专题10 导数与函数的单调性（高效培优讲义）数学人教B版选择性必修第三册

专题10 导数与函数的单调性 教学目标 1．理解导数符号与函数单调性的关系，能用、判断函数增减。 2．掌握求单调区间的完整步骤，能结合定义域正确划分区间并判断单调性。 3．会解决给定区间上函数单调的问题，能区分充分条件与必要条件。 教学重难点 重点：用导数判定函数单调性，按标准步骤求单调区间，结合定义域讨论。 难点：正确划分单调区间，理解、的等号成立条件。 知识点01 函数的单调性 函数单调性的判定方法： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 注意： ①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； ②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但. 【即学即练】 1．函数定义在区间，则 “在上恒成立” 是 “在区间单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不必要也不充分条件 【答案】A 【详解】若在上恒成立，则在区间单调递增，充分性满足； 若在区间单调递增且可导，则在上（等号在某些点处取得），不能得到， 比如在单调递增，但，以及还有不可导的情况，必要性不满足， 因此“在上恒成立” 是 “在区间单调递增”的充分不必要条件. 2．已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据的图象可知在上的单调递增区间是， 所以不等式的解集为． 故选：C 知识点02 求可导函数单调区间的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； ③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； ④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 【即学即练】 3．函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数，求导得， 令，因此，函数的单调减区间是，故A正确. 4．讨论函数的单调性. 【答案】函数在和上单调递增，在上单调递减. 【详解】求导可得， 当时，，当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 知识点03 函数在区间上单调与求函数单调区间 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 【即学即练】 5．函数的单调递减区间是，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【详解】由可得， 由于的单调递减区间是，故和是的两个根，故，故， 故选：A 6．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为_____ 【答案】 【详解】由知， 因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即，， 令，，则在上单调递增，所以， 所以. 故答案为：. 题型01 求不含参函数的单调区间 【例1】函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 令，得， 当和时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的单调递减区间为. 【例2】已知函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：函数的定义域为， ， 当时，单调递增，当时，单调递减； 的减区间是． 【变式1-1】函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则， 对于选项A，当时，，此时， 当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以该函数在区间上不是单调递增，故A错误； 对于选项B，当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递增，故B正确； 对于选项C，当时，，此时， 当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以该函数在区间上不是单调递增，故C错误； 对于选项D，当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递减，故D错误． 故选：B． 【变式1-2】函数的单调递增区间是________. 【答案】 【详解】由题可得函数定义域为， 对求导得：， 又，，令，则只需即可，解得， 故函数的单调递增区间为. 【变式1-3】已知函数，则的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则， 由得，即函数在上单调递增， 由得，即函数在上单调递减， 所以当时，， 由此知的定义域为， 于是对任意，有，则，故排除BD， 因为函数在单调递减，则函数在递增，故排除C， 则可知A中图象符合题意. 先严格确定函数定义域，再求导并化简，解方程求出所有有效零点。用零点和间断点将定义域分段，逐段判断符号，正增负减，区间写法注意定义域约束。 题型02 函数图象与导函数图象的关系 【例3】已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由的图象可知：当和时，， 故在，上单调递增， 当和时，， 故在，上单调递减， 所以，选项D正确. 【例4】若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不等式等价于两种同号情况：或， 其中对应函数单调递增，对应函数单调递减，结合图像分区间讨论： ：，单调递减，乘积为负，不满足； ：，单调递减，乘积为正，满足； ：，单调递增，乘积为负，不满足； ：，单调递增，乘积为正，满足； ：，单调递减，乘积为负，不满足； 时，，，不满足； 时，，，不满足； 因此，的解集为. 【变式2-1】函数的图象如图所示，其导函数的图象可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，在区间内单调递减， 因此导函数，图像在轴下方，排除选项A、B. 当时： 先单调递增，再单调递减，最后单调递增， 因此导函数在区间内的符号变化为“正→负→正”， 图像先在轴上方，再到下方，最后回到上方，C正确，D错误. 【变式2-2】将函数及其导函数的大致图象画在同一个直角坐标系内，下列选项不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，在轴上方的曲线为的图象，该函数单调递减，则恒成立，的图象在轴下方，符合题意，A正确； 对于B，与轴有3个交点的曲线为的图象，另一条曲线为的图象，的零点即为的极值点，的单调性与的正负情况吻合，B正确； 对于C，平行于轴的直线为的图象，否则，不符合题意， 此时是大于0的常数，则是单调递增的一条直线，矛盾，C错误； 对于D，与轴相交的曲线为的图象，该函数单调递增，则恒成立，的图象在轴上方，符合题意，D正确. 【变式2-3】如图所示为函数的图象，则不等式的解集为________. 【答案】 【详解】由图象可知，在，上单调递增，在上单调递减， 故当，时，，当时，. 原不等式等价于或，则或. 所以不等式的解集为. 对应原函数递增，图象在轴上方；对应原函数递减，图象在轴下方。原函数极值点处，且导函数在此处穿越轴，是增减转换位置。 题型03 函数的单调性的应用——比较大小 【例5】已知函数，且，，，则的大小关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数，可得， 当，可得，且，所以，在上单调递增， 因为，所以，所以， 所以，即. 【例6】已知，，，其中为自然常数（），则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，可得，，， 对求导得，令，解得； 当时，，即，在上单调递减. 因为，由单调性得 ，即 . 【变式3-1】已知函数，，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，则在R上单调递增. 又，， 注意到，则，则， 因为在R上单调递增. 所以， 即. 故选：A 【变式3-2】已知函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以函数为偶函数， ， 令，则， 所以函数， 即当时，， 所以函数在上单调递增， 所以. 故选：A. 【变式3-3】已知函数，则（   ） A． B． C． D．的大小关系不能确定 【答案】C 【详解】令，解得， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 又，所以， 故选：C． 据题目结构构造合适函数，求导确定函数在指定区间的单调性。把待比较数值转化为同一单调区间上的函数值，再由单调性直接判断大小关系。 题型04 函数的单调性的应用——解不等式 【例7】已知定义在R上的函数，其中是奇函数且在R上单调递减，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由是奇函数可得，即， 则有，所以为奇函数， 设，则，故在R上单调递增， 因为单调递减，所以单调递减， 转化为， 由于为奇函数，则有， 由于在R上单调递减，则有， 解得， 故选：C. 【例8】已知函数，则的解集为______. 【答案】 【详解】函数的定义域为， ， 当时，，得，在上单调递减， 当时，，得，在上单调递增， 又 ，故为上的偶函数， 故等价于， 即，两边平方解得或. 所以不等式解集为， 故答案为： 【变式4-1】已知函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【详解】由题意，函数的定义域为，且， 又，当且仅当，即取等号. 所以，所以在上是增函数， 因为，所以， 解得或. 故答案为： 【变式4-2】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得的定义域为， 因为，所以为奇函数， 又，所以在上为单调增函数， 由得，所以， 所以不等式的解集为. 故选：B. 【变式4-3】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的定义域为R且，故为偶函数， 则不等式可化为， . 设，则， 则在上单调递增，则， 所以当时，恒成立，在上单调递增， 又因为其为偶函数，则其在上单调递减， ∴等价于，两边同时平方解得. 故选：A. 先将不等式化为形式，确定的单调性与定义域。利用单调性脱去对应法则，转化为自变量不等式，同时必须满足定义域限制。 题型05 已知函数单调区间求参数 【例9】若函数的单调递减区间为，则的值为（   ） A．6 B．3 C．-3 D．-6 【答案】B 【详解】由题意得， 因为函数的单调递减区间为， 所以的解集为， 即方程的两根为， 所以，解得， 故选:B. 【例10】已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【详解】由求导可得， 当时，，单调递减，无单调递增区间，不符合题意； 当时，因为函数的单调递增区间为，则有，解得. 当时，， 则时，，单调递减；时，；时，，单调递增. 故函数的单调递增区间为，符合题意. 所以. 故选：C. 【变式5-1】函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】， 因为的单调递减区间为，而的定义域为， 所以的一个极值点为1， 所以，解得． 所以，， 令，，解得， 所以的单调递减区间为，符合题意， 综上， 故选：B． 【变式5-2】已知是上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 得， 因为是上的增函数， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 由于，所以，即 故选：A. 【变式5-3】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上单调递减， 所以当时，恒成立，则； 当时，由在上递减， 若，，合题意， 若，则，故; 又分段点处也要满足递减的性质，所以，解得. 综上所述，， 故选：C． 先求导并令，已知单调区间说明区间端点就是导数零点。将端点代入解出参数，再验证参数是否使在区间内保持固定符号。 题型06 已知在区间上单调求参数 【例11】已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则， 由题意可知，对任意的，恒成立，即， 因为函数在上单调递减，故，所以. 【例12】若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是_________ 【答案】 【详解】 因为函数在区间内单调递增， 所以对所有的恒成立，即对所有的恒成立， 因为在上单调递减，所以当时，， 所以. 故答案为： 【变式6-1】已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得； 函数在上单调递增，在上恒成立，即在上恒成立. ，，在上恒成立，即. ，，； ，当且仅当，即时等号成立； ，即； 实数的取值范围是. 【变式6-2】已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在区间上单调递减， 所以在上恒成立，即在上恒成立 因为函数在上单调递减，所以， 故可得，即实数的取值范围是. 【变式6-3】已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】因为函数在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立, 又在上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围是. 函数在区间单调，则或在区间内恒成立。将不等式分离参数，转化为求一侧函数的最值，由此确定参数的取值范围。 题型07 已知在区间上存在单调或不单调求参数 【例13】已知函数在存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】考虑问题的否定，函数在上不存在单调递增区间， 则对于，恒成立， 分离参数得在上恒成立，则. 令，求导得， 当，，单调递增， 所以，所以 所以原命题成立的条件为 【例14】已知函数，若在上不单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数，可得， 要使得函数在上不单调，即在上有变号零点， 设，可得， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式7-1】已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数，则， 当时，， 因为函数在区间上不单调， 则在不恒大于等于零，也不恒小于等于零， 所以. 【变式7-2】若函数在内不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设， 当时，，所以在上单调递增， 所以由在内不单调得， 即，解得． 故选：B 【变式7-3】若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【详解】∵，∴， ∵在区间内存在单调递增区间， ∴在上有解，故在上有解， 令，则， ∵，∴，即在上为减函数， ∴，∴，故． 存在单调区间即或在区间内有解；不单调即在区间内有变号零点。转化为方程有解问题，结合二次函数根的分布求参数范围。 题型08 含参函数单调性的讨论 【例15】已知函数. (1)若，求的零点； (2)若，讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为， 若，则，得到或（舍），所以， 所以的零点为. （2）若，，函数的定义域为， 所以，令，得或， 即或， ①时，即， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. ②当，即时， 当时，，；当时，，. 所以函数在是单调递减. ③当时，即，当时，，； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在是单调递减.； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【例16】已知函数，讨论的单调区间和极值. 【答案】答案见解析 【详解】由题意得函数的定义域为， 可得， 当时，，所以在上单调递增，无极值. 当时，令，得，令，得. 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值， 得到， 综上，当时，在上单调递增，无极值； 当时，在上单调递减，在上单调递增，极小值为，无极大值. 【变式8-1】已知函数．若，讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【详解】因为，定义域为， 所以， 当时，令，得，． （ⅰ）若，即， 则当或时，， 当时，， 则的单调递增区间为，， 单调递减区间为； （ⅱ）若，即时， 则当或时，； 当时，； 则的单调递增区间为，， 单调递减区间为； （ⅲ）若，即时，，在上单调递增． 综上所述，当时， 的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间． 【变式8-2】已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）当时，，求导得， 则，又，所以切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 求导得， 当时，有恒成立，函数在单调递减； 当时，由，得，函数在上单调递减； 由，得，函数在上单调递增， 所以当时，函数在单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【变式8-3】已知函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，， 则 则，， 所以曲线在处的切线方程为， 即. （2）函数的定义域为， ， ①当时，因为， 所以， 所以函数在上单调递增. ②当时，令， 则 当或时，. 当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 先求定义域，求导后将化为整式，找出含参零点。按零点是否存在、零点大小、零点是否在定义域内分层讨论，逐类确定符号与单调区间。 一、单选题 1．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C．和 D． 【答案】D 【分析】详解】由题意，，令，即函数的减区间为. 2．若函数（）在区间上单调递减，则实数a的值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】详解】由函数在上单调递减，得， 则，当时，，因此， 所以实数a的值可能是2. 3．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，由图知函数减函数，则导函数，排除A，B； 又因当时，的图象趋势依次为增、减、增，则的值应依次为正、负、正，故D项不符合，C项符合． 4．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】因为，且，则是奇函数，排除选项A； 当时，，故排除选项C； 又，，故排除选项D， 故选：B 5．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】因为，则， 由题意可知，对任意的，恒成立，即恒成立， 因为二次函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得， 故实数的取值范围是. 6．已知函数，若对任意两个不相等的正实数，，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】若对任意两个不相等的正实数 都有恒成立,不妨设 所以，即， 令，则，所以函数在上单调递增， 则恒成立，即恒成立， 又函数，当时，等号成立， 所以， 所以实数的取值范围是． 7．已知函数，实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对 化简：. 求导：. 令，得； 时，此时单调递减； 时，此时单调递增， ， ， 显然， 故的图象关于直线对称, 且在上单调递减，上单调递增. 所以等价于， 平方得， 整理得，解得. 二、多选题 8．下列函数在定义域上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，，是定义在上的增函数，A正确； 对于B，，是定义在上的增函数，B正确； 对于C，，当时，， 在上单调递减，C错误； 对于D，，是定义在上的增函数，D正确. 9．已知函数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】详解】定义域为， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时， 所以恒成立，所以单调递增， 因为，所以， A选项，因为单调递增，所以，A正确； B选项，因为单调递增，所以，B正确； C选项，，但与大小不确定，例如，， 此时满足，但，此时，C错误； D选项，因为，画出函数图象，如下图：    可知单调递增，所以，D正确. 故选：ABD 三、填空题 10．函数，的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为______． 【答案】 【详解】先由图象分析出的正负，利用符号法解不等式即可得到答案. 【详解】因为，其定义域为， 所以， 且， 因为 且 ，所以 所以函数为奇函数且为增函数，. 由，可得， 即， 所以，解得：， 则m的取值范围是 12．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】详解】当时，求导得， 函数单调递增要求对所有成立， 当时，，需，即， 因为时，故； 当时，，需，即， 因时，故； 综上，时的范围为. 当时，求导得， 函数单调递增要求对所有成立，即， 因，在时最小值为， 故需，即. 分段点处，左函数值，右函数值， 单调递增要求（左段终点不高于右段起点），即： ，解得. 综上，当时，. 故答案为：. 四、解答题 13．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)在（1）的条件下，求函数的单调递减区间. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，因此函数为. 所以，，，因此切点为， 所以切线方程为，即 （2）由（1）知，，函数的定义域为，， 当时，， 所以函数的单调递减区间为. 14．已知函数，. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若，设函数的导函数为，讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，， 所以，， 故切线方程为， 即. （2）易知， 所以， ①若，则，，此时在上单调递增； ②若，则， 当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数的单调增区间为，减区间为. 15．已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求； (2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)，. (2) 【详解】（1）已知，求导得. 曲线在点处的切线方程为，切线斜率，且. 代入计算：，. 故，. （2）由（1）得，则. 求导得. 因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立. 令，，求导得. 因为时，，所以，即在上单调递增. 因此. 故，即的取值范围为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 导数与函数的单调性 教学目标 1．理解导数符号与函数单调性的关系，能用、判断函数增减。 2．掌握求单调区间的完整步骤，能结合定义域正确划分区间并判断单调性。 3．会解决给定区间上函数单调的问题，能区分充分条件与必要条件。 教学重难点 重点：用导数判定函数单调性，按标准步骤求单调区间，结合定义域讨论。 难点：正确划分单调区间，理解、的等号成立条件。 知识点01 函数的单调性 函数单调性的判定方法： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 注意： ①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； ②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但. 【即学即练】 1．函数定义在区间，则 “在上恒成立” 是 “在区间单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不必要也不充分条件 2．已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 知识点02 求可导函数单调区间的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； ③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； ④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 【即学即练】 3．函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 4．讨论函数的单调性. 知识点03 函数在区间上单调与求函数单调区间 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 【即学即练】 5．函数的单调递减区间是，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 6．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为_____ 题型01 求不含参函数的单调区间 【例1】函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【例2】已知函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】函数的单调递增区间是________. 【变式1-3】已知函数，则的图象大致为（   ） A． B． C． D． 先严格确定函数定义域，再求导并化简，解方程求出所有有效零点。用零点和间断点将定义域分段，逐段判断符号，正增负减，区间写法注意定义域约束。 题型02 函数图象与导函数图象的关系 【例3】已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【例4】若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】函数的图象如图所示，其导函数的图象可能是（） A． B． C． D． 【变式2-2】将函数及其导函数的大致图象画在同一个直角坐标系内，下列选项不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图所示为函数的图象，则不等式的解集为________. 对应原函数递增，图象在轴上方；对应原函数递减，图象在轴下方。原函数极值点处，且导函数在此处穿越轴，是增减转换位置。 题型03 函数的单调性的应用——比较大小 【例5】已知函数，且，，，则的大小关系（   ） A． B． C． D． 【例6】已知，，，其中为自然常数（），则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知函数，，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知函数，则（   ） A． B． C． D．的大小关系不能确定 据题目结构构造合适函数，求导确定函数在指定区间的单调性。把待比较数值转化为同一单调区间上的函数值，再由单调性直接判断大小关系。 题型04 函数的单调性的应用——解不等式 【例7】已知定义在R上的函数，其中是奇函数且在R上单调递减，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【例8】已知函数，则的解集为______. 【变式4-1】已知函数，则不等式的解集为______. 【变式4-2】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 先将不等式化为形式，确定的单调性与定义域。利用单调性脱去对应法则，转化为自变量不等式，同时必须满足定义域限制。 题型05 已知函数单调区间求参数 【例9】若函数的单调递减区间为，则的值为（   ） A．6 B．3 C．-3 D．-6 【例10】已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【变式5-1】函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式5-2】已知是上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 先求导并令，已知单调区间说明区间端点就是导数零点。将端点代入解出参数，再验证参数是否使在区间内保持固定符号。 题型06 已知在区间上单调求参数 【例11】已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例12】若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是_________ 【变式6-1】已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 函数在区间单调，则或在区间内恒成立。将不等式分离参数，转化为求一侧函数的最值，由此确定参数的取值范围。 题型07 已知在区间上存在单调或不单调求参数 【例13】已知函数在存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例14】已知函数，若在上不单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】若函数在内不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是______. 存在单调区间即或在区间内有解；不单调即在区间内有变号零点。转化为方程有解问题，结合二次函数根的分布求参数范围。 题型08 含参函数单调性的讨论 【例15】已知函数. (1)若，求的零点； (2)若，讨论的单调性. 【例16】已知函数，讨论的单调区间和极值. 【变式8-1】已知函数．若，讨论的单调性； 【变式8-2】已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性. 【变式8-3】已知函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 先求定义域，求导后将化为整式，找出含参零点。按零点是否存在、零点大小、零点是否在定义域内分层讨论，逐类确定符号与单调区间。 一、单选题 1．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C．和 D． 2．若函数（）在区间上单调递减，则实数a的值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 3．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，若对任意两个不相等的正实数，，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．下列函数在定义域上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 9．已知函数，若，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 10．函数，的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为______． 12．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为_____. 四、解答题 13．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)在（1）的条件下，求函数的单调递减区间. 14．已知函数，. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若，设函数的导函数为，讨论的单调性. 15．已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求； (2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $