20.1 勾股定理及其应用 第3课时 利用勾股定理计算、作图 课件 -2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十章 勾股定理 20.1 勾股定理及其应用 第3课时 用勾股定理作长度是 (n为大于1 的整数)的线段 目 录 1. 学习目标 4. 知识点 用勾股定理作长度是 (n为大于1 的整数)的线段 5. 课堂小结 3. 新课导入 6. 当堂小练 CONTENTS 7. 对接中考 8. 拓展与延伸 2. 知识回顾 1. 能构造直角三角形，会运用勾股定理在数轴上确定无理数对应的点，感悟数形结合思想，发展几何直观. 2. 利用勾股定理作长度是 （ n为正整数）的线段. 学习目标 知识回顾 运用勾股定理解决实际问题的一般步骤： 1.从实际问题中抽象出几何图形； 2.确定所求线段所在的直角三角形； 3.找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系； 4.求得结果. 新课导入 点A表示的数字为-2 点B表示的数字为-1 点C表示的数字为1 点D表示的数字为2 实数 数轴上的点 一 一 对 应 那么如何在数轴上表示无理数的点呢？ A B C D 0 -1 -2 -3 1 2 3 新课讲解 知识点 用勾股定理作长度是 (n为大于1 的整数)的线段 问题 你能在数轴上画出表示 的点吗？ 1.构造两条直角边都是1的直角三角形，用勾股定理得到斜边为. 2.用圆规截取的方法画出在数轴上对应的点，则这个点就是数轴上表示的位置. 1 1 O 1 2 3 B 新课讲解 3.用圆规截取的方法画出在数轴上对应的点，则这个点就是数轴上表示的位置. 1. 可以看作是直角边分别为2,3的直角三角形的斜边； 2.在数轴上构造两条直角边为2,3的直角三角形，利用勾股定理得出斜边为； 问题 你能在数轴上表示出吗？ B O A l C 新课讲解 在数轴上表示 按照以上方法，可以在数轴上画出表示，，，的点. 新课讲解 在数轴上画表示无理数的点的步骤 一拆分：把无理数的平方拆分为两个整数的平方和. 二构造：以原点为直角三角形的锐角顶点且其中一条直角边与数轴重合，构造直角三角形. 三画弧：以原点为圆心，斜边长为半径画弧. 归纳 新课讲解 归纳 画长为的线段 当直角三角形的两条直角边长都为1时，斜边长为，即⋯⋯. 依此类推，可以画出长为， ⋯⋯的线段. 1. 作一条长度等于无理数的线段的方法不唯一，应尽量利用直角边长为整数的直角三角形. 2. 并不是所有的无理数都能用尺规作图的方法在数轴上作出对应的点，如，0.1010010001（相邻两个1之间0的个数依次增加1）等. 新课讲解 例 1. 在数轴上画出表示 的点. 解：∵ 1² + 3² = 10， ∴ 直角边长分别为 1，3 的直角三角形的斜边长为. 如图所示. (1) 画出数轴，在数轴上找出表示 3 的点A，则OA = 3； (2) 过点A作直线 l 垂直于数轴，在l上取点B，使AB = 1； (3) 连接OB，以点O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴的正半轴交于点C，点C即为表示的点. 拓展：弧与数轴的负半轴的交点是表示－ 的点 新课讲解 练一练 1. 长为的线段分别是直角边长为多少的直角三角形的斜边（直角边取正整数）？ 解：可以看作是直角边长为1，4的直角三角形的斜边； 可以看作是直角边长为1，5的直角三角形的斜边； 可以看作是直角边长为2，5的直角三角形的斜边. 新课讲解 练一练 2. 如图，在数轴上，点O为原点，OB＝1，过点O作直线l⊥OB，在直线l上截取OA＝2，且A在数轴上方. 连接 AB，以点B为圆心，AB长为半径作弧交数轴于点C，则点C 表示的数为________. 课堂小结 运用勾股定理 作长为（n为大于1的整数）的线段. 在数轴上表示（n为大于1的整数）的点. 构造边长为整数的直角三角形. 利用数轴和勾股定理. 当堂小练 A 1. 如图，在数轴上点A′表示的实数是 (　　) 当堂小练 2. 如图，在△ABC中，∠ACB =90°，BC =2，AC = 1，BC在数轴上，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（ ） A.2- B. C.D. A 当堂小练 B 4. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为6和8，则b的面积为(　　) A．6 B．8 C．10 D．14 当堂小练 D 当堂小练 5. 如图，长方形纸片ABCD中，AB＝3 cm，AD＝9 cm，将此长方形纸片折叠，使点D，B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为( ) A．6 cm2 B．8 cm2 C．10 cm2 D．12 cm2 A 当堂小练 6. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A (3，0)，B (0，2)，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO＋PA的最小值为_______． 5 当堂小练 7. 如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD＝，则AD＝_______． 当堂小练 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，D是边AC的中点，E是边BC上一点，连接BD，DE．将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE＝________． 当堂小练 9．如图，在RtABC中，∠BAC＝90°，AC＝1，AB＝2，点A与数轴上表示－1的点重合，将ABC沿数轴正方向旋转一次使得点B落在数轴上点B′处，第二次旋转使得点 C 落在数轴上点 C″ 处，依次类推，ABC 第2026次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的点表示的数_____________． 对接中考 1. 如图，在△ABC中，分别以点A 和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC 相交于点D，E，连接AD. 若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 解：由作图方法可知MN是AC的垂直平分线， ∴ AC＝ 2AE＝8，DA＝DC. ∴∠DAC＝∠C. ∵ BD＝CD，∴ BD＝AD. ∴∠B＝ ∠BAD. ∵ ∠B＋∠BAD＋∠C＋∠DAC＝180°， ∴ 2∠BAD＋2∠DAC＝180°.∴∠BAD＋∠DAC＝90°.∴∠BAC＝90°. ∵ 在Rt△ABC中，BC＝BD＋CD＝2AD＝ 10，∴ AB＝＝＝6. D 对接中考 12 拓展与延伸 1. 如图①，C为线段BD上一动点，分别过点B，D 作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝2， DE＝1，BD＝8，设CD＝x． (1) 用含x的代数式表示AC＋CE的长为____________________； (2) AC＋CE的最小值为________； 拓展与延伸 2. “ 为了安全，请勿超速”.如图，一条公路建成通车，在某路段MN上限速6 0 km/h，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5 s，已 知∠CBN＝60°，BC＝200 m ，AC＝100 m . (1) 求观测点C到公路MN的距离. (结果保留根号) (2) 此车超速了吗？请说明理由(参考数据： ≈ 1.73). 拓展与延伸 3. 如图，点D坐标（2，1），以OD为一边画等腰三角形，并且使得另外一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形有多少个？写出落在x轴上的点的坐标. 解：已知点D（2，1），所以DE=OF=2，DF=EO=1， 解得OD=. ① OA=OD=，所以点A（-，0）. ② OB=DB，在Rt△DFB中，根据勾股定理得： =，BF=OF-OB=2-DB， 所以=解得：DB = ，则B（，0）. ③ OC=OD=，所以点C（，0）. ④ DG=OD，DF⊥OG，所以OF=GF，则点G（，0）. 故能构成的等腰三角形有4个，坐标分别是A（-，0），B（，0）， C（，0），G（，0）. y x O D（2，1） A 2 1 B C G E F A．－ B．－ C．－2 D． 3. 如图，在3×4的正方形网格(每个小正方形的边长都是1)中，标记格点A，B，C，D，则下列线段长度为的是(　　) A．线段AB B．线段BC C．线段AC D．线段BD 2026＋675 解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝1，AB＝2， ∴BC＝. ∴△ABC的周长为2＋1＋＝3＋. ∵△ABC有三个顶点， ∴2 026次旋转中每三次一个循环． ∵2 026÷3＝675……1， ∴2 026次旋转共经历675个循环还余1. ∴△ABC第2 026次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的是点B. ∴2 026次旋转后，点B共向右移动的总长为 675(3＋)＋2＝2 027＋675. ∵第一次的起点为－1， ∴右边的点表示的数是2 026＋675. 2. 如图，在△ABC中，按以下步骤作图：(1)以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点D；(2)分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧相交于点F；(3)画射线AF，交BC于点E．若∠C＝2∠B，BC＝23，BD＝13，则AE的长为________． 解：∵BC＝23，BD＝13， ∴CD＝23－13＝10. 连接AD，如图，由题意得AD＝AC，AE垂直平分CD， ∴∠C＝∠ADC，∠AED＝∠AEC＝90°，DE＝CE＝CD＝5. ∵∠C＝2∠B，∴∠ADC＝2∠B. ∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，∴∠B＝∠BAD. ∴AD＝DB＝13. ∴在Rt△ADE中，AE＝＝12. ＋ (3) 根据(2)中的规律和结论，请模仿图①在由边长为1的小正方形组成的网格(图②)中构图并求代数式＋的最小值． 解：(画法不唯一)如图，已知AB＝1，DE＝2，BD＝3， 设BP＝x，则根据勾股定理得AP＝，PE＝， ∴AP＋PE＝＋， 由(2)可知＋的最小值即为点A，E之间的距离， 易得＋的最小值为3 . 解：(1) 过点C作CH⊥MN于H，如图． 在Rt△BCH中，∵∠CBN＝60°， ∴∠BCH＝30°. ∵BC＝200，∴BH＝BC＝100. ∴CH＝＝100. 因此，观测点C到公路MN的距离为100 m. (2) ∵AC＝100，∠CHA＝90°， ∴AH＝＝100. ∴AB＝AH－BH＝100－100≈73. ∴车速为73÷5＝(m/s)． ∵60 km/h＝ m/s，<， ∴此车没有超速． $