20.1 勾股定理及其应用 第1课时 勾股定理及其验证 课件 -2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十章 勾股定理 20.1 勾股定理及其应用 第1课时 勾股定理及其验证 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 勾股定理 6. 课堂小结 3. 新课导入 7. 当堂小练 CONTENTS 8. 对接中考 9. 拓展与延伸 2. 知识回顾 5. 知识点2 勾股定理的证明 1. 经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想. 2.会用勾股定理进行简单的计算. 学习目标 知识回顾 一般三角形 1. 三角形内角和为180〫. 2. 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 直角三角形 1. 三角形内角和为180〫. 2. 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 3. 斜边中线等于斜边一半. 4. 两锐角互余. 新课导入 思考 直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余，对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？ 在《周髀算经》的开篇，商高（约公元前11世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积. 3 5 4 新课导入 商高所指的面积关系可以用图形表示.如图，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分刚为9，16，25，且9+16=25. 从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方. 其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？ 新课讲解 知识点1 勾股定理 问题 在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图（每个小正方形的面积为单位1）： 这两幅图中A，B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？ 新课讲解 方法1：补形法（把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）： 左图： 右图： 新课讲解 方法2：分割法（把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）： 左图： 右图： 你还有其他办法求C的面积吗？ 新课讲解 根据前面求出的C的面积直接填出右表： A的面积 B的面积 C的面积 左图 右图 4 13 25 9 16 9 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？ 思考 可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积. 新课讲解 勾股定理： 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2+b2=c2. 符号语言 ： 如图，在Rt△ABC中， ∠C = 90°， ∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c， 则 a2+b2=c2. a b c 新课讲解 例 1. 在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，∠C＝90°. (1)已知a＝3，b＝4，求c； (2)已知c＝19，a＝13，求b(结果保留根号)； (3)已知a∶b＝1∶2，c＝5，求b. 解：(1)∵∠C＝90°，a＝3，b＝4， ∴由勾股定理，得c＝＝＝5. (2)∵∠C＝90°，c＝19，a＝13， ∴由勾股定理，得b＝＝＝8. (3)∵a∶b＝1∶2，∴b＝ 2a.∵∠C＝90°，c＝5，b＝2a， ∴由勾股定理，得a2＋(2a)2＝52，解得a＝(负值已舍去). ∴ b＝2. 新课讲解 例 2. 在Rt△ABC 中，AC＝6，AB＝8，求 BC 的长. 解：由于没有明确BC是斜边还是直角边，因此，分两种情况： (1)在Rt△ABC中，当BC边是直角边时，由勾股定理， 得BC2＋AC2＝AB2，所以BC2＝AB2－AC2＝82－62＝28， 故BC＝2； (2)在Rt △ABC中，当BC边是斜边时，由勾股定理， 得BC2＝AB2＋AC2＝82＋62＝100， 故BC＝10. 综上，BC的长是10或2. 新课讲解 1. 勾股定理揭示的是直角三角形的三边间的等量关系，只有在直角三角形中才能使用勾股定理，这是应用勾股定理的条件. 2. 当应用勾股定理时, 要分清直角边和斜边, 尤其在应用a2＋b2＝c2时, 斜边长只能是c. 若b为斜边长, 则关系式是a2＋c2＝b2; 若a为斜边长, 则关系式是b2＋c2＝a2. 3. 若没有明确所给直角三角形中边的类型(是直角边还是斜边)，要分类讨论，以免漏解. 注意 新课讲解 练一练 1. 在Rt△ABC中，斜边BC＝10，则 BC2＋AB2＋AC2＝ (　　) A．20 B．100 C．200 D．144 C 24 cm2 2. 一个直角三角形两条直角边的比是3∶4，斜边长为10 cm，那么这个直角三角形的面积为_______． 新课讲解 练一练 3. 若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值有 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 B 4. 在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，则AB边的长是____________． 13或 新课讲解 变式 a2＝c2－b2，b2＝c2－a2； c＝，a＝，b＝ . 基本思想方法 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范. 拓展 设三角形的三边长分别为a，b，c(c 为最长边)，则在锐角三角形中满足a2＋b2>c2，在钝角三角形中满足a2＋b2<c2. 补充 新课讲解 知识点2 勾股定理的证明 思考 证明这个猜想的方法有很多，下面介绍我国古代数学家赵爽（约 3 世纪）的证法. 如图，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”. 赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）. 黄实 朱实 朱实 朱实 朱实 B a A c b 新课讲解 a b b c a b c a 【证法1】赵爽弦图. 新课讲解 a b c ∵ S大正方形＝c2， S小正方形＝ ∴ S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， 赵爽弦图 b-a 证明： “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽. ∴ ＝ . 新课讲解 【证法2】毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图. b b b b a a a a c c c c b b b b a a b a a c c 4 4 新课讲解 a a b b c c 【证法3】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2. 证明：∵， ， ∴. 新课讲解 【证法4】刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为S，则S= 根据“出入相补，以盈补虚”的原理， 得S=. ∴ =. a b c 青出 青出 青入 青入 朱入 朱出 青方 朱方 新课讲解 归纳 通过拼图证明命题的思路： 1. 图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变； 2. 根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式； 3. 利用等式性质变换验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论. 新课讲解 例 3. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理. 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，Rt△ADE与Rt△AGE全等，Rt△BFE与Rt△BGE全等，BC=a，AC=b，AB=c，在正方形DEFC中，DE=EF=CF=CD=x. 小明发现了一种求正方形DEFC边长的方法： 由题意可得BF=BG=a-x，AD=AG=b-x. ∴ AB=BG+AG， ∴ a-x + b-x = c， 解得 x = . 新课讲解 例 4. 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，Rt△ADE与Rt△AGE全等，Rt△BFE与Rt△BGE全等，BC=a，AC=b，AB=c，在正方形DEFC中，DE=EF=CF=CD=x. (1) 小亮也发现了一种求正方形 DEFC 边长的方法：连接 CE，利用S△ABC= S△AEB+ S△AEC+ S△BEC可以得到x与a,b,c的关系.请根据小亮的思路完成他的求解过程. 解：如图 ，连接 EC. 由题意可得，ED = EG = EF = x， ∴ S△AEB = cx，S△AEC = bx，S△BEC = ax. ∴ S△ABC= S△AEB+ S△AEC+ S△BEC， ∴ ab = cx + bx + ax， ∴ (a+b+c) x = ab， ∴ x = . 新课讲解 (2) 请结合小明和小亮得到的结果验证勾股定理. 解：由小明和小亮所得结果知， = ， ∴ (a + b + c)(a + b - c) = 2ab， ∴ (a + b)² - c² = 2ab， ∴ (a + b)² - 2ab = c²， ∴ a² + b² + 2ab - 2ab = c²， 即 a² + b² = c². 新课讲解 练一练 1. 如图，①是用硬纸板做成的两个完全一样的直角三角形，两直角边长分别为a和b，斜边长为c. ②是以c为直角边长的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形. (1)解：如图即为所求. 它是直角梯形. (1)画出拼成的这个图形的示意图，并写出它是什么图形； (2)利用这个图形证明勾股定理. (2) 证明：∵ S梯形＝(a＋b)(a＋b)＝(a＋b)2， S梯形＝ab×2＋c2， ∴(a＋b)2＝ab＋c2. 整理，得a2＋b2＝c2. 新课讲解 练一练 2. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形. 已知正方形 A，B，C，D 的边长分别为12，16，9，12，求最大正方形 E 的面积. 与正方形A，B，C，D有何关系？ 解：设另两个正方形中大的为M，小的为N， 由勾股定理和正方形的面积公式，得， 而 课堂小结 勾股定理 内容 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2+b2=c2. 证明 赵爽弦图 青朱出入图 加菲尔德总统拼图 利用勾股定理进行计算 应用 当堂小练 1. 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c. (1)已知a=6，c=10，求b； (2)已知a=5，b=12，求c； (3)已知b=15，c=25，求a. 解：(1) 由勾股定理，得b=====8. (2) 由勾股定理，得c=====13. (3) 由勾股定理，得a=====20. 当堂小练 3. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列说法错误的是(　　) A．a2＋c2＝b2 B．c2＝2a2 C．a＝b D．∠C＝90° 5或 A 当堂小练 4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2．以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为________． 当堂小练 D 对接中考 B 对接中考 2. 如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S2 026的值为______． 拓展与延伸 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC上，把△ABC沿直线AD折叠，使得点B的对应点B′落在AC的延长线上，则CD＝________． 3 解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB2＝AC2＋BC2＝62＋82＝102.∴AB＝10. 由折叠得， BD＝B′D，AB′＝AB＝10， ∴B′C＝AB′－AC＝10－6＝4. 设CD＝x，则B′D＝BD＝8－x. 在Rt△DB′C中，CD2＋CB′2＝DB′2，即x2＋42＝(8－x)2， 解得x＝3，∴CD＝3. 拓展与延伸 2. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感．他发现：当两个全等的直角三角形如图①或图②所示摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图①所示的方式 摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2＋b2＝c2． 拓展与延伸 请参照上述证法，利用图②完成勾股定理的证明． 2．若实数m，n满足|m－3|＋＝0，且m，n恰好是Rt△ABC的两条边长，则第三条边长为________． 5．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是(　　) A．14 B．16 C．14 D．14 1．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC．若DE＝，则AC的长是(　　) A．4 B．6 C．2 D．3 证明：连接DB，DC，过点D作BC边上的高DF，交BC的延长线于点F，易得DF＝EC＝b－a． ∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab，S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)， ∴b2＋ab＝c2＋a(b－a)， ∴a2＋b2＝c2． 证明：如图，连接BD，过点B作DE边上的高BF，交DE的延长线于点F，易得BF＝b－a. ∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE＝ab＋b2＋ab， S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝ab＋c2＋a， ∴ab＋b2＋ab＝ab＋c2＋a(b－a)，∴a2＋b2＝c2. $