利用导数证明不等式、研究双变量问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

函数与导数：利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题专项训练 函数与导数：利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题专项训练 考点目录 利用导数证明不等式 利用导数研究双变量问题 考点一 利用导数证明不等式 例1．（25-26高三上·北京·月考）已知. (1)曲线在点处的切线为直线，记的斜率为，比较与的大小； (2)若对任意的，恒成立，求的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由函数 可得，则， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 因为，所以，即. （2）由函数， 当时，可得， 若，可得恒成立； 若，由（1）知：， 令，可得， 因为，可得，所以，在递增， 又由， 当时，即，此时，即， 所以在递增，所以，满足恒成立； 当时，即，存在，使得， 当时，，即，单调递减，则， 不满足恒成立，舍去， 综上可得，实数的取值范围为. （3）令，可得，其中， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，即，即， 由（2）知，当，，即， 即， 令，则，即， 可得， 所以， 又由对数的运算性质，可得， 所以对于任意正整数，总有. 例2．（25-26高三上·江苏·月考）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若对于任意的，恒成立，求的最大值； (3)证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)不等式成立，证明过程见详解 【详解】（1）， 当时，，在上单调递减， 当时，令， 当时，，故函数在区间单调递减； 当时，，故函数在区间上单调递增； （2）对恒成立， 当时，时，左边与条件矛盾，舍去，∴， 令，即对恒成立， 令， 当时，，时，， 所以在上单调递减；单调递增， 故只需． （3）要证： 证： 即证：， 只需证：， 即证：，即证：， 令 证： ， 令在上单调递增， ∴，证毕. 例3．（25-26高三上·河南周口·月考）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若关于x的不等式恒成立，求a的值； (3)证明：对一切的，都有． 【答案】(1)答案见解析 (2)1 (3)证明见解析 【详解】（1）由题意可得的定义域为，且． 当时，在上恒成立，则在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）当时，由（1）知在上单调递增，又，所以当时，，则不符合题意． 当时，由（1）知在上单调递增，在上单调递减， 则． 又，且，所以，解得， 经检验，当时，恒成立． 综上，a的值为1． （3）证明：由（2）可知当时，，即， 则，所以，所以． 当时，， 则， 故要证，只需证， 即证． 设，则． 由（2）可知，则，即， 所以，所以在上单调递增，所以， 故对一切的，都有． 例4．（25-26高三上·陕西·月考）已知函数的最大值为0． (1)求实数的值. (2)若对恒成立，求k的取值范围. (3)证明： 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得，令，解得，（，否则单调递增，无最大值)， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故为极大值点，也是最大值点， 最大值为， 由题意，得. （2）由（1）可知，，故， 不等式化简为， 即在上恒成立， 设，求导得， 令，求导得， 当时，在上恒成立，在上单调递增， 所以，即，在上单调递增， ，符合题意； 当时，令，解得， 时，，单调递减；时，，单调递增， 又，则在上恒成立，即在上恒成立， 在上单调递减， 又，所以存在，使，与已知矛盾，不合题意. 综上，实数k的取值范围为. （3）证明：由（2）知，当时，在上恒成立， 所以， 即， 两边取对数得，， 令，得， ， 左边 即. 变式1．（25-26高三上·山东威海·期中）已知函数． (1)若曲线在点处的切线与垂直，求此切线方程； (2)当时，若不等式恒成立，求的取值范围； (3)当时，证明：当时，（参考数据：） 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为，由题有，解得， 此时，所以，则切点为， 所以此切线方程为，即． （2）由题意知对恒成立， 令，当时，， 所以当时，，不符合题意． 当时，，令， 其图象为开口向下的抛物线，对称轴为， 当，即时， 因为，所以当时，，即， 此时在单调递增，所以，不符合题意； 当，即时，在上单调递减， 所以，即， 此时在单调递减，所以，符合题意， 综上所述，的取值范围为． （3）当时，要证明，即证明， 令，则， 令，则， 因为在上单调递增，又， 则，使得，即， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 因为，所以，所以，即， 所以在上单调递增，所以， 因为，所以， 所以，所以当时，． 变式2．（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知函数，. (1)当时，求在上的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1)0； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）当时，， 则， 设， ， 在上单调递增. ， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， ，故的最小值为0. （2）（方法一）恒成立，. 当时，， 由（1）可知，， ，从而时，恒成立， 故. （方法二），， . 设， 则. 设， 则， 在上单调递减. ， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. ， . （3）证明：由（1）知，当时，， 令，则， ， ， ， ， ，  ， ， ， ，证毕. 变式3．（25-26高三上·重庆·期中）已知函数，． (1)若，求函数的单调递增区间； (2)若对于任意，恒有，求实数a的取值范围； (3)证明：对任意的正整数n，． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，， 对求导得， 令，得，即， 解得，； 故函数的单调递增区间为，. （2）对求导得， 记，令，则， ，由得，所以函数在上单调递增， 所以的最大值为，所以， ①当时，， 所以在上单调递减，所以； ②当时，因为， 即，使得当时，， 则在上单调递增，所以，与矛盾. 故实数的取值范围为. （3）由（2）可知，当时，. 设，， 则； 令，， 则，可得在区间上单调递减， 所以， 所以在区间上单调递减， 所以. 所以当时，， 可得时，， 可得 ， 则. 变式4．（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知函数. (1)当时 ，证明：，； (2)若在上单调递增，求的最大值； (3)证明：，. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）证明：由，得，则在上恒成立， 则在上单调递增， 故，. （2）法一：由，得. 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 当时，，由（1）可知，在上恒成立， 则在上恒成立，即在上恒成立，从而在上单调递增，符合题意. 当时，，显然，在上恒成立， 令，则，显然在上单调递增， 由，得，则存在，使得， 则当时，单调递减，当时，单调递增， 从而当时，，则，从而在上单调递减，不符合题意， 综上所述，的最大值为. 法二：由题可知在上恒成立，则在上恒成立， 令，则 因为在上恒成立，所以在上恒成立， 所以在上单调递增. 当无限趋近于时，无限趋近于， 由洛必达法则，得， 则，从而，即， 故的最大值为. （3）证明：由（2）可知，当时，在上单调递增，且， 则在上恒成立， 由，可得， 则，则； 令，则，在上单调递增， 从而，即在上恒成立，故对任意的恒成立， ， 则 . 考点二 利用导数研究双变量问题 例1．（24-25高二下·广东韶关·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，求实数的取值范围； (3)当时，若关于的方程有两个实根和，求证：． 【答案】(1)当时，函数在R上单调递增；当时，函数在上单调递减，在单调递增 (2) (3)证明见详解 【详解】（1）由题知函数的定义域为R，， 当时，，函数在R上单调递增； 当时，又在R上单调递增，且， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 综上，当时，函数在R上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在单调递增. （2）由（1）知，当时，函数在R上单调递增， 又当时，，故不符合题意， 当时，，符合题意， 当时，函数在上单调递减，在单调递增， 所以，解得， 综上，的取值范围为. （3）时，， ， 所以在上单调递减，在单调递增， ， 有两个实根和，， ， 不妨取，要证，即证， 现证明，即， 令，， 所以在单调递减，在单调递增， 即，所以，即， 再证明，即， 令，， 所以在单调递减，在单调递增， 即，所以，即，， 所以，即得证. 例2．（2025·海南海口·模拟预测）已知函数，当时，的切线斜率． (1)求的单调区间； (2)已知，若，求证：若，则． 【答案】(1)在上单调递增，无单调递减区间． (2)证明见解析 【详解】（1），则． 所以，，则． 令．则． 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以恒成立，即恒成立， 故在上单调递增，无单调递减区间． （2）证明：要证，则， 只需证明，，即证明，． ，由得． 则，可得． 又，令， 则，，所以在上单调递增． 因，又，则， 从而. 先证明，即，因在上单调递增． 只需证，. 即，． 令，，则， 所以，故; 再证明，即． 同理，只需证明，即． 令，．则． 令，，则， 所以在上单调递增． 又因为，， 则存在，使得， 所以时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又因为，，， 所以，故． 综上所述，对任意的，． 例3．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)求函数的单调区间和极值； (3)若两个不相等的实数，满足：，求证：． 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减，有极大值，无极小值 (3)证明见解析 【详解】（1）因为，所以， 切线方程为即， 由题意，解得； （2）由（1）可知，， 令得，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，所以有极大值为，无极小值； （3）因为，所以， 设，则，令得， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 不妨取，欲证，即证， 又因为在上单调递减，故只需证， 又因为，故也即证， 构造函数， 则等价于证明对恒成立． ， 因为，所以，所以， 则在上单调递增， 所以，即已证明对恒成立， 故原不等式成立． 例4．（24-25高二下·广东清远·期中）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)是否存在x使得成立？若存在，求x的取值范围，若不存在，请说明理由； (3)若方程有两个不同的实数解，证明：． 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）首先对函数求导，可得： ，函数的定义域为， 令，即，因为，则，解得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减， 综上所得，函数的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）由前面知道，的最大值为，要使能成立，则只能，即，则，有前面讨论，知道函数的单调递增区间是，单调递减区间是.则. （3）由，得， 若有两个不同的实数解，则， 两式相减得，所以． 不妨设，则， 所以在上单调递增，此时，所以． 所以，即，所以①． 由，得有两个不同的实数解， 令， 当时单调递增，当时单调递减， 由，，所以． 令，则方程有两个不同的实数解． 由前面（1）（2）知，则有． 设，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 此时，即，故，当且仅当时等号成立． 不妨设直线与直线交点的横坐标分别为， 则， 所以②． 综上，． 变式1．（2025·山西·模拟预测）已知函数． (1)若，求实数的取值范围； (2)若有2个不同的零点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为函数的定义域为，所以成立，等价于成立. 令，则， 令，则，所以在内单调递减， 又因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取极大值也是最大值. 因此，即实数的取值范围为. （2）有2个不同的零点等价于有2个不同的实数根. 令，则，当时，解得. 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取极大值为. 又因为，当时，，当时，. 且时，. 所以，且. 因为是方程的2个不同实数根，即. 将两式相除得， 令，则，，变形得，. 又因为，，因此要证，只需证. 因为，所以只需证，即证. 因为，即证. 令，则， 所以在上单调递增，， 即当时，成立，命题得证. 变式2．（2025·山东·模拟预测）已知函数. (1)若有两个零点，求的取值范围； (2)若方程有两个实数根，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）易知函数的定义域为， 当时，，在上无零点，与题意不符， 当时，由，得，令， 所以若有两个零点，则直线与函数的图象有两个不同的交点， 易得，令，得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减，所以， 又，当时，，所以函数的大致图象如图所示， 由图可知，当，即时，直线与函数的图象有两个不同的交点， 所以实数的取值范围是. （2）由，得， 令，则，易得， 所以函数在上单调递增， 令，则关于的方程有两个实数根，且， 要证，即证，即证，即证， 由已知得，所以，所以， 不妨设，即证， 即证，令，即证，其中， 构造函数，则， 所以函数在上单调递增，所以，故原不等式得证. 变式3．（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数（其中是自然对数的底数）． (1)试讨论函数的零点个数； (2)当时，设函数的两个极值点为，且，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）由可得， 令，其中， 则函数的零点个数等于直线与函数图象的公共点个数， ，令可得，列表如下： 0 单调递减 极小值 单调递增 如下图所示： 当时，函数无零点； 当时，函数只有一个零点； 当时，函数有两个零点． （2）证明：因为，其中， 所以． 由已知可得， 上述两个等式作差得．要证，即证． 因为，设函数的图象交轴的正半轴于点，则． 因为函数在上单调递增，， 所以． 设函数的图象在处的切线交直线于点， 函数的图象在处的切线交直线于点， 因为，所以函数的图象在处的切线方程为． 联立，可得，即点． 构造函数，其中，则， 当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增，所以， 所以对任意的，当且仅当时等号成立， 由图可知，则，所以． 因为，可得， 函数在处的切线方程为， 联立， 解得，即点． 因为，所以． 构造函数，其中，则． 当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增，则， 所以对任意的，当且仅当时，等号成立， 所以，可得， 因此，故原不等式成立． 变式4．（2025·山西·模拟预测）已知函数. (1)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围； (2)若；求证：； (3)设，是函数的两个极值点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当时，等号成立， 所以，即的取值范围是. （2）证明：若，，所以， 令，解得，所以当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，当且仅当时，等号成立. 令，，所以， 令，解得，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，又等号不同时成立， 所以. （3）证明：由题意可知， 因为有两个极值点，， 所以，是方程的两个不同的根， 则且 所以 ， 所以要证，即证， 即证，即证，即证. 令，则证明， 令，则， 所以在上单调递增，则，即， 所以原不等式成立. 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题专项训练 函数与导数：利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题专项训练 考点目录 利用导数证明不等式 利用导数研究双变量问题 考点一 利用导数证明不等式 例1.(25-26高三上.北京月考)已知f(x=(x+1lnx+1+asinx. (1)曲线y=fx)在点 处的切线为直线1，记1的斜率为k,比较k与2的大小： (2)若对任意的x∈(0，π)，f(x>0恒成立，求a的取值范围； (3)证明： sinl+2sing++”s sin<In(n+1). 3 2 n+l n 例2.(25-26高三上江苏月考)已知函数fx=2e-xa≠0) a (1)讨论f(x)的单调性； (2)若对于任意的xeR,ef(x+a20恒成立，求a的最大值； (3)证明：(1+n”>n!e2(n∈N) 函数与导数：利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题专项训练 例3.(25-26高三上河南周口月考)己知函数f(x=lnx-ax+a. (1)讨论(x的单调性； (②)若关于x的不等式∫(x≤0恒成立，求a的值； (3)证明：对一切的x∈[1，+oo),都有2 xe*Inx-x3-x2+2≥0. 例4.(25-26高三上陕西月考)已知函数f(x=lnx-ax+1的最大值为0. (1)求实数a的值. (2)若f(e)+kx2≤0对x∈(0，+o)恒成立，求k的取值范围. 同证明：2nu+3+2到-3+2h2<羽 函数与导数：利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题专项训练 变式1.(25-26高三上山东威海期中)已知函数fx)=血x+m (1)若曲线y=f(x在点(1，f(1)处的切线与y=2x-1垂直，求此切线方程； ②当xe1,+)时，若不等式f八<2-m恒成立，求m的取值范国， 3)当m=1时，证明：当x≥，时，e-x>f(y)(参考数据：1h2≈0.693) 2 变式2.s26商三上费州避义月考》已知函数到=号+o-1,号引 )当a=1时，求f八在（引上的最小值： (2)若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围； i证明：+豆omf<eeN k 3 函数与导数：利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题专项训练 变式3.25-26高三上重庆期中)已知函数fx)=,snx-am,4eR. 2+cosx (1)若a=0,求函数f(x的单调递增区间； (2)若对于任意x≥0，恒有∫(x)≤0，求实数a的取值范围： 1) (3)证明：对任意的正整数n, n12n+11 k 12(n+1） 变式4.(24-25高三上云南大理开学考试)已知函数f(x=tanx-x-ax3 当a=0时，证明：x0引f八>0： ②若f纠在0 上单调递增，求a的最大值； 3 11 tan- (3)证明：n∈N,kk、9 In(n+1) 3 函数与导数：利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题专项训练 考点二 利用导数研究双变量问题 例1.(24-25高二下广东韶关·期末)已知函数f(x)=e-ax. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)≥0，求实数a的取值范围； (3)当a=2时，若关于x的方程f(x)=(t∈R)有两个实根x和2，求证：x-x2<31-1. 例2.（2025海南海口模拟预测)已知函数f(x)=(x+m)nx,当x=1时，f(x)的切线斜率k=3. (1)求∫(x)的单调区间； 1 已知x>2。,若十了0=2，求证：若1,2，则2x+∈34 Inx+lny 5 函数与导数：利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题专项训练 例3.(24-25高二下·江苏无锡期中)已知函数f(x)=e(ax+b)在点(-1，f(-1)处的切线方程为x-ey+3=0. (1)求实数a,b的值； (2)求函数∫(x)的单调区间和极值： (3)若两个不相等的实数m,n满足：me”-nem=e”-e”,求证：m+n>0. 例4.(24-25高二下广东清远·期中)己知函数f(x)=lnx-x2+x. (1)求函数的单调区间： (2)是否存在x使得f(f(x)+)≥0成立？若存在，求x的取值范围，若不存在，请说明理由； 8若方--+a∈)有两个不的实数解，心，正明（代++名c1, 6 函数与导数：利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题专项训练 变式1.(2025山西·模拟预测)已知函数fx)=血x-. x (1)若∫(x≤-1，求实数a的取值范围： 2)若f(有2个不同的零点，，(x<x),求证：2x+3x>12 变式2.(2025山东·模拟预测)已知函数h(x=x-alnx(aeR) (I)若h(x有两个零点，求a的取值范围； ②)若方程e-ahr+x=0有两个实数根，，且无≠x,证明：e场>C xx 函数与导数：利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题专项训练 变式3.(2025浙江绍兴模拟预测)已知函数f(x)=e-2x-(a+1),g(x)=x2+(a-1)x-(a+2)(其中e≈2.71828是 自然对数的底数). (1)试讨论函数f(x)的零点个数： (2)当a>1时，设函数hx=fx-gx的两个极值点为x,x2,且x<x2,求证：e-e<4a+2. 变式4.(2025山西模拟预测)已知函数f)=lnx+ax2-x+2(aeR). (1)若函数f(x)在定义域上单调递增，求a的取值范围； ②若a=0:求证：f)<4e 2 (③)设x,g<是函数的两个极值点，求证：f八)-七)<口-习》x- 6