第七单元 用方程解决问题（知识清单）数学北师大版五年级下册

第七单元 用方程解决问题 知识清单 温馨提示：图片放大更清晰。 知识点01：解形如“ax±x=b”类型的方程解法： 解形如“ax±x=b”这样的方程时，要根据乘法分配律和等式的性质来解； 例如：ax±x=b 解：（a±1）x=b x=b÷（a±1） 知识点02：用形如““ax±x=b”类型的方程解决问题： 找出等量关系，列出方程，一般先设1倍量为x，另一个未知量用含有x的式子表示。 知识点03：相遇问题： 常用等量关系：甲行的路程+乙行的路程；甲、乙速度和×相遇时间=总路程。 题型1：解形如“ax±x=b”类型的方程解法： 【例1】看图列方程解答。 【答案】x＝26 【分析】根据线段图，可以表示出男生的人数为人，再根据等量关系男生人数＋女生人数＝总人数，即可列出方程，并得出答案。 【详解】 解： 女生有26人。 【例2】看图列方程，不计算。 【答案】x＋4x＝750 【分析】根据图形可知，上面1份是x千克，下面是上面的4倍，即4x千克，一共有750千克，列方程：x＋4x＝750，据此解答。 【详解】x＋4x＝750 解：5x＝750 x＝750÷5 x＝150 题型2：用形如““ax±x=b”类型的方程解决问题： 【例3】市场运来一批水果，其中苹果的质量是梨的3倍，运来苹果和梨的质量一共240千克，梨运来( )千克，苹果运来( )千克。 【答案】 60 180 【分析】苹果的质量是梨的3倍，将梨的质量设为x千克，苹果的质量为3x千克，根据数量关系式：梨的质量＋苹果的质量＝240，列出方程解方程得出梨的质量是60千克，再根据苹果的质量＝梨的质量×3。把数代入即可求解。 【详解】解：设梨的质量是x千克，苹果的质量是3x千克。 3x＋x＝240 4x＝240 x＝240÷4 x＝60 60×3＝180（千克） 则梨运来60千克，苹果运来180千克。 【例4】购买一套桌椅需要224元，一张桌子的价格是一把椅子的3倍。一把椅子多少元？ 【答案】56元 【分析】根据题意可知，椅子的价格×3＝桌子的价格，桌子的价格＋椅子的价格＝桌椅的价格，据此设椅子为x元，然后列方程为，再解出方程即可。 【详解】解：设一把椅子x元。 答：一把椅子56元。 【例5】根据下列题中的信息写出等量关系，再列方程解决问题。 这幅画的长、宽各是多少厘米？ 【答案】（长＋宽）×2＝木条的总长度；宽27厘米；长54厘米 【分析】由题意可知，画框用的木条长度等于长方形的周长，把长方形的宽设为未知数，用含有字母的式子表示出长方形的长，再根据长方形的周长公式写出等量关系，最后根据等量关系列方程求出这幅画的长和宽，据此解答。 【详解】等量关系：（长＋宽）×2＝木条的总长度 解：设这幅画的宽是x厘米，则长是2x厘米。 （2x＋x）×2＝162 3x×2＝162 6x＝162 6x÷6＝162÷6 x＝27 27×2＝54（厘米） 答：这幅画的宽是27厘米，长是54厘米。 【例6】港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，开通五年来经大桥往来粤港澳三地的人员总数达3600万人次，为三地居民工作、生活带来了便利。该桥全长55千米是湛江海湾大桥的14倍少0.734千米。湛江海湾大桥全长多少千米？ 【答案】3.981千米 【分析】由题可得等量关系式：湛江海湾大桥的全长×14－0.734千米＝55千米，设湛江海湾大桥全长为千米，根据等量关系式可得方程：，解出方程即可解答。 【详解】解：设湛江海湾大桥全长为千米。 答：湛江海湾大桥全长为3.981千米。 【例7】某停车场的停车位分为普通车位和充电桩车位。普通车位的数量是充电桩车位的4倍，普通车位比充电桩车位多102个，这个停车场的充电桩车位和普通车位各有多少个？（用方程解） 【答案】充电桩车位34个，普通车位136个 【分析】设这个停车场的充电桩车位有x个，普通车位的数量是充电桩车位的4倍，则普通车位有4x个。根据题意可得：普通车位－充电桩车位＝102个，据此列方程解答。 【详解】解：设这个停车场的充电桩车位有个，则普通车位有个。 普通车位：34×4＝136（个） 答：这个停车场的充电桩车位有34个，普通车位有136个。 题型3：相遇问题： 【例8】A，B两地相距375千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行。甲车每小时行驶78千米，乙车每小时行驶47千米。甲、乙两车几小时后相遇？ 等量关系式：（                                ）。 【答案】 见详解；甲、乙两车速度和×相遇时间＝A、B两地的距离；3小时 【分析】设甲、乙两车x小时后相遇，根据等量关系：“甲、乙两车速度和×相遇时间＝A、B两地的距离”列方程解答即可。 【详解】 等量关系式：甲、乙两车速度和×相遇时间＝A、B两地的距离 解：设甲、乙两车x小时后相遇。 （78＋47）x＝375 125x＝375 125x÷125＝375÷125 x＝3 答：甲、乙两车3小时后相遇。 【例9】小明和小军环牙子湖跑步，两人同时从一点同向出发，小明每分跑110米，小军每分跑80米。当小明回到起点时，小军还要跑876米才能回到起点位置。小明跑一圈用了多少分钟？ 【答案】29.2分钟 【分析】将小明跑一圈的时间设为未知数，那么小明跑一圈的路程是110x米。此时小军跑了80x米，比一圈即小明的路程少876米。根据“小明路程减去小军路程等于876米”列方程解方程即可。 【详解】解：设小明跑一圈用了x分钟。   110x－80x＝876   30x＝876 30x÷30＝876÷30 x＝29.2 答：小明跑一圈用了29.2分钟。 【点睛】本题考查了简易方程的应用，解题关键是找出数量关系列方程。 【例10】甲、乙两地相距540千米，一辆货车和一辆客车同时从两地相对开出，3小时后两车还相距135千米（未相遇）。已知客车每小时行驶72千米，货车每小时行驶多少千米？（用方程解答） 【答案】63千米 【分析】根据题意可知，设货车每时行千米，则货车速度×时间＋客车速度×时间＋135＝540，据此列出方程求解即可。 【详解】解：设货车每小时行驶x千米。 3×72＋3x＋135＝540 216＋3x＋135＝540 351＋3x＝540 3x＝540－351 3x＝189 x＝189÷3 x＝63 答：货车每小时行驶63千米。 一、填空题 1．甲、乙两列火车同时从相距750千米的两地相对而行，甲火车每时行驶120千米，乙火车每时行驶130千米，经过( )时两车相遇。 【答案】3 【分析】因为两车相向而行，所以总速度等于甲火车的速度加上乙火车的速度，再根据相遇时间×速度和＝路程和，设经过x小时后相遇，列方程为（120＋130）x＝750，然后解出方程即可。 【详解】解：设经过x小时后相遇。 （120＋130）x＝750 250x＝750 250x÷250＝750÷250 x＝3 所以两车需要经过3小时相遇。 【点睛】此题主要考查路程、速度、时间三者之间的关系，根据列方程解答即可。 2．A、B两地相距330千米，客车从A地开出，每小时行驶72千米，货车从B地开出，每小时行驶60千米。两车同时开出相向而行，( )时后相遇。 【答案】2.5 【分析】已知A、B两地相距330千米．一辆客车每小时行驶72千米，一辆货车每小时行60千米，根据相遇问题中：路程和＝速度和×相遇时间，设x小时后两车相遇，据此列方程为（72＋60）x＝330，然后解方程进行解答即可。 【详解】解：设x小时后两车相遇。 （72＋60）x＝330 132x＝330 132x÷132＝330÷132 x＝330÷132 x＝2.5 2.5小时后相遇。 【点睛】本题主要考查了相遇问题，可列方程解决问题。 3．妈妈比淘气大30岁，今年妈妈的年龄是淘气的3倍，淘气今年( )岁，妈妈今年( )岁。 【答案】 15 45 【分析】今年妈妈的年龄是淘气的3倍，假设淘气的年龄是x岁，妈妈的年龄是3x岁，列方程为3x－x＝30，然后解出方程即可，进而求出妈妈的年龄。 【详解】解：设淘气的年龄是x岁，妈妈的年龄是3x岁。 3x－x＝30 2x＝30 2x÷2＝30÷2 x＝15 15＋30＝45（岁） 淘气今年15岁，妈妈今年45岁。 【点睛】本题主要考查了年龄问题，找到相应的数量关系是解答本题的关键。 4．我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》一书中有这样一道题目：“今有良日行二百四十里，驾马日行一百五十里。弩马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：快马每天跑240里，慢马每天跑150里。慢马先跑12天，快马( )天可以追上慢马。 【答案】20 【分析】根据题意，可以设快马x天可以追上慢马；根据路程＝速度×时间；快马每天跑240里，x天可以跑240x里；慢马每天跑150里，12天跑150×12里，x天跑150x里；快马跑的路程＝慢马12天跑的路程＋x天跑的路程，列方程：240x＝150×12＋150x，解方程，即可解答。 【详解】解：设快马x天可以追上慢马。 240x＝150×12＋150x 240x－150x＝1800 90x＝1800 x＝1800÷90 x＝20 快马20天可以追上慢马。 5．李叔叔和王叔叔从相距1050米的两地同时出发，相向而行，经过7分相遇。李叔叔每分钟走70米，王叔叔的速度是每分( )米。 【答案】80 【分析】根据题意可知，李叔叔的速度×相遇时间＋王叔叔的速度×相遇时间＝路程和，据此设王叔叔的速度是每分钟x米，列方程为70×7＋7x＝1050，然后解出方程即可。 【详解】解：设王叔叔的速度是每分钟x米。 70×7＋7x＝1050 490＋7x＝1050 490＋7x－490＝1050－490 7x＝560 7x÷7＝560÷7 x＝80 王叔叔的速度是每分钟80米。 【点睛】本题是行程中的相遇问题，速度和×相遇时间＝总路程，掌握此数量关系是解决此类问题的关键。 6．学校有x个足球，篮球的个数是足球的5倍，篮球有( )个，足球恰好比篮球少64个，列方程为( )。 【答案】 5x 5x－x＝64 【分析】根据题意，学校有x个足球，篮球的个数是足球的5倍，则篮球可以用5乘x表示，足球恰好比篮球少64个，则用篮球数量－足球数量＝64即可。 【详解】学校有x个足球，篮球的个数是足球的5倍，则篮球为5×x＝5x个，足球恰好比篮球少64个，可列方程： 5x－x＝64 【点睛】本题主要考查了用字母表示数以及列方程解应用题，解题的关键是根据数量关系列方程解答。 7．10张乒乓球桌上一共有34个同学在比赛，其中单打的有( )张桌，双打的有( )张桌。 【答案】 3 7 【分析】单打有2个同学，双打有4个同学，设双打有x张桌，则单打有（10－x）张桌；双打有4x个同学，单打有2×（10－x）个同学，双打同学的人数＋单打同学的人数＝34人，列方程：4x＋2×（10－x）＝34，解方程，即可解答。 【详解】解：设双打有x张桌，则单打有（10－x）张桌。 4x＋2×（10－x）＝34 4x＋2×10－2x＝34 2x＋20＝34 2x＝34－20 2x＝14 x＝14÷2 x＝7 单打：10－7＝3（张） 10张乒乓球桌上一共有34个同学在比赛，其中单打的有3张桌，双打有7张桌。 8．《九章算术》是我国古代一部伟大的数学名著，其中描述了这样一道题：一个人用车装米，从甲地运往乙地，装米的车日行25千米，不装米的空车日行35千米，5日往返三次。两地相距( )千米。 【答案】/ 【分析】5日往返三次，则往返一次需要5÷3＝（日）。设往返一次装米的车行了x日，则不装米的车行驶了（－x）日。根据题意可得：往返一次装米的车的速度×所用时间＝不装米的车的速度×所用时间，据此可列出方程25x＝35×（－x）。解出方程求出往返一次装米的车所用的时间后，再根据速度×时间＝路程，用25乘所用的时间，即可求出两地相距的路程。 【详解】5÷3＝（日） 解：设往返一次装米的车行了x日。 25x＝35×（－x） 25x＝－35x 25x＋35x＝ 60x＝ 60x×＝× x＝ 25×＝（千米） 则两地相距千米。 【点睛】列方程解答本题比较简单。先求出往返一次所需的时间，再分别用含有字母的式子表示装米和不装米的车所行的路程，从而列方程求出所用时间是解题的关键。 9．兴仁放马坪高山草原景区，地貌奇特，具有“高原塞外”之称。放马坪景区风光旖旎，分为天然草场和天然林，天然草场面积比景区总面积的少100公顷，天然林面积是天然草场面积的。放马坪景区总面积( )公顷。 【答案】1900 【分析】根据一个数乘分数的意义，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。把马坪景区总面积为x公顷，所以，马坪景区总面积×－100公顷＝天然草场面积，天然林面积＝×天然草场面积，天然草场面积＋天然林面积＝景区总面积。根据等量关系，列出方程，再利用等式的基本性质解出未知数。 【详解】解：设放马坪景区总面积为x公顷。 x－100＋×（x－100）＝x （1＋）×（）＝x ×（－100）＝x ×（－100）×＝x× －100＝x x＝100 x＝100×19 x＝1900 放马坪景区总面积1900公顷。 【点睛】本题考查分数乘法的应用，解答此题的关键是找到数量间的等量关系。 10．甲、乙、丙三人的年龄之和是115岁，其中乙的年龄比甲的年龄的4倍大3岁，丙的年龄比乙的年龄的2倍小11岁，则丙的年龄是( )岁。 【答案】67 【分析】假设甲的年龄是x岁，根据题意可知，甲的年龄×4＋3岁＝乙的年龄，丙的年龄＝乙的年龄×2－11岁，所以乙的年龄是（4x＋3）岁，丙的年龄是[（4x＋3）×2－11]岁，然后根据甲的年龄＋乙的年龄＋丙的年龄＝115岁，列出方程，再求出x的值，最后求出丙的年龄。 【详解】解：设甲的年龄是x岁。 x＋4x＋3＋（4x＋3）×2－11＝115 x＋4x＋3＋8x＋6－11＝115 13x＋9－11＝115 13x＋9－11＋11＝115＋11 13x＋9＝126 13x＋9－9＝126－9 13x＝117 13x÷13＝117÷13 x＝9 （4×9＋3）×2－11 ＝（36＋3）×2－11 ＝39×2－11 ＝78－11 ＝67（岁） 丙的年龄是67岁。 【点睛】本题主要考查了年龄问题，可用列方程解决问题，找到相应的数量关系是解答本题的关键。 二、选择题 11．前年爸爸比小明大24岁，今年爸爸的年龄正好是小明的3倍，今年小明和爸爸各多少岁？（    ） A．小明13岁，爸爸39岁 B．小明12岁，爸爸36岁 C．小明11岁，爸爸33岁 D．小明10岁，爸爸34岁 【答案】B 【分析】设今年小明的年龄是x岁，爸爸的年龄正好是小明的3倍，那么爸爸的年龄就是3x岁，再用爸爸的年龄减去小明的年龄就是他们的年龄差24岁，即爸爸的年龄－小明的年龄＝24岁，由此列出方程求解。 【详解】解：设小明今年x岁，则爸爸的年龄是3x岁。 3x－x＝24 2x＝24 x＝12 3×12＝36（岁） 故答案为：B 【点睛】列方程是解答应用题的一种有效的方法，解题的关键是弄清题意，找出应用题中的等量关系。 12．一艘船以同样的速度往返于两地之间，它顺流需要6小时，逆流需要8小时。如果水流速度是每小时2千米，则两地间的距离是（     ）千米。 A．80 B．96 C．100 D．120 【答案】B 【分析】顺流速度＝船速＋2，逆流速度＝船速－2；速度×时间＝路程，由于轮船顺水航行和逆水航行的路程相同，得等量关系式（船速＋2）×6＝（船速－2）×8，据此列方程解答求出船速，进而求出两地间的距离。 【详解】解：设船在静水中的速度是每小时x千米。 （x＋2）×6＝（x－2）×8 6x＋12＝8x－16 6x＋12－12＝8x－16－12 6x＝8x－（16＋12） 6x＝8x－28 8x－28＋28＝6x＋28 8x＝6x＋28 8x－6x＝6x＋28－6x 2x＝28 2x÷2＝28÷2 x＝14 （14＋2）×6 ＝16×6 ＝96（千米） 两地之间的距离是96千米。 故答案为：B 【点睛】此题用方程解答比较好理解，关键是先求出船速，再根据速度×时间＝路程求出全程。 13．校园里种有杉树和樟树共126棵，杉树的数量比樟树的2倍少12棵，杉树有（    ）棵。 A．46 B．80 C．59 D．57 【答案】B 【分析】设樟树有x棵，则杉树的数量（2x－12），根据杉树＋樟树＝126，列方程求出樟树的棵数，进而求出杉树的棵数。 【详解】解：设樟树有x棵，则杉树的数量是（2x－12）棵，根据题意列方程： x＋2x－12＝126 3x－12＝126 3x－12＋12＝126＋12 3x＝138 3x÷3＝138÷3 x＝46 杉树有：126－46＝80（棵） 杉树有80棵。 故答案为：B 【点睛】本题考查列方程解决问题，关键是找准题中的数量关系：杉树＋樟树＝126。 14．甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分走60米，乙每分走90米，乙到达B地后立即返回。在离B地180米处与甲相遇。A、B两地相距（    ）米。 A．900 B．720 C．540 D．1080 【答案】A 【分析】乙到达B地后立即返回。在离B地180米处与甲相遇，也就是说两人相遇时，乙比甲多走180×2＝360米，此时两人应该是走了两个两地间距离，根据时间×速度差＝路程差，设两人x分钟后相遇，据此列方程为（90－60）x＝180×2，解方程求出相遇时需要的时间，再根据路程和＝速度和×时间，求出相遇时，两人走的路程和，最后除以2即可解答。 【详解】解：设两人x分钟后相遇。 （90－60）x＝180×2 30x＝180×2 30x÷30＝180×2÷30 x＝12 12×（90＋60）÷2 ＝12×150÷2 ＝1800÷2 ＝900（米） 故答案为：A 【点睛】解答本题的关键是求出相遇时需要的时间，以及明确两人相遇时，乙比甲多走180×2＝360米。 15．下面的问题，不能用方程2x＋x＝60解决的是（    ）。 A．一个长方形的周长是60厘米，长是宽的2倍，宽是多少厘米？ B．五（1）班共有学生60人，其中男生人数是女生的2倍，女生有多少人？ C．水果店运来一批苹果和梨，一共重60千克，苹果的质量是梨的2倍，梨有多少千克？ D．妙想每分钟能折1个千纸鹤，笑笑每分钟能折2个千纸鹤，她们合作完成60个千纸鹤，至少需要几分钟？ 【答案】A 【分析】（1）把长方形的宽设为未知数，长＝宽×2，等量关系式：（长＋宽）×2＝长方形的周长； （2）把女生的人数设为未知数，男生的人数＝女生的人数×2，等量关系式：男生人数＋女生人数＝班级总人数； （3）把梨的质量设为未知数，苹果的质量＝梨的质量×2，等量关系式：苹果的质量＋梨的质量＝这批水果的总质量； （4）把需要的时间设为未知数，等量关系式：笑笑的工作效率×笑笑的工作时间＋妙想的工作效率×妙想的工作时间＝工作总量。 【详解】A．解：设宽是x厘米，则长是2x厘米。 （2x＋x）×2＝60 3x×2＝60 6x＝60 x＝60÷6 x＝10 所以，宽是10厘米。 B．解：设女生有x人，则男生有2x人。 2x＋x＝60 3x＝60 x＝60÷3 x＝20 所以，女生有20人。 C．解：设梨有x千克，则苹果有2x千克。 2x＋x＝60 3x＝60 x＝60÷3 x＝20 所以，梨有20千克。 D．解：设至少需要x分钟。 2x＋x＝60 3x＝60 x＝60÷3 x＝20 所以，至少需要20分钟。 故答案为：A 【点睛】本题主要考查应用方程解决实际问题，分析题意找出等量关系式是解答题目的关键。 16．郑州市动物园位于郑州市金水区花园路北段，是河南省唯一一座专业性动物园。周末苗苗到动物园参观，发现一片园区里养有单峰骆驼和双峰骆驼，她数了数共有36个头，48个驼峰，那么这个园区内共有（    ）头双峰骆驼。 A．24 B．12 C．18 D．6 【答案】B 【分析】设这个园区内共有x头双峰骆驼，则单峰骆驼有（36－x）头，单峰骆驼数量×1＋双峰骆驼×2＝48，据此列出方程求出x的值即可。 【详解】解：设这个园区内共有x头双峰骆驼。 （36－x）×1＋2x＝48 36－x＋2x＝48 36＋x＝48 36＋x－36＝48－36 x＝12 这个园区内共有12头双峰骆驼。 故答案为：B 【点睛】本题考查鸡兔同笼问题，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 17．小雪和小红一共有120张北京冬奥会吉祥物卡片，小红比小雪多12张，小红有（    ）张北京冬奥会吉祥物卡片。 A．72 B．66 C．64 D．62 【答案】B 【分析】由于小红比小雪多12张，可以设小雪有x张，则小红有：（x＋12）张，小雪的张数＋小红的张数＝120，据此即可列方程，再根据等式的性质，解方程即可。 【详解】解：设小雪有x张，则小红有：（x＋12）张。 x＋x＋12＝120 2x＋12＝120 2x＝120－12 2x＝108 x＝108÷2 x＝54 54＋12＝66（张） 所以小红有66张。 故答案为：B 【点睛】此题属于含有两个未知数的题目，这类题用方程解答比较容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为x，另一个未知数用含x的式子表示，然后列方程解答。 18．1998年，甲的年龄是乙的年龄的4倍。2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍。问甲、乙二人2000年的年龄分别是（    ）岁。 A．34岁，12岁 B．32岁，8岁 C．36岁，12岁 D．34岁，10岁 【答案】D 【分析】可先假设1998年时，乙为x岁，则甲为4x岁。因为2002年与1998年相差2002－1998＝4（岁），所以，到2002年时，乙为（x＋4）岁，甲就是（4x＋4）岁。2002年甲的年龄是乙的年龄的3倍，可列方程4x＋4＝3（x＋4）。解出方程后，再依次求出2000年时，甲、乙二人的年龄。 【详解】2002－1998＝4（岁） 解：设1998年时，乙为x岁，则甲为4x岁。 4x＋4＝3（x＋4） 4x＋4＝3x＋12 4x＋4－4＝3x＋12－4 4x＝3x＋8 4x－3x＝3x＋8－3x x＝8 2000－1998＝2（岁） 4×8＋2 ＝32＋2 ＝34（岁） 8＋2＝10（岁） 2000年，甲34岁，乙10岁。 故答案为：D 【点睛】此题考查的是年龄问题，需要设出合理的未知数，并依题意列出方程。 19．甲杯中有毫升饮料，乙杯中的饮料是甲杯中的4倍。如果从乙杯中倒出30毫升饮料到甲杯，那么两杯中的饮料就同样多，下面方程中错误的是( )。 A． B． C． 【答案】A 【分析】甲杯中有a毫升饮料，乙杯中的饮料是甲杯中的4倍，乙杯中的饮料是4×a＝4a（毫升），从乙杯中倒出30毫升饮料到甲杯，那么两杯中的饮料就同样多，即乙杯减去30毫升等于甲杯加上30毫升，可列方程，或根据乙杯比甲杯多2倍的30毫升列方程，解答即可。 【详解】由分析可列方程： 或。 故答案为：A 【点睛】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为a，由此列方程解决问题。 20．一个五位数，左边三位数是右边两位数的5倍，如果把右边的两位数移动前面，则所得新的五位数要比原来的五位数的2倍还多75，则原来的五位数是（ ）。 A．12525 B．13527 C．17535 D．22545 【答案】A 【分析】可设右边两位数是x，则左边三位数是5x，原来的数是100×5x＋x。如果把右边的两位数移到前面，等于把右边的两位数乘1000，新的数是1000x＋5x。根据等量关系：如果把右边二位数移到前面，则新的五位数比原五位数的2倍多75，列出方程求解即可。 【详解】解：设右边两位数是x，则左边三位数是5x。 1000x＋5x＝2（500x十x）＋75 1005x＝1000x＋2x＋75 1005x＝1002x＋75 1005x－1002x＝1002x＋75－1002x 3x＝75 3x÷3＝75÷3 x ＝ 25 25×5 ＝ 125 故原来的五位数是12525。 故答案为：A 【点睛】考查了方程的应用，此题关键是掌握数的表示方法，把右边二位数移到前面，相当于把两位数扩大了1000倍。 三、计算题 21．看图列式或列方程计算。 【答案】52分 【分析】由线段图以及相遇问题的公式，可得出等量关系：速度和×相遇时间＝相遇路程，据此列出方程，并求解。 【详解】（5＋3）＝416 解：8＝416 8÷8＝416÷8 ＝52 经过52分后相遇。 22．列方程解答。 【答案】x＝67 【分析】根据等量关系：3 x － x ＝134，列方程解答即可。 【详解】3x－x＝134 解：2x＝134 x＝67 23．列方程解答。 【答案】x＝59 【分析】根据图片所示等量关系列方程x＋x＋x ＝177，计算即可。 【详解】x＋x＋x ＝177 解：3x＝177 x＝59 24．解方程。 x＋6＝18            2x＋5x＝14.7          2×（x＋0.8）＝15 x－0.85x＝3          3.6x－0.9x＝5.4        x－5＝3 【答案】x＝9；x＝2.1；x＝6.7      x＝20；x＝2；x＝18 【分析】x＋6＝18，根据等式的性质1，方程两边同时减去6，再根据等式的性质2，方程两边同时除以即可； 2x＋5x＝14.7，先化简方程左边含有x的算式，即求出2＋5的和，再根据等式的性质2，方程两边同时除以2＋5的和即可； 2×（x＋0.8）＝15，根据等式的性质2，方程两边同时除以2，再根据等式的性质1，方程两边同时减去0.8即可； x－0.85x＝3，先化简方程左边含有x的算式，即求出1－0.85的差，再根据等式的性质2，方程两边同时除以1－0.85的差即可； 3.6x－0.9x＝5.4，先化简方程左边含有x的算式，即求出3.6－0.9的差，再根据等式的性质2，方程两边同时除以3.6－0.9的差即可； x－5＝3，根据等式的性质1，方程两边同时加上5，再根据等式的性质2，方程两边同时除以即可。 【详解】x＋6＝18 解：x＝18－6 x＝12 x＝12÷ x＝12× x＝9 2x＋5x＝14.7 解：7x＝14.7 x＝14.7÷7 x＝2.1 2×（x＋0.8）＝15 解：x＋0.8＝15÷2 x＋0.8＝7.5 x＝7.5－0.8 x＝6.7 x－0.85x＝3 解：0.15x＝3 x＝3÷0.15 x＝20 3.6x－0.9x＝5.4 解：2.7x＝5.4 x＝5.4÷2.7 x＝2 x－5＝3 解：x＝3＋5 x＝8 x＝8÷ x＝8× x＝18 25．看图列方程并解答。 【答案】蝴蝶有70只；蜻蜓有230只 【分析】由图可知，蝴蝶有x只，蜻蜓的只数比蝴蝶的3倍多20只，则蜻蜓有（3x＋20）只，根据等量关系：“蜻蜓的只数＋蝴蝶的只数＝300只”列方程为3x＋20＋x＝300，先把方程左边化简为4x＋20，两边再同时减去20，最后两边再同时除以4求出蝴蝶的只数，再用300减去蝴蝶的只数就是蜻蜓的只数。 【详解】3x＋20＋x＝300 解：4x＋20＝300 4x＋20－20＝300－20 4x＝280 4x÷4＝280÷4 x＝70 300－70＝230（只） 四、解答题 26．把一根长90米的绳子分成三段，使第一段比第二段长2米，第二段比第三段长5米。三段绳子各长多少米？ 【答案】第三段：26米；第二段：31米；第一段：33米 【分析】可以设第三段长为x米，第二段比第三段长5米，则第二段长是（x＋5）米；第一段比第二段长2米，则第二段的长度＋2即可求出第一段长，第一段长：（x＋5＋2）米，把三段相加就是这根绳子的长度90米，据此即可列方程，再根据等式的性质解方程即可。 【详解】解：设第三段长x米，则第二段长是（x＋5）米，第一段长是（x＋5＋2）米。 x＋（x＋5）＋（x＋5＋2）＝90 x＋x＋5＋x＋7＝90 3x＋12＝90 3x＋12－12＝90－12 3x＝78 3x÷3＝78÷3 x＝26 26＋5＝31（米） 31＋2＝33（米） 答：第三段绳子长26米，第二段绳子长31米，第一段绳子长33米。 27．有6000袋水泥需要运到水泥搅拌站。（列方程计算） （1）甲车和乙车平均每次分别运多少袋水泥？ （2）如果安排甲、乙两车一起运，几次可以把这些水泥运完？ 【答案】（1）甲车：600袋；乙车：400袋 （2）6次 【分析】（1）用水泥的总袋数除以甲车运的次数，求出甲车每次运水泥的袋数；用水泥的总袋数除以乙车运的次数，求出乙车每次运水泥的袋数； （2）设x次可以把这项水泥运完，运水泥的次数乘甲车与乙车每次运的袋数和等于这些水泥的总袋数，即运的次数×（甲车每次运的袋数＋乙车每次运的袋数）＝水泥的总袋数；列方程，解方程，即可解答。 【详解】（1）6000÷10＝600（袋） 6000÷15＝400（袋） 答：甲车平均每次运600袋水泥，乙车平均每次运400袋水泥。 （2）解：设x次可以把这些水泥运完。 x×（600＋400）＝6000 1000x＝6000 x＝6000÷1000 x＝6 答：6次可以把这些水泥运完。 【点睛】本题考查方程的实际应用，根据甲车乙车每次运的袋数、总袋数和运的次数的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 28．我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》一书中有这样一道题目：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”译文：“快马每天走240里，慢马每天走150里。慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？” 【答案】20天 【分析】根据题意可得出等量关系：（快马的速度－慢马的速度）×快马行走的天数＝慢马先行的路程，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设快马天可以追上慢马。 （240－150）＝150×12 90＝1800 ＝1800÷90 ＝20 答：快马20天可以追上慢马。 29．甲、乙两地相距300千米。李叔叔和王叔叔开车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行。李叔叔的车每小时行80千米，2小时后，两车还相距6千米。王叔叔的车每小时行多少千米？ 【答案】67千米 【分析】根据题意可得出等量关系：（李叔叔车的速度＋王叔叔车的速度）×行驶的时间＋两车还相距的距离＝甲、乙两地的距离，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设王叔叔的车每小时行千米。 （80＋）×2＋6＝300 （80＋）×2＋6－6＝300－6 （80＋）×2＝294 （80＋）×2÷2＝294÷2 80＋＝147 80＋－80＝147－80 ＝67 答：王叔叔的车每小时行67千米。 30．张叔叔要给王阿姨送一份材料，他们约定两人同时开车出发。公园距天桥50千米。 （1）估计两人在哪个地方相遇？在图上标出来，再与同伴说一说你的想法。 （2）出发后几时相遇？相遇地点距公园有多远？列方程解决问题。 【答案】（1）李村；见详解； （2）0.5时；20千米 【分析】（1）王阿姨的速度是40千米/小时，张叔叔的速度是60千米/小时，张叔叔的速度比王阿姨的速度快一些，相遇地点应该在总路程的一半靠左一点的位置。 （2）把相遇时间设为未知数，由“速度和×相遇时间＝总路程”可知，（王阿姨的速度＋张叔叔的速度）×相遇时间＝公园与天桥之间的距离，相遇地点与公园的距离＝王阿姨的速度×相遇时间，据此解答。 【详解】（1）估计两人在李村相遇，由两人的速度可知，两人的相遇地点在总路程的一半靠左一点的地方，这个地方就是图中的李村。 （2）解：设出发后x时相遇。 （40＋60）x＝50 100x＝50 100x÷100＝50÷100 x＝0.5 40×0.5＝20（千米） 答：出发后0.5时相遇，相遇地点距公园20千米。 31．现如今，可以说“一机在手，天下遍走”，手机可以帮助我们解决很多问题。比如：肚子饿了可以叫外卖，有人直接把美食送到家；手机导航还可以带你游遍全中国不会迷路……。小丽家和小红家相距1560米。周末小丽和小红相约出去玩。两人约定在家发个位置共享，然后同时从家出发以最短时间去找对方。小丽步行每分钟走70米，小红步行每分钟走60米。两人多少分钟可以相遇？（用方程解） 【答案】12分钟 【分析】将两人相遇的时间设为x，先根据路程＝速度×时间分别得出小丽和小红走的距离，再根据“小丽走的距离＋小红走的距离＝两家之间的距离”这一等量关系列方程解方程即可。 【详解】解：设两人x分钟可以相遇。 70x＋60x＝1560 130x＝1560 x＝1560÷130 x＝12 答：两人12分钟可以相遇。 32．甲乙两地相距552千米，一辆货车从甲地开往乙地，1.2小时后，一辆客车从乙地往甲地开出，货车每小时行85千米，客车每小时行95千米，客车行驶几小时后才能与货车相遇？ 【答案】2.5小时 【分析】根据“速度×时间＝路程”可得出等量关系：货车的速度×先行驶的时间＋（货车的速度＋客车的速度）×客车行驶的时间＝甲乙两地的全程，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设客车行驶小时后才能与货车相遇。 85×1.2＋（85＋95）＝552 102＋180＝552 102＋180－102＝552－102 180＝450 180÷180＝450÷180 ＝2.5 答：客车行驶2.5小时后才能与货车相遇。 33．明明家和学校相距2300米，每天步行上学，有一天他正以每分钟80米的速度前进着，一抬头看见路边的钟表发现要迟到，他马上改用每分钟150米的速度跑步前进，途中共用20分钟，准时到达了学校。明明在离学校多远的地方开始跑步？ 【答案】1500米 【分析】设明明以每分钟80米的速度行了x分钟，则以每分钟150米的速度行了（20－x）分钟。根据每分钟80米的速度所行的路程每分钟150米的速度所行的路程明明家到学校的路程，列方程解答。 【详解】解：设明明以每分钟80米的速度行了x分钟。 7x＝3000－2300 70x÷70＝700÷70 （米 答：明明在离学校1500米远的地方开始跑步。 34．盐城到北京的铁路长约1166千米。一列动车从盐城开往北京，一列普通列车从北京开往盐城，它们同时出发，5.5小时后两车相遇。已知动车每小时行118千米，普通列车每小时行多少千米？（列方程解答） 【答案】94千米 【分析】根据题意可知，动车的速度×相遇时间＋普通列车的速度×相遇时间＝总路程，据此设普通列车每小时行x千米，列方程为：118×5.5＋5.5x＝1166，然后解出方程即可。 【详解】解：设普通列车每小时行x千米。 118×5.5＋5.5x＝1166 649＋5.5x＝1166 649＋5.5x－649＝1166－649 5.5x＝517 5.5x÷5.5＝517÷5.5 x＝94 答：普通列车每小时行94千米。 35．下面是一张撕掉一角的发票，你能算出每把椅子的单价吗？ 【答案】30元 【分析】设每把椅子为x元，根据等量关系，椅子的钱数＋桌子的钱数＝总钱数，列方程解答即可。 【详解】解：设每把椅子为x元。 5x＋80＝230 5x－80＝230－80 5x＝150 5x÷5＝150÷5 x＝30（元） 答：每把椅子的单价是30元。 36．北京到郑州的铁路线长690千米，一列火车从北京出发，每小时行110千米；另一列火车从郑州开出，每小时行120千米。两列火车同时出发，几小时后相遇？ 【答案】3小时 【分析】根据路程＝速度×时间；设两列火车同时出发，x小时后相遇；一列火车从北京出发，每小时行110千米，x小时行驶110x千米；另一列火车从郑州开出，每小时行120千米，x小时行驶120x千米，两车行驶的路程相加，等于北京到郑州的距离，列方程：110x＋120x＝690，解方程，即可解答。 【详解】解：设两列火车同时出发，x小时后相遇。 110x＋120x＝690 230x＝690 x＝690÷230 x＝3 答：两列火车同时出发，3小时后相遇。 37．杭州到绍兴的路程是63千米，有甲、乙、丙三人，甲、乙从杭州，丙从绍兴同时出发，相向而行，甲、乙、丙三人每小时的速度分别为6.5千米，5.5千米，4.5千米。求出发后经过几小时，丙在甲、乙的中间。 【答案】6小时 【分析】设出发经过x小时，丙在甲、乙之间；甲x小时行6.5x千米，乙x小时行5.5x千米，丙x小时行4.5x千米；丙在甲、乙中间，用杭州到绍兴的路程减去乙和丙行驶的路程和，等于甲比乙多行驶的路程的一半，列方程：63－（5.5x＋4.5x）＝（6.5x－5.5x）÷2，列方程，即可解答。 【详解】解：设出发后经过x小时，丙在甲、乙的中间。 63－（5.5x＋4.5x）＝（6.5x－5.5x）÷2 63－10x＝x÷2 63－10x＝0.5x 10x＋0.5x＝63 10.5x＝63 x＝63÷10.5 x＝6 答：出发后经过6小时，丙在甲、乙的中间。 【点睛】本题考查方程的实际的应用，根据三人的速度各不相同，以及行驶的路程，利用三人行驶的路程之间的关系，设出未知数，找出相关的量。列方程，解方程。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 用方程解决问题 知识清单 温馨提示：图片放大更清晰。 知识点01：解形如“ax±x=b”类型的方程解法： 解形如“ax±x=b”这样的方程时，要根据乘法分配律和等式的性质来解； 例如：ax±x=b 解：（a±1）x=b x=b÷（a±1） 知识点02：用形如““ax±x=b”类型的方程解决问题： 找出等量关系，列出方程，一般先设1倍量为x，另一个未知量用含有x的式子表示。 知识点03：相遇问题： 常用等量关系：甲行的路程+乙行的路程；甲、乙速度和×相遇时间=总路程。 题型1：解形如“ax±x=b”类型的方程解法： 【例1】看图列方程解答。 【例2】看图列方程，不计算。 题型2：用形如““ax±x=b”类型的方程解决问题： 【例3】市场运来一批水果，其中苹果的质量是梨的3倍，运来苹果和梨的质量一共240千克，梨运来( )千克，苹果运来( )千克。 【例4】购买一套桌椅需要224元，一张桌子的价格是一把椅子的3倍。一把椅子多少元？ 【例5】根据下列题中的信息写出等量关系，再列方程解决问题。 这幅画的长、宽各是多少厘米？ 【例6】港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，开通五年来经大桥往来粤港澳三地的人员总数达3600万人次，为三地居民工作、生活带来了便利。该桥全长55千米是湛江海湾大桥的14倍少0.734千米。湛江海湾大桥全长多少千米？ 【例7】某停车场的停车位分为普通车位和充电桩车位。普通车位的数量是充电桩车位的4倍，普通车位比充电桩车位多102个，这个停车场的充电桩车位和普通车位各有多少个？（用方程解） 题型3：相遇问题： 【例8】A，B两地相距375千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行。甲车每小时行驶78千米，乙车每小时行驶47千米。甲、乙两车几小时后相遇？ 等量关系式：（                                ）。 【例9】小明和小军环牙子湖跑步，两人同时从一点同向出发，小明每分跑110米，小军每分跑80米。当小明回到起点时，小军还要跑876米才能回到起点位置。小明跑一圈用了多少分钟？ 【例10】甲、乙两地相距540千米，一辆货车和一辆客车同时从两地相对开出，3小时后两车还相距135千米（未相遇）。已知客车每小时行驶72千米，货车每小时行驶多少千米？（用方程解答） 一、填空题 1．甲、乙两列火车同时从相距750千米的两地相对而行，甲火车每时行驶120千米，乙火车每时行驶130千米，经过( )时两车相遇。 2．A、B两地相距330千米，客车从A地开出，每小时行驶72千米，货车从B地开出，每小时行驶60千米。两车同时开出相向而行，( )时后相遇。 3．妈妈比淘气大30岁，今年妈妈的年龄是淘气的3倍，淘气今年( )岁，妈妈今年( )岁。 4．我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》一书中有这样一道题目：“今有良日行二百四十里，驾马日行一百五十里。弩马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：快马每天跑240里，慢马每天跑150里。慢马先跑12天，快马( )天可以追上慢马。 5．李叔叔和王叔叔从相距1050米的两地同时出发，相向而行，经过7分相遇。李叔叔每分钟走70米，王叔叔的速度是每分( )米。 6．学校有x个足球，篮球的个数是足球的5倍，篮球有( )个，足球恰好比篮球少64个，列方程为( )。 7．10张乒乓球桌上一共有34个同学在比赛，其中单打的有( )张桌，双打的有( )张桌。 8．《九章算术》是我国古代一部伟大的数学名著，其中描述了这样一道题：一个人用车装米，从甲地运往乙地，装米的车日行25千米，不装米的空车日行35千米，5日往返三次。两地相距( )千米。 9．兴仁放马坪高山草原景区，地貌奇特，具有“高原塞外”之称。放马坪景区风光旖旎，分为天然草场和天然林，天然草场面积比景区总面积的少100公顷，天然林面积是天然草场面积的。放马坪景区总面积( )公顷。 10．甲、乙、丙三人的年龄之和是115岁，其中乙的年龄比甲的年龄的4倍大3岁，丙的年龄比乙的年龄的2倍小11岁，则丙的年龄是( )岁。 二、选择题 11．前年爸爸比小明大24岁，今年爸爸的年龄正好是小明的3倍，今年小明和爸爸各多少岁？（    ） A．小明13岁，爸爸39岁 B．小明12岁，爸爸36岁 C．小明11岁，爸爸33岁 D．小明10岁，爸爸34岁 12．一艘船以同样的速度往返于两地之间，它顺流需要6小时，逆流需要8小时。如果水流速度是每小时2千米，则两地间的距离是（     ）千米。 A．80 B．96 C．100 D．120 13．校园里种有杉树和樟树共126棵，杉树的数量比樟树的2倍少12棵，杉树有（    ）棵。 A．46 B．80 C．59 D．57 14．甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分走60米，乙每分走90米，乙到达B地后立即返回。在离B地180米处与甲相遇。A、B两地相距（    ）米。 A．900 B．720 C．540 D．1080 15．下面的问题，不能用方程2x＋x＝60解决的是（    ）。 A．一个长方形的周长是60厘米，长是宽的2倍，宽是多少厘米？ B．五（1）班共有学生60人，其中男生人数是女生的2倍，女生有多少人？ C．水果店运来一批苹果和梨，一共重60千克，苹果的质量是梨的2倍，梨有多少千克？ D．妙想每分钟能折1个千纸鹤，笑笑每分钟能折2个千纸鹤，她们合作完成60个千纸鹤，至少需要几分钟？ 16．郑州市动物园位于郑州市金水区花园路北段，是河南省唯一一座专业性动物园。周末苗苗到动物园参观，发现一片园区里养有单峰骆驼和双峰骆驼，她数了数共有36个头，48个驼峰，那么这个园区内共有（    ）头双峰骆驼。 A．24 B．12 C．18 D．6 17．小雪和小红一共有120张北京冬奥会吉祥物卡片，小红比小雪多12张，小红有（    ）张北京冬奥会吉祥物卡片。 A．72 B．66 C．64 D．62 18．1998年，甲的年龄是乙的年龄的4倍。2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍。问甲、乙二人2000年的年龄分别是（    ）岁。 A．34岁，12岁 B．32岁，8岁 C．36岁，12岁 D．34岁，10岁 19．甲杯中有毫升饮料，乙杯中的饮料是甲杯中的4倍。如果从乙杯中倒出30毫升饮料到甲杯，那么两杯中的饮料就同样多，下面方程中错误的是( )。 A． B． C． 20．一个五位数，左边三位数是右边两位数的5倍，如果把右边的两位数移动前面，则所得新的五位数要比原来的五位数的2倍还多75，则原来的五位数是（ ）。 A．12525 B．13527 C．17535 D．22545 三、计算题 21．看图列式或列方程计算。 22．列方程解答。 23．列方程解答。 24．解方程。 x＋6＝18            2x＋5x＝14.7          2×（x＋0.8）＝15 x－0.85x＝3          3.6x－0.9x＝5.4        x－5＝3 25．看图列方程并解答。 四、解答题 26．把一根长90米的绳子分成三段，使第一段比第二段长2米，第二段比第三段长5米。三段绳子各长多少米？ 27．有6000袋水泥需要运到水泥搅拌站。（列方程计算） （1）甲车和乙车平均每次分别运多少袋水泥？ （2）如果安排甲、乙两车一起运，几次可以把这些水泥运完？ 28．我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》一书中有这样一道题目：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”译文：“快马每天走240里，慢马每天走150里。慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？” 29．甲、乙两地相距300千米。李叔叔和王叔叔开车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行。李叔叔的车每小时行80千米，2小时后，两车还相距6千米。王叔叔的车每小时行多少千米？ 30．张叔叔要给王阿姨送一份材料，他们约定两人同时开车出发。公园距天桥50千米。 （1）估计两人在哪个地方相遇？在图上标出来，再与同伴说一说你的想法。 （2）出发后几时相遇？相遇地点距公园有多远？列方程解决问题。 31．现如今，可以说“一机在手，天下遍走”，手机可以帮助我们解决很多问题。比如：肚子饿了可以叫外卖，有人直接把美食送到家；手机导航还可以带你游遍全中国不会迷路……。小丽家和小红家相距1560米。周末小丽和小红相约出去玩。两人约定在家发个位置共享，然后同时从家出发以最短时间去找对方。小丽步行每分钟走70米，小红步行每分钟走60米。两人多少分钟可以相遇？（用方程解） 32．甲乙两地相距552千米，一辆货车从甲地开往乙地，1.2小时后，一辆客车从乙地往甲地开出，货车每小时行85千米，客车每小时行95千米，客车行驶几小时后才能与货车相遇？ 33．明明家和学校相距2300米，每天步行上学，有一天他正以每分钟80米的速度前进着，一抬头看见路边的钟表发现要迟到，他马上改用每分钟150米的速度跑步前进，途中共用20分钟，准时到达了学校。明明在离学校多远的地方开始跑步？ 34．盐城到北京的铁路长约1166千米。一列动车从盐城开往北京，一列普通列车从北京开往盐城，它们同时出发，5.5小时后两车相遇。已知动车每小时行118千米，普通列车每小时行多少千米？（列方程解答） 35．下面是一张撕掉一角的发票，你能算出每把椅子的单价吗？ 36．北京到郑州的铁路线长690千米，一列火车从北京出发，每小时行110千米；另一列火车从郑州开出，每小时行120千米。两列火车同时出发，几小时后相遇？ 37．杭州到绍兴的路程是63千米，有甲、乙、丙三人，甲、乙从杭州，丙从绍兴同时出发，相向而行，甲、乙、丙三人每小时的速度分别为6.5千米，5.5千米，4.5千米。求出发后经过几小时，丙在甲、乙的中间。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $