若X服从0-1分布，则E(X)=P(X=1) 【答案】BCD 【分析】对于选项A,根据样本期望是随机变量，总体均值是定值即可判断：对于选项B, 结合期望的含义即可判断：对于选项C,利用方差的非负性公式D()=E(X)-[E(X)≥0 即可判断；对于选项D,结合0-1期望计算公式判断. 【详解】对于A,用样本估计总体时，样本的均值为随机变量，总体的均值是固定的，故错 误；对于B,期望的含义是反映了随机变量取值的平均水平，故正确： 对于C,D(X)=E(X2)-E2(X)≥0→E(X2)≥E2(X),故正确： 对于D,0-1分布的期望为E(X)=0×(1-p)+1×p=p,故正确. 10.下列命题中正确的是() A.已知随机变量X~B(4,0.25),则D()=1 B.数据2,3,4,5,6的第60百分位数是4 C.若事件A与B互斥，且P(A)=0.2,P(B)=0.3,则P(AUB)=0.5 D.样本数据x,x2,.,x的平均数为x,方差为2，则2x1+3,2x2+3,,2x+3 的平均数为2x+3,方差为4s2 【答案】CD 【分析】根据二项分布的方差计算公式，求二项分布方差；根据第P百分位数的概念求几个 数的第60百分位数：根据互斥事件的概率关系，求出互斥事件的和事件概率；根据平均数 和方差的性质，求出新的平均数和方差：逐一判断各选项正误 【详解】由题意可知X~B(4,0.25),则D(X)=4×0.25×(1-0.25)=0.75≠1，所以A错误： 6共5个数，第60百分位数是第3个数和4个数的平均数 所以B错误；事件A与B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B)=0.2+0.3=0.5,所以C正确： 根据平均数和方差的性质，样本数据X,x2,,七的平均数为x,方差为52，则2x+3, 2x2+3,.,2x+3的平均数为2元+3，方差为4s2,所以D正确：故选：CD. 11.某学校组织“传统文化”竞赛，有X,Y两类问题，每位参加比赛的同学在两类问题中随 机选择一类并从中任意抽取一个问题回答，已知甲同学答对X类问题的概率为子，答对y 类问题的概率为，甲同学选择X类问题的概率为}，每轮只答一道题，每轮答题互不影响， 则下列说法正确的是() A,甲同学在第一轮答对试题的概率为 B.甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是Y类问题的概率为 甲同学经过三轮答题，答对两道试题的概率为： D.甲同学经过了二十四轮答题，答对试题个数的期望为9 【答案】ACD 【分析】先利用全概率公式求答对试题概率，再用贝叶斯公式求答错时选Y类问题概率，接 着用二项分布概率公式求三轮答对两道题概率，最后用二项分布期望公式求二十四轮答对个 数期望 【详解】设选X类问题为A事件，选Y类问题为4，甲同学答对题目为B事件， 根据题意得：P()-子P(团-子，P(©A)P(团A)了 在A选项中，根据全概率公式可得： P列=P心4)P叫)-同P叫)-分子A选项正商 P(A丽) 在B选项中，由条件概率公式可得：PA)= P(®) 共中P回-1P@名 1 P川丽)=P)P(同到子-引分，国比P国到-子-专+号B选明错误 5 P 在C选项中，每轮答恶独立，每轮答对概率为日，服从二项分布B( 3 答对2道的概率：P=C·( ，C选项正确： 648512 在D选项中，答对个数服从二项分布B24 8/: 3 期望E=p=24×二=9，D选项正确 8 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 设随机变量5~B3, 1 12. 则E(5) 【答案】1 1 【详解】因为随机变量5服从二项分布5~ 其中n=3,p= 3 所以由二项分布的期望公式可得：E(5)=仰=3×。=1 3 13.某高级中学举办数学学科周活动，为表彰数学建模比赛中表现优异的同学，学校给高中 三个年级共分配9个表彰名额，每个年级至少一个名额从所有可能的分配方案中随机选择 一种，用X表示这三个年级中分配的最少名额数，则X的数学期望E(X)= 【答案】39 8 【分析】根据题意，分析三个年级中分配的最少名额数的取值情况，及相应的分配方案数， 得到相应的概率，根据数学期望的公式求得X的数学期望 【详解】若三个年级名额数分别为a,b,c,则a+b+c=9,又每个年级至少一个名额， 所以，相当于9个球分成3份，且每份至少有一个球，即用2个隔板插入8个空，则有C:=28 种，由题意X=min{a,b,c},则X=1,2,3,且各年级人数为(a,b,c), 其中X=3的情况有6,33)一种情况，即P(X=》女 X=2的情况有(2,2,5)(2,5,2)、(5,2,2)、(2,3,4)、(2,4,3)、(3,2,4)、(3,4,2)、(4,2,3) 32九种特况.即P(=2)8所以P(x=1名品。 282828 综上，()=3点2 9 1839 +1× 28 2828 14.某单位有1000名职工，想通过验血的方法筛查某种病毒携带者，假设携带病毒的人占5%， 化验费用为50元/次，如果对每个人的血样逐一化验，则该单位所需的化验费用为50000 元.统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合 再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性：如果混合血样呈阳性，说明其中至 少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.按照这种化验方法，该单位所需 的平均化验费用为元.（参考数据：0.95≈0.7738） 【答案】21310 【分析】先平均分组，设每组需要的化验次数为X,结合独立重复试验概率计算公式、对 立事件概率计算公式求得E(X),进而求得每组的费用，进一步计算即可. 【详解】1000名职工按5人一组，可分为1000÷5=200组 己知携带病毒的人占5%，即每个人呈阴性的概率为0.95. 设每组需要的化验次数为X,则X的可能取值为1,6， P(X=1)=0.955≈0.7738，P(X=6)=1-P(X=1)=1-0.7738=0.2262, E(X)=1×0.7738+6×0.2262=2.131. 所以该单位所需的平均化验费用为2.131×50x200=21310(元). 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)暑假来临，有大学生A,B,C,D四人各自通过互联网订购回家的火车票，若订票 成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响若A,B,C,D获得火车票的概率分别 中里平T'g入（白.t×白1、7o红日6年月元M乙一△：a2中年TI 概率吴号 (1)求，P3的值： (2)若C,D是同乡，两人约定只有两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家，设X表 示A,B,C,D能够回家过暑假的人数，求X的分布列. 11 【答案】()卫=2P,=4 (2) X 0 1 2 3 15 15 1 1 64 32 4 32 64 【分析】(1D根据条件列出方程P,卫=g和B+P,2p,B=2 联立求出P,P,即可求解： (2)根据条件可得X的可能取值，求出相应取值对应的概率，即可求解 【详解】1)因为B,2功，度等比数列，所以 -A2A:整理狗到AA名和， 又AC两人恰好有一人获得火车票的概率是方，则卫(1-凸)+1-P卫，=2' 1 1 .1 3 P1= 4或 卫P1= 整理得到卫+卫-2p少，=2®，①2可得弘+p,=③，联立①③解得 2 1 1 =2 =4 1 又n>P,所以A2乃4 (2)因为C,D是同乡，两人约定只有两人都获得火车票才一起回家，C,D两人都获得火车 111 票，一起回家的概率为p=4×416,易知X的可能取值为0,12,34， 则Px叭=0-0-0-p上宁分g后 PX=a0-p0-pr0-p,-p8子子1格是 Px=2)=pp,0-p+0-n)0-p,p=7分16子ii66464' 1115.11115.11 111,11.11 P(x=3)=p,-P,)p+0-pPP=22162i1632 P(X-4)=DPP- 111 21664 所以X的分布列为 X 0 1 3 4 15 1 1 P 15 64 32 4 32 64 16.（15分)某健身俱乐部周末开展促销活动，促销期间俱乐部的收费标准如下表： 健身时间x(小时) x≤1 1<x≤2 2<x≤3 收费标准 免费 50元/人 100元/人 现有甲、乙两人相互独立地来该俱乐部健身， 已知甲、乙不超过1小时离开的概率分别为 12 一子1小时以上不超过2小时离开的概率分别为，：两人健身的时间都不会超过3小时 (1)求甲、乙两人所付的健身费用相同的概率： (2)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量X,求X的分布列 【容】0日 (2) X 0 50 100 150 200 1 5 1 12 24 【分析】(1)按两人费用均为0元、均为50元、均为100元”三类情况分类，利用独立事 件概率乘法公式计算每类概率，再求和得到费用相同的概率 (2)先确定随机变量X(两人健身费用之和)的所有可能取值，再结合两人不同费用的组 合情况，用独立事件概率公式计算各取值的概率，列出分布列。 〖详解1D依题意，两人都付0元的概率￡子。子 两人都付50元的概率2=子×号 233 两人附1四元的藏率男=-子引-合引名 则甲、乙两人所付的健身费丽相同的率为？一界男+及动}4音 (2)由题意知，X的所有可能取值为0,50,100,150,200， Px=0=x2,Px=50=x+x2 4624’ 26434 Px=10=x2x2x25,Px=150=x2+3x 46462312 263441 111 P(X=200)=-×2= 4624 所以X的分布列为 X 0 50 100 150 200 24 4 4 17.(15分)某芯片公司生产两种芯片，一种是用于人工智能计算的甲类芯片，另一种是用 于基础信号传输的乙类芯片.现将4个甲类芯片和2个乙类芯片混合放置在一个容器中，这 些芯片外观完全相同： (1)质检员从中随机抽取2个芯片进行破坏性测试，求至少抽到1个乙类芯片的概率； (2)自动化测试机随机逐个对芯片进行性能检测，检测过的芯片不再放回，直到甲类芯片或 乙类芯片被全部检测完毕时停止，记停止时检测的芯片总数为X,求X的分布列与数学期 望 【答案】()5 (2) X 2 3 4 5 1 2 8 心 15 15 15 15 E(K)=64 5 【分析】(1)用对立事件处理，即至少抽到1个乙类芯片”的对立事件是“抽到的2个芯片 均为甲类芯片”： (2)把6个芯片的检测顺序看作随机排列，停止时间由2个乙类芯片的位置决定：若前2 个均为乙类则X=2,若第2个乙类出现在第3位则X=3,若第2个乙类出现在第4位或 前4个均为甲类则X=4,其余情况为X=5.分别计数即可得到分布列，再由数学期望公式 求出E(X) 【详解】(1)(1)设“至少抽到1个乙类芯片”为事件A,则A表示事件“抽取的两个芯片都 是甲类芯片，则P(4=1-P)=1-S=163 C 155 (2)由题意知X的所有可能取值为2,3,4,5. P=2古Prg12 c6415 P=4-g+CC1.4 c+C35,P(x-5)=1-1-248 15151515 所以X的分布列为 X 2 3 4 5 2 4 8 15 15 15 0=2名 +4× 4+5x8-64 1 1515 18.(17分)当下有许多人喜欢以爬山作为锻炼身体的运动方式，有一座山，上山有①②两 条路径 (1)小李、小王、小张三人经常组队去爬这座山锻炼身体，三人选择①路径爬山的概率分别 为号，}，求小李、小王、小张三人中恰有两人选择②路径爬山的概多 (2)若小刘决定连续两天去爬山，事件A=“小刘第一天选择①路径爬山”，B=“小刘第二天选 择②路径爬山，且P()若小刘第一天选择@路径爬山，第二天仍选择@路径爬山的概 幸为写若小刘第一天选择②路径爬山，则第二天选择@路径爬山的概率为兮求P(®)， (3)有一支登山队，经过一段时间的爬山锻炼后，可对每人的登山速度的提高做出评定为“有 效和“无效”在对全体登山队员的登山速度的提高做出评定后，从中随机抽取一人，登山速 度的提高为“有效”的概率为0.88现从全体登山队员中随机抽取一人，若此人登山速度的提高为 “有效”，则继续抽取下一人，直到抽取到登山速度的提高为“无效”的人为止.若抽取的次数为5， 且5≤k(k≥8且k∈N),E(5)≤8.125，求k的最大值 （参考数据：h0.88≈-0.128,0.8828≈0.028,0.8829≈0.025,0.8830≈0.022) 【答案】)36 7 @15 1 (3)29 【分析】(1)根据独立事件的乘法公式求解即可： (2)根据条件概率公式以及全概率公式求解即可： (3)列出分布列，写出E()的表达式，利用错位相减求和，最后解不等式即可. 【详解】(1)由题意得小李、小王、小张三人中恰有两人选择②路径爬山的概率为 》动-到 @)由宽意得，P(国=P分P国小-1套P@列-1号号 P@=P8A小+P国P@习-号号贵 (3)设从全体登山队员中随机抽取1人，抽取到的人是“无效的概率为P,则p=012 抽取的次数为5,5的分布列为 2 k-1 k (1-p)p (1-p)'p 1-p)2p 1-p)1 故E(5)=p+1-p)p×2+(1-p)'p×3++1-p)2px(k-1)+1-p)×k 又(1-P)E(5)=(1-p)p+(1-P)p×2+(1-p)p×3++(1-p)px(k-1)+(1-p)×k, 两式相减得 pB(传)=p+(1-p)p+(1-p)2p++(1-p)2p+(1-p)~k-1-p)p(k-1)-(1-p)k =p+(1-p)p+1-p)}p++1-p)-2p+1-p)p B(5)-1+1-p刊+1-p2+4(1-月：(1-91-1-p1-088 0.12 E(5)≤8.125，：1-0.88 ≤8.125，即0.88*≥0.025， 0.12 解得k≤29， .k的最大值为29. 19.(17分)现有甲、乙两个不透明的盒子中装有若千个除颜色外均相同的小球，起始状态 为甲盒中有m个红球，n个白球，乙盒中有a个红球，b个白球，m,n,a,b∈N.某 同学进行取球试验，分三步操作，第一步：从甲盒中随机取出k个球1≤k≤+m)放入乙盒 中；第二步：从乙盒中随机取出1个球（不放回）并记录颜色；第三步：从乙盒剩下的球中再 随机取出1个球.记事件X=“从甲盒中随机取出k个球1≤k≤m+)放入乙盒中”，事件 X,(=0,1,2,3,,k)=“从甲盒取出的k个球中红球的个数为”，事件R=“第二步取出的球是 红球”，事件R2=“第三步取出的球是红球”. (1)若m=4,n=3,a=2,b=5,k=3,求P(X2)和P(R∩R|X2)(注：(R∩R2)川X2表 示在事件X,发生的条件下卫和R,同时发生) (2)证明：P(R|X)=P(R|X): (③)在1)的条件下，当P风X)分时，该同学试验结束，否则▣到起始状态，重新进行 下一轮试验.若每轮试验，第一步从甲盒中取出的球中有i个红球，则该轮的得分为10，求 试验结束时该同学总得分的平均值 【答案】()35'15 182 (2)证明见解析 (3)150 【分析】(1)按古典概型计算第一步取出2个红球的概率；在X2发生的条件下，乙盒中共 有10个球，其中4个红球，再计算连续两次取出红球的概率. (2)在X,发生的条件下，乙盒中共有a+b+k个球，其中红球数为a+i,第二步取红球的 概率可直接求得：第三步取红球的概率按第二步是否取到红球分类计算，化简即可得到相等 关系。 (3)由第(2)问先判断试验结束等价于i=3,再用“本轮得分加下一轮期望”的递推方程求 总得分的平均值， 【详解】(1)由超几何分布，PX,)=CC-6x3_18 C33535 在X2条件下，乙盒共有2+5+3=10个球，其中红球2+2=4个，白球5+1=6个， 放AnRx)=1x)-号0后 (2)在X,发生的条件下，乙盒中红球数为a+i.总球数为a+b+k 所以P(R1X)=a+i .下面计算P(RX) atb+k 若第二步取到红球，则第三步取到红球的概率为 a+i-1 atb+k-1 ati 若第二步未取到红球，则第三步取到红球的概率为 a+b+k-1 又因为在X发生的条件下，第二步取到红球的概率为_a+i a+b+k 第二步未取到红球的概率为b+-1 a+b+k 所以 ARx)=aabk生a1H1a+i-lHbk-）at ab+k1ami a+bik a+bik-1 atb+k a+b+k-1 a+bik atb+k-1 a+b+k a+b+k-1 a+bik 因此P(R,X)=P(RlX) 3)在1)的条件下，a=2,b=5,k=3.由第(2)间可得P(R,X)=2+ 10 试验结爽的条件为治分，解得1≥3又因为第一步取出3个球，所以43 故试验结束当且仅当i=3. 第一步从甲盒的4个红球、3个白球中取3个球，取出红球数的各概率为： m-答--竖-号P--爱-g0--竖-黄 设试验结束时总得分的平均值为E, 若本轮i=3,本轮得分为30，试验结束；若本轮i=0,1,2, 则本轮得分分别为0,10,20，之后回到起始状态，下一轮及以后总得分的平均值仍为E. 于是=0-)+0+-20-80 格理得公一站：贺所名-罗解用5=10 35 35 因此试验结束时该同学总得分的平均值为150.