6.1.2 第2课时 导数的几何意义-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦导数的几何意义核心知识点，系统梳理从割线斜率到切线斜率的过渡过程，明确导数符号与曲线升降、切线斜率的关系，通过判断函数变化、求解切线方程及参数等题型搭建学习支架。 资料采用习题讲评式教学，结合例题变式与思维建模，培养学生数学思维（如区分“在点处”与“过点”切线的逻辑推理）和数学眼光（如通过图象分析导数符号的几何直观），课中助力教师系统授课，课后针对训练帮助学生查漏补缺。

第2课时　导数的几何意义 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.会求简单函数的导函数. 2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 1.导数的几何意义 如果将函数y=f（x）的图象看成曲线（称为曲线y=f（x）），而且曲线在点A（x0，f（x0））处的切线为l，则|Δx|很小时，B（x0+Δx，f（x0+Δx））是A附近的一点，割线AB的斜率是=，则当Δx无限接近于0时，割线的斜率将无限趋近于切线l的斜率. 这就是说，f'（x0）就是曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处（也称在x=x0处）的切线的斜率，从而根据直线的点斜式方程可知，切线的方程是y-f（x0）=f'（x0）（x-x0）. 2.曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系 导数符号 曲线f（x）在x=x0 附近的升降情况 切线的 斜率k 切线的 倾斜角 f'（x0）>0 上升 k>0 锐角 f'（x0）<0 下降 k<0 钝角 f'（x0）=0 平坦 k=0 零角（切线 与x轴平行） 说明：切线斜率的绝对值的大小反映了曲线在相应点附近上升或下降的快慢. 题型（一）　用导数的几何意义判断函数的变化 [例1]　若函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]内单调递增，则函数y=f（x）在区间[a，b]内的图象可能是 （　　） 解析：选A　函数y=f（x）的导函数y=f'（x）在[a，b]内单调递增，由导数的几何意义可知，曲线y=f（x）在区间[a，b]内各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A选项符合. 　　|思|维|建|模| （1）曲线f（x）在x=x0附近的变化情况可通过在x=x0处的切线刻画.f'（x0）>0说明曲线在x=x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x=x0附近曲线是上升的；f'（x0）<0说明在x=x0附近曲线是下降的. （2）曲线在某点处的切线斜率反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢. 　　[针对训练] 1.已知函数f（x）的图象如图所示，则下列不等关系正确的是 （　　） A.0<f'（2）<f'（3）<f（3）-f（2） B.0<f'（2）<f（3）-f（2）<f'（3） C.0<f'（3）<f（3）-f（2）<f'（2） D.0<f（3）-f（2）<f'（2）<f'（3） 解析：选C　kAB==f（3）-f（2），f'（2）为函数f（x）的图象在点B（2，f（2））处的切线的斜率，f'（3）为函数f（x）的图象在点A（3，f（3））处的切线的斜率，根据图象可知0<f'（3）<f（3）-f（2）<f'（2）. 题型（二）　利用导数的几何意义求解切线问题 题点1　求切线方程 [例2]　已知曲线y=x3+，求曲线在点P（2，4）处的切线方程. 解：∵P（2，4）在曲线y=x3+上， ∴曲线在点P（2，4）处切线的斜率为 k= = =4. ∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为 y-4=4（x-2），即4x-y-4=0. 　　[变式拓展] 1.本例条件不变，求曲线过点P（2，4）的切线方程. 解：设曲线y=x3+与过点P（2，4）的切线相切于点A，则切线的斜率为k= =， ∴切线方程为y-=（x-x0）， 即y=x-+. ∵点P（2，4）在切线上， ∴4=2-+，即-3+4=0. ∴+-4+4=0， ∴（x0+1）-4（x0+1）（x0-1）=0， ∴（x0+1）（x0-2）2=0，解得x0=-1或x0=2. 故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0. 2.本例条件不变，求满足斜率为1的曲线的切线方程. 解：设切点为（x0，y0）， 由变式拓展1可知切线的斜率为k=，即=1，x0=±1，∴切点为或（-1，1）， ∴切线方程为y-=x-1或y-1=x+1，即3x-3y+2=0或x-y+2=0. 　　|思|维|建|模| 求曲线切线方程的两种情形 （1）如果所给点P（x0，y0）是切点，一般叙述为“在点P处的切线”，此时只要求函数f（x）在点x0处的导数f'（x0），即得切线的斜率k=f'（x0），再根据点斜式得出切线方程. （2）如果所给点P不是切点，应先设出切点M（x0，y0），再求切线方程.要特别注意“过点P的切线”这一叙述，点P不一定是切点，也不一定在曲线上. 题点2　求切点坐标或参数 [例3]　已知曲线f（x）=x3+ax在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，则实数a= （　　） A.2 B.1 C.-1 D.-2 解析：选B　f'（1）===[（Δx）2+3Δx+3+a]=3+a. 又曲线f（x）在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，∴f'（1）·=（3+a）·=-1，解得a=1. [例4]　已知f（x）=2x2+1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标为　　　　.  解析：设切点坐标为（x0，y0），则Δy=[2（x0+Δx）2+1]-（2+1）=4x0·Δx+2（Δx）2， ∴=4x0+2Δx，∴f'（x0）==4x0. 又∵切线的斜率为k=tan 45°=1，∴4x0=1，即x0=. ∴y0=2×+1=，∴切点坐标为. 答案： 　　|思|维|建|模| 求切点坐标的步骤 （1）设出切点坐标； （2）利用导数或斜率公式求出斜率； （3）利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； （4）把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标. 　　[针对训练] 2.直线l：y=x+a（a≠0）和曲线C：y=x3-x2+1相切，则a的值为　 　　，切点坐标为　　　　.  解析：设直线l与曲线C的切点为（x0，y0），因为y'==3x2-2x， 则当x=x0时，y'=3-2x0=1， 解得x0=1或x0=-. 当x0=1时，y0=-+1=1. 又因为（x0，y0）在直线y=x+a上， 将x0=1，y0=1代入得a=0，与已知条件矛盾，舍去. 当x0=-时，y0=-+1=， 则切点坐标为， 将代入直线y=x+a中得a=. 答案：　 3.求函数f（x）=x2+1过点P（1，0）的切线方程. 解：设切点为Q（a，a2+1），==2a+Δx， =（2a+Δx）=2a. 所以所求切线的斜率为2a. 因此，=2a，解得a=1±， 所求的切线方程为（2+2）x-y-（2+2）=0或（2-2）x-y-（2-2）=0. 学科网（北京）股份有限公司 $