6.2.2 导数与函数的极值、最值 教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

《6.2.2导数与函数的极值、最值》教学设计 学科 数学 授课班级 授课教师 课题 导数与函数的极值、最值 课型 新授课 时间 课时 第1课时 教学方法 讲授、互动探究 教学仪器 多媒体 教材分析 本节课节选自《2019人教B版高中数学选择性必修三》的第六章《导数及其应用》的第二节内容。学生在学习之前已经具有导数的概念，对于函数的单调性有了全面的了解，并且储备了扎实的导数知识。函数的极值和最值是最为重要的内容之一，本节课也是运用导数判断函数单调性的一个延伸和拓展。 学情分析 《导数与函数的极值、最值》课程的学习是建立在学生认识函数、探究函数的基础上开展的，学生学习如何利用的导数来求函数的极值和最值。在本节课课程学习之前，学生已经学习过导数的基本知识以及运用导数来求函数的单调性，对于相关的内容有了大致的了解，但是对于班级的大多数学生来说，本节课的知识还是比较抽象的，学生对于极值和最值这两个概念比较模糊，本节课的知识是学生整个高中生涯的一个重点和难点。 教学 目标 课程目标 学科素养 ①理解极值、极值点的概念. ②结合函数图像理解函数的极值与导数的关系，并了解函数在某点取得极值的充要条件. ③掌握求函数极值的方法。 ①数学抽象：掌握求函数极值的方法。 ②逻辑推理：探索导数值为0时，与函数极值的关系。 ③数学运算：运用导数来求函数的极值。 ④直观想象：探索导数与极值之间的关系。 教学重点 掌握求函数极值的方法。 教学难点 探索导数与极值之间的关系。 教学过程 教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图 情景导学2min 如下图所示，在一座座大山环绕之中，虽然每一个山峰的顶端都不一定是这座群山的最高的地方，但是却有一个一定区域的最高点。同样，虽然说谷底不一定是群山的最低处，但是在一定的区域有一个附近的最低点。 观察图中函数y=f(x)的图像，并且指出图像与刚才看到的群山美景有什么相似的地方，并且尝试运用数学的语言来描述出来。 教师带领学生观察美景，通过交流互动的方式初步的明确极值的概念。 学生在教师引导下找到最高点和最低点对应的x值，并分析其特征。 通过设计一些生活化的问题，来转移学生的注意力，让学生对本节课的问题产生强烈的好奇心，通过交流互动的形式提出函数极值的概念。 新课讲授 7min 一、概念探究： 1.极值点与极值 一般的，设函数y=f(x)的定义域为D,设x0∈D,如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有： f(x)<f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极大值点，且f(x)在x0处取极大值； f(x)>f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值。 注意：极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值。显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小。 思考：1.极值点是一个点吗？ 2.在一个函数中，极大值一定比极小值大吗？ 教师进行简单的解释分析并强调：极值点不是点。 学生结合教材内容和导入活动，与教师一同总结出极值点和极值的概念。 问题探究 5min ☆探究： 如下图所示，函数y=f(x)图像当中A、B、C、D四个点所对应的横坐标都为函数的极值点，已知的条件为曲线y=f(x)在A、B、C、D四个点处都存在切线，提问： （1）这四个点处的切线都具有哪些特征？通过分析特征说明y=f(x)在x1、x2、x3、x4的导数具有什么样的特点？ （2）曲线y=f(x)在A、B、C、D四个点附近的切线有什么特征？ 曲线y=f(x)在四个点的位置切线都是水平的，进而得出： 一般的，如果x0是y=f(x)的极值点，且f(x)在x0处可导，则必有： 思考：若有，则x=0一定是函数的极值点吗？ 教师引导学生分析切点处特征，得出结论 学生进行自主讨论最终得出结论 借助由特殊到一般的思核心思想，引导学生归纳出导数与函数之间存在的极值的关系，进而有效的拓展学生的逻辑思维和建模意识等核心素养。 典例探究 13min 例1：已知f(x)=x3，求所有使得f ′(x)=0的x，并判断所求得的数是否为函数的极值点. 2.判断函数 y = () 的极值的充要条件： ①  ′() = 0；② ′() 在 = 两侧异号； 练习：函数 (x) 的导函数y =′(x)的图象如图所示，试找出函数(x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点. 注意：虽然′() = 0，但 ′() 在 = 两侧同号，故不是极值. 例 2：已知函数，求函数的极值. 解：由题意可得定义域为R. ′()=. 令′()=0，可得x=−2或x=2. ′()>0，此时f(x)递增. ′()<0，此时f(x)递减. ′()>0，此时f(x)递增. 因此，f(x)在(−,−2)上递增，在(-2,2)上递减，在(2,+)上递增. 从而==，== 也可将上述结论整理成下面表格形式：（↗表示递增，↘表示递减） 教师给出判断极值点的方法并加以应用。 教师板书总结例2解题步骤。 ①求定义域 ②求导 ③令′()=0，求零点 ④利用导数的零点在定义域内分区间讨论′()正负，判断单调性 ⑤计算极值 学生与教师一同总结函数的导数和极值的相关概念。 学生在教师的引导下理解利用导数求函数的极值的过程。 借助一些经典的例题，能够强化学生对于运用导数求函数极值方法的理解和应用，拓展学生的逻辑推理、抽象思维等多个能力。 课堂 检测 10min 1. 求函数 的极值. 2.求函数f (x)＝－3x＋5的极值 教师巡视，检查学生完成情况，针对学生出现的问题进行强调 学生上黑板板演，熟练求函数极值的方法。 课堂 小结 2min 1.极值及极值点的概念 2.如何判断极值点 3.如何求函数极值 教师学生共同总结. 学生对概念及方法再次进行理解记忆 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容 课后 作业 1min 教材100页练习A-2.3.4 101页习题6-2A-4. 教师布置作业 学生课后及时完成 围绕课堂的重点布置作业，帮助学生进一步掌握知识点. 板书设计 6.2.2导数与函数的极值、最值 1. 极值点与极值 一般的，设函数y=f(x)的定义域为D,设x0∈D,如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有： f(x)<f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极大值点，且f(x)在x0处取极大值； f(x)>f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值。 2. 判断函数 y = () 的极值的充要条件： ①  ′() = 0；② ′() 在 = 两侧异号； 例题讲解： 例2. 已知函数，求函数的极值. ①求定义域 ②求导 ③令′()=0，求零点 ④利用导数的零点在定义域内分区间讨论′()正负，判断单调性 ⑤计算极值 学科网（北京）股份有限公司 $