6.1.2 第2课时 导数的几何意义-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

第2课时　导数的几何意义 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学]

[课时目标]

1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.会求简单函数的导函数.

2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.

 1.导数的几何意义

如果将函数y=f（x）的图象看成曲线（称为曲线y=f（x）），而且曲线在点A（x0，f（x0））处的切线为l，则|Δx|很小时，B（x0+Δx，f（x0+Δx））是A附近的一点，割线AB的斜率是=，则当Δx无限接近于0时，割线的斜率将无限趋近于切线l的斜率.

这就是说，f'（x0）就是曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处（也称在x=x0处）的切线的斜率，从而根据直线的点斜式方程可知，切线的方程是y-f（x0）=f'（x0）（x-x0）.

2.曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系

 

说明：切线斜率的绝对值的大小反映了曲线在相应点附近上升或下降的快慢.

 

题型（一）　用导数的几何意义判断函数的变化

[例1]　若函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]内单调递增，则函数y=f（x）在区间[a，b]内的图象可能是               （　　）

解析：选A　函数y=f（x）的导函数y=f'（x）在[a，b]内单调递增，由导数的几何意义可知，曲线y=f（x）在区间[a，b]内各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A选项符合.

　　|思|维|建|模|

（1）曲线f（x）在x=x0附近的变化情况可通过在x=x0处的切线刻画.f'（x0）>0说明曲线在x=x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x=x0附近曲线是上升的；f'（x0）<0说明在x=x0附近曲线是下降的.

（2）曲线在某点处的切线斜率反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢.

　　[针对训练]

1.已知函数f（x）的图象如图所示，则下列不等关系正确的是 （　　）

A.0<f'（2）<f'（3）<f（3）-f（2）

B.0<f'（2）<f（3）-f（2）<f'（3）

C.0<f'（3）<f（3）-f（2）<f'（2）

D.0<f（3）-f（2）<f'（2）<f'（3）

解析：选C　kAB==f（3）-f（2），f'（2）为函数f（x）的图象在点B（2，f（2））处的切线的斜率，f'（3）为函数f（x）的图象在点A（3，f（3））处的切线的斜率，根据图象可知0<f'（3）<f（3）-f（2）<f'（2）.

 

题型（二）　利用导数的几何意义求解切线问题

题点1　求切线方程

[例2]　已知曲线y=x3+，求曲线在点P（2，4）处的切线方程.