20.1.1 勾股定理及其验证 课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦勾股定理的探索、证明及应用，课堂导入通过复习直角三角形概念和30°角性质，结合2002年国际数学家大会会徽图案提问，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以“数学眼光”引导学生观察格点图中正方形面积关系，从特殊到一般猜想三边关系，通过赵爽弦图证明渗透推理意识，例题涵盖基础计算与折叠等综合应用。既培养学生抽象能力和几何直观，又帮助教师高效开展探究式教学，提升学生数学思维与应用能力。

人教版 八年级 数学（下） 第二十章 勾股定理 20.1 勾股定理及其应用 第1课时 勾股定理及其验证 1 新课导入 1．回顾直角三角形的相关概念． 有一个角为90°的三角形,叫做直角三角形。 2．在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 2 3．2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”．这就是本届大会会徽的图案． 提出问题： (1)你见过这个图案吗？ (2)你听说过“勾股定理”吗？ 探究新知 (1)图中，三个正方形的面积有什么关系？ 商高所指的面积关系可以用图形表示，如图红色直角三角形的三边长分别为；3,4,5，分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为9，16，25，且9+16=25.从边的角度看，这个直角三角形的三边满足： 两条直角边长的平方和等于斜边长的平方. 两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积 (2)什么样的三角形是等腰直角三角形？等腰直角三角形的三边之间有什么关系？ S S1 S2 S=S1+S2， 即c2=a2+b2. a b c a b c 有一个角是直角，且两条直角边长度 相等的三角形，叫做等腰直角三角形。 如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的 面积之间有什么关系？A2，B2，C2呢？A3， B3 ，C3呢？以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？ (1)等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和，其他的直角三角形也具有这个性质吗？ 提出问题： (2) 计算图中各个正方形的面积。 (3)探究SA1＋SB1与SC1，SA2＋SB2与SC2、SA3＋SB3与SC3的关系，看看能得出什么结论？ 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2. a b c 你能用什么方式证明吗？ a b c 赵爽弦图 b-a ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， ∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2, 证明： “赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积证明了这一命题，表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲！因此，这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽. 赵爽弦图 ∴ c2 ＝4×ab+(b-a)²=a²+b². 等腰直角三角形的三边之间有一种特殊的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和． 知识归纳 a b c 等腰直角三角形的三边关系 公式变形 （ a、b、c为正数） 勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．直角三角形的这种关系称为勾股定理． a b c 在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理. a= c= b= 例题与练习 例 1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边． (1)若a＝，c＝4，求b； (2)若c＝8，∠A＝30°，求b； (3)若a∶b＝3∶4，c＝15，求S△ABC. 解：(1)b＝3； (2)b＝4； (3)S△ABC＝54. 例 2 解：∵AD⊥BC， 　 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，求AC的长． ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在Rt△ABD中， ∴在Rt△ADC中， AD＝＝＝， AC＝＝＝. 例 3 　 如图，四边形ABCD是长方形，把△AC沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝4，DC＝3，求BE的长． 解：由折叠的性质，得△ACD≌△ACD′， ∴∠D′＝∠D＝90°，CD′＝CD＝AB＝3. ∵∠AEB＝∠CED′，∠B＝∠D′＝90°， ∴△ABE≌△CD′E(AAS)， 设BE＝x，则AE＝CE＝4－x. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2＝AB2＋BE2， ∴BE＝. ∴AE＝CE. 即(4－x)2＝32＋x2，解得x＝， 1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c. （1）已知a=6，c=10，求b； （2）已知a=5，b=12，求c； （3）已知b=15，c=25，求a. 解（1）b= （2）c= （3）a= = = =8 = = =20 = = =13 2.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9， 12，求最大正方形E的面积， 解：正方形 A 的面积：SA​=12²=144 正方形 B 的面积：SB​=16²=256 正方形 C 的面积：SC​=9²=81 正方形 D 的面积：SD​=12²=144 S2 S1​=SA​+SB​=144+256=400 S2​=SC​+SD​=81+144=225 SE​=S1​+S2​=400+225=625 答：最大正方形 E 的面积是 625。 S1 3如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(　 　) A．48 B．60 C．76 D．80 C 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a＋b＝2，c＝3，求△ABC的面积． 解：∵a＋b＝2， ∴a2＋b2＋2ab＝12. 由题知，a2＋b2＝c2＝9，∴ab＝， ∴S△ABC＝ab＝. 课堂小结 勾股定理 内容 在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2. 注意 在直角三角形中 看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论 证明 随堂检测 1.下列说法中，正确的是 （ ） A. 已知 a，b，c 是三角形的三边，则 a2 + b2 = c2 B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，所以 a2 + b2 = c2 D. 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，所以 a2 + b2 = c2 C 2. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 ____cm². 8 cm 10 cm 36 3. 在 △ABC 中，∠C = 90°. (1) 若 a = 15，b = 8，则 c = ________. (2) 若 c = 13，b = 12，则 a = ________. 4. 若直角三角形中，有两边长是 5 和 7，则第三边 长的平方为_________. 17 5 74 或 24 $