23.2一次函数的图象和性质 同步练习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 针对一次函数三课时，采用“基础提优-综合应用-创新拓展”三层设计，覆盖概念理解到创新应用，梯度合理，适配新授课巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础提优|正比例函数/一次函数概念、图象性质、待定系数法基础|以选择填空为主，强化概念辨析（如判断函数增减性），培养抽象能力与运算能力| |综合应用|结合几何图形（正方形、折叠）、实际问题（销售利润、行程）|通过解答题深化推理能力（面积计算、函数与几何综合），发展模型意识与空间观念| |创新拓展|动态几何、跨学科情境（光学、整点问题）|设置开放探究题（折叠中的函数关系、整点问题），提升创新意识与应用意识|

23.2一次函数的图象和性质 第1课时 正比例函数的图象和性质 基础提优题目 1.下列关于正比例函数 y=3x的说法中，正确的是 ( ) A.当x=3时,y=1 B.它的图象是一条过原点的直线 C. y随x的增大而减小 D.它的图象经过第二、四象限 2.已知点 P(m,0)在x轴负半轴上,P₁ (-3,y₁),P₂(5,y₂)是正比例函数 y=mx的图象上的两个点，则y₁,y₂的大小关系是 ( ) A. y₁>y₂ B. y₁<y₂ C. D.不能确定 3.正比例函数y=(1-m)x的图象如图所示，则化简 的结果是( ) A.2m-1 B.1-2m C.2m D.1 4.如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是①y= ax;②y= bx;③y= cx.请用“>”连接a,b,c: . 5.如图，将2×2的正方形网格放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点.每个小正方形的边长都是1，正方形 ABCD 的顶点都在格点上.若直线 y= kx(k≠0)与正方形 ABCD有公共点，则k的取值范围是 . 6.如图，正比例函数y=kx的图象经过点 A， (1)请你求出该正比例函数的解析式； (2)若这个函数的图象还经过点 B(m，m+3)，请你求出m的值； (3)请你判断点 是否在这个函数的图象上. 综合应用题 7.定义运算*： 如:1*(-2)=-1×(-2)=2,则函数y=2*x的图象大致是( ) 8.如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的解析式分别为 则关于k₁与k₂的关系，正确的是 ( ) A. B. C. D. 9.正比例函数y= kx(k<0),当1≤x≤5时,函数 y的最大值和最小值之差为4，则k= . 10.规定:[k,b]是一次函数 y= kx+b(k,b为实数,且k≠0)的“特征数”.若“特征数”为 的一次函数是正比例函数，且y随x的增大而减小，则点(3+2m，1-m)所在的象限是第 象限. 11.如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(1，2)，点 B是正比例函数 y=x图象上一动点，点C是 y轴上一动点，则△ABC周长的最小值为 . 12.如图，在平面直角坐标系中放着5个边长为1的小正方形，经过原点O的直线l恰好将这5个小正方形分成面积相等的两部分，求直线 l的解析式. 创新拓展题 13.如图，正方形 ABCD的各边都平行于坐标轴，且在第一象限内，点A，C分别在直线y=2x和y= 上. (1)如果点 A 的横坐标为 8,AD=10,求点 D 的坐标； (2)如果点 A 在直线 y=2x上运动，求点 B 所在直线的正比例函数解析式； (3)当四边形 OADC 的面积为170 时,求点 C 的坐标. 第2课时 一次函数的图象和性质 基础提优题目 1.对于一次函数 y=2x-1,下列判断正确的是 ( ) A.自变量x的值每增加1，函数y的值增加2 B.该函数的图象不经过第一象限 C.该函数的图象经过点(1，2) D.该函数的图象与直线y=-2x平行 2.已知A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)是关于x的函数y=(m-1)x+1的图象上的两点,当. 时，y₁<y₂，则m的取值范围是 ( ) A. m>0 B. m<0 C. m>1 D. m<1 3.若点(-1,m)和(2,n)在直线y=-x+b上,则m,n，b的大小关系是 ( ) A. m>n>b B. m<n<b C. m>b>n D. b<m<n 4.一次函数y= kx+b,若k+b=2 026,则它的图象必经过点 ( ) A.(-1,2 026) B.(-1,-2 026) C.(1,2 026) D.(1,—2 026) 5.将直线y=3x-1向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则m的值可以是 (写出一个即可). 6.一次函数 y=(3-a)x+b-2在平面直角坐标系中的图象如图所示，化简： 7.已知一次函数 y=-2x+4. (1)求该函数图象与x轴、y轴的交点 A，B的坐标； (2)画出该函数的图象； (3)求△AOB的面积; (4)利用图象求当x为何值时，y≥0. 综合应用题 8.如图，一次函数 (m是常数且m≠0)与一次函数的图象可能是 ( ) 9.[2025扬州] 已知 则一次函数y=(1-m)x+m的图象不经过 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.如图，在平面直角坐标系中，若折线 y=-|x-2|+1与直线 y=kx+2k(k>0)有且仅有一个交点，则k的取值范围是 . 11.[2025无锡月考] 函数y=5-|x-3|,当-1≤x≤a时，这个函数的最大值为 3a，则 a的值为 . 12.如图是某个动画程序的数学模型.以 A(-1,3),B(1,1),C(4,2)为顶点的△ABC代表黑区(包括三角形的边及内部)，信号光束沿直线 y=kx-2扫描坐标平面，当信号光束触到黑区时，黑区则全部消失，能够使黑区全部消失的k的取值范围是 . 13.如图,点 C的坐标是(2,2),A为坐标原点,CB⊥x轴于点 B,CD⊥y轴于点 D,E是线段 BC的中点,过点A的直线 y=kx交线段 DC于点 F,连接EF.若FA平分∠DFE,则k的值为 . 14.在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点. (1)在点A(-2,0),B(-1,2.5),C(1,-4),D( ,2)中，整点是 ； (2)在(1)的条件下，直线 AB 与坐标轴围成的三角形区域(不含边界)内整点有 个； (3)若直线 y=kx+2与坐标轴围成的三角形区域(不含边界)内有且只有四个整点，直接写出k的取值范围. 创新拓展题 15.[2025武汉期末]平面直角坐标系中，直线AB的解析式为 y= kx-6k+6(k<0)过定点 M,分别交x轴、y轴于点A,B. (1)直接写出定点 M的坐标： ； (2)如图①,当k=-1时,点 C在线段 AB上,点 D在x轴上,满足OC=CD且∠OCD=45°,求点 C的坐标； (3)如图②，平移直线AB交x轴负半轴于点 E，交y轴负半轴于点 F,使得AM=EF,连接ME交OB于点 G,过点 M 作 MH⊥BG 于点 H,求 的值. 第3课时 用待定系数法确定一次函数解析式 基础提优题目 1.一次函数y=kx+b的图象在直角坐标系中的位置如图所示，这个函数的函数解析式为 ( ) A. y=2x+4 B. y=2x-4 C. y=-2x+4 D. y=-2x-4 2.一次函数y= kx+b(k,b为常数,k≠0)的部分对应值如下表： x ... 0 1 2 ... y ... 1 2a 2a+3 ... 则该一次函数的解析式为 、) A. y=x+1 B. y=2x+1 C. y=3x+1 D. y=4x+1 3.若点 A(2,-3),B(4,3),C(5,a)在同一条直线上，则a的值是 ( ) A.6或-6 B.6 C.-6 D.6和3 4.在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力 F(N)和所悬挂物体的重力G(N)的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象(不计绳重和摩擦)，请你根据图象判断以下结论中不正确的是 ( ) A.物体的拉力 F 随着重力的增加而增大 B.当拉力 F=1.5 N时,物体的重力G=6 N C.当物体的重力G=7 N时,拉力 F=1.9 N D.当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力 F 为0.5N 5.已知一次函数y=kx+b(k，b是常数,k≠0),自变量x的取值范围为-1≤x≤2,对应的函数值 y的取值范围为-5≤y≤-2，则这个函数的解析式为 . 6.如图,在平面直角坐标系中,点 A(0,3),B(-1,0),点C在x轴的正半轴上,且∠ABC=∠BAC. (1)求点 C的坐标; (2)求直线AC的解析式. 综合应用题 7.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点A(2,2),C(4,0),直线y=2x+1以每秒1个单位长度的速度向下平移，则该直线将▱OABC的面积平分时经过了 ( ) A.3s B. C.5s D.6s 8.一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从 A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s(km)与骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示，下列结论： ①A,B两村相距6 km;②甲出发2 h后到达 C村；③甲每小时比乙多骑行8km；④相遇后，乙又骑行了 30 min或55 min时两人相距4k m. 其中正确的结论是 ( ) A.②③④ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 9.在平面直角坐标系中,已知点A(-2,3),B(4,9),直线y= kx-k(k≠0)与线段AB有交点,则 k的取值范围为 10.如图，一次函数的图象交x轴于点A(4,0),交 y轴于点 B(0,3),过点 A 作 AC⊥AB,且 AC=AB.连接 BC,当点C在第一象限时，直线 BC的解析式为 . 11.[2025合肥庐阳区月考]如图，这是某种产品30天的销售图象.图①是产品日销售量y(件)与时间t(天)之间的函数关系图象，图②是一件产品的销售利润z(元)与时间t(天)之间的函数关系图象.已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润. (1)第24天的日销售量为 件. (2)第10天销售一件产品的利润是多少元? (3)第12天的日销售利润是多少元? 创新拓展题 12.如图①，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB 的顶点 A，B分别在x轴与y轴上,已知OA=6,OB=10. D为y轴上一点，其坐标为(0，2)，点 P 从点 A 出发以每秒2个单位长度的速度沿 AC—CB 的方向运动，当点 P与点 B 重合时停止运动，设运动时间为t秒. (1)当点 P 与点C重合时，求直线DP 的函数解析式. (2)①求△OPD的面积S关于t的函数解析式. ②如图②，把长方形沿着 OP 折叠，点 B 的对应点 B'恰好落在AC边上，求点 P 的坐标. (3)在运动的过程中是否存在点 P，使得△BDP 为等腰三角形?若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 23.2一次函数的图象和性质 第1课时 正比例函数的图象和性质 1. B 【点拨】A.当x=3时,y=9,故本选项错误;B.因为y=3x是正比例函数，所以它的图象是一条过原点的直线，故本选项正确；C.因为3>0，所以y随x的增大而增大，故本选项错误；D.因为 y=3x是正比例函数，3>0，所以此函数的图象经过第一、三象限，故本选项错误. 2. A 【点拨】因为点 P(m,0)在x轴负半轴上,所以m<0.所以y随x的增大而减小.又因为 P₁(-3,y₁),P₂(5,y₂)是正比例函数y=mx的图象上的两个点，且-3<5，所以 y₁>y₂. 3. D 4. b>a>c 【点拨】由题图可知,A(1,2),C(2,1),∴当直线 y= kx过点A 时,k=2;当直线 y= kx过点 C 时, 6.【解】(1)由题图可知点 A 的坐标为(-1,2),将其代入y= kx,得k=-2,则该正比例函数的解析式为 y=-2x. (2)将点 B(m,m+3)的坐标代入 y=-2x,得-2m=m+3,解得m=-1. (3)点 不在这个函数的图象上. 理由：当 时， 所以点 不在这个函数的图象上. 7. C 8. C 9.-1 【点拨】因为正比例函数y= kx(k<0),所以 y随x的增大而减小.当x=1时,y=k,当x=5时,y=5k.所以易知k-5k=4,解得k=-1. 10.二【点拨】∵“特征数”为 的一次函数是正比例函数， 解得m=2或m=-2.∵y随x的增大而减小,∴m+1<0,∴m<-1.∴m=-2.∴3+2m=3+2×(-2)=-1,1-m=1-(-2)=3, ∴点(3+2m,1-m)即点(-1,3)在第二象限. 11. 【点拨】作点 A 关于直线y=x的对称点 P，关于y轴的对称点Q，连接 PQ交直线y=x于点B，交y轴于点C,如图.易知AC=CQ,BP=AB,所以( AC+CB+AB=CQ+CB+BP.所以 P,B,C,Q四点共线时，△ABC周长最小，最小值为线段 PQ 的长度.由A(1,2)易知 Q(-1,2),P(2,1),所 以PQ 所以 △ABC 周长的最小值为 12.【解】设直线l和5个小正方形的最上面的交点为A，过点A作AB⊥y轴于点 B,作 AC⊥x轴于点C,如图所示. ∵小正方形的边长为1,∴OB=2. ∵经过原点O的直线l将这5个小正方形分成面积相等的两部分， ∴两部分的面积均是2.5. ∴△ABO的面积是3.5. ∴AB=3.5. ∴OC=3.5, ∴点 A 的坐标为(3.5,2).设直线l的解析式为y=kx，∴2=3.5k,解得 ∴直线l的解析式为 13.【解】(1)将x=8代入y=2x,得y=2×8=16,∴A(8,16). 又∵AD=10,∴点 D 的横坐标为8+10=18. ∴D(18,16). (2)设A(a,2a)(a>0),C(b, b),则 整理得 设点 B 所在直线的正比例函数解析式是y=mx，将 的坐标代入，得 解得 ∴点 B 所在直线的正比例函数解析式是 (3)如图,延长 DA 交 y 轴于点 E.由(2)易得A(a,2a), 170, 解得a=8(负值已舍去),∴C(18,6). 第2课时 一次函数的图象和性质 1. A 2. C 3. C 4. C 5.2(答案不唯一) 6. a+b-5 【点拨】由题图可得3-a<0,b-2<0,∴a> 2+b=a+b-5. 7.【解】(1)当x=0时,y=4,∴点B的坐标为(0,4);当y=0时,-2x+4=0,解得x=2,∴点A的坐标为(2,0). (2)列表如下： x … 0 1 y 4 2 描点、连线画出函数图象，如图所示. (3)∵A(2,0),B(0,4),∴OA=2,OB=4. (4)观察函数图象可知,当x<2时,一次函数 y=-2x+4的图象在x轴上方,即y>0;当x=2时,y=-2x+4=0.∴当x≤2时,y≥0. 8. A【点拨】易知一次函数 (m是常数且m≠0)与一次函数. 的图象的交点的横坐标为1，故C，D不符合题意；当m>0时，一次函数 y= 的图象经过第一、二、三象限，一次函数 y=4mx+m² 的图象经过第一、二、三象限；当m<0时，一次函数 的图象经过第一、三、四象限，一次函数y= 的图象经过第一、二、四象限，故A符合题意，B不符合题意. 9. D 【点拨】 ∵m²⁰²⁵ + 2 025m= 2 025,∴m>0, 即0<m<1,∴1-m>0,∴一次函数y=(1-m)x+m的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限.故选 D. 10. k>1或 【点拨】∵y= kx+2k=k(x+2),∴直线y= kx+2k经过定点(-2,0).∵折线 y=-|x-2|+1的最高点坐标为(2,1),∴当直线 y=kx+2k恰好经过点(2，1)时，直线与折线只有一个交点，如图所示，∴1=2k+2k,解得 当k=1时,直线y= kx+2k与折线在x<2时的图象平行，此时没有交点，∴当k>1时，直线y= kx+2k与折线在x<2 时的图象有一个交点.综上所述，k的取值范围为k>1或 11.1 【点拨】当x≤3时,y=5-|x-3|=5+x-3=x+2;当x>3时,y=5-|x-3|=5-x+3=-x+8.函数图象如图所示.又因为当-1≤x≤a时，这个函数的最大值为 3a，所以当a<3时,a+2=3a,解得a=1;当a≥3时,5=3a,解得 (舍去).综上所述，a的值为1. 12.k≤-5或k≥1 【点拨】∵A(-1,3),C(4,2),∴当直线y= kx-2经过点A时,-k-2=3,解得k=-5;当直线y= kx-2经过点 C时,4k-2=2,解得 k=1,∴k的取值范围是k≤-5 或k≥1. 13.1 或3 【点拨】由题意得四边形 ABCD 是正方形,且AD=BC=AB=CD=2.①如图,作AG⊥EF交EF 于点G,连接 AE.∵FA 平分∠DFE,∴DA=AG=2.又∵AF=AF,∴Rt△ADF≌Rt△AGF(HL) .∴DF=GF.∵E 是 BC 的中点,∴ BE= CE = 1. ∴AE = FG+GE=DF+1.在 Rt△FCE中, 即 解 得 把点 F 的坐标代入y= kx,得 解得k=3.②当点 F 与点C重合时,F(2,2).把点F的坐标代入y= kx,得2=2k,解得k=1.故答案为1或3. 14.【解】(1)A(-2,0),C(1,-4) (2)2【点拨】在坐标系中画出直线AB 的图象如图， 直线AB 与坐标轴围成的三角形区域(不含边界)内整点有2个,即为点(-1,1),(-1,2). 或 【点拨】∵y= kx+2,∴直线一定经过点(0,2). 当k>0时，直线y=kx+2从左至右是上升的趋势，如图①所示： 通过图象可得,当直线经过点(-4,1)时,1=-4k+2,解得 此时直线 与坐标轴围成的三角形内部(不包含边界)有三个整点；当直线经过点(-5，1)时,1=-5k+2,解得 此时直线 与坐标轴围成的三角形内部(不包含边界)恰好有四个整点. ∴当 时，直线 y=kx+2与坐标轴围成的三角形内部(不包含边界)有且只有四个整点. 当 k<0时，直线 y=kx+2从左至右是下降的趋势，如图②,通过图象可得,当直线经过点(4,1)时,1=4k+2, 解得 此时直线 与坐标轴围成的三角形内部(不包含边界)有三个整点；当直线经过点(5,1)时,1=5k+2,解得 此时直线 y= 与坐标轴围成的三角形内部(不包含边界)恰好有四个整点. ∴当 时，直线 y=kx+2与坐标轴围成的三角形内部(不包含边界)有且只有四个整点. 综上可知，k的取值范围为 或 15.【解】(1)(6,6) (2)当k=-1时,y=-x+12,则当x=0时,y=12;当y=0时,x=12. ∴A(12,0),B(0,12),∴OA=OB=12. ∴△AOB是等腰直角三角形,∴∠OBA=∠OAB=45°. ∵∠OCD=45°, ∴∠ACO=∠ACD+∠OCD=∠ACD+45°. 又∵∠ACO=∠COB+∠OBA=∠COB+45°,∴∠ACD=∠BOC. 又∵OC=CD,∴△ACD≌△BOC(AAS),∴CA=OB=12. 设C(m,-m+12),过点 C 作 CP⊥OA 于点 P,在Rt△PAC中,由勾股定理得. 解得 或 (舍去), (3)如图,过M作MN⊥AE于点 N,则 MN=6,∠MNA=∠FOE=90°. 由平移的性质得 EF∥AB， ∴∠MAN=∠FEO. 又∵AM=EF, ∴△AMN≌△EFO(AAS), ∴OF=MN=6,∴F(0,-6). ∵直线AB 的解析式为y= kx-6k+6(k<0), ∴B(0,-6k+6),直线 EF 的解析式为y= kx-6. ∴易得 设 ME的解析式为y=k'x+n,代入 和M(6,6)的坐标，得 解得 ∴ME 的解析式为 ∵M(6,6),MH⊥BG.∴H(0,6). 第3课时 用待定系数法确定一次函数解析式 1. C 2. C【点拨】根据题意得 解得 所以该一次函数的解析式为 y=3x+1.故选 C. 3. B【点拨】设这条直线对应的函数解析式为 y=kx+b，把点 A(2,-3),B(4,3),C(5,a)的坐标代入,得 解得 故选 B. 4. B【点拨】由题图可知，拉力 F 随着重力G 的增加而增大，故 A 说法正确，选项不符合题意；∵拉力 F 是重力G的一次函数，∴设拉力 F与重力G 的函数解析式为F=mG+n(m≠0),则 解得 ∴拉力 F与重力G的函数解析式为 F=0.2G+0.5.当拉力 F=1.5 N时,G=5 N,故 B说法错误,选项符合题意;当G=7N时,拉力F=0.2×7+0.5=1.9(N),故C说法正确,选项不符合题意;∵当G=0N时,拉力F=0.5 N,故 D说法正确，选项不符合题意. 5. y=x-4或y=-x-3 【点拨】当k>0时,一次函数y=kx+b中，y随x的增大而增大，∴易知一次函数图象过点(-1,-5),(2,-2).∴ 解得 ∴一次函数的解析式为 y=x-4；当k<0时，一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，∴易知一次函数图象过点(-1,-2),(2,-5).∴ 解得 ∴一次函数的解析式为 y=-x-3.综上，一次函数的解析式为 y=x-4或 y=-x-3. 6.【解】(1)∵A(0,3),B(-1,0),∴OA=3,OB=1.∵∠ABC=∠BAC,∴AC=BC. 设OC=t,∴AC=BC=OB+OC=t+1.在 Rt△AOC中，由勾股定理得 解得t=4. ∴C(4,0). (2)设直线AC的解析式为y= kx+b, 解得 ∴直线 AC的解析式为 7. D 【点拨】如图,连接AC,BO交于点 D.当平移后的直线经过D点时，该直线可将▱OABC 的面积平分.∵四边形 AOCB 是平行四边形,∴AD=CD.∵A(2,2),C(4,0),∴D(3,1).设平移后的直线的解析式为 y=2x+n,将点 D(3,1)的坐标代入,得6+n=1,n=-5.∴平移后的直线的解析式为 y=2x-5.∴直线y=2x+1要向下平移6个单位长度，∴经过6s该直线可将平行四边形OABC 的面积平分. 8. A 【点拨】由题图可知 A 村、B 村相距 10 km,故①错误；当1.25 h时，甲、乙相距为0km，故在此时相遇，说明甲的速度大于乙的速度，当2 h时，甲到达C村，故②正确;v₀×1.25-v₂×1.25=10,解得 故甲的速度比乙的速度快 8 km/h,故③正确;当 1.25≤t≤2时,函数图象经过点(1.25,0),(2,6).设一次函数的解析式为 解得 8t-10.当s=4时,4=8t-10,解得t=1.75.1.75-1.25=0.5(h)=30 min.同理当2≤t≤2.5 时,设函数解析式为 将 点(2, 6), (2. 5, 0)代 入 得 解得 当s=4时,4=-12t+30,解得 55 min.故相遇后,乙又骑行了 30 min 或55 min时两人相距4k m,故④正确.故选 A. 9. k≤-1或k≥3 【点拨】因为当x=1时,y=0,所以直线y= kx-k(k≠0)过定点(1,0).因为直线 y= kx-k(k≠0)与线段AB有交点,当直线 y= kx-k(k≠0)经过点A(-2,3)时,得3=-2k-k,解得 k=-1;当直线y= kx-k(k≠0)经过点 B(4,9)时,得9=4k-k,解得k=3,所以当直线 y= kx-k(k≠0)与线段 AB 有交点时,k≤-1或k≥3. 【点拨】如图,作 CD⊥x轴于点 D,则∠AOB=∠ADC=90°.∵A(4,0),B(0,3),∴OA=4,OB=3.∵AC⊥AB,∴∠OAB+∠CAD=90°.又∵∠OAB+∠OBA=90°,∴∠OBA=∠CAD.又∵AB=AC,∴△OAB≌△DCA(AAS).∴AD=OB=3,CD=OA=4.∴OD=4+3=7.∴C(7,4).设直线 BC 的解析式为y= kx+b,把 B(0,3), C(7,4)的坐标代人,得 解得 ∴直线BC的解析式为 11.【解】(1)200 (2)当0≤t≤20时,设x与t之间的函数关系式为x= kt+b.将(0,25),(20,5)分别代入, 得 解得 ∴x与t之间的函数关系式为x=-t+25(0≤t≤20). 当t=10时,x=-10+25=15. ∴第10天销售一件产品的利润是15元. (3)当0≤t≤24时,设y与t之间的函数关系式为y= mt+n.将(0,100),(24,200)分别代入, 得 解得 ∴y与t之间的函数关系式为 当 :12时, 由(2),得x=-t+25(0≤t≤20), 当t=12时,x=-12+25=13, ∴第12天的日销售利润是 150×13=1950(元). 12.【解】(1)∵OA=6,OB=10,四边形 OACB 为长方形,∴C(6,10).当点 P 与点 C 重合时,设直线 DP 的函数解析式为y= kx+b, 把点 D(0,2),C(6,10)的坐标分别代入, 得 解得 ∴当点 P 与点C 重合时，直线 DP 的函数解析式为y= (2)①∵D(0,2),∴OD=2. 当点 P 在线段AC 上时,此时0≤t<5,易得 2×6=6; 当点 P 在线段CB 上时,此时5≤t<8,易得 2×(16-2t)=-2t+16. 综上，△OPD 的面积S 关于t 的函数解析式为 ②设P(m,10),则PB=PB'=m. ∵OB'=OB=10,OA=6, 易得 解得 则此时点 P 的坐标是( (3)存在,点 P 的坐标为(6,10-2 )或(6,6)或(6,2 +2). 【点拨】易知∠DBC=90°,BD>BC,∴满足条件的点P在AC 上.若△BDP 为等腰三角形，分三种情况考虑:①当BP=BD=OB-OD=10-2=8时,如图①,在Rt△BCP 中, BC = 6, ∴ 根据勾股定理得 CP = ②当 BP=DP时,过点 P 作 PQ⊥OB 于点Q,如图②, ∴P(6,6);③当DP=DB=8时,过点 D作DE⊥AC于点E,如图③,则AE=OD=2.在 Rt△DEP中,DE=6, 综上，满足题意的点 P 的坐标为(6， 或(6,6)或(6,2+2). 学科网（北京）股份有限公司 $