精品解析：甘肃省嘉峪关市酒钢三中2025-2026学年高二下学期4月期中考试数学试卷

嘉峪关市酒钢三中2025-2026学年第二学期第一次考试 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 计算的值是（    ） A. 41 B. 61 C. 62 D. 82 2. 已知数列满足，（），则（ ） A. B. 9 C. 11 D. 13 3. 已知函数，若，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，且，，成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁四人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（   ） A. 24 种 B. 16 种 C. 12 种 D. 4 种 6. 已知函数的定义域为R，且图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知等差数列的前项和是，且，则（ ） A. B. C. D. 的最小值为 10. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 11. 已知为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等差数列中，，，则_______________. 13. 设等比数列的前项和为，若，则______． 14. 若命题“函数无极值”为真命题，则实数的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设函数在处取得极大值． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最值． 16. 已知数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足，求数列的前项和． 17. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求的取值范围. 18. 在数列中，且． （1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，数列满足． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求． 19. 已知函数，其中，且；． （1）试求的单调区间； （2）当时，讨论函数的零点个数； （3）若恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉峪关市酒钢三中2025-2026学年第二学期第一次考试 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 计算的值是（    ） A. 41 B. 61 C. 62 D. 82 【答案】B 【解析】 【分析】利用排列数和组合数公式计算即可． 【详解】， ，, 因此. 故选：B. 2. 已知数列满足，（），则（ ） A. B. 9 C. 11 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知数列是公差为的等差数列，则，再代入计算即可． 【详解】，， 数列是公差为的等差数列， ， ． 故选：C． 3. 已知函数，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导得出，利用导数的定义可得出的值，即可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【详解】因为，故， 所以， 可得，解得. 故选：A. 4. 已知函数，且，，成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可知，则，，， 所以，解得. 5. 甲、乙、丙、丁四人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（   ） A. 24 种 B. 16 种 C. 12 种 D. 4 种 【答案】D 【解析】 【分析】根据相邻捆绑，不相邻插空和分步乘法计数原理即可分析计算求解. 【详解】甲、乙必须相邻，先将甲、乙两人捆绑作为一人有种排列方法， 丙、丁共有排列有种方法， 所以总的不同的安排方法有种. 故选：D. 6. 已知函数的定义域为R，且图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数单调性得的解，然后分类讨论可得. 【详解】由已知时，，时，或， 所以或， 综上不等式的解集为， 故选：D. 7. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用递推关系式由累加法计算可求得. 【详解】因为，所以， 所以当时，，，…，， 累加可得， 因为，所以，当时，，满足上式， 所以， 故选：B． 8. 若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设切点坐标，然后求导计算切点斜率，得到斜率范围，最后得到倾斜角的范围即可. 【详解】设，由函数，得， 所以过点的切线斜率， 根据二次函数的图像性质，可得， 又，即， 又，所以得的取值范围是. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知等差数列的前项和是，且，则（ ） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据等差数列的性质得当时，；当时，；对选项逐一判断. 【详解】由，所以，即， 所以当，时，；当，时，； 所以，故A错；，故B对；，故C错；的最小值为，故D对. 故选：BD 10. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数的导函数图象，可判断函数的单增区间与单减区间，进而可得极大值点，从而可得结论. 【详解】由函数的导函数的图象可知， 当时，，所以在上单调递增，故B错误； 当时，，所以在上单调递减， 即函数在上单调递减，故A正确； 所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确. 故选：AD. 11. 已知为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】采用逐一验证的方法，通过构造函数，，，，根据这些函数在的单调性可得结果. 【详解】设，，则在上恒成立，故函数单调递增， 故，即，A正确； 设，，则，函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，，即，故，B错误； 设，，则在上恒成立，故函数单调递增，，即，C正确； 设，，则在上恒成立，故函数单调递增， 故，即，故，D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查了根据函数单调性判断函数值大小关系，构造函数是解题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等差数列中，，，则_______________. 【答案】11 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，得出，即可求解. 【详解】根据等差数列的性质，可得， 所以， 故答案为：11. 13. 设等比数列的前项和为，若，则______． 【答案】31 【解析】 【分析】设，根据等比数列的前项和的性质列式求解即可. 【详解】因为为等比数列，且，所以，，成等比数列． 设，则． 因则有，即，所以． 故． 故答案为：31. 14. 若命题“函数无极值”为真命题，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】因为，无极值，则可得恒成立，即可求解. 【详解】，因为函数无极值， 所以方程恒成立， 所以只需，解得，即． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设函数在处取得极大值． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 ，， 由题意得，即，解得，，经验证符合题意， 所以． 【小问2详解】 由（1）可得， 令，得，， + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以在，单调递增，在单调递减，且，，， 所以， 16. 已知数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，求解即可； （2）利用分组求和计算即可. 【小问1详解】 因为， 当时，， 即，解得； 当时，， 两式相减，得， 所以， 所以数列是等比数列，其首项为，公比， 所以， 当时，，满足题意， 综上，； 【小问2详解】 因为， 所以 17. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求得切线方程； （2）将函数求导后，根据参数的取值情况，分类讨论函数的单调性即可； （3）根据（2）的结论，结合得，即，设，利用导数分类讨论即得的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 则，，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 ，， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知，当时，有极小值， 极小值为，此时极小值也是最小值， 由，可得，因，可得， 令，求导得，即在上单调递减， 又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以的取值范围为. 18. 在数列中，且． （1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，数列满足． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求． 【答案】（1）证明见解析， （2）（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由可得，由等差数列定义即可得证，再利用等差数列性质计算即可得的通项公式； （2）（Ⅰ）借助与关系计算可得数列的通项公式，再结合（1）中所得即可得的通项公式；（Ⅱ）借助错位相减法计算即可得. 【小问1详解】 由，则， 又，故数列是以为首项为公差的等差数列， 则，故； 【小问2详解】 （Ⅰ）当时，， 则， 当时，，符合上式， 故，由，故； （Ⅱ）， 则， 则 ， 则. 19. 已知函数，其中，且；． （1）试求的单调区间； （2）当时，讨论函数的零点个数； （3）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是； （2）当时，有1个零点；当或时，有2个零点； （3）． 【解析】 【分析】（1）将函数求导，根据导函数的符号即可求得单调区间； （2）利用零点定义将问题转换成方程的根的个数，构造函数，通过导数作出其图象，再由和、分类讨论即得； （3）通过和讨论，结合反函数对称性得到． 进而构造函数，求导确定最小值，进而可求解. 【小问1详解】 函数的定义域是，， ∴当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 的单调递增区间是，单调递减区间是． 【小问2详解】 函数等价于．两端同取自然对数，得，即． 令，则原题转化为的解的个数． 由（1）知， 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 则在处取得极大值，也是最大值， 当时，；当时，， 函数图象如图所示． 当时，，解得，此时有1个零点； 当时，，与有2个交点，此时2个零点； 当时，，与有2个交点，此时2个零点． 综上，当时，有1个零点；当或时，有2个零点． 【小问3详解】 由恒成立，得恒成立． 当时，取，易得，则显然不成立，故时不合题意； 当时，由，可得． 因为曲线与关于直线对称， 所以． 令，则， 令，得， 又因为单调递增，则当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 所以当时，取极小值点，也是最小值． 所以的最小值为，其中． 由，得，即，所以． 综上可得，所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $