3.2.4 离散型随机变量的方差 同步练习-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

3.2.4　离散型随机变量的方差 A级 必备知识基础练 1.[2024甘肃武威高二月考]已知甲、乙两人进行五局围棋比赛,甲每局获胜的概率都是,且各局的胜负相互独立,设甲获胜的局数为X,则D(X)=(　　) A. B. C. D.2 2.在n(n∈N*)次独立重复试验中,每次试验的结果只有A,B,C三种,且A,B,C三个事件之间两两互斥.已知在每一次试验中,事件A,B发生的概率均为,则事件A,B,C发生次数的方差之比为(　　) A.5∶5∶4 B.4∶4∶3 C.3∶3∶2 D.2∶2∶1 3.已知A1,A2为两所高校举行的自主招生考试,某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为,该同学一旦通过某所高校的考试,就不再参加其他高校的考试.设该同学通过考试的高校个数为随机变量X,则D(X)=(　　) A. B. C. D. 4.已知随机变量X的分布列是 X -1 0 1 P a b 若E(X)=0,则D(X)=(　　) A.0 B. C. D.1 5.(多选题)若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是(　　) A.P(X=1)=E(X) B.E(4X+1)=3 C.D(4X+1)=3 D.D(X)= 6.随机变量X的取值为0,1,2,若P(X=0)=,E(X)=1,则D(X)=　　　　　.  7.某地区投入共享电动车后,若该地区内的每位成员使用共享电动车的概率都为p,且各成员使用与否相互独立,设X为某群体的5位成员中使用共享电动车的人数,D(X)=1.2,P(X=2)<P(X=3),则p=　　　　　.  8.甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率为. (1)求乙至多击中目标2次的概率; (2)记甲击中目标的次数为Z,求Z的分布列、数学期望和标准差. B级 关键能力提升练 9.(多选题)[2024甘肃临夏高二期末]设某项试验成功率是失败率的2倍,若用随机变量X描述一次试验的成功次数,E(X),D(X)分别为随机变量的期望和方差,则(　　) A.P(X=0)= B.E(2X)= C.D(X)= D.D(3X+1)=3 10.(多选题)若随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=,记X的均值和方差分别为E(X)和D(X),则下列结论正确的是(　　) A.E(X)= B.E(5X+3)=6 C.D(X)= D.D(5X+3)= 11.已知随机变量X的分布列如下,则D(3X-1)的最大值为(　　) X 1 2 3 P a b 2b-a A. B.3 C.6 D.5 12.在一次随机试验中,事件A发生的概率为p,0<p<1,事件A发生的次数为ξ,则方差D(ξ)的最大值为　　　　　.  13.盒中有4个球,其中1个红球、1个黄球、2个蓝球.从盒中随机取球,每次取1个,取后不放回,直到蓝球全部被取出为止,在这一过程中取球次数为ξ,则ξ的方差D(ξ)=　　　　. 14.袋中有除颜色外完全相同的2个白球和3个黑球. (1)采取放回抽样方式,从中依次摸出两个球,记X为摸出的白球个数,求X的方差; (2)采取不放回抽样方式,从中依次摸出两个球,记Y为摸出的白球个数,求Y的方差. C级 学科素养创新练 15.已知甲、乙两名射手每次射击击中的环数均大于6环,且甲击中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙击中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,甲、乙射击结果互不影响.记甲、乙两名射手在一次射击中的环数分别为ξ,η. (1)求ξ,η的分布列; (2)求ξ,η的数学期望与方差,并比较甲、乙两名射手的射击技术. 参考答案 1.C　因为甲每局获胜的概率都是,且各局的胜负相互独立,所以X~B5,,则D(X)=5×.故选C. 2.C　根据A,B,C事件的互斥性可得,每一次试验中,事件C发生的概率为, 设事件A,B,C发生的次数分别为随机变量X,Y,Z,则有X~B(n,),Y~B(n,),Z~B(n,). 事件A,B,C发生次数的方差分别为n,n,n, 故事件A,B,C发生次数的方差之比为3∶3∶2,故选C. 3.A　由已知X的取值可能为0,1, P(X=0)=,P(X=1)=, ∴E(X)=0×+1×,D(X)=. 故选A. 4.C　由已知可得解得a=b=,因此,D(X)=[(-1-0)2+(0-0)2+(1-0)2]=.故选C. 5.AC　因为P(X=0)=,所以P(X=1)=.E(X)=0×+1×,所以选项A正确; E(4X+1)=4E(X)+1=4×+1=4,所以选项B错误; D(X)=(0-)2×+(1-)2×,所以选项D错误; 所以D(4X+1)=16D(X)=3.所以选项C正确. 故选AC. 6.　设P(X=1)=a,则P(X=2)=1--a=-a,从而E(X)=a+2(-a)=-a=1,解得a=,所以D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×. 7.0.6　由题意可得,X~B(5,p), 所以D(X)=5p(1-p)=1.2,即p(1-p)=0.24,解得p=0.4或0.6, 因为P(X=2)<P(X=3), 所以p2(1-p)3<p3(1-p)2, 解得1-p<p, 所以<p<1,所以p=0.6. 8.解(1)甲、乙两人射击命中的次数服从二项分布,故乙至多击中目标2次的概率为1-3=. (2)由题意知Z~B3,, P(Z=0)=3=, P(Z=1)=3=, P(Z=2)=3=, P(Z=3)=3=. 随机变量Z的分布列为 Z 0 1 2 3 P E(Z)=0×+1×+2×+3×, D(Z)=0-2×+1-2×+2-2×+3-2×, 所以. 9.ABC　设试验成功的概率为p,则有p+=1,解得p=. 记一次试验中成功的次数为X,则X的取值为0,1,P(X=0)=,P(X=1)=,选项A正确; X 0 1 P 则随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×,E(2X)=2E(X)=,选项B正确; D(X)=0-2×+1-2×,选项C正确; D(3X+1)=9D(X)=9×=2,选项D错误;故选ABC. 10.AB　因为随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=,所以P(X=1)=,所以E(X)=,D(X)=,E(5X+3)=5E(X)+3=6,D(5X+3)=52D(X)=6.故选AB. 11.C　因为分布列中概率和为1,故可得a+b+2b-a=1,解得b=,又E(X)=a+2×+3(-a)=-2a+. 则D(X)=(-2a)2×a+(-2a)2×+(+2a)2×(-a)=-4a2+a+, 又0≤a≤1,0≤-a≤1,故可得a∈, 则当a=时,D(X)的最大值为-4×,又D(3X-1)=9D(X),故D(3X-1)的最大值为9×=6. 12.　记事件A发生的次数ξ可能的值为0,1. 分布列如下: ξ 0 1 P 1-p p 数学期望E(ξ)=0×(1-p)+1×p=p,由0<p<1,方差D(ξ)=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p(1-p)≤, 当且仅当p=1-p,即p=时,等号成立, 故数学期望E(ξ)=p,方差D(ξ)的最大值为. 13.　由题意可知,随机变量ξ的可能取值有2,3,4,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,P(ξ=4)=, 所以,随机变量ξ的分布列如下表所示: ξ 2 3 4 P 所以E(ξ)=2×+3×+4×,因此D(ξ)=. 14.解(1)因为采取放回抽样方式,所以每次摸一个白球的概率为, 每一次摸一个黑球的概率为,且两次摸球相互独立,由题意可知X~B(2,),X=0,1,2. P(X=0)=)0·()2=, P(X=1)=, P(X=2)=)2=, 所以X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)=0×+1×+2×, D(X)==0.48; (2)由题意可知Y=0,1,2, P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=, 所以X的分布列为 Y 0 1 2 P E(Y)=0×+1×+2×, D(Y)==0.36. 15.解(1)依题意,有0.5+3a+a+0.1=1, 解得a=0.1. ∵乙击中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2, ∴乙击中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2, ∴ξ,η的分布列分别为 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)由(1)可得E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2, E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7, D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96, D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21. 由于E(ξ)>E(η),说明甲平均击中的环数比乙高, 又D(ξ)<D(η),说明甲击中的环数比乙集中,比较稳定,∴甲比乙的射击技术好. 学科网（北京）股份有限公司 $$