专题24 中点四边形模型 讲义 2026年中考数学二轮复习

该初中数学中考复习讲义聚焦“中点四边形模型”专题，覆盖中考四边形综合、图形判定、面积计算核心考点，以定义、核心结论（平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件）、证明为逻辑主线，通过“模型讲解-例题分析-课堂随练-巩固提高”四环节，帮助学生梳理考点、掌握推理方法、突破解题难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于“结论推导-真题应用-分层训练”的教学策略，如通过证明“对角线垂直的四边形中点四边形是矩形”培养学生推理意识，结合例3全等证明提升数学思维。设基础与综合题分层练习，配合即时反馈，确保高效复习。助力学生构建几何转化思想，教师可据此精准把控复习节奏，提升应考能力。

专题24 中点四边形模型 中点四边形模型，由三角形中位线定理推导生成，是研究四边形边、角、对角线关系的经典几何模型，可直观呈现原四边形与中点四边形的形状、边长及面积关联，快速判断中点四边形的特殊类型。中考常以四边形综合、图形判定、面积计算题型出现，题目结构简洁、规律清晰，兼具基础性与综合性，是几何转化思想与数形结合思想的典型代表。 本专题从模型讲解、例题分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层剖析中点四边形的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 模型讲解 一、定义：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形。 二、核心结论： （1）任意四边形四条边的中点依次连接得到的四边形一定是平行四边形。 （2）对角线垂直的四边形（包括菱形）的中点四边形是矩形。 （3）对角线相等的四边形（包括矩形）的中点四边形是菱形。 （4）对角线垂直且相等的四边形（包括正方形）的中点四边形是正方形。 三、证明 （1）如图，点M、N、P、Q是任意四边形的中点，则四边形MNPQ是平行四边形. 如上图： 【证明】 ∵MN∥BD PQ∥BD ∴四边形MNPQ为平行四边形。 （2）对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形 【证明】 由（1）可知：四边形MNPQ为平行四边形 ∵AC∥PQ ∴∠2＝∠1＝90° ∵MQ∥BD ∴∠3＝∠2＝90° ∴MNPQ为矩形. （3）对角线相等的四边形的中点四边形是菱形 【证明】 由（1）可知：四边形MNPQ为平行四边形 ∵MQ＝BD，MN＝AC，BD＝AC ∴MQ＝MN ∴四边形MNPQ为菱形。 （4）对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形。 【证明】由（3）可知对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，所以四边相等，再结合（2）对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形，所以四边形MNPQ为正方形。 例题分析 【例1】下列命题中，假命题是（  ） A．顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形 B．顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形 C．顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形 D．顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形 【答案】D 【分析】根据平行四边形、特殊的平行四边形的判定、中位线定理、中点四边形的定义进行判定即可． 【解析】 观察图形：分别为的中点，根据中位线定理： A：顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形,正确； B：顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形，正确； C：顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形，正确； D：顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是平行四边形，错误． 故答案选：D． 【例2】如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加一个条件 _____，能使四边形EFGH是矩形． 【答案】AC⊥BD 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，根据平行线的性质可得：∠EHG=∠1，∠1=∠2，再证明四边形EFGH是平行四边形，当∠EFG=90°，四边形EFGH是矩形，所以∠2=90°，因此AC⊥BD． 【解析】解：如图， ∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点， ∴ ∴∠EHG=∠1，∠1=∠2， ∴∠2=∠EHG， 同理： ∴四边形EFGH是平行四边形， 当∠EHG=90°， 四边形EFGH是矩形， ∴∠2=90°， ∴AC⊥BD． 故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形． 【例3】我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，中点四边形EFGH是 　 　． （2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想． （3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状（不必证明）． 【答案】（1）平行四边形；（2）菱形，见解析；（3）正方形 【分析】（1）连接BD，根据三角形中位线定理证明EH∥FG，EH=FG，根据平行四边形的判定定理证明即可； （2）证明△APC≌△BPD，根据全等三角形的性质得到AC=BD，再证明EF=FG，根据菱形的判定定理证明结论； （3）证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得到∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质证明∠EHG=90°，根据正方形的判定定理证明即可． 【解析】解：（1）如图1，连接BD， ∵点E，H分别为边AB，DA的中点， ∴EH∥BD，EH=BD， ∵点F，G分别为边BC，CD的中点， ∴FG∥BD，FG=BD， ∴EH∥FG，EH=GF， ∴中点四边形EFGH是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （2）结论：四边形EFGH是菱形， 理由：如图2，连接AC，BD． ∵∠APB=∠CPD， ∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD， 在△APC和△BPD中， ， ∴△APC≌△BPD（SAS）， ∴AC=BD， ∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点， ∴EF=AC，FG=BD， ∴EF=FG， 由（1）知中点四边形EFGH是平行四边形， ∴平行四边形EFGH是菱形； （3）结论：四边形EFGH是正方形， 理由：如图2，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M， ∵△APC≌△BPD， ∴∠ACP=∠BDP， ∵∠DMO=∠CMP， ∴∠COD=∠CPD=90°， ∵EH∥BD，AC∥HG， ∴∠EHG=∠DOC=90°， 由（2）知中点四边形EFGH是菱形， ∴菱形EFGH是正方形． 课堂随练 1.如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD＝4，BC＝5，则四边形EFGH的周长是 　9　． 解：∵E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点， ∴EF＝AD＝2，FG＝BC＝2.5，GH＝AD＝2，EH＝BC＝2.5， ∴四边形EFGH的周长＝EF+FG+GH+HE＝9， 故答案为：9． 2.如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长是（　　） A．7 B．9 C．11 D．13 解：∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3， ∴BC＝＝＝5， ∵E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点， ∴EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD， ∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC， 又∵AD＝6， ∴四边形EFGH的周长＝6+5＝11． 故选：C． 3.如图，在四边形ABCD中，AC＝8，BD＝6，且AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝　50　． 解：连接HG，EH，EF，FG， ∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， ∴HG＝EF＝AC＝4，EH＝FG＝BD＝3， ∵E，H，是AB，AD中点， ∴HE∥BD，HE＝BD， 同理FG∥BD，FG＝BD， ∴四边形HEFG是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴HG⊥EH， ∴四边形HEFG为矩形， ∴EG2+FH2＝EF2+FG2+EF2+EH2＝52+52＝50， 故答案为：50 巩固提高 1．如图，在正方形中，点，分别是，的中点，，交于点G，连接，，，则下列说法正确的个数为（   ） ①； ②； ③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，点分别是四边形边的中点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若四边形是平行四边形，则与互相平分 D．若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 3．顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则四边形一定是（   ） A．对角线互相垂直的四边形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．矩形 4．如图，连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，则对角线，应满足（   ） A． B．平分 C．平分 D． 5．下列命题中，假命题是（  ） A．顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形 B．顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形 C．顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形 D．顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形 6．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，下列说法正确的是　　 A．任意一个四边形的中点四边形是菱形 B．任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形 C．对角线相等的四边形的中点四边形是矩形 D．对角线垂直的四边形的中点四边形是正方形 7．如图，在菱形中，，，点分别是边、、、中点，在直线上方有一动点，且满足，则周长的最小值为 ．    8．若顺次连接四边形ABCD四边中点所得的四边形是菱形，则原四边形的对角线AC、BD所满足的条件是 ． 9．若顺次连接四边形ABCD四边中点形成的四边形为矩形，则四边形ABCD满足的条件为. 10．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=2，BD=4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此类推，这样得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为 ． 11．对凸四边形我们不妨约定：若四边形对角线垂直，叫做“垂对”四边形；若四边形对角线相等，叫做“等对”四边形． (1)判断下列说法的正确性，正确的请在横线处打“√”，错误的打“×”． ①平行四边形一定不是“垂对”四边形；______ ②一组邻边相等的平行四边形一定是“等对”四边形；______ ③顺次连接“垂对”四边形各边中点所得的四边形是“等对”四边形．______ (2)如图1，在四边形中，，、的垂直平分线恰好交于边上一点P，连结、，求证：四边形是“等对”四边形． (3)如图2，在正方形中，点E、点M分别在边、上，点F在的延长线上，且四边形是“垂对”四边形，对角线、相交于点H，与边交于点N． ①若，，，求的长； ②连接，若点M是的中点，且正方形边长为4，请直接写出的最小值． 12．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，我们约定： 如果原四边形的中点四边形是个矩形，我们把这个原四边形叫做“博学四边形”． 如果原四边形的中点四边形是个菱形，我们把这个原四边形叫做“博思四边形”． 如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“博闻四边形”． 请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”．） ①平行四边形一定不是“博学四边形”；（   ） ②对角线相等的四边形是“博思四边形”；（   ） ③正方形一定是“博闻四边形”．（   ） (2)如图2，以的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，． ①试说明：四边形是“博闻四边形”； ②若，，，求的长； (3)如图3，已知四边形是“博闻四边形”，，分别是，的中点，当的最小值是2时，求的长度． 13．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． （1）任意四边形的中点四边形是什么形状？为什么？ （2）任意平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？ （3）任意矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状？为什么？ 14．如图1，在四边形中，如果对角线和相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形． （1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，______一定是等角线四边形（填写图形名称）； ②若、、、分别是等角线四边形四边、、、的中点，当对角线、还要满足______时，四边形是正方形． （2）如图2，已知在中，，，，为平面内一点． ①若四边形是等角线四边形，且，求符合条件的等角线四边形的面积． ②设点是所在平面上的任意一点且，若四边形是等角线四边形，求出四边形面积的最大值，并说明理由． 15．如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H． （1）判断四边形EFGH形状，并说明理由； （2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由． 16．四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形． （1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的： ①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形； ②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形． （2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明． 17．把顺序连结四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． （1）任意四边形的中点四边形是什么形状？为什么？ （2）符合什么条件的四边形，它的中点四边形是菱形？ （3）符合什么条件的四边形，它的中点四边形是矩形？ 18．(1)任意四边形四边中点围成的四边形是__________； (2)对角线相等的四边形四边中点围成的四边形是__________； (3)对角线垂直的四边形四边中点围成的四边形是__________；并证明． 19．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形； （2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想； （3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明） 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 《巩固提高》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D A D D B 1．D 【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定得到，可判断①；根据全等三角形的性质得出，，进而得到，设正方形的边长为，利用勾股定理表示出、的长，可判断②；根据中点四边形的性质，结合和，利用正方形的判定可判断③；延长和交于点，通过证明，得到，利用斜边中线定理得到，则有，再利用角的和差和等量代换可判断④，即可得出答案． 【详解】解：正方形， ，， 点，分别是，的中点， ，， ， ，故①正确； ，， ， ， ，即， 设正方形的边长为，则， ， ， ， ，故②正确； 点，，，分别是，，，的中点， ，，，， ， ， 四边形是菱形， ， ，即， 菱形是正方形，故③正确； 延长和交于点， ，，， ， ，， ，， ，即， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，说法正确的个数为4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质和判定、中点四边形、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定等知识点，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于正方形综合题，有一定难度，需要较强的几何推理能力，适合有能力解决几何难题的学生． 2．D 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、矩形与菱形的判定、正方形的性质等知识，熟练掌握三角形的中位线定理和特殊四边形的判定与性质是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，，，再证出四边形为平行四边形，由此即可判断选项C错误；根据菱形与矩形的判定即可得选项A和B错误；根据正方形的性质可得，则可得，，由此即可判断选项D正确． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴， 同理可得：，，， ∴， ∴四边形为平行四边形，无法得出与互相平分，则选项C错误； 若，则， ∴四边形为菱形，则选项A错误； 若，则， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形，则选项B错误； 若四边形是正方形，则， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即若四边形是正方形，则与互相垂直且相等，选项D正确； 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、矩形的性质等知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．四边形的边的中点分别为点，先根据三角形的中位线定理可得，，再根据矩形的性质可得，则，由此即可得． 【详解】解：如图，四边形的边的中点分别为点， 由三角形的中位线定理得：，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则四边形一定是对角线互相垂直的四边形， 故选：A． 4．D 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定等知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，，从而可得，再证出四边形为平行四边形，然后根据矩形的判定即可得． 【详解】解：由题意得：点分别是的中点， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴四边形为平行四边形， 要使平行四边形为矩形，则需要， 又∵，， ∴要使，则需要， 故选：D． 5．D 【分析】根据平行四边形、特殊的平行四边形的判定、中位线定理、中点四边形的定义进行判定即可． 【详解】    观察图形：分别为的中点，根据中位线定理： A：顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形,正确； B：顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形，正确； C：顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形，正确； D：顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是平行四边形，错误． 故答案选：D． 【点睛】本题考查中位线定理应用、平行四边形、特殊的平行四边形的判定，掌握四边形的判定是解题关键． 6．B 【分析】中点四边形的形状取决于原四边形的对角线的性质：当原四边形的对角线既不相等，也不垂直时，中点四边形的形状为平行四边形；当原四边形的对角线相等时，中点四边形的形状为菱形；当原四边形的对角线垂直时，中点四边形的形状为矩形；当原四边形的对角线互相垂直且相等时，中点四边形的形状为正方形．由此即可解答. 【详解】选项A，由任意一个四边形的中点四边形是平行四边形可判定选项A错误； 选项B，任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形，选项B正确； 选项C，由对角线相等的四边形的中点四边形是菱形可判定选项C错误； 选项D，由对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形可判定选项D错误. 故选B. 【点睛】本题考查了中点四边形的性质，熟知中点四边形的形状取决于原四边形的对角线的性质是解决问题的关键. 7． 【分析】连接交于，由点分别是边、、、中点证明四边形为平行四边形，然后根据菱形的性质证明四边形为矩形，在上方作直线，且到的距离为，即，由，则点在直线上，然后作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，交直线于点，交于点，根据两点之间线段最短可得当点三点共线时，最短为长，然后由等边三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接交于， ∵点分别是边、、、中点，    ∴为的中位线， ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 在上方作直线，且到的距离为，即， ∵， ∴点在直线上， 如上图，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，交直线于点，交于点， 由对称性可知：， ∴， 根据两点之间线段最短可得：当点三点共线时，最短为长， ∴周长的最小， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得：, ∵分别为中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-线段最短问题，等边三角形的判定与性质，菱形性质，勾股定理，矩形的判定与性质，三角形中位线性质定理，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． 8． 【分析】如下图，根据三角形中位线的定理，可得AG=EF=，GF=AE=，再根据菱形四条边相等的性质，可得出AC与BD的关系． 【详解】如下图，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点 ∵点E、F是AB、BC的中点 ∴EF= 同理可得：AG=EF=，GF=AE= ∵要使得四边形HEFG是菱形，则HE=EF=FG=GH ∴只需AC=BD即可 故答案为：AC=BD 【点睛】本题考查菱形的性质和三角形中位线的性质，解题关键是得出AG=EF=，GF=AE=． 9．AC⊥BD 【分析】如图所示，由四边形EFGH为矩形，根据矩形的四个角为直角得到∠FEH=90°，又EF为三角形ABD的中位线，根据中位线定理得到EF与DB平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠EMO=90°，同理根据三角形中位线定理得到EH与AC平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠AOD=90°，根据垂直定义得到AC与BD垂直． 【详解】顺次连接四边形ABCD四边中点形成的四边形为矩形，则四边形ABCD满足的条件为对角线垂直，理由： ∵四边形EFGH是矩形， ∴∠FEH=90°， 又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点， ∴EF是三角形ABD的中位线， ∴EF∥BD， ∴∠FEH=∠OMH=90°， 又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点， ∴EH是三角形ACD的中位线， ∴EH∥AC， ∴∠OMH=∠COB=90°， 则AC⊥BD，故四边形ABCD满足的条件为对角线垂直． 故答案为AC⊥BD． 【点睛】此题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理以及平行线的性质．这类题的一般解法是：借助图形，充分抓住已知条件，找准问题的突破口，由浅入深多角度，多侧面探寻，联想符合题设的有关知识，合理组合发现的新结论． 10． 【详解】因为、分别为、的中点，所以，，同理可知，，因为，所以，故四边形的面积为 ，四边形的面积为 ，同理可知四边形的面积为 ，故四边形 . 11．(1)①×②×③√ (2)见解析 (3)①2；② 【分析】（1）①根据菱形、正方形的性质判断即可； ②根据菱形的判定和性质判断即可； ③根据中位线定理得到，，证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的判定和性质得到，即可证明平行四边形是矩形，进而判断即可； （2）连接，，根据垂直平分线的性质得到，，根据等边对等角得到，，根据三角形外角的性质得到，，可知，证明，得到，即可得到四边形是“等对”四边形； （3）①连接，根据正方形的性质得到，，可得，证明，进而证明，得到，即可求出的长； ②过点E作，过点M作，可知四边形是平行四边形，进而得到，当D，E，K三点共线时，的值最小，作交于点G，证明，得到，根据勾股定理求出，进而求出即可． 【详解】（1）解：①特殊的平行四边形即菱形、正方形对角线垂直，是“垂对”四边形，原说法错误， 故答案为：×； ②一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线不一定相等，原说法错误， 故答案为：×； ③构造如图所示“垂对”四边形和其中点四边形， ∵是边中点， ∴是中位线， ∴， 同理可得，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是“垂对”四边形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， 矩形对角线相等， 故答案为：√； （2）证明：连接，，如图所示： ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∵ ∴， ∴（）， ∴，即四边形是“等对”四边形； （3）①解：连接，在正方形中，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴（）， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 在和中，， ∴（）， ∴， ∴； ②解：过点E作，过点M作， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴当D，E，K三点共线时，的值最小， ∵四边形是“垂对”四边形， ∴，即， 作交于点G， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，正方形的性质，中位线定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 12．(1)①×；②√；③√ (2)①见解析；② (3) 【分析】（1）根据定义，逐一分析，即可解答； （2）①取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论；②过点C作交的延长线于点H，过点G作于点M，通过证明得到，在中利用勾股定理即可求解； （3）分别作、的中点E、F并顺次连接、、、，连接交于O，连接、，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可得，当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，即可求得答案． 【详解】（1）解：（1）∵点E，F，G，H依次是的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 当时， ， ∴平行四边形是矩形，即平行四边形有可能是“博学四边形”，故①错误； 当时，， ∴平行四边形是菱形， 即对角线相等的四边形是“博思四边形”，故②正确； 当四边形是正方形时，则有，， ∴，， ∴平行四边形是正方形． ∴正方形一定是“博闻四边形”，故③正确； 故答案为：①×；②√；③√． （2）①证明：如图2，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴菱形是正方形，即原四边形是“博闻四边形”； ②解：过点C作交的延长线于点H，过点G作于点M，如图， 则有， ∴， 由①及题意得，，，， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图4，分别作、的中点E、F并顺次连接，连接交于O，连接、， ∵ 四边形是“博闻四边形”，M，N分别是，的中点， ∴ 四边形是正方形， ∴， ∴， ∵ N，F分别是的中点， ∴， ∴， 当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴， 由（2）①知：， 在和中 又∵M，N分别是直角三角形斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵的最小值是2， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，直角三角形斜边上的中线等知识，理解“中点四边形”的定义并运用是本题的关键． 13．（1）平行四边形，理由见解析；（2）平行四边形；理由见解析；（3）菱形、矩形、正方形．理由见解析． 【分析】（1）连接BD，根据三角形的中位线定理，可得EH∥GF，EH =FG，即可求证； （2）连接AC，DB，根据三角形的中位线定理，可得EH∥GF，EH =FG，即可求证； （3）利用（1）的判定方法，再根据三角形的中位线定理和矩形、菱形、正方形的判定方法来判定，即可求证． 【详解】（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形，理由如下： 已知四边形ABCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接BD，如图1： ∵E是AB的中点，H是AD的中点， ∴EH是△ABD的中位线， ∴ ， ， ∵G是CD的中点，F是BC的中点， ∴FG是△BCD的中位线， ∴ ， ， ∴EH∥GF，EH =FG， ∴四边形EFGH为平行四边形； （2）任意平行四边形的中点四边形是平行四边形，理由如下： 已知平行四边形ABCD，E，N，M，F分别是DA，AB，BC，DC的中点，连接AC，DB，如图2： ∵E，F分别是DA，DC的中点， ∴EF是△ACD的中位线， ∴EF∥AC，EF= ， ∵M，N分别是BC，AB的中点， ∴MN是△ABC的中位线， ∴MN∥AC，MN=AC， ∴EF∥MN，EF=MN， ∴四边形MNEF是平行四边形； （3）如果原四边形为矩形，则形成的中点四边形为菱形，理由如下： 已知矩形ABCD，H，E，F，G分别是DA，AB，BC，DC的中点，连接AC，DB，如图： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD， ∵E是AB的中点，H是AD的中点， ∴EH是△ABD的中位线， ∴EH=BD， ∵G是CD的中点，F是BC的中点， ∴GF是△BCD的中位线， ∴GF=BD， ∵E是AB的中点，F是BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF=AC， ∵G是CD的中点，H是AD的中点， ∴GH是△ACD的中位线， ∴GH= AC， 又∵AC=BD， ∴EF=GF=EH=GH，四边形EFGH是菱形； 如果原四边形为菱形，则形成的中点四边形为矩形， 理由如下；已知菱形ABCD，E，F，G，H分别是AB，，BC，CD，AD的中点，连接BD，AC，如图： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵E是AB的中点，H是AD的中点， ∴EH是△ABD的中位线， ∴EH∥BD， ， ∵G是CD的中点，F是BC的中点， ∴GF是△BCD的中位线， ∴GF∥BD， ， ∴EH∥BD∥GF，EH=GF， ∴四边形EFGH是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴AC⊥EH， ∵E是AB的中点，F是BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AC， ∴EH⊥EF， ∴四边形EFGH是矩形； 如果原四边形为正方形，则形成的中点四边形为正方形，理由如下： 已知正方形ABCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接BD，AC，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AC=BD， ∵E是AB的中点，H是AD的中点， ∴EH是△ABD的中位线， ∴EH∥BD，EH=BD， ∵G是CD的中点，F是BC的中点， ∴GF是△BCD的中位线， ∴GF∥BD，GF=BD， ∴EH∥BD∥GF，EH=GF， ∴四边形EFGH是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴AC⊥EH， ∵E是AB的中点，F是BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AC，EF=AC， ∴EF⊥EH， ∴四边形EFGH是矩形， ∵AC=BD， ∴EF=EH， ∴四边形EFGH是正方形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 14．（1）①矩形；②；（2）①；②18，理由见解析 【分析】（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，只有矩形的对角线相等，所以矩形是等角线四边形；②当时，四边形是正方形，首先证明四边形是菱形，再证明有一个角是直角即可； （2）①如图2中，作于．根据计算，求出相关线段即可；②如图3中，设与相交于点，连接，只要证明当且、、共线时，四边形的面积最大即可． 【详解】解：（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中， 矩形的对角线相等， 矩形一定是等角线四边形， 故答案为：矩形； ②当时，四边形是正方形． 理由：如图1， 、、、分别是等角线四边形四边、、、的中点， ，，，， ， ， 四边形是菱形， ，，， ， 四边形是正方形． 故答案为：； （2）①如图2，作于． 在中，，，， ， ，， ， 四边形是等角线四边形， ， 在中，， ． 四边形的面积为； ②如图3中，设与相交于点，连接， 作于，于．则，， 四边形是等角线四边形， ， ， 即， 当、重合时，即时，等号成立， ， ， 即线段最大时，四边形的面积最大， ， ， ， 的最大值为6， 当、、共线时，取等号， 四边形的面积的最大值为． 故答案为：18． 【点睛】本题考查四边形综合题、中点四边形、三角形中位线定理、正方形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是理解等角线四边形的定义，学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 15．（1）平行四边形，理由见解析；（2）菱形，理由见解析 【分析】（1）连接AC，根据三角形中位线定理即可证得； （2）连接BD ，由（1）得，四边形EFGH是平行四边形，再由三角形中位线定理，证得邻边相等，即可证得菱形． 【详解】（1）四边形EFGH为平行四边形，理由如下： 连接AC，如图， 在△ABC和△ADC中， ∵EF、GH分别为其中位线， ∴EF∥AC,且EF=AC; GH∥AC且GH=AC ， ∴EF=GH，EF∥GH， ∴四边形EFGH为平行四边形； （2）若AC=BD, 则四边形EFGH为菱形， 连接BD ，如图， 在△BCD中， ∵GF为其中位线， ∴GF=BD ， ∵EF=AC（已证），且AC=BD， ∴EF=GF ， 又∵四边形EFGH为平行四边形（已证）， ∴四边形EFGH为菱形． 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，解题关键是熟练掌握三角形中位线定理．连接三角形两边中点的线段，平行且等于第三边的一半． 16．（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形见解析 【分析】（1）①连接AC、BD，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH都是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明； ②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明； （2）分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD，证明，得到AC=DB，根据（1）①证明即可． 【详解】（1）解：（1）①连接AC、BD， ∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点， ∴EH∥BD，FG∥BD， ∴EH∥FG， 同理EF∥HG， ∴四边形EFGH都是平行四边形， ∵对角线AC=BD， ∴EH=EF， ∴四边形ABCD的中点四边形是菱形； ②当对角线AC⊥BD时，EF⊥EH， ∴四边形ABCD的中点四边形是矩形； 故答案为：菱；矩； （2）四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形．理由如下： 分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∵，∴，∴，， 在和中， ， ∴，∴， ∴四边形ABCD的对角线相等，中点四边形EFGH是菱形． 【点睛】本题考查的是矩形、菱形的判定、中点四边形的定义，掌握中点四边形的概念、矩形的判定定理、菱形的判定定理是解题的关键． 17．（1）平行四边形；理由见解析；（2）当原四边形的对角线相等时，它的中点四边形是菱形；（3）当原四边形的对角线互相垂直时，它的中点四边形是矩形. 【分析】（1）连接BD、由点E、H分别为边AB、AD的中点，同理知FG∥BD、FG=BD，据此可得EH=FG、EH∥FG，即可得证； （2）同理根据对角线相等，可知邻边相等，中点四边形是菱形； （3）同理根据对角线互相垂直，可知有一个角是直角，中点四边形是矩形． 【详解】（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形，理由是： 如图1，连接BD， ∵点E、H分别为边AB、AD的中点， ∴EH∥BD、EH=BD， ∵点F、G分别为BC、DC的中点， ∴FG∥BD、FG=BD， ∴EH=FG、EH∥FG， ∴中点四边形EFGH是平行四边形； （2）当原四边形的对角线相等时，它的中点四边形是菱形； 证明：与（1）同理：EH=FG=BD=AC=EF=HG，得它的中点四边形是菱形； （3）当原四边形的对角线互相垂直时，它的中点四边形是矩形； 证明：与（1）同理：EH∥FG∥BD，AC∥EF∥HG， ∵AC⊥BD， ∴EH、FG分别与EF、HG垂直， ∴得它的中点四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查中点四边形的综合问题，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形和菱形的判定与性质． 18． 平行四边形 菱形 矩形 【分析】（1）连接任意四边形的中点，如图，连接AC，根据三角形的中位线定理，可以证得HG=FE= AC，并且HG∥EF，所以利用平行四边形的判定定理可知，该中点四边形是平行四边形． （2）在（1）的基础上，易证平行四边形GHBF的一组邻边相等，所以根据菱形的定义可知该中点四边形是菱形． （3）在（1）的基础上，易证平行四边形GHBF中有一个角是直角，所以根据矩形的定义可知该中点四边形是矩形． 【详解】（1）如图所示，任意四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，求四边形EFGH的形状． 连接AC， ∵E、F、G、H分别为各边的中点， ∴HG、EF分别为△ACD与△ABC的中位线， ∴HG∥AC∥EF，HG=EF=AC， ∴四边形EFGH是平行四边形； （2）如图所示，四边形ABCD的对角线AC=BD，E、F、G、H分别为各边的中点，求四边形EFGH的形状． 连接AC、BD， ∵E、F、G、H分别为各边的中点， ∴EH、GF分别为△ABD与△BCD的中位线， ∴EH∥BD∥GF，EH=GF=BD， ∴四边形EFGH是平行四边形， 同理可得，HG=EF=AC， ∵AC=BD， ∴EH=GF， ∴四边形EFGH是菱形； （3）如图所示，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，求四边形EFGH的形状． 解：连接AC、BD， ∵E、F、G、H分别为各边的中点， ∴EH、GF分别为△ABD与△BCD的中位线， ∴EH∥BD∥GF，EH=GF=BD， ∴四边形EFGH是平行四边形， 同理可得，HG∥AC∥EF， ∵AC⊥BD， ∴HG⊥BD⊥EH， ∴四边形EFGH是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，三角形中位线定理，即三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半．解答此题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合解答． 19．（1）证明见解析；（2）四边形EFGH是菱形，证明见解析；（3）四边形EFGH是正方形 【分析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可． （2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可． （3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明． 【详解】（1）证明：如图1中，连接BD． ∵点E，H分别为边AB，DA的中点， ∴EH∥BD，EH=BD， ∵点F，G分别为边BC，CD的中点， ∴FG∥BD，FG=BD， ∴EH∥FG，EH=GF， ∴中点四边形EFGH是平行四边形． （2）四边形EFGH是菱形． 证明：如图2中，连接AC，BD． ∵∠APB=∠CPD， ∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD， 即∠APC=∠BPD， 在△APC和△BPD中， ∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD， ∴△APC≌△BPD（SAS）， ∴AC=BD． ∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点， ∴EF=AC，FG=BD， ∵四边形EFGH是平行四边形， ∴四边形EFGH是菱形． （3）四边形EFGH是正方形． 证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N． ∵△APC≌△BPD， ∴∠ACP=∠BDP， ∵∠DMO=∠CMP， ∴∠COD=∠CPD=90°， ∵EH∥BD，AC∥HG， ∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°， ∵四边形EFGH是菱形， ∴四边形EFGH是正方形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质和中点四边形，综合性较强，作出适当辅助线是本题的关键． $