精品解析：四川成都市新都一中北星中学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

2026春季学期高2024级期中考试试卷数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 数列的前四项依次是则数列的通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，，可知D错误， 当时，，可得A、C错误， 经检验B满足数列的通项公式. 2. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据导数求得，再根据导数的定义求解即可. 【详解】由题意知，所以， 所以. 3. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本初等函数的导数与导数的运算法则逐项计算即可. 【详解】因为是常数，所以，所以A错误； 因为，所以B错误； 因为，所以C正确； 因为，所以D错误. 4. 等差数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 90 B. 100 C. 110 D. 200 【答案】B 【解析】 【分析】设出首项和公差，求解出基本量，最后利用求和公式求和即可. 【详解】设首项为，公差为，因为，所以， 因为，所以， 联立方程组可得，解得， 则由等差数列求和公式得，故B正确. 5. 已知函数，则函数（ ） A. 既有极大值也有极小值 B. 有极大值无极小值 C. 有极小值无极大值 D. 有2个零点 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导判断其单调性，进而判断是否有极值，最后通过比较函数最值与0的大小，结合函数的单调性，判断零点个数. 【详解】函数，定义域为， 则. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 当时，，故此时有极大值，无极小值. 故选项和错误，选项正确. 结合函数的单调性，是函数的最大值， 若，即时，函数有2个零点； 若，即时，函数有1个零点； 若，即时，函数没有零点. 故选项错误. 故选： 6. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列片段和的性质，结合等差中项即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和， 所以成等差数列. 所以， 即. 7. 已知函数在处取得极大值，则（   ） A. 3或1 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据极值点处的导数等于0，求得，代回，通过函数在处是否取得极大值，确定. 【详解】因为函数，定义域为R， 所以， 又因为在处取得极大值，所以，所以或， 若，则， 所以当时，单调递减；当时，单调递增. 所以在处取得极小值，不符合题意，所以； 若，则， 所以当时，单调递增；当时，单调递减. 所以在处取得极大值，符合题意. 综上，. 8. 已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（ ） A. 若，则数列是递增数列 B. 若，则数列是递减数列 C. 若，则数列是递增数列 D. 若，则数列是递增数列 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意用表示出公比，再根据选项讨论当的取值范围不同时数列的增减情况即可. 【详解】由等比数列，则公比， 对于选项A，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项A错误. 对于选项B，若，则公比，又，数列是递增数列，故选项B错误. 对于选项C，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项C错误. 对于选项D，若，则公比，故，又，数列是递增数列，故选项D正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的定义域为，的导函数的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A. 在上单调递减 B. 是的极小值点 C. 是的极大值点 D. 曲线在处的切线斜率为2 【答案】CD 【解析】 【分析】根据导数的正负与函数单调性的关系，极值点的定义及导数的几何意义判断选项正误． 【详解】由导函数的图像可知，时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则在上单调递增，故A错误， 不是的极小值点，故B错误， 是的极大值点，故C正确， 由导函数的图像可知， 所以曲线在处的切线斜率为2，故D正确． 故选：CD． 10. 如图的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，灰色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，设数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知图形结合等比数列的知识逐项计算即得. 【详解】因为，A选项正确； 依题意，， 所以是首项为1，公比为3的等比数列，所以， ，C选项正确； ，B选项错误； ，D选项正确； 故选：ACD. 11. 记为数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. 取最小值时 C. 是等差数列 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用条件等式可计算A，由等差数列的定义先证明为等差数列，求出后结合二次函数的性质可判定B，由的关系得出结合等差数列的定义可判定C，由裂项相消法可判定D. 【详解】对于A，由， 可得，即，故A错误； 对于B，条件变形有， 所以是以为首项为公差的等差数列，则， 所以， 由二次函数的对称性可知或时取最小值，故B错误； 对于C，由作差得， 而，符合上式，所以，即是等差数列，公差为，故C正确； 对于D，由上可知， 所以，故D正确. 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等比数列的前项和，且，，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】设数列的公比为， 因为，所以，又， 所以，， 所以， 所以. 13. 已知函数有两个零点，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转换为的图象与的图象有两个交点，利用导数分析函数单调性、极值情况即可求解. 【详解】，令， 求导得， 而， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而当时，，当时，， 且有极大值， 所以若函数有两个零点，则的取值范围是. 故答案为：. 14. 高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则_____________. 【答案】1012 【解析】 【分析】首先根据函数解析式得到，再根据等比数列的性质，即可求解. 【详解】由，则，则， ， 因为，由等比数列的性质可知，，，，……， 所以上式. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数为实常数）． （1）若，求证：在上是增函数； （2）当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值； 【答案】（1） 由题可知函数的定义域， 因为，所以， 所以， ， 所以在上是增函数． （2）当时，函数有最小值为，当时，函数有最大值为． 【解析】 【分析】（1）利用导数大于零即可证明；（2）利用导数讨论函数的单调性即可求解给定区间内的最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以，所以， 令解得，令解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数有最小值为， 因为， 所以当时，函数有最大值为． 16. 如图，四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）因为，所以为中点， 因为侧面是正三角形，所以， 因为底面是正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面， 所以 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直性质定理证明平面，进而，再根据即可证明平面，最后结合线面垂直证明结论； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意，如图建立空间直角坐标系， 设正方形的边长为，则 ， 因为， 所以， ，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 故可取， 设直线与平面所成角为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值为 【点睛】 17. 已知数列满足，数列的前项和满足. （1）求的通项公式： （2）设，求数列的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】由，构造新的等比数列求解即可；已知与的关系，分，检验求解即可； 利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由有：, 所以数列是以2为公比，首项为的等比数列， 所以，即 因为，当时，. 当时，由有：， 所以，，即 所以 所以 【小问2详解】 由（1）知， 所以——①， ——②， 由①-②得： 所以 18. 设点，直线相交于点，且它们的斜率之积为. （1）求点的轨迹方程； （2）若， ①当时，求的面积； ②求的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）设出点的坐标，表示出直线、的斜率，求出它们的斜率之积，利用斜率之积是，建立方程，去掉不满足条件的点，即可得到点的轨迹方程； （2）①设，，由余弦定理得，根据公式求的面积； ②设，分别用向量表示，，由题意求的取值范围. 【小问1详解】 设点的坐标为，因为点的坐标是， 所以直线的斜率是， 同理，直线的斜率是， 由已知，有， 化简，得点的轨迹方程是， 点的轨迹是除去，两点的椭圆； 【小问2详解】 ①由（1）知椭圆的焦点， 其中， 设，， ，， 在中，当时，由余弦定理得： ， ； ②设，则，即， ，，，， ， ，， ， 即的取值范围为. 19. 已知函数． （1）当时，讨论的图象与直线的交点个数； （2）对任意的，恒成立，求的值； （3）证明：，． 【答案】（1）当时，的图象与直线 的交点个数为0； 当或时，的图象与直线 的交点个数为1； 当时，的图象与直线 的交点个数为2． （2） （3）由（2）得，当 时，有 ，当且仅当时等号成立， 时，， ，即， ， ， ， ，，，……， ，即， ， 【解析】 【分析】（1）先求出函数的定义域，再求导得函数的单调区间，由函数的单调区间求出函数的最大值，画出函数的大致图像即可得出交点个数. （2）构造函数，原不等式等价于，求，对分类讨论即可. （3）由（2）得， 时，，化简，再利用累加法计算即可. 【小问1详解】 当 时，定义域为， ， 令，解得： ， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当 时，， 当时，；当时，；当时，；当 时， ， 的大致图象如图所示， 当时，的图象与直线 的交点个数为0； 当或时，的图象与直线 的交点个数为1； 当时，的图象与直线 的交点个数为2． 【小问2详解】 ，恒成立， ，即， 令，则不等式等价于， ， 当，则，在上单调递减， ， 时 不合题意； 当 ，令 得； 令得， 的递增区间为，递减区间为， 若， ，则当时， ，不合题意； 若 ，，符合题意； 若， ，则当时， ，不合题意； 综上， . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026春季学期高2024级期中考试试卷数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 数列的前四项依次是则数列的通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 等差数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 90 B. 100 C. 110 D. 200 5. 已知函数，则函数（ ） A. 既有极大值也有极小值 B. 有极大值无极小值 C. 有极小值无极大值 D. 有2个零点 6. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 7. 已知函数在处取得极大值，则（   ） A. 3或1 B. 3 C. 2 D. 1 8. 已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（ ） A. 若，则数列是递增数列 B. 若，则数列是递减数列 C. 若，则数列是递增数列 D. 若，则数列是递增数列 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的定义域为，的导函数的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A. 在上单调递减 B. 是的极小值点 C. 是的极大值点 D. 曲线在处的切线斜率为2 10. 如图的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，灰色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，设数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 11. 记为数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. 取最小值时 C. 是等差数列 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等比数列的前项和，且，，则__________. 13. 已知函数有两个零点，则的取值范围是_________. 14. 高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数为实常数）． （1）若，求证：在上是增函数； （2）当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值； 16. 如图，四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知数列满足，数列的前项和满足. （1）求的通项公式： （2）设，求数列的前项和 18. 设点，直线相交于点，且它们的斜率之积为. （1）求点的轨迹方程； （2）若， ①当时，求的面积； ②求的取值范围. 19. 已知函数． （1）当时，讨论的图象与直线的交点个数； （2）对任意的，恒成立，求的值； （3）证明：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $