20.2 第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十章 勾股定理 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用 目 录 1. 学习目标 3. 知识点1 利用勾股定理及其逆定理解决边角面积问题 5. 课堂小结 6. 当堂小练 CONTENTS 7. 对接中考 8. 拓展与延伸 2. 知识回顾 4. 知识点2 利用勾股定理及其逆定理解决实际问题 能综合运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，发展应用意识. 学习目标 知识回顾 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. A C B a b c 勾股定理逆定理： 勾股定理： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形. 新课讲解 知识点1 利用勾股定理及其逆定理解决边角面积问题 1. 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6. 求BC 的长. 例 解：如图，延长AD到点M，使DM＝AD， 则AM＝ 2AD＝12. 连接CM，易得△ABD≌△MCD，∴ CM＝AB＝5. 在△ACM中，AM2＋CM2＝122＋52＝132＝AC2， ∴△ACM为直角三角形，且∠AMC＝90°. ∴在Rt△DCM中，CD＝＝＝. ∵ AD为BC边上的中线，∴ BC＝2CD＝2. 新课讲解 例 2. 如图，社区有一块面积为500 m2的正方形空地ACDE，空地的B处有一个凉亭，BC，AB为两条小路，现在△ABC内种植月季花，其余地方种植郁金香(小路的宽度不计)，测得AB＝10 m，BC＝20 m． (1)求正方形空地的边CD的长； (2)求∠ABC的度数； (3)求郁金香的种植面积． (2) ∵AB＝10 m，BC＝20 m， ∴AB2＝100，BC2＝400， ∵AC2＝CD2＝500， ∴AB2＋BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°. 新课讲解 练一练 1. 如图，学校在校园围墙边缘开垦了一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝8 m，AD＝17 m，且∠ABC＝90°，则这块菜地的面积是(　　) A．48 m2 B．114 m2 C．122 m2 D．158 m2 B 新课讲解 练一练 2. 在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是________． 新课讲解 练一练 90° 新课讲解 知识点2 利用勾股定理及其逆定理解决实际问题 例 3. 如图，港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口1.5h 后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile. 如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果能求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了. 1 2 N E P Q R 解：根据题意，PQ = 16 × 1.5 = 24， PR = 12 × 1.5 = 18，QR = 30. 因为 24² + 18² = 30²，即 PQ² + PR² = QR²， 所以 ∠QPR = 90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1 = 45°. 因此 ∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行. 新课讲解 例 4. 如图，南北方向的领海线PQ以东为我国领海区域，以西为公海．某日22 点30 分，我边防反偷渡巡逻号艇A发现其正西方向有一可疑船只C正向我国的 领海靠近，便立即通知正处于PQ上的巡逻艇B注意其动向.经观测，发现A艇与可疑船只C之间的距离为10 n mile，A，B两艇之间的距离为6 n mile，B艇与可疑船只C之间的距离为8 n mile．若该可疑船只的航行速度为12.8 n mile/h，则它最早在何时进入我国的领海区域？ 解：∵ AC＝10，AB＝6，BC＝8， ∴ AB2＋BC2＝36＋64＝100＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°. 由题可知PQ⊥AC， ∴ S△ABC＝AB·BC＝AC·BD， 即6×8＝10×BD，解得BD＝4.8． ∵ PQ⊥AC，BC＝8，BD＝4.8， ∴ CD＝6.4． ∵该可疑船只的速度为12.8 n mile/h， ∴从C到D所需的时间为＝0.5(h)＝30(min)． 因此，该可疑船只最早在23点进入我国领海区域. 新课讲解 练一练 1．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于A，B处，且相距20海里，已知甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船的航行方向是(　　) A．北偏东50° B．北偏东45° C．南偏东50° D．南偏东60° A 新课讲解 练一练 2. 如图，某港口C在南北方向的海岸线上，甲、乙两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向匀速航行，已知甲、乙两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道甲船沿北偏西50°方向航行，那么乙船航行的方向为(　　) A．南偏西40° B．北偏西40° C．南偏西50° D．北偏西50° A 课堂小结 勾股定理及其 逆定理的综合应用 应用 解决实际问题 认真审题，画出符合题意的图形，熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题. 结合勾股定理解决面积、线段长、角度等问题. 方法 当堂小练 1. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝AD＝6，BC＝8，CD＝10，则∠ABC的度数为(　　) A．105° B．120° C．135° D．150° D 当堂小练 不垂直 2. 一根电线杆高12 m，为了安全起见，在电线杆顶部及与电线杆底部水平距离5 m处之间加一根拉线．拉线工人发现所用线长为13．2 m(不计捆缚部分)，则电线杆与地面________(填“垂直”或“不垂直”)． 当堂小练 3．如图是3×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，顶点称为格点.线段AB，CD的端点均在格点上，且交于点O，则∠BOD的度数为(　　) A．30° B．45° C．50° D．60° 解：如图，取格点E，连接AE，BE，易知AE∥CD， ∴∠BAE＝∠BOD. 由勾股定理得 AB2＝12＋22＝5，EB2＝ 12＋22＝5，AE2＝12＋32＝10， ∴AB2＋BE2＝AE2，AB＝BE. ∴△ABE是等腰直角三角形． ∴∠BAE＝45°. ∴∠BOD＝45°. B 当堂小练 4. 某探险队的 A 组从驻地 O 点出发，以 12km/h 的速度前进，同时 B 组也从驻地 O 点出发，以 9km/h 的速度向另一方向前进. 2h 后同时停下来，如图所示，这时 A，B 两组相距 30km. 此时，A，B 两组行进的方向成直角吗？请说明理由. O B A 解：因为出发2小时，A组行了12×2=24（ km ）， B组行了9×2=18（km）. 又因为A，B两组相距30 km，且满足 所以A，B两组行进的方向成直角. 当堂小练 当堂小练 证明：(1) 连接BE，∵D是AB边的中点，DE⊥AB， ∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE. 又∵AE2－CE2＝BC2，∴BE2－CE2＝BC2， 即BE2＝BC2＋CE2，∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°. 6. 如图，在△ABC中，D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2－CE2＝BC2．　 (1)求证：∠C＝90°； (2)若DE＝6，BD＝8，求CE的长． 当堂小练 7. 如图，汉江是长江最大的支流，它流经美丽的荆门，汉江一侧有一村庄C，江边原有两个观景台A，B，其中AB＝AC，现建设美丽乡村，决定在汉江边新建一个观景台H(点A，H，B 在同一条直线上)，并新修一条路CH，测得BC＝6 km，CH＝4.8 km，BH＝3.6 km． (1)CH是不是从村庄C到江边的最短路线？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线AC的长． 解：(1) CH是从村庄C到江边的最短路线．理由如下： 在△CHB中，BC＝6 km，CH＝4.8 km，BH＝ 3.6 km， ∴CH2＋BH2＝4.82＋3.62＝36，BC2＝36.∴CH2＋BH2＝BC2. 因此CH⊥AB，即CH是从村庄C到河边的最短路线． (2) 设AC＝AB＝x km，则AH＝(x－3.6)km. 在Rt△ACH中，由勾股定理得AC2＝AH2＋CH2， ∴x2＝(x－3.6)2＋4.82，解得x＝5. 因此原来的路线AC的长为5 km. 当堂小练 8.“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级(1) 班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1) 求风筝的垂直高度CE； (2) 如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 15 25 1.6 ? 解：(1) 在Rt△CDB中，由勾股定理得， CD2=BC2-BD2=252-152=400， ∴ CD=20（负值舍去）， ∴ CE=CD+DE=20+1.6=21.6（米）， 答：风筝的高度CE为21.6米. (2) 如图，设点M是风筝下降后的位置， 连接BM. 由题意得，CM=12，∴DM=8， ∴BM=DM²+BD2==17（米）， ∴BC-BM=25-17=8（米）， ∴他应该往回收线8米． M 对接中考 A 对接中考 2. 如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝60°，点P为△ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转60°得到CD，连接AD．若PA＝10，PB＝6，PC＝8时，则∠BPC= 度． 解：连接DP，由旋转得∠DCP＝60°＝∠ACB，CD＝CP， ∴∠ACB－∠ACP＝∠DCP－∠ACP，即∠ACD＝∠BCP. 又∵AC＝BC，∴△ACD≌△BCP，∴∠BPC＝∠ADC， AD＝PB＝6. ∵∠DCP＝60°，CD＝CP， ∴△DCP是等边三角形，∴∠CDP＝60°，DP＝CP＝8. ∵AP＝10，∴AD2＋DP2＝AP2， ∴△ADP是直角三角形，且∠ADP＝90°， ∴∠ADC＝∠ADP＋∠CDP＝150°，∴∠BPC的度数为150°. 150 拓展与延伸 1. 某市夏季经常会出现台风天气，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为AC＝300 km，BC＝400 km，且AB＝500 km．根据实测数据，在台风中心半径260 km范围内的地区会受到台风影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持 续 8 h，求台风中心的移动速度． 拓展与延伸 2．随着中国科技、经济的不断发展，5G信号的覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，有一辆汽车沿直线AB方向，由点A向点B行驶，已知点C为某个5G信号源，且点C到点A和点B的距离分别为60 m和80 m，且AB＝100 m，信号源中心周围50 m及以内可以接收到5G信号． (1) 汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号吗？为什么？ 解：汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号．理由如下： 过点C作CD⊥AB于点D，如图． 拓展与延伸 2．随着中国科技、经济的不断发展，5G信号的覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，有一辆汽车沿直线AB方向，由点A向点B行驶，已知点C为某个5G信号源，且点C到点A和点B的距离分别为60 m和80 m，且AB＝100 m，信号源中心周围50 m及以内可以接收到5G信号． 解：设点E，F在直线AB上，且CE＝CF＝50 m，如图. (2)若汽车的速度为10 m/s，请问有多长时间可以接收到5G信号？ 解：(1) ∵正方形ACDE的面积为500 m2， ∴CD2＝500，∴CD＝10 m. (3) 由(2)知∠ABC＝90°， ∴△ABC为直角三角形， ∴S△ABC＝AB·BC＝×10×20＝100(m2)， ∴郁金香的种植面积为500－100＝400(m2)． 解：如图，连接AC. ∵∠ABC＝90°，AB＝9 m，BC＝12 m，∴AC＝＝＝15(m)． ∵CD＝8 m，AD＝17 m，∴AC2＋CD2＝152＋82＝289＝AD2. ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°. ∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积＋△ACD的面积 ＝AB·BC＋AC·CD＝×9×12＋×15×8＝54＋60＝114(m2)． ∴这块菜地的面积为114 m2. 3. 如图是一个零件的平面示意图，经测量，∠ACB＝90°，AB＝5 ，BC＝5，CD＝6，AD＝8，则∠D＝________． 5. 如图，在四边形ABDE中，C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝．求证：∠ACE＝90°． 证明：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2， ∴AC＝＝＝. 在Rt△EDC中，∠D＝90°，CD＝6，DE＝4， ∴CE＝＝＝2 . ∵AC2＝13，CE2＝52，AE2＝65， ∴AE2＝AC2＋CE2， ∴△ACE是直角三角形，AE是斜边， ∴∠ACE＝90°. (2) 在Rt△BDE中，BE＝＝10，∴AE＝10. 设CE＝x，则AC＝10＋x. ∵BD＝8，∴AB＝2BD＝16， 在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝162－(10＋x)2， 在Rt△BCE中，BC2＝EB2－EC2＝102－x2， ∴162－(10＋x)2＝102－x2，解得x＝2.8，∴CE＝2.8. 1. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，垂足分别为M，N，若BD＝，DE＝2，EC＝，则AC的长为(　　) A． B． C． D．3 解：(1) 海港C受台风影响．理由如下： 如图①，过点C作CD⊥AB于点D， ∵AC＝300 km，BC＝400 km，AB＝500 km， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴S△ABC＝AC·BC＝CD·AB，∴CD＝240 km. ∵240 km<260 km，∴海港C受台风影响． (2) 如图②，设台风从E点开始影响C港，到F点后停止影响C港． 由题意，得CE＝CF＝260 km. ∵CD＝240 km，CD⊥AB，∴ED＝FD＝＝100 km， ∴EF＝2ED＝200 km.又∵受台风影响持续8 h， ∴移动速度为＝25(km/h)． 答：台风中心的移动速度为25 km/h. ∵AC＝60 cm，BC＝80 m，AB＝100 m，602＋802＝1002， ∴AC2＋BC2＝AB2.∴∠ACB＝90°. ∵AC·BC＝AB·CD，∴CD＝＝＝48(m)． ∵48 m<50 m，∴汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号． 在Rt△CDE中，CD＝48 m，CE＝50 m， ∴DE＝＝＝14(m)， 易知DF＝DE，∴DF＝14 m. ∴EF＝DE＋DF＝14＋14＝28(m)．∴28÷10＝2.8(s)． 答：有2.8 s可以接收到5G信号． $