第七单元 用方程解决问题 知识归纳与题型突破（知识清单）-2024-2025学年五年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第七章 用方程解决问题 知识归纳与题型突破 01 思维导图 02 知识速记 一、“ax±x=b”类型方程的解法 解形如“ax士x=b”这样的方程时，要根据乘法分配律和等式的性质来解。 ax±x=b 解：(a±1) x=b x=b÷ (a±1) 二、运用方程解决相遇问题 在解决相遇问题时，画线段图找等量关系，可根据“甲行的路程＋乙行的路程=总路程”或“甲、乙速度和×相遇时间=总路程”列出方程解答。 03 题型归纳 题型一　列方程解应用题（两步需要逆思考） 例1．（2024秋•顺义区期末）某小区改造电路，装完4个住户后还剩120米。 ①每个住户需要使用多少米电线？（列方程解答） ②一个单元有12个住户，共使用多少千米电线？ 【分析】①设每个住户需要使用x米电线，根据等量关系：每个住户需要使用电线的米数×4+剩下的米数＝总米数，列方程解答即可。 ②用每个住户需要使用电线的米数乘12，即可得共使用电线的米数，再换算单位即可。 【解答】解：①设每个住户需要使用x米电线。 1千米＝1000米 4x+120＝1000 4x＝880 x＝220 答：每个住户需要使用220米电线。 ②220×12＝2640（米） 2640米＝2.64千米 答：共使用2.64千米电线。 【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。 巩固训练 1．（2024秋•南开区期末）列方程解答。 去年在杭州举行的第19届亚运会的主会场“大莲花”体育场总建筑面积约为22.9公顷，比杭州奥体中心游泳馆的4倍还多1.3公顷。奥体中心游泳馆的总建筑面积约是多少公顷？ 【分析】设奥体中心游泳馆的总建筑面积约是x公顷，根据等量关系：奥体中心游泳馆的总建筑面积×4+1.3公顷＝“大莲花”体育场总建筑面积，列方程解答即可。 【解答】解：设奥体中心游泳馆的总建筑面积约是x公顷。 4x+1.3＝22.9 4x＝21.6 x＝5.4 答：奥体中心游泳馆的总建筑面积约是5.4公顷。 【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。 2．（2023秋•北仑区期末）学校图书馆有故事书360本，比科技书多，科技书有多少本？（写出数量关系，画出线段图，再用方程解答） ①数量关系：　 　 ②线段图： ③列方程解答： 【分析】根据题意可知：科技书本数×（1+）＝故事书本数，先画线段图，再列式解答即可。 【解答】解：①数量关系：科技书本数×（1+）＝故事书本数 ②线段图： ③列方程解答：设科技书有x本。 （1+）x＝360 x＝360 x×＝360× x＝240 答：科技书有240本。 【点评】观察题干，分析数量关系，设出未知数列方程解答即可。 3．（2024秋•潍城区期末）你听说过“冰山一角”这个成语吗？海里的冰山露在水面上的只是一个小部分，大部分隐藏在水面下，如果一座冰山露在水面上的体积是132立方米，这一角只占整座冰山的，那么整座冰山的体积大约是多少立方米？ （1）画线段图整理数学信息和问题。 （2）写出数量关系式。 列方程解答： 【分析】（1）把整座冰山的体积看作单位“1”，平均分成了11份，露在水面上的体积占1份，是132立方米，要求的问题是整座冰山的体积大约是多少立方米？由此画出线段图。 （2）露在水面上的体积是132立方米，这一角只占整座冰山的，根据分数乘法的意义，数量关系是整座冰山的体积×＝冰山露在水面上的体积。由此列出方程并解答。 【解答】解：（1） （2）数量关系式：整座冰山的体积×＝冰山露在水面上的体积。 解：设整座冰山的体积大约是x立方米。 x＝132 x＝1452（立方米） 答：整座冰山的体积大约是1452立方米。 【点评】本题考查了分数乘法的意义及列方程解应用题。 题型二　列方程解三步应用题(相遇问题) 例2．（2024春•交城县期末）如图，甲、乙两艘船分别从A、B两港口同时出发，相向而行。两艘船多少小时后相遇？ （1）估计两艘船在哪个地方相遇？在图上用“▲”标出来。 （2）等量关系：　 　 （3）列方程解答：　 　 【分析】（1）根据题意可知，乙船速度较快，所以相遇点距离A点较近； （2）根据题意：甲船行驶的路程+乙船行驶的路程＝总路程； （3）根据（2）的等量关系，列方程求解即可。 【解答】解：（1）如图： （2）等量关系：甲行驶的路程+乙行驶的路程＝总路程 （3）设两艘轮船x小时后两人相遇。 62x+75x＝548 137x＝548 x＝4 答：两艘船4小时后相遇。 故答案为：甲行驶的路程+乙行驶的路程＝总路程； 设两艘轮船x小时后两人相遇。 62x+75x＝548 137x＝548 x＝4 答：两艘船4小时后相遇。 【点评】本题主要考查列方程解应用题，关键根据题意找对数量关系，利用数量关系做题。 巩固训练 1．（2024秋•南开区期末）列方程解答。 甲、乙两船同时从A、B两地相对开出，甲船速度是乙船速度的2.2倍，1.5小时后在距中点18千米处相遇，两船相遇时乙船行驶了多少千米？ 【分析】1.5小时后在距中点18千米处相遇，即相遇时快船比慢船多行驶（18×2）千米，设乙船速度为x千米/时，则甲船的速度为2.2x千米/时。根据“路程＝时间×速度”可得相遇时甲船行驶路程为（2.2x×1.5）千米，乙船行驶路程为1.5x千米，所以2.2x×1.5﹣1.5x＝2×18，解方程即可求出乙船的速度，进而求出乙船行驶的路程。 【解答】解：设乙船速度为x千米/时，则甲船的速度为2.2x千米/时。 2.2x×1.5﹣1.5x＝2×18 3.3x﹣1.5x＝36 1.8x＝36 1.8x÷1.8＝36÷1.8 x＝20 1.5x＝1.5×20＝30 答：两船相遇时乙船行驶了30千米。 【点评】此题主要考查相遇问题中的基本数量关系：甲船所行的路程﹣乙船所行的路程＝甲船比乙船多行驶路程；再由关系式列方程解决问题。 2．（2024春•新都区期末）奇思每分钟跑240米，妙想每分钟跑360米。他们相约进行环湖绿道锻炼（如图），已知环湖绿道一周的长度是7200米。 ①如果两人同地同时反方向跑步，估一估两人在何处相遇，在如图中用“▲”符号标出来；再算一算，经过几分相遇？（列方程解答） ②如果两人要在中点相遇，奇思要比妙想提前几分出发才行？ 【分析】①依据题意结合图示可知，奇思的速度小于妙想的速度，两人相遇的地点靠近奇思，可设经过x分钟相遇，利用相遇时间×速度和＝环湖绿道一周的长度列方程计算即可。 ②根据题意，计算二人到达中点所需时间差即可。 【解答】解：①如图： 设经过x分钟相遇，由题意得： （240+360）x＝7200 600x＝7200 x＝12 答：经过12分相遇。 ②7200÷2＝3600（米） 3600÷240﹣3600÷360 ＝15﹣10 ＝5（分钟） 答：奇思要提前5分出发。 【点评】本题考查的是相遇问题的应用。 3．（2024春•郸城县期中）每年春节期间，某市科技馆都会举行少儿科技活动。聪聪和兰兰约定在初一下午2：00同时从家里出发，骑自行车去科技馆参加“月球文旅”活动。他们两家相距9km，两人相向而行，聪聪平均每分骑行250m，兰兰平均每分骑行200m。他们俩何时相遇？ （1）通过阅读题干，我得出这些数学信息：　 　。 （2）请用线段图表示题干中的数量关系。 （3）列方程解答问题。 【分析】（1）得到的数学信息：聪聪和兰兰两人骑行的速度、聪聪和兰兰两家的距离、同时出发的时间。 （2）根据题意画图即可。 （3）首先设他们俩x分后相遇，根据题意得出等量关系式：聪聪x分骑行的路程+兰兰x分骑行的路程＝他们两家相距的距离，9千米＝9000米，据此列出方程：250x+200x＝9000，再解方程即可求出经过多长时间相遇，进而得出相遇时间。 【解答】解：（1）通过阅读题干，我得出这些数学信息：聪聪的骑行速度是250米/分、兰兰的骑行速度是200米/分、聪聪和兰兰两家的距离是9千米、同时出发的时间是下午2：00时。 （2） （3）设他们俩x分后相遇。 9千米＝9000米 250x+200x＝9000 450x＝9000 x＝20 2时+20分＝2时20分 答：他们俩下午2时20分相遇。 故答案为：聪聪的骑行速度是250米/分、兰兰的骑行速度是200米/分、聪聪和兰兰两家的距离是9千米、同时出发的时间是下午2：00时。 【点评】此题考查列方程解答实际问题。解答的关键是根据题意找出等量关系，再根据等量关系列方程。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 用方程解决问题 知识归纳与题型突破 01 思维导图 02 知识速记 一、“ax±x=b”类型方程的解法 解形如“ax士x=b”这样的方程时，要根据乘法分配律和等式的性质来解。 ax±x=b 解：(a±1) x=b x=b÷ (a±1) 二、运用方程解决相遇问题 在解决相遇问题时，画线段图找等量关系，可根据“甲行的路程＋乙行的路程=总路程”或“甲、乙速度和×相遇时间=总路程”列出方程解答。 03 题型归纳 题型一　列方程解应用题（两步需要逆思考） 例1．（2024秋•顺义区期末）某小区改造电路，装完4个住户后还剩120米。 ①每个住户需要使用多少米电线？（列方程解答） ②一个单元有12个住户，共使用多少千米电线？ 巩固训练 1．（2024秋•南开区期末）列方程解答。 去年在杭州举行的第19届亚运会的主会场“大莲花”体育场总建筑面积约为22.9公顷，比杭州奥体中心游泳馆的4倍还多1.3公顷。奥体中心游泳馆的总建筑面积约是多少公顷？ 2．（2023秋•北仑区期末）学校图书馆有故事书360本，比科技书多，科技书有多少本？（写出数量关系，画出线段图，再用方程解答） ①数量关系：　 　 ②线段图： ③列方程解答： 3．（2024秋•潍城区期末）你听说过“冰山一角”这个成语吗？海里的冰山露在水面上的只是一个小部分，大部分隐藏在水面下，如果一座冰山露在水面上的体积是132立方米，这一角只占整座冰山的，那么整座冰山的体积大约是多少立方米？ （1）画线段图整理数学信息和问题。 （2）写出数量关系式。 列方程解答： 题型二　列方程解三步应用题(相遇问题) 例2．（2024春•交城县期末）如图，甲、乙两艘船分别从A、B两港口同时出发，相向而行。两艘船多少小时后相遇？ （1）估计两艘船在哪个地方相遇？在图上用“▲”标出来。 （2）等量关系：　 　 （3）列方程解答：　 　 巩固训练 1．（2024秋•南开区期末）列方程解答。 甲、乙两船同时从A、B两地相对开出，甲船速度是乙船速度的2.2倍，1.5小时后在距中点18千米处相遇，两船相遇时乙船行驶了多少千米？ 2．（2024春•新都区期末）奇思每分钟跑240米，妙想每分钟跑360米。他们相约进行环湖绿道锻炼（如图），已知环湖绿道一周的长度是7200米。 ①如果两人同地同时反方向跑步，估一估两人在何处相遇，在如图中用“▲”符号标出来；再算一算，经过几分相遇？（列方程解答） ②如果两人要在中点相遇，奇思要比妙想提前几分出发才行？ 3．（2024春•郸城县期中）每年春节期间，某市科技馆都会举行少儿科技活动。聪聪和兰兰约定在初一下午2：00同时从家里出发，骑自行车去科技馆参加“月球文旅”活动。他们两家相距9km，两人相向而行，聪聪平均每分骑行250m，兰兰平均每分骑行200m。他们俩何时相遇？ （1）通过阅读题干，我得出这些数学信息：　 　。 （2）请用线段图表示题干中的数量关系。 （3）列方程解答问题。 学科网（北京）股份有限公司 $$